宇稱-時間對稱與反對稱研究進展*

唐原江 梁超 劉永椿

1) (清華大學物理系,低維量子物理國家重點實驗室,北京 100084)

2) (教育部量子信息前沿科學中心,北京 100084)

在標準量子力學中,描述物理系統(tǒng)的哈密頓量一般是厄米的,以保證系統(tǒng)具有實能譜及系統(tǒng)演化的幺正性.近些年來,研究發(fā)現(xiàn)具有宇稱-時間(parity-time,P T)對稱特性的非厄米哈密頓量也具有實能譜,并且在PT 對稱相和 PT 對稱破缺相之間存在一個新奇的非厄米奇異點,這是厄米系統(tǒng)所不具有的.最近,人們在各種各樣的物理系統(tǒng)中實現(xiàn)了 PT 對稱和 PT 反對稱的非厄米哈密頓量,并演示了新奇的量子現(xiàn)象,這不僅加深了對基本量子物理規(guī)律的理解,也促進了應(yīng)用技術(shù)的突破.本綜述將介紹 PT 對稱和 PT 反對稱的基本物理原理,總結(jié)在光學系統(tǒng)和原子系統(tǒng)中實現(xiàn) PT 對稱和 PT 反對稱的方案,并回顧利用 PT 對稱系統(tǒng)非厄米奇異點進行精密傳感的研究.

1 引言

標準的量子力學對系統(tǒng)進行描述時引入了一條基本假設(shè): 系統(tǒng)的哈密頓量為厄米的.這一基本假設(shè)保證了系統(tǒng)的能量本征值為實數(shù),同時也保證了系統(tǒng)的量子態(tài)在演化過程中的概率守恒.一直以來,非厄米的哈密頓量僅被用來唯象地描述耗散系統(tǒng),然而,研究者們在非厄米哈密頓量中找到了大量具有實數(shù)本征值的算符,這引發(fā)了對非厄米哈密頓量的極大關(guān)注[1].1998 年,Bender 和Boettcher[2]提出空間反演(P)和時間反演(T)共同作用下不變的非厄米哈密頓量也可以有實數(shù)本征值(此類算符被簡稱為PT算符).隨著系統(tǒng)參量的變化,PT算符描述的系統(tǒng)可以處于PT對稱相或者PT破缺相,處于PT對稱相的系統(tǒng)具有實數(shù)的本征值,處于PT破缺相的系統(tǒng)有一對共軛的本征值,兩個相的分界點為非厄米系統(tǒng)特有的奇異點(exceptional point,非厄米奇異點)[3],在該點處系統(tǒng)的本征態(tài)和本征值同時合并在一起.

PT對稱性的研究引領(lǐng)了理論物理各個領(lǐng)域的新發(fā)展,包括量子場論[4]、李代數(shù)[5]等.PT對稱的概念被引入光學系統(tǒng)后,很快成為了研究的熱點.隨著PT對稱光學系統(tǒng)的構(gòu)建和對其特性的深入研究,發(fā)現(xiàn)了基于PT對稱的大量新奇效應(yīng)和應(yīng)用,例如雙折射[6]、功率振蕩[7-9]、非互易性光傳播[10-12]、單向不可見性[13-15]、單模激光器[16,17],軌道角動量激光器[18,19]等.除了光學系統(tǒng)外,人們也在其他各種系統(tǒng)中對PT對稱展開了廣泛的研究,如原子系統(tǒng)[20,21]、電子學系統(tǒng)[22-24]、NV 色心系統(tǒng)[25]、光力學系統(tǒng)[26,27]、聲學系統(tǒng)[28,29]和微波系統(tǒng)[30]等.

隨著對PT對稱系統(tǒng)研究的深入,人們又提出了具有PT反對稱特性的新系統(tǒng)[31-41].PT對稱系統(tǒng)的哈密頓量在P和T的聯(lián)合操作下形式不變,作為與PT對稱相對偶的概念,PT反對稱系統(tǒng)的哈密頓量在P和T聯(lián)合操作下形式與原來相反,出現(xiàn)一個負號.PT反對稱系統(tǒng)呈現(xiàn)出與PT對稱系統(tǒng)對偶的特性,例如PT對稱系統(tǒng)中的無損耗傳播對應(yīng)到PT反對稱系統(tǒng)中就是無折射傳播,這為光的控制提供了嶄新的概念和技術(shù)手段,大大擴展了非厄米光學的研究范圍.

