高階單向傳播內(nèi)孤立波理論模型適用性*

郅長(zhǎng)紅 徐雙東 韓盼盼? 陳科 尤云祥

1) (上海交通大學(xué),海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200240)

2) (上海交通大學(xué),三亞崖州灣深?？萍佳芯吭?三亞 572000)

3) (中國(guó)船舶及海洋工程設(shè)計(jì)研究院,上海 200011)

內(nèi)孤立波在海洋中廣泛存在,其在生成、傳播演化以及耗散過程中對(duì)海洋環(huán)境、地形地貌和海洋結(jié)構(gòu)物等有著深遠(yuǎn)的影響.針對(duì)內(nèi)孤立波理論模型研究,已有理論模型包括單向傳播Korteweg-de Vries (KdV) 類方程和雙向傳播Miyata-Choi-Camassa (MCC) 類方程,然而,兩類方程均未能有效地模擬大振幅內(nèi)孤立波的傳播演化過程.本文采用漸近匹配方法,對(duì)原始單向傳播內(nèi)孤立波方程的系數(shù)進(jìn)行修正,建立了改進(jìn)的單向傳播內(nèi)孤立波理論模型.在此基礎(chǔ)上,通過比較分析改進(jìn)了前后內(nèi)孤立波的理論模型,結(jié)果表明,改進(jìn)后的理論模型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波的理論極限振幅能達(dá)到MCC 方程穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波的理論極限振幅.結(jié)合系列實(shí)驗(yàn)結(jié)果,通過定量分析穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波有效波長(zhǎng)、波速和波形與MCC 方程穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波理論解的吻合度,進(jìn)一步分析了改進(jìn)后的內(nèi)孤立波理論模型在表征定態(tài)內(nèi)孤立波特性方面的適用性.此外,針對(duì)平坦地形條件下大振幅內(nèi)孤立波非定態(tài)傳播演化過程,探究各類單向傳播孤立波理論模型的穩(wěn)定性.研究表明改進(jìn)后高階單向傳播內(nèi)孤立波理論模型可用于表征大振幅內(nèi)孤立波傳播演化特性,為海洋結(jié)構(gòu)物水動(dòng)力學(xué)研究提供理論依據(jù).

1 引言

內(nèi)孤立波是發(fā)生在穩(wěn)定密度層化海洋內(nèi)部的一種特殊波動(dòng),具有水平尺度大、能量集中且能夠在海洋中長(zhǎng)距離傳播而保持波形不變的特點(diǎn).我國(guó)南海北部地形復(fù)雜多變,是大振幅內(nèi)孤立波最為頻發(fā)的海域之一[1-3].據(jù)觀測(cè),南海北部海域內(nèi)孤立波最大波幅可達(dá) 240 m,最大流速高達(dá)2.55 m/s[4],被認(rèn)為是目前世界海洋內(nèi)波觀測(cè)資料中所記載的最大波幅.內(nèi)波尤其是大振幅內(nèi)孤立波在傳播過程中通常攜帶巨大的能量,能夠引起海水輻聚下沉與輻散上升運(yùn)動(dòng),同時(shí)誘導(dǎo)產(chǎn)生突發(fā)性的強(qiáng)水平流,對(duì)海洋工程結(jié)構(gòu)物和水下作戰(zhàn)平臺(tái)等產(chǎn)生強(qiáng)烈的沖擊性載荷,甚至導(dǎo)致潛艇、魚類等水下航行器瞬間喪失操縱能力[5].因此,內(nèi)孤立波已經(jīng)成為海洋工程界和海洋軍事活動(dòng)中不容忽視的災(zāi)害性因素[1].

