復(fù)雜系統(tǒng)中的層次結(jié)構(gòu)提取與分析*

范開宇 劉艷華 楊培才 吳吉哲 王革麗?

1) (大連市氣象局,大連 116001)

2) (中國科學(xué)院大氣物理研究所,中層大氣和全球環(huán)境探測重點實驗室,北京 100029)

3) (黑龍江省氣象服務(wù)中心,哈爾濱 150036)

4) (蒙陰縣氣象局,蒙陰 276200)

氣候系統(tǒng)是一個非平穩(wěn)復(fù)雜系統(tǒng)的事實已經(jīng)得到了廣泛認(rèn)同,產(chǎn)生這種非平穩(wěn)性質(zhì)的根本原因在于氣候系統(tǒng)存在的層次結(jié)構(gòu),處于高層系統(tǒng)中的外強迫信號隨時間發(fā)生變化,造成了大氣運動的非平穩(wěn)現(xiàn)象.慢特征分析法可以從快變的非平穩(wěn)信號中提取慢變的外強迫信號,并已應(yīng)用于氣候系統(tǒng)的歸因分析中.本文利用慢特征分析法提取改進的Henon 映射模型構(gòu)造的非平穩(wěn)時間序列以及北京月平均氣溫的外強迫信號,并且使用小波變換方法對外強迫信號的尺度特征及物理背景機理進行分析.結(jié)果表明,氣候系統(tǒng)受到長周期的外強迫信號與短周期外強迫信號的共同作用.同時,長周期的外強迫信號影響短周期外強迫信號.該工作有助于理解氣候系統(tǒng)的層次結(jié)構(gòu)特征.

1 引言

近些年,隨著氣候系統(tǒng)平穩(wěn)性的改變不斷被證實,氣候系統(tǒng)是一個非平穩(wěn)復(fù)雜系統(tǒng)的事實已經(jīng)得到了廣泛的認(rèn)同[1-5].外強迫因子隨時間發(fā)生變化是導(dǎo)致氣候系統(tǒng)非平穩(wěn)性質(zhì)產(chǎn)生的根本原因.外強迫因子如何影響氣候系統(tǒng)一直受到科學(xué)家的關(guān)注.復(fù)雜系統(tǒng)的內(nèi)部一般都包含著層次結(jié)構(gòu),而這種非平穩(wěn)現(xiàn)象的發(fā)生正是由于層次結(jié)構(gòu)的存在[6-10].對氣候系統(tǒng)來說,處于高層系統(tǒng)的外強迫隨時間發(fā)生變化,在大氣運動中引發(fā)了非平穩(wěn)現(xiàn)象.所以,如何從氣候信息中提取出外強迫驅(qū)動因子,并對提出的外強迫因子進行分析,對提高人們對氣候過程本質(zhì)的認(rèn)識以及發(fā)展新的建模理論具有至關(guān)重要的意義.

慢特征分析法(slow feature analysis,SFA)是一種非監(jiān)督的學(xué)習(xí)方法,它起源于生物視覺領(lǐng)域,它能夠從給定的快變非平穩(wěn)序列中提取出緩慢變化的外強迫信號.Konen 和Koch[11]通過一系列實驗發(fā)現(xiàn),SFA 方法提取出的信號分量只是一個單一的變化最慢的外強迫信號,它可能包含了所有外強迫信號分量.潘昕濃等[12]通過構(gòu)建層次結(jié)構(gòu)系統(tǒng)模型來測試SFA 方法提取外強迫信號的能力,取得了成功.對于SFA 方法的探索與應(yīng)用為理想非平穩(wěn)模型外強迫信號提取提供了新的方法手段,也為氣候系統(tǒng)驅(qū)動力物理機理的研究提供了新的方向.楊培才等[13]使用SFA 方法對北半球的月平均氣溫時間序列外強迫進行了重建,利用小波變換技術(shù)分析了外強迫的尺度特征,并探究了背后的物理機理,推斷太陽22 a 磁周期(the Hale cycle)和大西洋多年代際振蕩(atlantic multidecadal oscillation,AMO)的影響.王革麗等[14]利用SFA 方法對Arosa 臭氧觀測資料的外強迫進行了提取,重建的外強迫信號的小波分析表明,存在著兩個明顯的周期,可能對應(yīng)著太陽活動和北大西洋濤動(north atlantic oscillation,NAO),體現(xiàn)了太陽與海洋活動對臭氧濃度變化的顯著影響.

