把握數(shù)學(xué)概念本質(zhì) 促進(jìn)學(xué)生深度體驗(yàn)
——“三角形的認(rèn)識”教學(xué)紀(jì)實(shí)與反思

執(zhí)教者 哈爾濱市群力兆麟小學(xué) 閆 巍

評析者 哈爾濱市道里區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 王 玉

教學(xué)內(nèi)容：人教版四年級下冊第五單元第60、61頁。

教學(xué)目標(biāo)：

1.通過操作、觀察、比較等活動，使學(xué)生認(rèn)識三角形，知道三角形的特征。

2.知道三角形底和高的含義，掌握三角形的高的畫法。

3.知道三角形的穩(wěn)定性及其在生活中的應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。

教學(xué)重、難點(diǎn)：經(jīng)歷三角形概念的形成過程，理解三角形高的概念；能夠理解三角形的高與底的對應(yīng)關(guān)系；學(xué)會畫高。

教學(xué)過程：

一、聯(lián)系生活，情境導(dǎo)入

師：同學(xué)們，你認(rèn)識這些世界知名建筑嗎？（出示圖片。）在這里找到我們熟悉的平面圖形了嗎？（生答三角形。）

師：是啊，三角形在我們生活中十分常見，這些建筑中為什么都出現(xiàn)了三角形呢？這僅僅是一個(gè)巧合嗎？相信學(xué)完這節(jié)課之后，同學(xué)們一定能明白其中的道理。

二、結(jié)合經(jīng)驗(yàn)，探究新知

1.操作感知，理解概念。

師：你認(rèn)為什么樣的圖形是三角形？（生答。）就像同學(xué)們說的，每個(gè)三角形都有三條邊、三個(gè)角和三個(gè)頂點(diǎn)。看來同學(xué)們對三角形有了初步的了解，能不能根據(jù)你對三角形的了解在紙上把它畫出來呢，并介紹一下你是怎么畫出三角形的？

生：我畫了三條線連在一起。

師：是這樣嗎？（給出錯(cuò)例，端點(diǎn)沒緊連在一起。）

師：誰能講得更清楚一點(diǎn)？是三條怎樣的線，怎樣連的？

生：三條線段首尾相接，就是每條線段的端點(diǎn)依次相連，圍起來。

師：謝謝你，在你的幫助下，老師畫出了一個(gè)正確的三角形。現(xiàn)在再來說說什么樣的圖形叫三角形？

生：由三條線段圍成的圖形叫做三角形。

師：誰還有補(bǔ)充嗎？

生：我想補(bǔ)充，必須是每相鄰兩條線段端點(diǎn)相連，才能叫做三角形。

師：你認(rèn)為三角形的概念中哪個(gè)詞語最重要（線段、圍成、相鄰線段端點(diǎn)相連。）

師：跟你的同桌說一說什么叫三角形。指一指下面圖形中哪些是三角形呢？（生判斷。）同學(xué)們在畫三角形的時(shí)候都是這樣畫的嗎？

生：也可以先點(diǎn)出三個(gè)點(diǎn)（不在同一直線上），然后連接。

師：為了更方便，我們可以用大寫字母表示三角形的三個(gè)頂點(diǎn)。如果在三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上分別寫上字母A、B、C，那么這個(gè)三角形就是“三角形ABC”，可以寫作△ABC。請?jiān)谧约寒嫷娜切沃袠?biāo)出三角形的頂點(diǎn)、邊、角。

2.認(rèn)識三角形的底和高。

師：動物園正在修建大門，你能幫助長頸鹿和小烏龜設(shè)計(jì)一個(gè)三角形的門嗎？長頸鹿的門高在哪?能設(shè)計(jì)一下小烏龜?shù)拈T嗎?這扇門的高在哪?

師：你認(rèn)為這個(gè)門的高在哪呢？AB是門的高嗎？

生：不是。AC才是門的高，必須是從A點(diǎn)引出的一條垂線。

師：同學(xué)們，像我們剛才這樣，從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到它的對邊做一條垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段就叫做三角形的高，這條對邊叫做三角形的底。

