梁板結(jié)構(gòu)力學(xué)行為分析的等幾何方法探究

楊莘浩

（北京林業(yè)大學(xué)，北京 100083）

梁板結(jié)構(gòu)是較為常見的建筑結(jié)構(gòu)，主要由梁、板等構(gòu)成，具備較強(qiáng)的抗彎矩、抗剪力能力。隨著近些年建筑事業(yè)高速發(fā)展，梁板結(jié)構(gòu)應(yīng)用規(guī)模不斷擴(kuò)大，其相關(guān)問題得到越來越多人關(guān)注。梁板結(jié)構(gòu)力學(xué)行為復(fù)雜，如分析不當(dāng)易產(chǎn)生質(zhì)量問題，影響梁板結(jié)構(gòu)作用發(fā)揮。以往梁板結(jié)構(gòu)力學(xué)行為主要采用有限元法分析，雖然能夠滿足基本需求，但過程繁瑣，精度有限。等幾何方法的提出與應(yīng)用，克服了傳統(tǒng)有限元法的不足，其在梁板結(jié)構(gòu)力學(xué)行為分析的應(yīng)用更具優(yōu)越性。以下是筆者對等幾何方法及其在梁板結(jié)構(gòu)力學(xué)行為分析中應(yīng)用的幾點(diǎn)體會，意在拋磚引玉。

1 等幾何概述

等幾何分析方法是一種新型分析方法，在高精度結(jié)構(gòu)分析中具有較強(qiáng)優(yōu)勢。該方法將傳統(tǒng)有限元分析方法和計算機(jī)輔助方法相結(jié)合，以非均勻有理B 樣條曲線（Non-Uniform Rational B-Splines，NURBS）的基函數(shù)、B 樣條函數(shù)、薄板B 樣條函數(shù)等作為形函數(shù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化構(gòu)造與仿真分析[1]。相對于傳統(tǒng)有限元分析方法而言，等幾何分析方法不用進(jìn)行網(wǎng)格劃分，可從設(shè)計模型中直接讀取幾何數(shù)據(jù)，利于結(jié)構(gòu)分析效率提升。同時，等幾何分析方法在NURBS 基函數(shù)等支持下，魯棒性、高階連續(xù)性增強(qiáng)，可在不影響幾何精度的前提下實(shí)現(xiàn)高階連續(xù)性問題的有效解決[2]。

要想深入了解等幾何分析方法，需要對B 樣條基函數(shù)、非均勻有理B 樣條基函數(shù)等基本理論具有準(zhǔn)確認(rèn)知。B 樣條基函數(shù)是矢量圖形系統(tǒng)中是非重要的曲線類型，屬于分段多項(xiàng)式函數(shù)，一般采用Cox-de Boor 遞歸公式進(jìn)行定義[3]。非均勻有理B 樣條基函數(shù)的根本在于B 樣條基函數(shù)。我們可通過B 樣條曲線變化得到非均勻B 樣條曲線[4]。相對于B 樣條基函數(shù)，非均勻有理B 樣條基函數(shù)仿真結(jié)果準(zhǔn)確性更高，能夠?qū)Y(jié)構(gòu)復(fù)雜、光滑度高的幾何模型進(jìn)行詳細(xì)、準(zhǔn)確描述。

2 梁板結(jié)構(gòu)力學(xué)行為分析的等幾何方法

梁板結(jié)構(gòu)為建筑工程中應(yīng)用較為廣泛的結(jié)構(gòu)，其質(zhì)量高低對建筑物應(yīng)用質(zhì)量與安全存在直接影響。因此，做好梁板結(jié)構(gòu)設(shè)計與施工工作至關(guān)重要。隨著近些年建筑對個性化重視程度的不斷提高，梁板類型增多，結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度提高，對力學(xué)分析提出了更高要求。將等幾何分析方法應(yīng)用到梁板結(jié)構(gòu)力學(xué)行為分析中可取得較好效果。以下是對曲梁結(jié)構(gòu)與薄板力學(xué)行為分析中等幾何方法的分析。