本文將在Henon 映射模型中加入具有層次結(jié)構(gòu)的外強迫信號,構(gòu)造非平穩(wěn)復(fù)雜系統(tǒng)來測試SFA 方法的提取能力.并以北京月平均氣溫時間序列為例,利用SFA 方法,對其進行外強迫的提取,結(jié)合小波變換對北京月平均氣溫時間序列外強迫的尺度結(jié)構(gòu)與可能存在的物理機理進行分析,探尋其中的層次結(jié)構(gòu).

2 SFA 簡介

SFA 是由Wiskott 和Sejnowski[15]提出的一種信號處理方法,它可以在一個已知的復(fù)雜多維時間序列中得到一個緩慢變化的信號分量.SFA 方法可以保證從一般的有限維度函數(shù)空間中獲取全局最優(yōu)解,并且在模擬的過程中,能夠依據(jù)原始信號的大小與尺寸對輸出結(jié)果進行合理有效的調(diào)整[16].SFA 方法是在Packard 狀態(tài)空間重構(gòu)理論[17]與Takens 嵌入定理[18]的思想上建立的,經(jīng)過函數(shù)空間重構(gòu),再經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化、非線性擴展、球化以及主分量分析等一系列處理,將原始信號向變化最慢的方向投射,得到的這個分量即可視為原始信號的外強迫信號.下面對慢特征分析法的主要算法步驟進行簡要介紹.

重構(gòu)后的序列長度N=n-m+1 .

然后,利用(1)式中產(chǎn)生的一階項和二階項進行非線性擴展,得到一個k維的函數(shù)空間H(t) :

方便起見,記為

進行積分,求得輸出信號:

(8)式中r與c均為常數(shù).選取最小的特征值λ,將對應(yīng)的權(quán)重向量w代入到(8)式中,即可得到原始信號最慢變的分量信號,即外強迫信號.由于在積分的過程中產(chǎn)生了常數(shù)r與c,所以通過SFA 方法獲取的外強迫信號與真實的外強迫相比,相差一個放大因子和平移因子.

3 模型實驗

Henon 映射是一種可以產(chǎn)生混沌的動態(tài)系統(tǒng),它僅包含一個非線性項,因此它是高維非線性映射中最簡單的映射[19].它的動力學(xué)方程為

Henon 映射的收斂性只與參數(shù)a和b有關(guān),與初值無關(guān).最經(jīng)典的Henon 映射是令參數(shù)a=1.4,b=0.3,此時系統(tǒng)可進入混沌狀態(tài).

Lyapunov 指數(shù)是用來判斷非線性系統(tǒng)存在混沌運動的特征數(shù)值之一,可以衡量系統(tǒng)動態(tài)特性.當(dāng)系統(tǒng)存在一個Lyapunov 指數(shù)為正數(shù)時,系統(tǒng)一定處于混沌狀態(tài),在實際應(yīng)用中,通常把最大Lyapunov 指數(shù)的正負(fù)作為判斷指標(biāo)[20,21].本文將最大Lyapunov 指數(shù)作為判斷系統(tǒng)模型是否處于混沌狀態(tài)的判據(jù).

利用正弦函數(shù),將小周期的正弦信號作為基頻信號,將大周期的正弦信號作為調(diào)制信號,構(gòu)造一個具有層次結(jié)構(gòu)的時變參數(shù),設(shè)置基頻信號

圖1 (a) 基頻信號 { n(t)} ;(b) 調(diào)制信號 { m(t)} ;(c) 時變參數(shù) { a(t)} (藍(lán)線)與其調(diào)制信號(包絡(luò))M(紅線)Fig.1.(a) Fundamental frequency signal { n(t)} ;(b) modulation signal { m(t)} ;(c) time-varying parameter{a(t)}(blue line) and its modulation signal (envelope) M (red line).

