基于魯棒二階隨機(jī)占優(yōu)的投資組合優(yōu)化模型研究

段倩倩, 彭 春, 李金林

(1.北京物資學(xué)院 物流學(xué)院,北京 101149; 2.北京理工大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院,北京 100081)

0 引言

投資組合優(yōu)化問題一直是備受關(guān)注的熱點(diǎn)研究問題之一，被廣泛應(yīng)用到不同的領(lǐng)域，如項(xiàng)目資源分配、金融產(chǎn)品投資。均值-方差模型描述了資產(chǎn)收益偏離其均值的程度，但并沒有定量地刻畫資產(chǎn)收益可能的損失，因此，隨機(jī)占優(yōu)作為與均值-方差理論優(yōu)勢互補(bǔ)的投資組合的評價工具，近年來越來越受到重視。本文利用隨機(jī)占優(yōu)約束來度量和規(guī)避風(fēng)險，且符合投資者的風(fēng)險偏好，研究基于二階隨機(jī)占優(yōu)的投資組合優(yōu)化問題，具有十分重要的理論和實(shí)際意義。

在不確定決策中,隨機(jī)占優(yōu)(Stochastic Dominance)理論，尤其二階隨機(jī)占優(yōu)(Second-Order Stochastic Dominance, SSD)，一直都是重要的分析工具之一，它在金融學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)和決策科學(xué)的相關(guān)研究中扮演了不可替代的角色。直到2003年，Dentcheva和Ruszczyński首次將隨機(jī)占優(yōu)作為約束條件放到優(yōu)化問題中，并假設(shè)隨機(jī)變量的離散概率分布已知，并將二階隨機(jī)占優(yōu)約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的等價模型[1]，這正式打開了隨機(jī)占優(yōu)約束優(yōu)化問題的研究之窗。同樣，假設(shè)隨機(jī)變量的離散概率分布已知，Luedtke[2]進(jìn)一步得出隨機(jī)占優(yōu)約束優(yōu)化問題的新的等價問題。由于投資收益率高度不確定，在實(shí)際中也很難估計(jì)它的精確的概率分布。然而，目前絕大多數(shù)研究[1～3]均基于有限的投資收益率的歷史數(shù)據(jù)樣本(情景)和樣本均值估計(jì)方法，將問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃求解。但當(dāng)選取的資產(chǎn)和歷史樣本的數(shù)量較大時，會導(dǎo)致較高的計(jì)算成本。

近年來，由于魯棒優(yōu)化理論作為處理不確定性決策問題的有效工具不斷發(fā)展[4]，一些學(xué)者開始研究基于魯棒隨機(jī)占優(yōu)的投資組合優(yōu)化問題。然而，無論從理論方法還是實(shí)際應(yīng)用層面，目前魯棒二階隨機(jī)占優(yōu)相關(guān)的研究較少。Dentcheva和Ruszczyński[5]首次提出了魯棒二階隨機(jī)占優(yōu)的概念，假設(shè)不確定參數(shù)的概率分布未知，且屬于某不確定集合，但沒有給出模型的數(shù)學(xué)等價形式和數(shù)值求解方法。Guo等[6]則利用離散近似的方法離散化基于矩信息的不確定集合，來估計(jì)分布式魯棒二階隨機(jī)占優(yōu)問題，但當(dāng)離散分布的樣本規(guī)模較大時，求解比較困難。與本文密切相關(guān)的是Sehgal和Mehra[7]，它研究魯棒二階隨機(jī)占優(yōu)投資組合優(yōu)化問題，但假設(shè)投資收益率不確定且屬于預(yù)算(budget)不確定集合，基于不同的實(shí)際數(shù)據(jù)集合進(jìn)行分析。本文同樣研究基于魯棒二階占優(yōu)的投資組合優(yōu)化問題，考慮三類投資收益率的不確定集合，如箱式(box)，橢球(ellipsoid)和多面體(polyhedral)不確定集合，基于實(shí)際數(shù)據(jù)，對模型的最優(yōu)性、魯棒性和二階隨機(jī)占優(yōu)約束的可行性進(jìn)行樣本內(nèi)和樣本外的實(shí)證分析。盡管本文所采用的三類不確定集合下的魯棒優(yōu)化理論的相關(guān)成果比較豐富，但將這些理論成果運(yùn)用到含有魯棒二階隨機(jī)占優(yōu)約束的優(yōu)化模型，相關(guān)的研究非常少。因此，本文主要從優(yōu)化建模和實(shí)證分析兩個角度，研究一類含有二階隨機(jī)占優(yōu)約束的投資組合優(yōu)化問題。

