一種繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的時(shí)變勢能場建模方法研究

韋慧玲，羅陸鋒，盧清華，陳為林

(佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，廣東佛山 528225)

0 前言

繩牽引并聯(lián)機(jī)器人是一類利用柔性繩索替代剛性連桿，以繩索為驅(qū)動(dòng)介質(zhì)牽引末端執(zhí)行器在工作空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)機(jī)器人，是一類特殊的并聯(lián)機(jī)器人。它主要由繩索、末端執(zhí)行器、電機(jī)、滑輪以及點(diǎn)狀鉸鏈組成，如圖1所示。

圖1 繩牽引并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)示意

相對于傳統(tǒng)的剛性連桿并聯(lián)機(jī)器人，繩牽引并聯(lián)機(jī)器人具有結(jié)構(gòu)簡單、操作靈巧、質(zhì)量輕、工作空間大、運(yùn)動(dòng)速度快、運(yùn)動(dòng)鏈慣性小、干涉發(fā)生概率小、累計(jì)誤差小以及可拆裝重組等優(yōu)點(diǎn)。繩牽引并聯(lián)機(jī)器人由于具有以上顯著的優(yōu)點(diǎn)，從20世紀(jì)80年代誕生起，在多個(gè)領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用，如風(fēng)洞試驗(yàn)、3D打印、高速攝像、外科手術(shù)、患者康復(fù)、大型物料搬運(yùn)裝配以及500 m大型射電望遠(yuǎn)鏡饋源繩索支撐系統(tǒng)等。

繩牽引并聯(lián)機(jī)器人中繩索勢能跟繩索質(zhì)量分布密切相關(guān)，而繩索質(zhì)量分布取決于繩索長度。當(dāng)繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的幾何跨度達(dá)到百米以上時(shí)，由于繩索的柔彈性，繩索在自重或工作載荷作用下會(huì)產(chǎn)生明顯下垂，此時(shí)繩索長度就不等于弦長，而是等于懸鏈線弧長。繩索非線性懸鏈線模型是考慮繩索下垂能夠真實(shí)反映出繩索特性的模型，可以真實(shí)反映繩索特點(diǎn)，保證模型的精度。目前，在繩牽引并聯(lián)機(jī)器人非線性懸鏈線模型超越方程的解算中涉及索力計(jì)算。由于繩索只能承受拉力不能承受壓力，必須對索力進(jìn)行優(yōu)化，保證所有繩索張力都大于零。而索力優(yōu)化問題大多數(shù)采用迭代算法，存在計(jì)算量大、計(jì)算困難等問題，難以滿足高速高精度實(shí)時(shí)計(jì)算的要求。因此，采用傳統(tǒng)方法解算大跨度繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的繩索時(shí)變勢能場十分困難。而本文作者在前期工作中已經(jīng)解決了大跨度繩牽引并聯(lián)機(jī)器人非線性懸鏈線模型的降維優(yōu)化實(shí)時(shí)解算問題，能夠?yàn)閷?shí)時(shí)勢能場的解算提供參考。

本文作者提出的時(shí)變勢能場模型是基于繩索非線性懸鏈線模型實(shí)時(shí)高精度解析解建立起來的明確勢能場與時(shí)變索長、繩索端點(diǎn)坐標(biāo)的實(shí)時(shí)數(shù)學(xué)模型，不需要進(jìn)行索力迭代優(yōu)化計(jì)算，具有實(shí)時(shí)性強(qiáng)、精度高、計(jì)算量少等優(yōu)點(diǎn)。因此，基于時(shí)變勢能場的方法有望建立起可靠量化的大跨度繩牽引并聯(lián)機(jī)器人高速高精度穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)實(shí)時(shí)穩(wěn)定性評價(jià)指標(biāo)。目前對牽引并聯(lián)機(jī)器人的穩(wěn)定性研究大多數(shù)是靜態(tài)穩(wěn)定性研究，需要基于迭代優(yōu)化的力旋量進(jìn)行穩(wěn)定性評價(jià)指標(biāo)的建立和穩(wěn)定工作空間的確定，難以滿足大跨度繩牽引并聯(lián)機(jī)器人高速高精度穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)實(shí)時(shí)穩(wěn)定性評價(jià)指標(biāo)的要求。因此，建立繩索時(shí)變勢能場模型并明確其演化規(guī)律，能更好地促進(jìn)大跨度繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的穩(wěn)定性分析。