Korteweg-de Vries (KdV)系列理論已經(jīng)廣泛地用于表征小振幅穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波及其傳播演化過程[6-10].針對(duì)大振幅內(nèi)孤立波,Miyata[11,12],Choi和Camassa[13]基于原始完全非線性歐拉方程,結(jié)合自由面剛蓋條件以及兩層流體界面的完全非線性運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)條件,采用速度深度平均方法,建立了完全非線性和弱色散條件下Miyata-Choi-Camassa (MCC)理論模型,其穩(wěn)態(tài)解與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果[13,14]、完全非線性歐拉方程的內(nèi)孤立波解和海洋觀測(cè)結(jié)果[15]吻合較好.2020 年,Zhao 等[16]提出在深水條件下展現(xiàn)更優(yōu)性能的強(qiáng)非線性內(nèi)孤立波HLGN-FS 模型.當(dāng)上下兩層流體密度差較大時(shí),自由表面的影響不可忽略,Kodaira 等[17]研究發(fā)現(xiàn),與結(jié)合自由面剛蓋條件的MCC (Miyata-Choi-Camassa-rigid lid,MCC-RL) 理論模型比,考慮了自由表面效應(yīng)的MCC (Miyata-Choi-Camassa-free surface,MCC-FS) 模型[18]的穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波波形較窄,與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果更接近.Choi 和Camassa[13]從原始MCC 方程出發(fā),保留高階非線性項(xiàng)和線性色散項(xiàng),推導(dǎo)得到高階單向內(nèi)孤立波理論(high-order unidirectional,HOU)模型.Ostrovsky 和Grue[15]也提出類似的模型,將KdV 方程中色散項(xiàng)中的線性速度和未擾動(dòng)層厚度分別替換為淺水方程的特征速度和局部層厚度,其修正方程更具物理意義.

然而無論是KdV 類的單向傳播內(nèi)孤立波理論模型,還是MCC 類雙向傳播內(nèi)孤立波理論,在模擬強(qiáng)非線性內(nèi)孤立波傳播過程中均存在缺陷.其中,單向傳播內(nèi)孤立波理論模型 (包括KdV,eKdV,HOU 模型) 的穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波理論極限振幅不能達(dá)到MCC 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波理論極限振幅[19];MCC 雙向傳播內(nèi)孤立波理論模型在用于傳播大振幅內(nèi)孤立波時(shí),其數(shù)值計(jì)算過程中可能會(huì)產(chǎn)生Kelvin-Helmholtz 不穩(wěn)定性問題[20].針對(duì)此缺陷,Zhi 等[21,22]采用漸近匹配方法,對(duì)原始Gardner 方程進(jìn)行修正,推導(dǎo)得到修正的Gardner 模型以及適用于變化地形的系數(shù)變化修正的Gardner 模型,其理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果符合良好.此外,Choi 和Zhi[19]從原始HOU 方程出發(fā),通過漸近匹配方法,調(diào)整方程中各項(xiàng)系數(shù),建立了修正系數(shù)的HOU (adjusted high-order unidirectional,aHOU)模型,其內(nèi)孤立波穩(wěn)態(tài)解的最大波幅、最大波速和最大振幅處有效波長(zhǎng)與原始MCC 方程相符合.但由于缺乏實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)支撐,aHOU 方程的可靠性和適用性有待進(jìn)一步驗(yàn)證.鑒于此,本文將依據(jù)系列實(shí)驗(yàn)結(jié)果,分析單向傳播內(nèi)孤立波理論模型(包含KdV,eKdV,aHOU 模型)與MCC 模型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波波形的符合度;探究KdV,eKdV 和aHOU 模型表征穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波的適用性;通過對(duì)各類單向傳播內(nèi)孤立波理論模型傳播大振幅內(nèi)孤立波的穩(wěn)定性分析,進(jìn)一步驗(yàn)證aHOU 模型的可靠性和適用性.

2 改進(jìn)的單向傳播內(nèi)孤立波理論模型

與MCC 理論相比,HOU 型單向傳播內(nèi)孤立波理論模型不適用于更大振幅內(nèi)孤立波的原因有兩個(gè)方面: 一方面是對(duì)大振幅內(nèi)孤立波,HOU 方程理論解的有效波長(zhǎng)與MCC 模型相比存在差異;另一方面是HOU 方程的內(nèi)孤立波理論極限振幅要比MCC 模型的小.進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn),這些缺陷與HOU 方程中的系數(shù)選擇不合適有關(guān).為此,通過調(diào)整HOU 方程系數(shù)的方法對(duì)其進(jìn)行改進(jìn).采用漸近匹配方法確定改進(jìn)方程中系數(shù),其具體推導(dǎo)過程詳見先前工作[19,22],為保證文章的完整性及可讀性,后文將簡(jiǎn)要列出單向傳播內(nèi)孤立波理論模型的改進(jìn)方法.