本文具體結(jié)構(gòu)安排如下：第1章給出隨機(jī)占優(yōu)理論和傳統(tǒng)二階隨機(jī)占優(yōu)投資組合優(yōu)化模型。第2章假設(shè)投資收益率不確定，且屬于不確定集合，提出了魯棒二階隨機(jī)占優(yōu)優(yōu)化模型。第3章基于實(shí)際股票市場數(shù)據(jù)，對不同歷史數(shù)據(jù)規(guī)模和不確定集合下的模型進(jìn)行分析。最后第4章總結(jié)全文。

1 二階隨機(jī)占優(yōu)投資組合優(yōu)化模型

假設(shè)投資者計(jì)劃將一筆資金投資于N個不同的資產(chǎn)(如股票)。為了文中更清楚地表述，令i∈[N]表示資產(chǎn)的編號i=1,2,…,N。行向量r=[r1,r2,…,rN]表示股票1,2,…,N的投資收益率，列向量x=[x1,x2,…,xN]T表示投資每一個資產(chǎn)的權(quán)重。在這里假設(shè)xi≥0，例如對于股票，則賣空是不被允許的。若隨機(jī)變量X二階隨機(jī)占優(yōu)Z，則可表示為X2Y，可進(jìn)一步等價為E[(t-X)+]≤E[(t-Y)+],?t∈R。因此，根據(jù)文獻(xiàn)[1]，基于二階隨機(jī)占優(yōu)的投資組合優(yōu)化模型可進(jìn)一步表示為有限的隨機(jī)規(guī)劃模型(1)：

maxE[rx]

s.t.E[(t-rx)+]≤E[(t-B)+],t=b1,…,bT,

(1)

x∈Z

maxθ

(2)

dtk≥0,x∈Z,?t∈[T],k∈[T]

2 魯棒二階隨機(jī)占優(yōu)投資組合優(yōu)化模型

在實(shí)際中，人們往往很難準(zhǔn)確地獲取或者估計(jì)資產(chǎn)的投資收益率的精確概率分布，而且由于資產(chǎn)投資市場的高風(fēng)險性，則資產(chǎn)的投資收益率也具有高度不確定性，波動往往較劇烈。因此，在第2章的基礎(chǔ)上，本章進(jìn)一步假設(shè)投資收益率r不確定，且r屬于某一不確定集合R，即r∈R，但該不確定集合并不依賴r的概率分布信息。具體地說，本章將考慮三種經(jīng)典的不確定集合(箱式、橢球和多面體不確定集合)，利用魯棒優(yōu)化理論，推導(dǎo)出魯棒二階隨機(jī)占優(yōu)投資組合優(yōu)化模型的等價問題，使得可以直接采用目前的數(shù)學(xué)求解器(如CPLEX, GUROBI)非常有效地求解中小規(guī)模的問題。