針對繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的時(shí)變勢能場建模解算和性能分析問題展開研究。首先，在繩索質(zhì)量微分單元和繩索長度微分單元的基礎(chǔ)上建立繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人的微分勢能場模型；再基于有限元積分法得到繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人勢能場模型的積分表達(dá)式；進(jìn)一步，通過繩牽引并聯(lián)機(jī)器人懸鏈線模型高精度實(shí)時(shí)解析解和邊界約束條件，對繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人勢能場模型進(jìn)行實(shí)時(shí)解算，實(shí)現(xiàn)繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人勢能場模型的實(shí)時(shí)解算；最后，通過仿真舉例試驗(yàn)對時(shí)變勢能場模型的影響因素進(jìn)行深入探討，仿真結(jié)果表明勢能場模型解算的合理性和有效性。

1 勢能場模型的建立

在對繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的繩索時(shí)變勢能場建模前，本文作者作了以下假設(shè)：繩索彈性勢能忽略不計(jì)，因?yàn)樵诮?jīng)典的繩牽引并聯(lián)機(jī)器人應(yīng)用中，繩索彈性變形都小于0.5%，其彈性可以忽略不計(jì)；對大跨度繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的繩索采用了主動(dòng)阻尼振動(dòng)控制技術(shù)，可忽略繩索振動(dòng)對時(shí)變勢能場的影響。

通過繩索質(zhì)量微分單元和繩索長度微分單元建立繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人的微分勢能場模型:

(1)

式中:為勢能場；為重力加速度;為繩索質(zhì)量；為繩索上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)；為繩索上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)。

通過有限元積分法建立繩牽引并聯(lián)機(jī)器人勢能場模型的積分表達(dá)式：

(2)

式中：為繩索端點(diǎn)的橫坐標(biāo)；為繩索端點(diǎn)的橫坐標(biāo)；為繩索密度。

為了解算勢能場的積分表達(dá)式，需要建立繩索懸鏈線模型和邊界約束條件。建立繩牽引并聯(lián)機(jī)器人懸鏈線模型如下：

(3)

式中：、、為系數(shù)。

建立繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的索長約束條件：

(4)

端點(diǎn)坐標(biāo)約束條件：

(5)

端點(diǎn)坐標(biāo)約束條件:

(6)

把懸鏈線模型和3個(gè)邊界約束條件代入勢能場模型的積分表達(dá)式，通過求解積分得到勢能場模型：

(7)

2 模型系數(shù)的確定

為公式更加簡單易讀，令方程中的系數(shù)=、=和=，則公式(3)可整理為

(8)

公式(4)可整理為

(9)

公式(5)可整理為

(10)

公式(6)可整理為

(11)

(12)

整理公式(10)和(11)得到：

(13)

整理公式(12)和(13)，分別得到系數(shù)方程：

(14)

(15)

構(gòu)建式(14)和(15)的系數(shù)矩陣如下：

(16)

為使公式(12)和(13)同時(shí)成立，則系數(shù)矩陣行列式為0，即有：

(17)

根據(jù)公式(17)，參考文獻(xiàn)[14]中的懸鏈線模型解算方法可求解出勢能場模型系數(shù)、和如下：

(18)