2.1 曲梁結(jié)構(gòu)動靜力學(xué)分析

曲梁結(jié)構(gòu)是梁板工程中較為常見的結(jié)構(gòu)，探究其力學(xué)行為分析中等幾何方法的應(yīng)用情況具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。曲梁結(jié)構(gòu)靜力彎曲分析時，某半圓弧曲梁結(jié)構(gòu)彈性模量E 為79100MPa，彎曲半徑R 為100mm，受平面集中載荷。在有限元軟件分析中，劃分的網(wǎng)格單元超過1000 個。在等幾何分析中，經(jīng)節(jié)點(diǎn)向量細(xì)化處理后，可利用二階或三階非均勻有理B 樣條基函數(shù)進(jìn)行離散計算[5]。本次研究半圓弧曲梁結(jié)構(gòu)中，節(jié)點(diǎn)向量細(xì)化產(chǎn)生控制點(diǎn)98 個，利用三階均勻有理B 樣條基函數(shù)離散計算，得到控制點(diǎn)102個，抽取50 個點(diǎn)進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)等幾何分析數(shù)值精準(zhǔn)度更高，等幾何分析能夠在一定程度上獲取精準(zhǔn)度較高的曲梁模型。

2.2 薄板力學(xué)行為分析

薄板力學(xué)行為分析中應(yīng)用等幾何分析方法存在一定優(yōu)勢。實(shí)踐操作中，在確定薄板廣義應(yīng)變與應(yīng)力關(guān)系，確定薄板彈性矩形后，可得到薄板彎曲分析與自由振動分析的弱形式，并獲得基于NURBS 基函數(shù)下的似位移場函數(shù)，最終得到薄板自由振動離散方程。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行算例分析，已知E=200×109N/m2，v=0.3，h=5cm，板密度=7999kg/m3，受均勻荷載，對比不同節(jié)點(diǎn)/控制點(diǎn)有限元分析結(jié)果與等幾何分析結(jié)果，發(fā)現(xiàn)兩者差異較小，如6×6的節(jié)點(diǎn)/控制點(diǎn)下，有限元結(jié)果為0.00452，等幾何結(jié)果為0.00456。

3 等幾何在梁板結(jié)構(gòu)力學(xué)中的應(yīng)用

梁板結(jié)構(gòu)力學(xué)行為分析中等幾何分析方法應(yīng)用較為廣泛，除上述提到的曲梁結(jié)構(gòu)、薄板結(jié)構(gòu)外，大變形梁結(jié)構(gòu)中也具有較好的應(yīng)用效果，現(xiàn)基于幾個算例就等幾何在大變形梁結(jié)構(gòu)力學(xué)中的應(yīng)用效果進(jìn)行驗(yàn)證。

3.1 平面懸臂梁算例

懸臂梁是梁板結(jié)構(gòu)力學(xué)分析中較為簡單的一種梁結(jié)構(gòu)。懸臂梁一端為固定端，一端為自由端，在力的作用下，能夠根據(jù)平衡情況繪制受力圖，進(jìn)行結(jié)構(gòu)力學(xué)分析。

本次研究中已知懸臂梁彈性模量、泊松比、梁長、端部受力等參數(shù)分別為79000MPa、0、1000mm、70N。在有限元軟件分析中，平面懸臂梁劃分網(wǎng)格1000個；在等幾何分析中，二階樣條基函數(shù)下得到17 個單元，在三階樣條基函數(shù)下得到18 個單元，統(tǒng)計不同階次、不同細(xì)化次數(shù)下等幾何分析與有限元分析結(jié)果（表1）可知，等幾何分析結(jié)果與有限元分析結(jié)果十分接近，且等幾何分析中，節(jié)點(diǎn)向量細(xì)化能夠進(jìn)一步提高計算精確度。加之力學(xué)分析中等幾何計算量較少，說明平面懸臂梁結(jié)構(gòu)力學(xué)行為分析中等幾何分析方法的應(yīng)用可在保證計算精準(zhǔn)度基礎(chǔ)上，提高計算速度。