目前已有許多相關(guān)綜述,例如,光學和光子學中的PT對稱綜述[42-47]、利用相干原子實現(xiàn)PT對稱綜述[48],基于PT對稱的人工合成激光綜述[49]、PT對稱中的非線性綜述[50,51]等.本文的側(cè)重點主要是綜合PT對稱和PT反對稱兩種系統(tǒng),以展現(xiàn)兩者的諸多類似之處以及各自的獨特性質(zhì).

本文首先介紹了PT對稱與PT反對稱哈密頓量,然后介紹在光學系統(tǒng)和原子系統(tǒng)中PT對稱的實現(xiàn),進而介紹光學系統(tǒng)和原子系統(tǒng)PT反對稱的典型研究,以及基于PT對稱系統(tǒng)中非厄米奇異點的精密傳感研究.

2 PT 對稱與反對稱哈密頓量

在量子力學中,可觀測物理量需要用厄米算符來表示,因此系統(tǒng)的哈密頓量也需要用厄米算符表示,這不僅可以確保其本征值為實數(shù),而且可以確保波函數(shù)隨時間的演化過程中的模值不變[52].1998 年,Bender 和Boettcher[2]提出空間反演P和時間反演T共同作用下不變的非厄米哈密頓量也可以有實數(shù)的本征值.在空間反演變換下,坐標和動量算符有如下變換:

其中,r和p分別為坐標算符和動量算符.在時間反演變換下:

則系統(tǒng)的哈密頓量滿足PT對稱性.由以上對易關(guān)系系統(tǒng)的哈密頓算符滿足PT對稱的一個必要條件,是其中的勢能項滿足:

考慮二能級(模式)系統(tǒng),如圖1(a)所示,兩個模式耦合構(gòu)成的系統(tǒng)可以被如下PT對稱哈密頓量描述:

圖1 P T 對稱系統(tǒng)(a)與 PT 反對稱系統(tǒng)(b)示意圖Fig.1.Schematic diagram of PT -symmetric system (a)and anti-P T symmetric system (b).

其中,兩個共振模式的能量由能級ε描述,兩個模式分別為增益和耗散模式,增益和耗散速率由γ描述,兩個模式間的耦合系數(shù)為κ.

與PT對稱系統(tǒng)相比,PT反對稱系統(tǒng)的非厄米哈密頓算符H滿足如下反對易關(guān)系:

以二能級(模式)系統(tǒng)為例,如圖1(b)所示,相應(yīng)的PT反對稱哈密頓量為

其中,兩個模式的能級偏移分別為-δ和δ,增益或者耗散速率由|τ|描 述,兩個模式間的耦合系數(shù)為 iκ.

3 光學系統(tǒng)中的 PT 對稱

基于光學傍軸波動方程和量子力學薛定諤方程之間的形式等價性,人們提出了在光學框架內(nèi)實現(xiàn)PT對稱勢的方案[6,14,53].例如,考慮光波導(dǎo)中的光場傳輸方程:

其中,E(x,z) 為電場強度的慢變振幅,k=k0n0為介質(zhì)中的波矢,k0=2π/λ0為真空中的波矢,λ0為真空中的波長,n0為介質(zhì)折射率(系統(tǒng)的折射率分別為n0+nR(x)+inI(x)).方程(12)與如下薛定諤方程具有相同的形式:

其中ψ(x,t) 為波函數(shù),? 為普朗克常數(shù),μ為粒子質(zhì)量,V(x) 為勢能函數(shù).對比兩個方程得到對應(yīng)關(guān)系為

由于折射率分布與量子力學的勢能部分相對應(yīng),由方程(7)中PT對稱系統(tǒng)的勢能項滿足的關(guān)系可以得出,PT對稱光學系統(tǒng)的折射率實部為坐標x的偶函數(shù),折射率的虛部為坐標x的奇函數(shù):