將{a(t)}作為外強迫信號,并代入Henon 映射模型{y(t)}中[22]:

將時變參數(shù){a(t)}迭代10000 次得到序列記 為{s1(t)}t=1,2,···,10000,然后將{s1(t)}作為外強迫信號代入(13) 式中,迭代10000 次得到{y(t)}t=1,2,···,10000.選 取{y(t)}的第一 維序列{y1(t)}進行系統(tǒng)動態(tài)特征的判斷,經(jīng)計算{y1(t)}前600 步的最大Lyapunov 指數(shù)λ=0.3938,說明{y1(t)}處于混沌狀態(tài).截取{y1(t)}后5000 個數(shù)據(jù)作為非平穩(wěn)時間序列模型進行外強迫信號提取(圖2(b)),嵌入維數(shù)m=13,時滯系數(shù)τ=1,得到外強迫信號{as1(t)}如圖2(c)所示.可以看到,外強迫信號{as1(t)}是一個明顯的調(diào)幅信號,其信號包絡(luò)即為調(diào)制信號M.將提取出的外強迫信號{as1(t)}與真實外強迫信號{s1(t)}進行比較,發(fā)現(xiàn)提取的{as1(t)}缺少一個放大因子,對其進行標(biāo)準(zhǔn)化處理后再與真實外強迫信號進行比較,二者變化趨勢具有較好的一致性,相關(guān)系數(shù)可以達(dá)到0.98(圖2(d)).

圖2 (a) 真實外強迫信號 { s1(t)} ;(b) 非平穩(wěn)時間試驗序 列 { y1(t)} ;(c) SFA 方法提 取得到 的外強 迫{as1(t)}(藍(lán)線)及其包絡(luò) M(紅線);(d) 外強迫 { as1(t)} (紅線)及真實外強迫信號 { s1(t)} (藍(lán)線)比較Fig.2.(a) The true driving force signal { s1(t)} ;(b) the testing non-stationary time series { y1(t)} ;(c) the driving force signal extracted by SFA method { as1(t)} (blue line)and its modulation signal (envelope) M (red line);(d) the driving force signal extracted by SFA method{as1(t)}(red line) and the true driving force signal { s1(t)} (blue line).

從外強迫信號的提取實驗中可以看到,利用快變信號作為基頻信號,慢變信號作為調(diào)制信號生成具有層次結(jié)構(gòu)的外強迫信號,將其加入到Henon映射模型中構(gòu)造非平穩(wěn)的混沌系統(tǒng).利用SFA 方法可以成功將外強迫信號提取出來,提取出的外強迫信號層次結(jié)構(gòu)清晰完整,基頻信號和調(diào)頻信號與系統(tǒng)的外強迫初始信號一致.

4 氣溫時間序列的外強迫重建與分析

在前期的工作中,我們重建了北京月平均氣溫距平時間序列的外強迫信號,測試了SFA 方法對嵌入維數(shù)選取的敏感性,結(jié)果表明,在一定范圍內(nèi)選取不同的嵌入維數(shù),提取得到的外強迫信號差別不大.并結(jié)合小波分析對外強迫信號所包含的周期、尺度特征進行了討論[23].從外強迫信號的6 個特征尺度中,找到了與太陽22 a 磁周期(the Hale cycle)、太陽11 a 黑子周期(the Schwabe cycle)以及東太平洋赤道海區(qū)海表溫度周期對應(yīng)的尺度分量,并發(fā)現(xiàn)這些特征尺度間存在著諧波關(guān)系(如表1 所列).本文將在前期工作的基礎(chǔ)上,進一步對這些外強迫信號的尺度特征及可能的物理機理進行深入分析,分析過程如圖3.

圖3 北京月平均氣溫外強迫信號的提取與分析流程圖Fig.3.Flow chart of extraction and analysis of driving force signal of monthly mean temperature of Beijing.