3 勢能場模型的性能分析

3.1 勢能場與坐標(biāo)的關(guān)系

為更好地分析勢能場的性能，首先展示繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的繩索懸鏈線形狀展示，如圖2所示。一根長度為的柔性繩索固定在兩個(gè)端點(diǎn)上，以表示的全局固定參考坐標(biāo)系附加在繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的基座上，其中為原點(diǎn)。 繩索(1，2，，)與滑輪相切的點(diǎn)被假定固定在基座上。此外，第根繩索在末端執(zhí)行器平臺(tái)上的點(diǎn)處固定，并且假定該固定點(diǎn)相對于末端執(zhí)行器移動(dòng)平臺(tái)是固定的。第根繩索連接點(diǎn)和，假設(shè)這是一條懸鏈線，其長度用表示。接觸點(diǎn)和為點(diǎn)狀鉸接點(diǎn)。為重力加速度。

圖2 繩牽引并聯(lián)機(jī)器人繩索懸鏈線示意

為探討勢能與繩索端點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，在平面上跟蹤勢能分布。假設(shè)==0 m，=9.81 m/s，=1 N/m，=10 m，根據(jù)式(7)計(jì)算得到勢能=-28.200 286 45 kg·m/s。 同時(shí)，可以繪制出不同勢能、和之間的關(guān)系如圖3所示?？梢钥闯觯簞菽茉?span id="j5i0abt0b" class="subscript">平面內(nèi)的分布關(guān)于平面對稱。 另一個(gè)特征是相同數(shù)值的勢能沿相同的曲線分布。 同時(shí)，在平面內(nèi)，勢能輪廓線趨勢為下面勢能線的絕對值比上面勢能線的大。

圖3 勢能在xByB平面內(nèi)的分布(勢能單位為kg·m2/s2)

當(dāng)==0 m，=9.81 m/s，=1 N/m，=10 m，=1 m時(shí)，繩牽引并聯(lián)機(jī)器人繩索的勢能與端點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系如圖4所示。可以看出:勢能關(guān)于軸對稱分布。端點(diǎn)的橫坐標(biāo)絕對值越大，勢能的取值就越大，說明繩索越長其勢能越大，跟繩索懸鏈線分布吻合。

圖4 末端執(zhí)行器勢能U與端點(diǎn)坐標(biāo)xB的關(guān)系

3.2 勢能場與繩索長的關(guān)系

圖5 末端執(zhí)行器與索長L的關(guān)系

3.3 重心坐標(biāo)實(shí)例驗(yàn)證

根據(jù)以上分析可知繩牽引并聯(lián)機(jī)器人末端執(zhí)行器重心的坐標(biāo)表達(dá)式為

(19)

根據(jù)文獻(xiàn)[14]中的系數(shù)關(guān)系可知，當(dāng)=1 m、=4 m時(shí)有=-2.633 607 826、= 1.275 542 458、=-3.738 162 224。將這些數(shù)值代入式(7)中得到的總勢能=-28.200 286 45 kg·m/s，重心的坐標(biāo)為=-0.479 107 822 8 m。 為驗(yàn)證繩牽引并聯(lián)機(jī)器人末端執(zhí)行器重心的坐標(biāo)表達(dá)式的正確性，使用另一種方法測試重心的坐標(biāo)。

(20)

通過上式計(jì)算獲得的重心′=-0.479 107 838 5 m。比較=-0.479 107 822 8和′=-0.479 107 838 5 m，可知兩種方法計(jì)算出的勢能值誤差為3.27×10，在可接受范圍內(nèi)，驗(yàn)證了勢能場模型是正確合理的。

4 結(jié)論

針對繩牽引并聯(lián)機(jī)器人勢能場的建模、模型參數(shù)求解和性能分析三大問題，本文作者給出了一套完整的計(jì)算分析方法。根據(jù)繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)建立了時(shí)變勢能場模型。利用懸鏈線模型高精度實(shí)時(shí)解析解求出了時(shí)變勢能場模型的參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了勢能場模型的解算。通過仿真驗(yàn)證了勢能場模型的有效性和解算的正確性。研究結(jié)果為基于時(shí)變勢能場的穩(wěn)定性評價(jià)、穩(wěn)定工作空間的標(biāo)定提供了參考。