考慮如下魯棒二階隨機(jī)占優(yōu)投資組合優(yōu)化模型(3):

s.t.E[(t-rx)+]≤E[(t-B)+],?r∈R;t=b1,…,bT

(3)

x∈Z

maxθ

下面的命題1，2和3則分別給出了箱式、橢球和多面體不確定集合下模型(4)的等價問題。

命題1如果給定不確定集合Ub={ξit‖ξit|≤Ψt,?t∈[T],i∈[N]}，其中Ψt為該不確定集合的不確定參數(shù)，控制不確定集合的大小，則上述模型(4)等價為如下線性規(guī)劃問題:

maxθ

dtk≥0,x∈Z,?t∈[T],k∈[T]

maxθ

dtk≥0,x∈Z,?∈[T],k∈[T]

maxθ

dtk≥0,x∈Z,?t∈[T],k∈[T]

根據(jù)魯棒優(yōu)化理論，很容易得出，當(dāng)Ψt=Ωt=Γt=0時，所有的三個模型均等價于名義模型(1)(如文獻(xiàn)[1～3]中的模型)，這個結(jié)論可以在后面算例分析中得到進(jìn)一步驗(yàn)證。另外，值得注意的是，基于本文中采用的三種不確定集合，不確定集合U還可以有多種不同的選擇組合，例如Ube=Ub∩Ue,Ubp=Ub∩Up,Upe=Up∩Ue,和Ubep=Ub∩Ue∩Up。這些不確定集合下的模型(4)均可以等價轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃或者二階錐規(guī)劃問題。

3 實(shí)證分析

本文采用S&P500股票市場的實(shí)際數(shù)據(jù)來進(jìn)行分析。3.1節(jié)描述了數(shù)據(jù)選取和算例實(shí)驗(yàn)分析的具體設(shè)置，3.2節(jié)則分析了不確定參數(shù)對最優(yōu)投資組合的權(quán)重的影響，3.3節(jié)則給出了不確定參數(shù)對樣本內(nèi)(in-sample)期望收益的影響分析，3.4節(jié)給出了不確定參數(shù)對樣本外(out-of-sample)期望收益的影響分析。

3.1 數(shù)據(jù)選取

在該部分中，選取S&P500市場自2004/11到2016/04的總共595周的股票收益率歷史數(shù)據(jù)[8]。數(shù)據(jù)選取的過程為：首先從442支股票中隨機(jī)選取5支股票。其次從該5支股票的595周歷史數(shù)據(jù)中隨機(jī)選擇某一個時間點(diǎn)M(例如第M周)，然后分別選取該時間點(diǎn)之前的連續(xù)12周，52周和104周的投資收益率作為訓(xùn)練樣本集合(樣本內(nèi)集合)，即T∈{12,52,104}。然后，選取該時間點(diǎn)后的連續(xù)52周的投資收益率作為測試樣本集合(樣本外集合)，即T∈{ 52}。最后，重復(fù)選取訓(xùn)練樣本和測試樣本50次。所以，本章節(jié)的所有結(jié)果，均為基于50次獨(dú)立重復(fù)計(jì)算的平均數(shù)值。本文選取服從均勻分布的投資組合作為參考。此外，本文假設(shè)每一個歷史樣本發(fā)生的概率服從均勻分布。根據(jù)本文中所采用的三類不確定集合，考慮不確定參數(shù)Ψt,Ωt和Γt的取值來自[0,10]，且Ψt=Ψ,Ωt=Ω,Γt=Γ。因此，為了有效的保證二階隨機(jī)占優(yōu)約束的可行性和最優(yōu)性條件，在隨機(jī)占有約束右側(cè)添加一個非常小的松弛[3,6]。本文所有計(jì)算實(shí)驗(yàn)代碼采用C編程并調(diào)用CPLEX，在128 GB RAM的windows系統(tǒng)的配置環(huán)境下求解。