師：現(xiàn)在老師轉(zhuǎn)動三角形，AC還是它的高嗎？

生：是。不管三角形的位置怎么變，只要是從頂點(diǎn)到對邊的垂直線段，就是三角形的高。

師：同學(xué)們，剛才兩位同學(xué)所說的三角形的兩條直角邊AD、AE是不是它的高呢？

生：是。我們可以看成從點(diǎn)D向?qū)匒E引一條垂線，那么垂直線段就是DA，所以AD是三角形的高。

小結(jié)：如果三角形的兩邊所夾的是直角時(shí)，這兩條邊就是三角形的高。

師：剛才我們已經(jīng)認(rèn)識了三角形的高，你會畫嗎？怎樣畫以BC為底的高？（課件出示△ABC。）

生：從A點(diǎn)出發(fā)，向BC做一條垂直線段。

師：（去掉AB、AC兩條邊）同學(xué)們，這是我們學(xué)過的什么知識？

生：這是我們以前學(xué)習(xí)的從直線外一點(diǎn)向已知直線做垂線。

師：對，那么畫高的時(shí)候我們要注意什么呢？

生：要用虛線畫高。

生：要標(biāo)注直角符號。

生：標(biāo)好對應(yīng)的底與高。

師：如果不給對應(yīng)底，就是畫三角形的高，你還能畫出來嗎？能畫出幾條？同學(xué)們試一試，然后和你小組的同學(xué)交流一下。（三名學(xué)生分別展示以AB、AC、BC為底的高。）

師：現(xiàn)在我把這三名同學(xué)的三角形重疊起來，看，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：老師，我發(fā)現(xiàn)三角形有三條高。

師：為什么呢？

生：因?yàn)槿切斡腥龡l邊，每條邊都可以作為底。

小結(jié)：通過觀察探究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形有三條高，當(dāng)三角形沒有給出固定底時(shí)，三邊都可以作為三角形的底。一個(gè)底對應(yīng)一條高，所以有三條高。

生：我發(fā)現(xiàn)三角形的三條高相交于一點(diǎn)。

師：太棒了，這是我們今后要學(xué)習(xí)到的知識。

師：如果是鈍角三角形呢？也是三條高嗎？

生：也是，只不過有一條高在外部。

（師出示鈍角三角形。）

師：你覺得最后一條高在哪里？

生：我們可以把這條邊延長，然后做一條垂線，高就在這里。

師：因此我們得到結(jié)論，任意的三角形都有三條高。

師：你能畫出底為6厘米、高為3厘米的三角形嗎？

（幾名學(xué)生展示不同形狀的三角形。）

師：仔細(xì)觀察這些同學(xué)所畫的三角形，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)底和高的長度固定了，但是三角形的形狀未必相同。

三、三角形的特性

師：我們要加固動物園房屋，用哪一種圖形方式更好？

生：三角形。

師：為什么？

生：因?yàn)槿切斡蟹€(wěn)定性。

師：老師帶來了一個(gè)三角形，誰到前面拉一拉。三角形為什么這樣穩(wěn)定呢？到底是什么確定了它的形狀和大小呢？請同學(xué)們拿出小棒擺三角形和四邊形。

師：同學(xué)們，仔細(xì)觀察你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：擺出來的三角形的形狀大小都一樣。

師：這是為什么呢？請同學(xué)們觀察，你們用的小棒有什么特點(diǎn)？

生：用的小棒長度都一樣。

師：你能用這些小棒擺出形狀或者大小不同的三角形嗎？

生：能。

生：不能，都是一樣的形狀，只不過是三角形的方向發(fā)生了變化。

師：都是同樣長的小棒，為什么四邊形能擺出這么多種？這是怎么回事呢？

小結(jié)：四邊形雖然長度確定了，但是角度發(fā)生了變化，使得形狀隨之改變。但是三角形的三條邊長度確定了，這個(gè)三角形的大小和形狀也就完全確定了。因此三角形具有穩(wěn)定性。

師：我手里的四邊形總是搖晃，你能想一個(gè)方法讓這個(gè)四邊形不搖晃嗎？

生：加上一根木條就行。

師：在哪里加上才好呢？

生：我想把木條加在這里。（生指出平行四邊形的對角線。）

師：你來試一試。

（生到前面演示。）

師：真的不晃了。誰能說說現(xiàn)在為什么不搖晃了？

生：因?yàn)樽兂闪藘蓚€(gè)三角形了。三角形具有穩(wěn)定性。

師：生活中哪些地方還用到了三角形的穩(wěn)定性？

生：籃球架運(yùn)用的是三角形的穩(wěn)定性。

生：攝像機(jī)的三腳架也應(yīng)用了三角形的穩(wěn)定性。

師：同學(xué)們真善于觀察和思考，其實(shí)三角形的穩(wěn)定性在生活中的應(yīng)用非常廣泛。

結(jié)語：同學(xué)們，現(xiàn)在你們了解設(shè)計(jì)師的意圖了嗎？相信通過今天的學(xué)習(xí)，加上你們以后的努力，老師相信在不久的將來你們也一定能夠像這些建筑師一樣，創(chuàng)造出令人嘆為觀止、流傳千古的建筑奇跡。