2.1 HOU 方程的改進(jìn)方法

將原始HOU 方程改寫為

在(1)式中,調(diào)整系數(shù)μ0,μ21和μ22是為了更好地描述內(nèi)孤立波的色散效應(yīng);調(diào)整系數(shù)μ1和μ3是為了更好地描述內(nèi)孤立波非線性效應(yīng),而調(diào)整μ4是為了更好地描述內(nèi)孤立波非線性與色散性的耦合效應(yīng).進(jìn)一步將(1)式改寫為

由(2)式可知,aHOU 模型除了滿足質(zhì)量守恒關(guān)系(3) 式外,還滿足如下形式的能量守恒關(guān)系 (4)式:

(2)式的內(nèi)孤立波穩(wěn)態(tài)解為

由邊界條件:ζ=a時(shí),ζX=0,可得(5)式的內(nèi)孤立波波速為

2.2 aHOU 方程系數(shù)的確定方法

(2)式中系數(shù)μi(i=0,1,2···)為上下層流體深度比和密度比的函數(shù),通過選取適當(dāng)?shù)摩蘨使得aHOU 模型能夠擬合MCC 型內(nèi)孤立波.在(2)式中,μ0,μ21和μ22與內(nèi)孤立波的線性色散關(guān)系有關(guān),將aHOU 方程線性化,可得到其線性速度為

由MCC 理論的線性波速公式,可得

將HOU 方程線性化,可得其線性速度為

由此可知,對(duì)O(k4) 項(xiàng),HOU 方程的線性速度與MCC 方程的線性速度并不匹配,而aHOU 方程的線性速度與MCC 方程的線性速度完全匹配.

下面選擇合適的μ1和μ3使得aHOU 方程的最大振幅和最大波速與MCC 方程相同.將(8)式中的和分別用MCC 中的am和cm替代,可得

由于am和cm均為上下兩層流體密度比ρ1/ρ2和深度比h1/h2的函數(shù),因此μ1和μ3也均為ρ1/ρ2和h1/h2的函數(shù).為確定μ4,將aHOU 方程和MCC方程穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波在最大振幅處的有效波長(zhǎng)進(jìn)行匹配,可得

2.3 對(duì)比aHOU 方程與原始HOU 方程

通過比較aHOU 和HOU 方程與MCC 方程線性速度clin/(gh) 隨 波數(shù)kh的變化特性,進(jìn)而研究分析aHOU 系數(shù)改進(jìn)的有效性.在數(shù)值計(jì)算中,令環(huán)境參數(shù)水深h=1 m,上下層密度比ρ1/ρ2=0.972,上下層流體深度比h2/h1=4.圖1(a),(b)分別給出了h2/h1=4 時(shí),aHOU 和HOU 方程與MCC 方程的 線性速 度clin/(gh) 隨kh的變化特性以及kh隨波幅|a|/h的變化特性.由圖1(b)可知,當(dāng)h2/h1=4 時(shí),MCC 方程的理論極限振幅為=0.2965,在此理論極限振幅范圍內(nèi),kh的最大值為5.363.由圖1(a)可知,當(dāng)kh在(0,5.363]范圍內(nèi)時(shí),aHOU 與MCC 方程的線性速度符合良好,但僅當(dāng)kh≤2.226 時(shí),HOU 與MCC 方程的線性速度符合.

圖1 aHOU,HOU,MCC 方程 (a) 線性速度 c lin/(gh) 隨 k h 的變化;(b) k h 隨波幅的變化Fig.1.aHOU,HOU and MCC models: (a) The variation of the linear speed c lin/(gh) with k h ;(b) the variation of k h with amplitude.

3 實(shí)驗(yàn)方法

在上海交通大學(xué)大型密度分層內(nèi)波水槽開展實(shí)驗(yàn),水槽主尺度為30.0 m × 0.6 m × 1.2 m(長(zhǎng)、寬和高),采用注流式方法配制密度分層流體,應(yīng)用雙推板式造波機(jī)技術(shù)實(shí)現(xiàn)內(nèi)孤立波振幅的可控化[23],并沿內(nèi)孤立波的傳播方向設(shè)置兩排垂直于來波方向等間距分布的電導(dǎo)率探頭,用以監(jiān)測(cè)內(nèi)孤立波波形和波速.實(shí)驗(yàn)布置示意圖如圖2 所示,實(shí)驗(yàn)中環(huán)境參數(shù)與數(shù)值計(jì)算中保持一致,并選取不同初始內(nèi)孤立波波幅作為初始條件.通過內(nèi)孤立波實(shí)驗(yàn)波形與理論模型波形的對(duì)比,明確單向傳播內(nèi)孤立波理論模型表征定態(tài)內(nèi)孤立波方面的適用性.

圖2 實(shí)驗(yàn)布置示意圖Fig.2.Schematic diagram of experimental arrangement.