3.2 最優(yōu)投資組合的權(quán)重

本節(jié)主要分析不同不確定集合下，不確定參數(shù)對五支股票的最優(yōu)投資組合的權(quán)重的影響。圖1以T=104為例，分別給出了箱式、橢球和多面體不確定集合下的最優(yōu)投資組合的平均權(quán)重組成的彩虹圖，其中每一種顏色所構(gòu)成的區(qū)域的寬度表示一種股票的權(quán)重。令從上往下的顏色區(qū)域依次代表股票#1(灰色), #2(綠色), #3(紅色), #4(黃色)和#5(藍(lán)色)。從圖中可以看出，當(dāng)不確定參數(shù)為0時，三個不確定集合下的模型的平均投資組合的權(quán)重比例相同，這是因?yàn)榇藭r三個模型均等價于名義模型。另外，對于不同不確定集合，整體上說，#2和#4股票在最優(yōu)投資組合中所占比重較大，#3和#5股票則較小，這是由于#2和#4股票的平均投資收益率較高，#3和#5股票的平均投資收益率較小的緣故。但是，隨著不確定參數(shù)繼續(xù)增加，#2和#4股票在最優(yōu)投資組合中所占比重逐漸降低，而#3和#5股票所占的比重則逐步增加的趨勢。當(dāng)不確定參數(shù)的值增加到一定程度，各個股票在最優(yōu)投資組合中所占的比重趨于均勻分布(均勻分布的投資組合的參考目標(biāo)收益)。對于三個不確定集合，趨于均勻分布的最優(yōu)投資組合的速度明顯不同。綜上，這都在一定程度上說明不確定集合的選擇和不確定參數(shù)的取值對投資組合的權(quán)重有重要的影響。

3.3 不確定參數(shù)對樣本內(nèi)期望收益的影響

本節(jié)主要討論在不同樣本內(nèi)(訓(xùn)練樣本)規(guī)模下期望收益的魯棒性分析。具體地，圖2給出了不同不確定集合和不同訓(xùn)練樣本規(guī)模下的期望收益與不確定參數(shù)之間的變化情況。從圖2中可以看出，(i)對于給定的不確定集合和樣本規(guī)模，當(dāng)不確定參數(shù)較小時，樣本內(nèi)期望收益之間的差距較小，隨著不確定參數(shù)增加，樣本內(nèi)期望收益之間的差距變大；(ii)隨著不確定參數(shù)增加，樣本內(nèi)的期望收益逐漸降低，這是因?yàn)椴淮_定性逐漸增加，模型越保守，這也在一定程度上說明在距離選擇的時間點(diǎn)越近(最近的歷史數(shù)據(jù)，例如T=12周)，得出的最優(yōu)投資策略效果最好，期望收益較高；(iii)另外，對于給定T(如T=52)和不確定參數(shù)的取值，多面體、橢球和箱式不確定集合下的期望收益逐漸降低，這也進(jìn)一步驗(yàn)證了在相同的不確定參數(shù)取值下，三種不確定集合下魯棒模型的保守程度依次為，多面體集合<橢球不確定集合<箱式不確定集合。

3.4 不確定參數(shù)對樣本外期望收益的影響

本節(jié)對其它指標(biāo)與三種不確定集合、不同樣本規(guī)模、不確定參數(shù)的取值進(jìn)行分析。樣本外期望收益E[Rx]是通過訓(xùn)練樣本下的最優(yōu)投資組合權(quán)重xin與測試樣本(T′=52周)的投資收益率rout計(jì)算出來的，其中Rx=xinrout。因此，圖4還計(jì)算了樣本外夏普比率(Sharp ratio, SR)，即SR=E[Rx]/σRx，其中σRx為Rx的標(biāo)準(zhǔn)差。SR來衡量資產(chǎn)收益對投資者所承擔(dān)風(fēng)險的補(bǔ)償程度。此外，引進(jìn)一個新的指標(biāo)，隨機(jī)占優(yōu)約束的“違反區(qū)域”(violation area in SSD, VAS)[9]，它定量刻畫了樣本外二階隨機(jī)占優(yōu)約束被違反的程度。VAS的值越大，二階隨機(jī)占優(yōu)約束的違反程度越大，即樣本外測試下隨機(jī)占優(yōu)約束不被滿足的概率越大。