表1 北京月平均氣溫時間序列外強迫信號小波分析周期頻率及諧波關(guān)系Table 1. Periods and frequencies of the driving force signal of temperature extracted by SFA method of Beijing.

利用帶通濾波器,將各個尺度對應(yīng)的信號分量提取出來,如圖4(a)—圖4(f)中黑色曲線所示,這些信號分量揭示了外強迫信號各個尺度在時域上的基本特征.從圖4 可以看到,除了S5和S6尺度分量外,其他尺度分量的振幅都受到調(diào)制信號的調(diào)制.因此,考慮利用正弦函數(shù)來繪制信號包絡(luò),恢復(fù)這些調(diào)制信號,結(jié)果如圖4(a)—圖4(f)中藍(lán)色曲線.這些調(diào)制信號的周期遠(yuǎn)比尺度分量自身的周期大得多,它們的相位變化反映出對應(yīng)尺度分量的能量變化.其中,尺度分量S2的調(diào)制信號可用正弦函數(shù)近似表示為

類似于S2,尺度分量S3和S4的調(diào)制信號可以近似表示為

M3和M4這兩個調(diào)制信號反映了尺度分量S3和S4振幅在時域上的變化特征.在1986 年S3和S4的振幅達(dá)到最小,在1986 年前振幅減小,此后振幅增大.它們與S2振幅變化呈相反趨勢.通過觀察,尺度分量S1同樣受到一個周期性的調(diào)制信號調(diào)制,這個調(diào)制信號可以近似表示為

從圖4(a)可以看出,尺度分量S1的振幅存在準(zhǔn)42 年周期振蕩,在1955,1976 和1997 這三個年份,振幅達(dá)到最大.在1965,1986 和2007 三個年份振幅達(dá)到最小.

圖4 (a)—(f)北京月平均氣溫外強迫信號特征尺度 S 1 — S 6 對應(yīng)的信號分量Fig.4.(a)—(f) Signal components corresponding to the characteristic scale S 1 — S 6 of the driving force signal of monthly mean temperature in Beijing.

尺度分量S5和S6的振幅較為穩(wěn)定,為固定常數(shù),M5=0.06,M6=0.075 .

利用以上調(diào)制信號M1—M6,我們嘗試對尺度分量S1—S6進行擬合,并記為(n=1,2,···,6),具體表述如下:

模擬的尺度分量信號—如圖4(a)—(f)中的紅色曲線.將模擬信號與實際尺度分量進行比較,相關(guān)系數(shù)記為R,標(biāo)準(zhǔn)差之比記為Ds′/Ds,具體結(jié)果見表2 所列.

表2 模擬尺度分量 — 與真實尺度分量信號 S 1 — S 6 比較Table 2. Comparison of analog scale component signal — and real scale component signal S 1 — S 6 .

表2 模擬尺度分量 — 與真實尺度分量信號 S 1 — S 6 比較Table 2. Comparison of analog scale component signal — and real scale component signal S 1 — S 6 .

值得注意的是,在實驗的過程中發(fā)現(xiàn)尺度分量S1的調(diào)制信號M1周期為42 a 左右,這與尺度分量S6的周期十分接近.通過對比觀察,發(fā)現(xiàn)M1與S6曲線變化趨勢基本一致,如圖5 所示.對二者進行比較表明它們的相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.98.

圖5 尺度分量 S 6 (黑線)與調(diào)制信號 M 1 (紅線)比較Fig.5.Comparison of scale component signal S 6 (black line) and modulated signal M 1 (red line).

將尺度分量S6作為尺度分量S1的調(diào)制信號,對S1進行擬合,結(jié)果如圖6 所示.圖6 中黑色曲線為尺度分量S1,藍(lán)色曲線為調(diào)制信號,即尺度分量S6,紅色曲線為利用分量S6擬合的分量信號,記為.表示為

圖6 利用尺 度分量 S 6 (藍(lán) 線)來擬合 尺度分 量 S 1 (黑線)得到結(jié)果 (紅線)Fig.6.Use the scale component signal S 6 (blue line) to simulate the scale component signal S 1 (black line) to obtain the result (red line).