3.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

圖3 為波幅a/h=—0.2028,—0.1362,—0.0584的內(nèi)孤 立波實(shí) 驗(yàn)波形 與KdV,eKdV,MCC 和aHOU 理論波形的對(duì)比曲線.在MCC 理論極限振幅范圍內(nèi),選取3 個(gè)典型的內(nèi)孤立波波幅分別代表小振幅、中等振幅和大振幅內(nèi)孤立波.如圖3(a)所示,針對(duì)大振幅內(nèi)孤立波,KdV 理論波形相對(duì)較窄,與實(shí)驗(yàn)波形相差較大,表明該理論不適用于描述大振幅內(nèi)孤立波;此外,MCC 和aHOU 理論模型均與實(shí)驗(yàn)波形吻合良好,表明aHOU 可用于表征大振幅穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波.由圖3(b)可知,中等非線性內(nèi)孤立波波形與aHOU 和MCC 理論波形基本一致,而與弱非線性KdV 和eKdV 理論波形相差較大.圖3(c)表明對(duì)于弱非線性內(nèi)孤立波,KdV,eKdV,MCC 和aHOU 理論波形差異較小,但KdV理論波形與其實(shí)驗(yàn)波形符合程度最大.圖3 表明,波形隨著內(nèi)孤立振幅的增大而變寬,總體而言,在MCC 理論極限振幅范圍內(nèi),單向傳播內(nèi)孤立波理論模型中aHOU 理論適用于表征小、中等和大振幅內(nèi)孤立波.

圖3 KdV,eKdV,MCC 和aHOU 理論波形與實(shí)驗(yàn)波形的比較 (a) a/h=—0.2028;(b) a/h=—0.1362;(c) a/h=—0.0584Fig.3.Comparison of theoretical and experimental waveforms for KdV,eKdV,MCC and aHOU models: (a) a/h=—0.2028;(b) a/h=—0.1362;(c) a/h=—0.0584.

3.2 穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波理論解特性

通過對(duì)KdV,eKdV,aHOU 和MCC 方程4 類穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波理論解特性進(jìn)行定量分析,進(jìn)一步探究單向傳播內(nèi)孤立波理論模型的適用性.數(shù)值計(jì)算過程中,實(shí)驗(yàn)環(huán)境參數(shù)不變.圖4(a)給出了當(dāng)h1/h2=1∶4 時(shí),4 類穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波理論解的有效波長(zhǎng)λ/h隨振幅|a|/h的變化特性.圖4(b)給出了波速c/c0隨振幅|a|/h的變化特性.由圖4 可知,當(dāng)|a|/h ＜0.025時(shí),KdV,eKdV,aHOU 的有效波長(zhǎng)和波速均與MCC 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波的有效波長(zhǎng)和波速契合良好.KdV 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波不存在理論極限振幅,當(dāng)|a|/h ＞0.025,KdV 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波的有效波長(zhǎng)及波速隨著振幅的增大與MCC 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波的有效波長(zhǎng)和波速偏離的程度越大.eKdV,aHOU 和MCC 均為有限振幅內(nèi)孤立波理論.由圖4(a)可知,eKdV 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波理論極限振幅=0.2965小于MCC 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波理論極限振幅=0.2965 .但aHOU 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波的理論極限振幅與=0.2965 接近.由圖4(a),(b)進(jìn)一步可知,當(dāng)時(shí),eKdV 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波的有效波長(zhǎng)及波速與MCC 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波的有效波長(zhǎng)和波速符合,而在整個(gè)MCC 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波理論極限振幅范圍內(nèi),aHOU 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波的有效波長(zhǎng)及波速與MCC 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波的有效波長(zhǎng)及波速符合.

圖4 KdV,eKdV,aHOU 與MCC 方程的穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波 (a) 有效波長(zhǎng) λ /h 隨振幅 | a|/h 的變化;(b) 波速 c /c0 隨振幅 | a|/h 的變化Fig.4.Variation characteristics for KdV,eKdV,aHOU and MCC models: (a) The effective wavelength λ /h with amplitude | a|/h ;(b) the wave speed c /c0 with amplitude | a|/h .