2010 年,Rüter 等[9]提出了PT對稱的耦合波導(dǎo)光學系統(tǒng)并進行了實驗研究.如圖2 所示,系統(tǒng)為兩波導(dǎo)耦合系統(tǒng),其中一個波導(dǎo)中的光具有大小為γ的損耗系數(shù),對另一個波導(dǎo)進行泵浦,使該波導(dǎo)中的光獲得大小為γ的有效增益系數(shù),從而構(gòu)造出了滿足PT對稱的復(fù)折射率分布.通過耦合模方法,兩個耦合波導(dǎo)中的光場動力學可以用下面的方程描述:

圖2 傳統(tǒng)和 PT 對稱耦合光學系統(tǒng) (a) 復(fù)折射率的實部(n R,紅線)和虛部(nI,綠線)分布;(b) 傳統(tǒng)和PT 對稱系統(tǒng)的疊加態(tài);(c) 對于傳統(tǒng)和 PT 對稱系統(tǒng),當系統(tǒng)在通道1 或通道2 處被激發(fā)時的光波傳播情況 [9]Fig.2.Conventional and PT -symmetric optical systems: (a) The distribution of real part (n R,red line) and imaginary part (nI green line) of the complex refractive index;(b) superposition state of conventional and PT-symmetric systems;(c) light wave propagation when the system is excited at channel 1 or channel 2 [9].

其中E1和E2分別表示波導(dǎo)1 和波導(dǎo)2 中模式場的幅值,κ為兩個波導(dǎo)模式的耦合系數(shù).系統(tǒng)可以用如下的哈密頓量描述:

當γ＜2κ時,系統(tǒng)處于PT對稱相,系統(tǒng)的本征值為

其中 s inθ=γ/2κ.此時兩個本征值的虛部為零,實部劈裂,相應(yīng)的本征態(tài)為

顯然,處于PT對稱相的模式滿足|E1|=|E2|,這意味著本征態(tài)的強度在兩個波導(dǎo)中均勻分布,因此模式經(jīng)歷了平衡的增益和損耗,導(dǎo)致其本征值的虛部為零.此外,隨著γ/2κ從0 增大到1,θ從0 逐漸增大到 π /2 .

當γ＞2κ時,系統(tǒng)處于PT對稱破缺相,系統(tǒng)的本征值為

其中 c oshθ′=γ/(2κ) .此時兩個本征值的實部相等,虛部劈裂,相應(yīng)的本征態(tài)為

處于PT對稱破缺相的系統(tǒng),隨著γ/(2κ) 從1 開始逐漸增大,θ′從0 開始逐漸增大,顯然,|E12|,這意味著一個本征態(tài)主要局域在增益波導(dǎo),另一個本征態(tài)主要局域在損耗波導(dǎo),導(dǎo)致本征值的虛部劈裂.

當γ=2κ時,系統(tǒng)處于PT對稱相與PT對稱破缺相的相變點,即為非厄米奇異點,系統(tǒng)的本征值為

此時本征值的實部和虛部同時合并,相應(yīng)的本征態(tài)為

處于非厄米奇異點的系統(tǒng),不僅本征值合并在一起,本征態(tài)也合并為同一個模式.

與厄米系統(tǒng)不同,這些本征模不再是正交的,這對光束動力學有重要影響,例如會產(chǎn)生非對稱傳輸特性和功率振蕩等現(xiàn)象.對于傳統(tǒng)的厄米系統(tǒng),兩個本征模(對稱和反對稱,見圖2(b))的任何疊加都會導(dǎo)致對稱的波傳播: 顯然,圖2(c)的上部分圖中的光場分布具有左右對稱性.當耦合系統(tǒng)涉及增益/損耗時,系統(tǒng)的特性與厄米系統(tǒng)的特性不再相同.在PT對稱相,隨著γ/(2κ) 從0 開始增大,本征態(tài)的兩個模式分量之間的相對相位差分別從0 和 π 處的初始值逐漸增大,當γ/(2κ) 增大到1 時,系統(tǒng)處于非厄米奇異點.此時光傳播表現(xiàn)出非對稱傳輸特性: 將輸入通道從波導(dǎo)1 交換到波導(dǎo)2 時,獲得了完全不同的輸出狀態(tài).在PT對稱破缺相,無論光從波導(dǎo)1 輸入還是從波導(dǎo)2 輸入,光總是從波導(dǎo)1 輸出,再次表現(xiàn)出了非對稱傳輸?shù)奶匦?見圖2(c)底部的圖).這是因為系統(tǒng)的本征值為復(fù)數(shù),相應(yīng)的模式振幅指數(shù)增大或者耗散,只有一個模式存留下來.