評析：

三角形的認(rèn)識是學(xué)習(xí)平面圖形知識的起點(diǎn)，是研究其他幾何圖形的基礎(chǔ)，在實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用。本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)直觀認(rèn)識了三角形和學(xué)習(xí)了線段、垂線段、角的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，是認(rèn)識三角形的第二階段。本節(jié)課的教學(xué)主要包括三角形的定義、各部分名稱、畫高等內(nèi)容。整個(gè)教學(xué)過程始終圍繞教學(xué)目標(biāo)展開，層次清楚，環(huán)節(jié)緊湊，并注意引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析、動手實(shí)踐、自主探索、合作交流等活動，自主探究知識。

1.畫三角形，深化概念內(nèi)涵

學(xué)生對“圍成”“每相鄰的兩條線段端點(diǎn)相連”等數(shù)學(xué)化的描述難以體會其內(nèi)涵。為了引導(dǎo)學(xué)生體會三角形是“封閉圖形”，教師設(shè)計(jì)了畫三角形的活動，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，再通過比較以及對錯(cuò)例的評析，使學(xué)生認(rèn)識到了三角形必須具備兩個(gè)條件：（1）是否具有三條線段；（2）是否圍成封閉的圖形。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)體現(xiàn)的是學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生在匯報(bào)過程中通過畫、標(biāo)、講、議等活動把原本模糊不清的概念，逐漸清晰化。

2.研究高，突破教學(xué)難點(diǎn)

教師把教材中“介紹高”的定義創(chuàng)新設(shè)計(jì)成研究高的活動。首先通過給小動物設(shè)計(jì)門的活動引出高的概念。當(dāng)三角形轉(zhuǎn)動起來時(shí)，學(xué)生跳出了認(rèn)知的誤區(qū)，不再受高的位置的影響，用動態(tài)的眼光看靜止的知識。這樣不僅深化了學(xué)生對三角形高與底的概念建構(gòu)，突出高的概念的本質(zhì)特點(diǎn)，還促進(jìn)了學(xué)生對高的知識的內(nèi)化。在教學(xué)畫高時(shí)，通過去掉AB、AC兩邊，還原了三角形做高的原點(diǎn)，充分利用了學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有機(jī)地借助新舊概念之間的密切聯(lián)系，予以遷移。最后進(jìn)一步探討銳角三角形的三條底及其對應(yīng)的高，并拓展到直角三角形、鈍角三角形的高，讓學(xué)生進(jìn)一步感知平面圖形中高的概念，有效突破了教學(xué)難點(diǎn)，讓學(xué)生對三角形的高有了比較全面、透徹的認(rèn)識。

3.圍三角形和四邊形，凸顯特性本質(zhì)

三角形的穩(wěn)定性是指當(dāng)三角形的三條邊的長度確定時(shí)，三角形的面積、形狀完全被確定。教師首先讓學(xué)生拉動三角形，親身體驗(yàn)三角形穩(wěn)定性的表面特性。接下來通過圍一圍的活動探究三角形穩(wěn)定的內(nèi)因。在圍的過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，所有的三角形形狀、大小一模一樣，而四邊形形狀各異、大小不一，水到渠成地體會了三角形的穩(wěn)定性是其結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定。最后應(yīng)用三角形的穩(wěn)定性固定四邊形，使學(xué)生深刻地體會到數(shù)學(xué)知識來源于生活、應(yīng)用于生活的道理。

教師著眼于概念的建構(gòu)、特性的認(rèn)識、空間觀念的培養(yǎng)等目標(biāo)開展教學(xué)，有效地幫助學(xué)生建構(gòu)了關(guān)于三角形的概念及空間表象。當(dāng)然本節(jié)課也存在不足之處。在課堂上我們可以增加一些生生互動學(xué)習(xí)。比如，在研究三角形的概念時(shí)，可以讓學(xué)生通過全班交流提取關(guān)鍵詞，進(jìn)一步感知“圍成”的實(shí)際意義。然后通過小組同學(xué)之間的交流，由學(xué)生逐步概括出三角形的定義，在交流中進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)概念的簡潔、準(zhǔn)確、嚴(yán)密，為今后平面圖形的研究打下基礎(chǔ)。