進(jìn)一步考慮KdV,eKdV 和aHOU 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波波形與MCC 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波波形的吻合度.為此,在 [—a,0) 范圍內(nèi)取N個(gè)值,設(shè)為,其中,n=1,2,3,···,N,A表示內(nèi)孤立波理論類型,如A=MCC,即表示MCC 方程內(nèi)孤立波位移ζ的取值.設(shè)與ζn對(duì)應(yīng)的X(X＞ 0) 值為Xn,定義A型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波與MCC 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波波形的誤差為

首先分析KdV 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波與MCC 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波的符合度.圖5 給出了當(dāng)|a|/h=0.010,0.015,0.020 和0.100 時(shí),KdV 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波與eKdV,HOU,MCC 型穩(wěn)態(tài) 內(nèi)孤立 波波形的比較.結(jié)合圖5,由表1 可知,當(dāng)|a|/h ＜0.025 時(shí),KdV 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波波形與MCC 理論模型符合良好,誤差ΔeKdV均達(dá)到 1 0-2量級(jí).當(dāng)|a|/h≥0.025時(shí),其波形與MCC 理論模型符合情況逐漸變差.由圖4 可知,KdV 理論不存在極限振幅.在KdV理論模型中,色散性精確到一階色散項(xiàng)O(μ) (即弱色散條件),非線性精確到O(ε) (即平方非線性條件),滿足非線性與色散性的平衡條件.由此可知,KdV 模型僅適用于表征波幅較小的內(nèi)孤立波.

表1 三類孤立波理論穩(wěn)態(tài)解波形的契合度Table 1. Waveform fitness of three theoretical models.

圖5 KdV 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波與eKdV,aHOU 和MCC 型方程穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波波形的比較 (a) | a|/h =0.010;(b) | a|/h =0.015;(c) | a|/h =0.020;(d) | a|/h =0.100Fig.5.Comparison of steady-state internal solitary waveform of KdV,eKdV,aHOU and MCC models: (a) | a|/h =0.010;(b)|a|/h=0.015;(c) | a|/h =0.020;(d) | a|/h =0.100.

接下來分析 eKdV 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波與MCC 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波的吻合度.圖6 給出了當(dāng)|a|/h=0.015,0.030,0.040 和0.100 時(shí),eKdV 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波與aHOU,MCC 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波波形的比較.結(jié)合圖6,由表1 可知,當(dāng)|a|/h≤0.045 時(shí),eKdV 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波波形與MCC 理論模型吻合良好,誤差ΔeKdV均達(dá)到 1 0-2量級(jí).當(dāng)|a|/h ＞0.045 時(shí),其波形與MCC 理論模型吻合情況較差.由此可見,eKdV 模型并不是表征MCC 型內(nèi)孤立波最有效的單向傳播內(nèi)孤立波理論模型.

圖6 eKdV 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波與aHOU 和MCC 型方程穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波波形的比較 (a) | a|/h =0.015;(b) | a|/h =0.030;(c)|a|/h=0.040;(d) | a|/h =0.100Fig.6.Comparison of steady-state internal solitary waveform of eKdV,aHOU and MCC models: (a) | a|/h =0.015;(b) | a|/h =0.030;(c) | a|/h =0.040;(d) | a|/h =0.100.

最后考慮aHOU 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波與MCC 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波波形的吻合度.圖7 給出了當(dāng)|a|/h=0.015,0.030,0.070,0.110,0.150 和0.290 時(shí),aHOU型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波與MCC 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波波形的比較.由表1 并結(jié)合圖7 可知,在MCC 穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波理論極限范圍內(nèi),兩者的波形均吻合良好,ΔaHOU均達(dá)到 1 0-2量級(jí).MCC 理論模型是在弱色散和完全非線性條件下建立的,而在aHOU 理論中,對(duì)色散性精確到O(μ) (即弱色散條件),而對(duì)非線性精確到O(ε2) (即立方非線性條件),且同時(shí)考慮了非線性和色散性的耦合項(xiàng)O(εμ) .由此可見,用單向傳播內(nèi)孤立波理論模型aHOU 來表征MCC 型內(nèi)孤立波可行且有效.

圖7 aHOU 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波與MCC 型方程穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波波形的比較 (a) | a|/h =0.015;(b) | a|/h =0.030;(c) | a|/h =0.070;(d) | a|/h =0.110;(e) | a|/h =0.150;(f) | a|/h =0.290Fig.7.Comparison of the steady-state internal solitary waveform between aHOU and MCC models: (a) | a|/h =0.015;(b) | a|/h =0.030;(c) | a|/h =0.070;(d) | a|/h =0.110;(e) | a|/h =0.150;(f) | a|/h =0.290.