S1分量的物理背景被認(rèn)為是東太平洋赤道區(qū)海表溫度的周期變化,S6分量的物理背景被認(rèn)為是與太陽黑子周期有關(guān),S6分量可以看作是S1分量的調(diào)制信號,且二者共用作用北京月平均氣溫溫度時間序列,這樣的結(jié)果體現(xiàn)了氣候系統(tǒng)的層次結(jié)構(gòu),如圖7 所示.長周期的外強迫信號與短周期外強迫信號共同作用于氣候系統(tǒng).同時,長周期的外強迫信號也影響短周期外強迫信號.

圖7 氣候系統(tǒng)的層次結(jié)構(gòu)示意圖Fig.7.Schematic diagram of the hierarchy of the climate system.

5 結(jié)論與展望

本文將具有層次結(jié)構(gòu)的外強迫信號加入Henon 映射模型中,構(gòu)造非平穩(wěn)復(fù)雜系統(tǒng)來測試SFA 方法的提取能力.并將北京月平均氣溫作為真實氣候要素時間序列進行外強迫的提取和分析,結(jié)合小波變換技術(shù)對外強迫的尺度結(jié)構(gòu)與可能存在的物理機理進行分析,探尋其中的層次結(jié)構(gòu),主要結(jié)論如下.

1)在Henon 映射模型外強迫提取實驗中加入包含快變和慢變這樣具有層次結(jié)構(gòu)的外強迫信號,SFA 方法可以從非平穩(wěn)的Henon 映射模型中提取出快變信號,它的包絡(luò)表現(xiàn)為慢變信號;提取出的外強迫信號與真實外強迫的相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.98.

2)在對北京月平均氣溫時間序列的外強迫信號提取實驗中,通過利用小波變換技術(shù)分析發(fā)現(xiàn),北京月平均氣溫時間序列的外強迫信號存在6 個明顯的特征周期,可推斷其中的11.6 a,21.3 a 和42.7 a 周期代表了太陽活動,3.2 a 周期代表了海洋活動,它們共同作用于氣候系統(tǒng).

3)利用正弦函數(shù)對外強迫信號6 個尺度分量進行模擬表明,外強迫信號尺度分量的振幅受到調(diào)制信號的調(diào)制,調(diào)制信號的相位變化反映出對應(yīng)尺度分量的能量變化.其中,42 a 周期的尺度分量與3.2 a 周期尺度分量的調(diào)制信號具有較高的相似程度.利用42 a 周期的尺度分量作為調(diào)制信號對3.2 a周期的尺度分量進行擬合,相關(guān)系數(shù)達(dá)0.588,可以揭示出氣候系統(tǒng)的層次結(jié)構(gòu).長周期的外強迫信號與短周期外強迫信號共同作用于氣候系統(tǒng),同時,長周期的外強迫信號還在影響短周期外強迫信號.

本文的工作有助于理解氣候系統(tǒng)的層次結(jié)構(gòu)和驅(qū)動成因,以及驅(qū)動因子間復(fù)雜的相互作用.SFA 方法在實際應(yīng)用中,嵌入維數(shù)和時滯參數(shù)的選取還沒有一個普適方法.對于嵌入維數(shù)來說,可以通過敏感性實驗來考察提取的效果.在一定范圍內(nèi),嵌入維數(shù)的選取對結(jié)果影響不大,還會增加計算時間,損耗序列長度;對于時滯參數(shù)的選取,還需要更多的探索,目前只能依靠經(jīng)驗和大量試探進行選取.另外,在不同的時間尺度上,存在的耦合層次關(guān)系是否不同.特別是,如何結(jié)合氣候系統(tǒng)內(nèi)在物理機理的理解,進一步探究氣候系統(tǒng)的層次結(jié)構(gòu)特征以及影響因子之間的相互作用.這些問題需要在今后的研究工作中繼續(xù)探索.