4 原子系統(tǒng)中的 PT 對稱

近年來,研究發(fā)現(xiàn)在原子系統(tǒng)中也可以實現(xiàn)PT對稱.中山大學羅樂課題組[54]與中國人民大學張威、張翔課題組[55]分別利用超冷原子和單個囚禁離子構(gòu)造了PT對稱系統(tǒng),并對其量子演化過程進行了測量,同時引入周期性的含時系統(tǒng)哈密頓量,對系統(tǒng)的相圖等進行研究,如圖3 所示.下面將以在單個囚禁離子系統(tǒng)中的實現(xiàn)方案為例進行說明.

考慮具有PT對稱性的單量子比特非厄米哈密頓量:

囚禁離子系統(tǒng)是量子模擬、量子計算等研究平臺之一,具有與環(huán)境耦合小、參數(shù)可控性高等優(yōu)點,可以進行量子態(tài)層析投影測量,能夠測量態(tài)占據(jù)數(shù)和密度矩陣相干項的演化(見圖3(c)).由此出發(fā),該課題組發(fā)現(xiàn)了兩組和實驗參數(shù)無關(guān)的初態(tài)和測量態(tài),可以直接由體系演化測量結(jié)果得到體系的能量值,而體系能量值為零的點對應(yīng)該體系的非厄米奇異點.在此基礎(chǔ)上,課題組引入周期性的驅(qū)動和耗散,將定態(tài)哈密頓量擴展為含時哈密頓量,并測量了系統(tǒng)的能量和相圖(圖3(d)),而且觀測到系統(tǒng)哈密頓量的周期與量子態(tài)耦合強度滿足一定條件下發(fā)生的多光子共振現(xiàn)象.

圖3 (a) 在冷原子系統(tǒng)中實現(xiàn) PT 對稱的示意圖[54];(b) 在單個囚禁離子系統(tǒng)中實現(xiàn) PT 對稱的鐿離子 1 71Yb+ 的能級示意圖[55];(c) 系統(tǒng)密度矩陣測量圖[55];(d) 系統(tǒng)的相圖[55],紅色和黃色區(qū)域?qū)?yīng) PT 對稱相,藍色區(qū)域?qū)?yīng) PT 對稱破缺相Fig.3.(a) Schematic diagram of realizing PT symmetry in cold atom system[54];(b) schematic diagram of energy levels of ytterbium ion 1 71Yb+ for realizing PT symmetry in a single trapped ion system[55];(c) system density matrix measurement diagram[55];(d) the phase diagram of the system[55].The red and yellow areas correspond to the PT -symmetric phase,and the blue area corresponds to the PT -symmetry-broken phase.

5 光學系統(tǒng)中的 PT 反對稱

PT反對稱光學系統(tǒng)有很多奇特的性質(zhì),如連續(xù)譜激光[34]、光完全單向無反射傳播[33]、模式選擇的光放大[32]和散射中心決定的散射特性[40,41]等.2017 年,清華大學尤力、劉永椿課題組[31]提出了利用間接耗散耦合在光學系統(tǒng)中實現(xiàn)PT反對稱哈密頓量的方法.2019 年,吉林大學張旭霖課題組、香港科技大學陳子亭課題組[37]利用該方法在波導(dǎo)系統(tǒng)中實現(xiàn)了光的手性傳輸.

圖4 (a) 耦合波導(dǎo)示意圖;(b) 耦合波導(dǎo)的截面示意圖,波導(dǎo) c 紅色部分表示存在較大耗散;(c),(d) 波導(dǎo)本征模式的特性;(e) 波導(dǎo)場強的特性;數(shù)據(jù)點是有限元模擬結(jié)果,實線是理論計算結(jié)果[31]Fig.4.(a) Schematic diagram of coupled waveguide;(b) cross section diagram of coupled waveguide,the red part of waveguide c indicates large dissipation;(c),(d) characteristics of waveguide eigenmodes;(e) property of waveguide field strength.Data points are finite element simulation results,and solid lines are theoretical calculation results[31].