圖3給出了三種不確定集合和三個訓(xùn)練樣本規(guī)模下的樣本外期望收益與不確定參數(shù)之間的變化關(guān)系。圖4則以T=104為例，描述了樣本外VAS和SR隨不確定參數(shù)變化的關(guān)系。從圖3和圖4中可以觀察到，(i)無論哪一個不確定集合，樣本規(guī)模越小，樣本外的期望收益越高。因此，與圖2樣本內(nèi)魯棒性分析相比，圖3中的曲線并沒有呈現(xiàn)有規(guī)律的變化趨勢。(ii)從整體上說，除了橢球不確定集合下T=104外，其它訓(xùn)練樣本規(guī)模下的樣本外期望收益均高于樣本外的參考目標(biāo)收益，這是由于T=104下的訓(xùn)練樣本主要集中在2009～2010年左右，正好處于全球次貸金融海嘯的影響中。這在一定程度上說明，魯棒二階隨機(jī)占優(yōu)模型可以取得較好的樣本外期望收益，同時保證了測試樣本下魯棒二階隨機(jī)占優(yōu)約束的可行性。(iii)隨著不確定參數(shù)增加，樣本外SR增加，投資組合的“性價比”逐漸提高。在相同不確定參數(shù)取值下，多面體集合下的SR最高，橢球集合次之，箱式集合最小，樣本外VAS則正好相反，這是因?yàn)槿齻€不確定集合下魯棒模型的保守程度不同。此外，隨著不確定參數(shù)取值增加，樣本外VAS逐漸減小，這說明在測試樣本(樣本外)下，魯棒二階隨機(jī)占優(yōu)約束仍然可行成立的概率越高，這與(ii)一致。

4 結(jié)論

本文主要考慮一類經(jīng)典的含有二階隨機(jī)占優(yōu)約束的投資組合優(yōu)化問題，其目標(biāo)為最大化期望收益。與均值-方差模型不同，本文利用二階隨機(jī)占優(yōu)約束來度量風(fēng)險，滿足期望收益二階隨機(jī)占優(yōu)給定的參考目標(biāo)收益。與傳統(tǒng)的二階隨機(jī)占優(yōu)模型不同，本文考慮不確定的投資收益率，且屬于某一不確定集合，建立魯棒二階隨機(jī)占優(yōu)模型。盡管本文所考慮的三個不確定集合下的魯棒優(yōu)化理論相關(guān)的成果較豐富，但對含有魯棒二階隨機(jī)占優(yōu)約束的優(yōu)化問題，相關(guān)的研究很少。在優(yōu)化建模方面，考慮三種不確定集合(箱式、橢球和多面體)，利用魯棒優(yōu)化理論，將魯棒二階隨機(jī)占優(yōu)模型轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃和二階錐規(guī)劃；在實(shí)證分析方面，基于S&P 500股票市場實(shí)際的投資收益率的歷史數(shù)據(jù)，對不同歷史樣本數(shù)據(jù)規(guī)模下的三個魯棒二階隨機(jī)占優(yōu)模型進(jìn)行實(shí)證分析，特別是樣本內(nèi)和樣本外不確定參數(shù)對期望收益的影響分析。本文的結(jié)果表明，不確定集合的選擇和不確定參數(shù)的取值對投資組合的選擇有重要的影響。在相同不確定參數(shù)下，多面體不確定集合下的模型取得較好的績效，在保證最優(yōu)性和魯棒性的前提下，也保證了樣本外測試下二階隨機(jī)占優(yōu)約束成立的可行性。最后，在對三種不確定集下的魯棒二階隨機(jī)占優(yōu)模型的比較分析過程中，如何盡可能消除不確定參數(shù)Ψ,Ω,Γ對模型結(jié)果的分析過程中帶來的影響，這是未來仍需要進(jìn)一步研究的課題。