表1 等幾何分析下平面懸臂梁最大撓度解與有限元參考解的對比

3.2 空間懸臂梁算例

采用等幾何非線性三維梁分析方法探究空間懸臂梁結(jié)構(gòu)力學(xué)行為，已知懸臂梁左端為固定端，右端為自由端，端部受空間荷載，彈性模量、泊松比、梁長、端部受力等參數(shù)同上文中的平面懸臂梁。受理分解可知Y 方向荷載約為50N，Z 方向荷載約為50N，因另一個方向荷載相同，所以位移量相同。在有限元軟件分析中，空間懸臂梁劃分網(wǎng)格1000 個；在等幾何分析中，二階NURBS 基函數(shù)與三階NURBS 基函數(shù)下，分別得到17 個單元與18 個單元，對比有限元分析與等幾何分析結(jié)果，發(fā)現(xiàn)P=2 時，截面半徑分別為5mm、6mm、7mm、8mm、9mm、10mm 的等幾何分析下空間懸臂梁最大撓度解為325.8、189.4、108.0、64.3、40.4、26.5，P=3 時等幾何分析下空間懸臂梁最大撓度解為328.8、190.0、108.1、64.4、40.4、26.6，近似于有限元分析結(jié)果（328.2、189.8、108.1、64.4、40.4、26.6），說明在空間懸臂梁結(jié)構(gòu)力學(xué)分析中，等幾何分析方法具有適用性。

3.3 兩端固支直梁算例

兩端固支直梁是較為常見的一種梁結(jié)構(gòu)，梁結(jié)構(gòu)的兩端搭在兩個支撐物上，以鉸接形式連接，荷載通常垂直于梁軸線。假設(shè)兩端固支直梁荷載均勻分布，彈性模量在20.69 萬MPa 左右，梁長為2.54m，泊松比為0.25，均布荷載為每毫米3N。當(dāng)荷載相同長細(xì)比不同時，有限元分析結(jié)果與二階、三階等幾何分析結(jié)果見圖1。由圖3 可知，兩種分析方法計算結(jié)果相當(dāng)，說明等幾何分析方法在兩端固支直梁結(jié)構(gòu)力學(xué)分析中可獲得較好應(yīng)用效果。與此同時，等幾何分析結(jié)果受長細(xì)比變化影響較大，且隨著控制點(diǎn)增加，計算精度不斷提高。

圖1 有限元分析與不同階次等幾何分析結(jié)果對比圖

3.4 淺拱梁算例

已知某淺拱梁圓弧長度為1.27m，曲率半徑約為2.4m，彈性模型與泊松比分別為20.68 萬MPa、0.25。淺拱梁兩端均為固定端，受30N/mm 均勻垂直荷載。

在有限元軟件分析中，淺拱梁劃分網(wǎng)格單元1200個以上，在等幾何分析中，二階樣條基函數(shù)與三階樣條基函數(shù)下分別劃分單元97 個與100 個，選取部分計算結(jié)果進(jìn)行對比分析。

結(jié)果顯示：截面半徑為15mm、16mm、17mm、18mm、19mm、20mm 時，有限元參考解分別為2.16、1.86、1.62、1.41、1.25、1.10，P=2 的等幾何最大撓度解分別為2.15、1.85、1.61、1.40、1.24、1.10，P=3 的等幾何最大撓度解分別為2.16、1.86、1.61、1.41、1.24、1.10。

可見等幾何分析結(jié)果近似于有限元分析結(jié)果，證明等幾何分析方法適用于淺拱梁結(jié)構(gòu)力學(xué)分析中，且能夠在保證計算結(jié)果準(zhǔn)確的情況下，提高計算速度，綜合應(yīng)用價值較高。

4 結(jié)論

在傳統(tǒng)有限元分析法與計算機(jī)輔助仿真分析法有機(jī)結(jié)合下，等幾何在結(jié)構(gòu)力學(xué)行為分析中表現(xiàn)出較強(qiáng)優(yōu)勢。

本研究將等幾何方法應(yīng)用到曲梁結(jié)構(gòu)、薄板結(jié)構(gòu)、大變形結(jié)構(gòu)等梁板結(jié)構(gòu)力學(xué)行為分析中，結(jié)果顯示等幾何方法利于數(shù)值計算精度、分析效率等提升，說明等幾何方法適用于梁板結(jié)構(gòu)力學(xué)行為分析中，可為梁板結(jié)構(gòu)設(shè)計與應(yīng)用提供可靠分析依據(jù)。

對此，相關(guān)工作人員應(yīng)加強(qiáng)對等幾何方法的重視，能夠在研究中不斷完善與優(yōu)化等幾何方法，并將其科學(xué)、有效地運(yùn)用到實(shí)踐中，促進(jìn)結(jié)構(gòu)分析質(zhì)量與效率提升。