PT相變過程會顯著改變系統(tǒng)的傳輸特性,利用演化算符U(z)=e-iHz可以得到在兩個相中的分束比例隨著光沿z方向傳播的變化:

時域的PT反對稱同樣可利用間接耦合在光學微腔(如圖6(a),(b))中進行構(gòu)建.用來描述系統(tǒng)的狀態(tài),系統(tǒng)的演化方程可以寫成i?tΨ=HΨ,其中

圖5 波導(dǎo)內(nèi)的光場演化圖 [31] (a),(b) PT 對稱相和 PT 對稱破缺相的傳播特性,數(shù)據(jù)點是有限元模擬結(jié)果,實線是理論計算結(jié)果;(c) 傳統(tǒng)厄米系統(tǒng)和 PT 反對稱系統(tǒng)的光場分布對比圖;(d) 分束比例對波長的依賴特性,紅色線是 PT 反對稱系統(tǒng),藍色線是傳統(tǒng)厄米系統(tǒng)Fig.5.Evolution diagram of light field in the waveguides[31]: (a) (b) The propagation characteristics of PT -symmetric phase and PT-symmetry-broken phase,respectively,the data points are the result of finite element simulation,and the solid lines are the result of theoretical calculation;(c) comparison diagram of light field distribution between traditional Hermitian system and anti-PTsymmetric system;(d) the dependence of beam splitting ratio on wavelength,the red line is the anti-P T -symmetric system,and the blue line is the traditional Hermitian system.

圖6 光學微腔構(gòu)型I (a)和構(gòu)型II (b)及相應(yīng)本征頻率在復(fù)平面上的演化(c)(d),數(shù)據(jù)點是有限元模擬結(jié)果,實線是理論計算結(jié)果 [31]Fig.6.Optical microcavity configuration I (a) and configuration II (b) and the corresponding eigenfrequencies on the complex plane.Data points are finite element simulation results,and solid lines are theoretical calculation results[31].

6 原子系統(tǒng)中的 PT 反對稱

2016 年,復(fù)旦大學肖艷紅課題組[38]在原子系統(tǒng)中實現(xiàn)了宇稱-時間反對稱的哈密頓量.在該研究中,利用原子的熱運動構(gòu)建了光學模式之間的耦合.如圖7(a)所示,實驗在87Rb 原子氣室中進行,溫度約為40 ℃.氣室的內(nèi)表面覆蓋著不破壞量子態(tài)相干的石蠟,這使原子能夠經(jīng)受數(shù)千次與壁的碰撞,而不會破壞其內(nèi)部量子態(tài).原子蒸汽室被封裝在一個四層屏蔽層內(nèi),從而屏蔽環(huán)境磁場.在屏蔽層內(nèi)部,利用螺線管產(chǎn)生均勻的磁場,該磁場可誘導(dǎo)一個塞曼位移δB到雙光子失諧上.利用半波片(HWP)和偏振分束器(PBS)將來自腔外半導(dǎo)體激光器(ECDL)的一束激光分為4 束.探測光和控制光(具有正交線性偏振)首先通過1/4 波片(QWP)重新組合并轉(zhuǎn)換為圓偏振,然后被引導(dǎo)到兩個相距1 cm 的光學通道(稱為Ch1 和Ch2).Ch1 和Ch2的能級結(jié)構(gòu)如圖7(b)所示,Ch1 和Ch2 中的右旋圓偏振控制場分別與躍遷|1〉→|3〉共振;而Ch1 和Ch2 中的左旋圓偏振控制場分別與躍遷|2〉→|3〉近似共振,但與共振頻率在相反方向上偏移了相同的大小|Δ0|,其中Δ0是探測光和控制光頻率之間的差值.Δ0利用聲光調(diào)制器產(chǎn)生,為了穩(wěn)定探測光和控制光之間的相位關(guān)系,所有聲光調(diào)制器都由彼此間相位固定不變的振蕩器驅(qū)動.在每個通道中,共同傳播的探針光和控制光構(gòu)建了 Λ 型EIT 效應(yīng),并產(chǎn)生了壽命約為100 ms的基態(tài)相干性.一個光通道中的光和原子相互作用,改變了原子的量子態(tài),然后該原子通過熱運進入另外一個光通道,與另一個通道的光相互作用,將之前通道內(nèi)的光的信息傳遞給這束光,從而實現(xiàn)了兩個通道內(nèi)的光模式之間的間接耦合.兩個自旋波通過氣室中87Rb 原子的運動自然耦合,在一些特定的近似下,兩個集體自旋波激發(fā)的動力學可以由以下非厄米哈密頓量Heff來描述:

圖7 (a) 通過熱 87Rb 蒸汽池中的快速原子相干傳輸,實現(xiàn) PT 反對稱 性的示意圖;(b) 兩個通道中的三能級Λ型EIT 構(gòu)型 [38]Fig.7.(a) Schematic diagram of realizing anti-P T -symmetry through fast atomic coherent transmission in hot 87Rb vapor cell;(b) three level Λ-type EIT configuration in two channels[38].

此 2×2 哈密頓量H滿足{PT,H}=0,為PT反對稱的哈密頓量.

該工作在實驗上能觀察到了相變現(xiàn)象,在對稱相,兩個光模式的諧振峰位置完全重合;在對稱破缺相,兩個光模式的諧振峰位置劈裂.由于原子的量子態(tài)壽命較長,因此相變的觀測精度達到了1 Hz 級別.在此PT反對稱系統(tǒng)中,在體系對稱性破缺前,雖然兩束光經(jīng)過的介質(zhì)的折射率不同,但實現(xiàn)了無折射傳播.

7 基于非厄米奇異點的傳感

由于PT對稱與反對稱系統(tǒng)中存在非厄米奇異點,因此在精密傳感領(lǐng)域有重要的應(yīng)用價值.在厄米系統(tǒng)中,微擾(|ε|?1)引起的本征譜的偏移或劈裂最多與微擾ε自身在一個階次上.對于N個模式合并所對應(yīng)的N階非厄米奇異點,本征頻率分裂 Δω對外界微擾具有ε1/N的依賴關(guān)系.當外界微擾|ε|?1 時,與厄米系統(tǒng)相比,在非厄米系統(tǒng)的奇異點附近可以極大地提高對外界微擾的探測靈敏度.理論與實驗結(jié)果表明,二階非厄米奇異點可以增強諧振模式對外部擾動的敏感性[56,57],而使用更高階非厄米奇異點在原則上可以進一步提高系統(tǒng)對外界微擾響應(yīng)的靈敏度.

2017 年,美國Khajavikhan 課題組[58]利用耦合腔構(gòu)造了具有3 個模式的PT對稱系統(tǒng),實驗證明了系統(tǒng)中存在高階非厄米奇異點,且系統(tǒng)對外界微擾的響應(yīng)表現(xiàn)出對微擾強度的立方根特性.如圖8 所示,系統(tǒng)由3 個諧振腔組成: 增益腔和損耗腔被無增益和損耗的中性腔隔開,兩側(cè)的環(huán)形腔的增益和損耗強度相等,環(huán)形腔之間以相同的耦合強度交換能量.此PT對稱系統(tǒng)的模場的演化由如下方程決定:

圖8 (a) 3 個等距微環(huán)腔構(gòu)成的 PT 對稱系統(tǒng)示意圖,兩側(cè)的諧振腔具有平衡的增益和損耗,而中間的諧振腔是中性的;(b) 系統(tǒng)處于三階非厄米奇異點的激光模式的強度分布;(c) 相鄰激光譜線之間的分裂隨微擾強度 ε 的變化,數(shù)據(jù)點是實驗測量結(jié)果,實線是理論計算結(jié)果[58]Fig.8.(a) Schematic diagram of PT -symmetric system composed of three equidistant micro-ring cavities,the resonators on both sides have balanced gain and loss,while the resonators in the middle are neutral;(b) the intensity distribution of the laser mode with the system at the third-order non-Hermitian exception point;(c) splitting between adjacent laser spectral lines with perturbation intensity ε .Data points are experimental measurement results,and solid lines are theoretical calculation results[58].

其中,g和-g分別描述增益和損耗,ε為在增益環(huán)形腔上加的外界微擾.