4 KdV,eKdV 和aHOU 內(nèi)孤立波理論模型的穩(wěn)定性

探究3 類內(nèi)孤立波方程的穩(wěn)定性問題,即在平坦地形的情況下,分別用KdV,eKdV 和aHOU 型穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波作為初始波,并用其各自內(nèi)孤立波理論模型進(jìn)行傳播,研究初始波在傳播過程中的波形變化特性.在數(shù)值計(jì)算過程中,空間上采用二階中心差分方法,時(shí)間上采用四階Runge-Kutta 方法.

針對(duì)aHOU 方程,圖8(a)給出了當(dāng)0 ≤t(h/g)1/2≤3000 時(shí),初始波幅為a/h=-0.25 的內(nèi)孤立波傳播過程中波高-ζ/h隨時(shí)間t(h/g)1/2的變化特性.在數(shù)值計(jì)算過程中,以aHOU 方程的理論波速作為移動(dòng)參考系的速度.由圖8(a)可知,當(dāng)0 ≤t(h/g)1/2≤3000時(shí),在數(shù)值求解aHOU 方程的過程中,內(nèi)孤立波的波幅和波形始終保持不變,且未發(fā)生相位移的改變,進(jìn)一步表明波速始終保持不變.由此可見,文中選取的數(shù)值格式穩(wěn)定有效,且aHOU 型單向傳播內(nèi)孤立波理論模型可用于描述aHOU 型內(nèi)孤立波的傳播過程.圖8(b),(c)分別給出了利用eKdV和KdV 方程模擬初始波幅為a/h=-0.05 的內(nèi)孤立波在傳播過程中波高-ζ/h隨時(shí)間t(h/g)1/2的變化特性,進(jìn)一步分析可知,KdV,eKdV 和aHOU型單向傳播內(nèi)孤立波理論模型分別適用于傳播其各自穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波.

圖8 當(dāng) 0 ≤t(h/g)1/2 ≤3000 時(shí),- ζ/h 隨 t (h/g)1/2 的變化特性 (a) aHOU 方程;(b) eKdV 方程;(c) KdV 方程Fig.8.Variation characteristics of - ζ/h witht (h/g)1/2 when 0 ≤t(h/g)1/2 ≤3000 : (a) aHOU model;(b) eKdV model;(c) KdV model.

5 結(jié)論

本文基于原始單向傳播內(nèi)孤立波理論模型,通過調(diào)整方程中各項(xiàng)系數(shù),進(jìn)而更好地描述內(nèi)孤立波的色散效應(yīng)、非線性效應(yīng)以及非線性和色散項(xiàng)的耦合效應(yīng),提出了aHOU 模型.采用漸近匹配方法,通過將aHOU 方程的線性色散關(guān)系、最大振幅與最大波速以及最大振幅處有效波長(zhǎng)與MCC 方程相匹配,進(jìn)而確定aHOU 方程中各項(xiàng)系數(shù).

由系列實(shí)驗(yàn)結(jié)果,表明在MCC 理論極限振幅范圍內(nèi),aHOU 理論適用于表征小振幅、中等振幅和大振幅內(nèi)孤立波.通過對(duì)KdV,eKdV 和aHOU方程與 MCC 方程穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波解特性進(jìn)行定量分析,進(jìn)一步表明KdV 模型僅適用于表征波幅較小的MCC 型內(nèi)孤立波,且eKdV 模型不是最有效的用于表征MCC 型內(nèi)孤立波的單向傳播內(nèi)孤立波理論,而在aHOU 理論中,對(duì)色散性精確到O(μ)(即弱色散條件),而對(duì)非線性精確到O(ε2) (即立方非線性條件),且同時(shí)考慮了非線性和色散性的耦合項(xiàng)O(εμ),由此用單向傳播內(nèi)孤立波理論模型aHOU 來表征MCC 型內(nèi)孤立波是可行且有效的.此外,研究發(fā)現(xiàn)KdV,eKdV 和aHOU 型單向傳播內(nèi)孤立波理論模型分別適用于傳播其各自穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波.

鑒于此,aHOU 方程可作為統(tǒng)一的高階單向傳播內(nèi)孤立波理論模型,表征小振幅、中等振幅和大振幅穩(wěn)態(tài)內(nèi)孤立波及其傳播演化過程,解決了已有單向傳播理論模型均未能表征大振幅內(nèi)孤立波的缺陷,將單向傳播內(nèi)孤立波理論模型拓寬至強(qiáng)非線性范疇.