當系統(tǒng)不存在微擾時(ε=0 ),假設(shè)V對時間的依賴關(guān)系為,則系統(tǒng)本征頻率可以通過求解如下方程得到:

當系統(tǒng)環(huán)形腔的增益和損耗強度g和環(huán)形腔之間的耦合強度κ滿足時,系統(tǒng)的3 個本征頻率合并為相同的ωn=0,與此同時,系統(tǒng)3 個本征矢量合并為相同的其中A0為歸一化常數(shù).此時系統(tǒng)處于三階非厄米奇異點,當系統(tǒng)受到微擾ε時,系統(tǒng)的本征頻率頻率發(fā)生劈裂,該課題組求解得到了系統(tǒng)本征頻率對外界微擾依賴關(guān)系的近似解析表達式,并進行了數(shù)值求解驗證,在此基礎(chǔ)上,該課題組實驗證明了系統(tǒng)相鄰本征頻率的劈裂與微擾強度之間具有三次方根的形式.這表明,與傳統(tǒng)的微腔傳感器相比,此系統(tǒng)對足夠小的微擾的探測靈敏度有極大提高.

盡管這些實驗已經(jīng)證明在奇異點處可以獲得劈裂增強,但沒有仔細考慮噪聲的變化.之后的一些分析顯示奇異點附近的噪聲也得到了增強,因此對于信噪比來說并沒有提高[59].目前,相關(guān)方面的研究仍然在進行中,例如在文獻 [60]中通過發(fā)展量子噪聲理論來計算奇異點傳感器的信噪比性能,利用量子Fisher 信息來確定信噪比的下限,結(jié)果表明奇異點傳感器是有可能改善信噪比的,在實驗方面,基于奇異點探測器增強的Sagnac 效應(yīng)[61],基于六階奇異點PT對稱電路的靈敏度增強傳感[62],基于奇異點增強信噪比的加速度計[63]等實驗也已經(jīng)實現(xiàn).

8 總結(jié)與展望

本文介紹了PT對稱和反對稱的基本物理原理,主要回顧了PT對稱和反對稱在光學系統(tǒng)和原子系統(tǒng)中的理論和實驗實現(xiàn),并介紹了基于非厄米奇異點的精密傳感研究.在未來,關(guān)于PT對稱和反對稱的研究有望進一步加深對相關(guān)基礎(chǔ)理論的理解,以及在多個領(lǐng)域獲得應(yīng)用.

在理論方面,盡管PT對稱量子力學的數(shù)學形式已經(jīng)比較完善,但大部分研究中只考慮了經(jīng)典區(qū)域,例如將經(jīng)典波動方程寫成類似于薛定諤方程的形式.如果進一步考慮更一般性的量子效應(yīng),有可能揭示更加豐富的物理.例如,由于PT對稱與反對稱系統(tǒng)中具有增益和耗散,這與量子漲落-耗散定理、量子噪聲等有本質(zhì)聯(lián)系,因此可以探索系統(tǒng)中的量子漲落和噪聲等[64,65].

PT對稱的相關(guān)變體也PT大的研究價值.例如,PT對稱中的操作可以被另一種空間操作(例如旋轉(zhuǎn))所取代[66,67].這將進一步擴展相關(guān)領(lǐng)域.此外,基于PT對稱啟發(fā)的對稱范式,如超對稱性、非厄米粒子-空穴對稱性[68]等也是一個重要的發(fā)展方向.例如,超對稱性可為設(shè)計光學結(jié)構(gòu)提供有效的工具[69],在光通信等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用[70].不僅如此,近年來,在光學系統(tǒng)中非PT對稱復(fù)勢(即的研究也引起了關(guān)注,在這種情況下也可以保證哈密頓量具有實能譜[71-73],可以實現(xiàn)單向無反射的光傳輸[74],非局域孤子[75]等.

除了在理論方面的發(fā)展,在具體應(yīng)用方面,PT對稱的光子系統(tǒng)可能為未來集成光子學器件的實現(xiàn)提供一條新的途徑.實際應(yīng)用的物理器件不可避免地與環(huán)境有耦合導(dǎo)致耗散的存在,而PT對稱系統(tǒng)可以巧妙地設(shè)計增益模式,可以有效地補償損耗或者放大光脈沖,也可以設(shè)計高效可集成的新型光開關(guān)、單向非反射光學器件[11,12]、CPA 激光器[49]、聲子激光器[76]等新型器件.除了在光學系統(tǒng)中的應(yīng)用外,在原子系統(tǒng)中,利用PT對稱原理實現(xiàn)耦合調(diào)控,也為構(gòu)造新型光子器件和原子器件提供了新的思路.