多失效模式光電系統(tǒng)可靠性建模分析方法

趙志草，吳 輝，鄭鳳翥，張文博，王 冠

（西安應(yīng)用光學(xué)研究所，陜西 西安 710065）

引言

可靠性分配、預(yù)計(jì)、故障樹分析及可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)是現(xiàn)代產(chǎn)品設(shè)計(jì)中不可或缺的重要組成部分，而上述工作均要基于產(chǎn)品正確的可靠性建模而展開。傳統(tǒng)的機(jī)載光電系統(tǒng)可靠性模型如串聯(lián)模型、并聯(lián)模型、表決模型等在系統(tǒng)研制的方案論證和初樣機(jī)中具有很好的適用性和便利性。但隨著研制工作的深入，系統(tǒng)各組成單元的結(jié)構(gòu)形式及失效機(jī)理分析更加透徹，于是上述模型對具有多失效模式單元和共因失效模式單元的可靠性建模便表現(xiàn)出一定局限性。

多失效模式在系統(tǒng)及其組成單元中是廣泛存在的[1-8]，如電子回路存在開路、短路等失效模式[1-2]；水下航行器存在強(qiáng)度失效、穩(wěn)定性失穩(wěn)等多種失效模式[3]；高速重載齒輪傳動的失效一般包括齒面疲勞點(diǎn)蝕、齒面腐蝕、磨損、膠合、齒根彎曲疲勞破壞及輪齒塑變等多種失效模式[4]。文獻(xiàn)[5]首先對某型號的RV 減速器進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，在此基礎(chǔ)上分析多種失效模式下的相關(guān)性，并基于上述分析開展結(jié)構(gòu)可靠性研究。目前根據(jù)具有多失效模式機(jī)械零件的失效特點(diǎn)，常將多種失效模式看作串聯(lián)模型[3-4，7]，并基于廣義應(yīng)力-強(qiáng)度干涉理論，通過響應(yīng)面法、隨機(jī)攝動法、二階矩法等方法來計(jì)算其可靠度。但是在一些具有并聯(lián)結(jié)構(gòu)的電子回路中，對于開路失效，電子回路可看作并聯(lián)模型；而對于短路失效，電子回路則必須看作串聯(lián)模型，即單一的并聯(lián)或串聯(lián)可靠性模型無法準(zhǔn)確描述電子回路的失效特點(diǎn)。文獻(xiàn)[9]針對類似情況，提出了基于概率選擇模型的可靠性分析方法，但是其用故障模式發(fā)生頻度求取選擇概率因子的做法未考慮產(chǎn)品可靠性的動態(tài)特點(diǎn)。

本文針對光電系統(tǒng)中部分分系統(tǒng)具有多種失效模式且各失效模式均服從指數(shù)分布的特點(diǎn)，根據(jù)馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖方法，建立了產(chǎn)品的多失效模式可靠性模型，并將其應(yīng)用于某機(jī)載光電系統(tǒng)供電回路的可靠性建模分析中。通過解析方法、數(shù)值方法及Monte Carlo 仿真方法分別進(jìn)行計(jì)算，并將結(jié)果進(jìn)行對比分析，驗(yàn)證了該建模分析方法的正確性及可行性。

1 模型特點(diǎn)

在工程實(shí)際中，光電系統(tǒng)中的部分分系統(tǒng)具有多種失效模式，且各失效模式均服從指數(shù)分布。對上述分系統(tǒng)的失效進(jìn)行分析，其失效過程可以提煉歸納出以下5 個(gè)特點(diǎn)：

1）系統(tǒng)及其組成單元只有失效和正常2 種狀態(tài)，但各單元具有多種失效模式。

2）若系統(tǒng)某一單元在某一時(shí)刻發(fā)生失效，則其在后續(xù)壽命周期內(nèi)將保持該失效狀態(tài)，即該單元無法從某一失效模式轉(zhuǎn)變到其他失效模式或恢復(fù)正常狀態(tài)。

3）對于某些失效模式，當(dāng)所有單元發(fā)生該失效時(shí)，系統(tǒng)將發(fā)生故障，稱之為I 型失效模式；對于其他一些失效模式，只要1 個(gè)單元發(fā)生該失效，系統(tǒng)便將發(fā)生故障，稱之為II 型失效模式。

4）不同單元的失效發(fā)生是相互獨(dú)立的，同一單元不同失效模式的發(fā)生也是相互獨(dú)立的。

5）各失效模式的發(fā)生率是恒定的，即單元由不同失效模式引發(fā)失效的失效率是恒定的。

下文將根據(jù)上述失效過程中的5 個(gè)特點(diǎn)來建立系統(tǒng)的可靠性模型。

2 可靠性模型

系統(tǒng)由n個(gè) 單元組成，每個(gè)單元存在m種失效模式。將m種失效模式分為I 型和II 型兩大類，工程中通常將系統(tǒng)中存在冗余的各單元進(jìn)行統(tǒng)一設(shè)計(jì)，即保證單元各失效模式及失效率一致。將各類失效模式發(fā)生率求和，可得到I 型、II 型失效模式發(fā)生率分別為 λ1，λ2。

根據(jù)馬爾科夫方法，整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間可劃分為[10]狀態(tài)j(j=0,1,···,n),即j個(gè)單元發(fā)生I 型失效模式，其余單元正常工作；狀態(tài)f，即某個(gè)單元發(fā)生II 型失效模式。那么系統(tǒng)狀態(tài)空間E={0,1,···,n,f}；系統(tǒng)正常工作狀態(tài)W={0,1,···,n-1}；系統(tǒng)故障狀態(tài)F={n,f}。

該系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖1 所示。令Pi(t)=P{X(t)=i}(i∈E)，表示時(shí)刻t系統(tǒng)處于狀態(tài)i的概率。根據(jù)兩類失效模式發(fā)生率恒定的特點(diǎn)，可以證明{X(t)=i}是以E為狀態(tài)空間的齊次馬爾科夫過程[11]。

圖 1 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.1 Diagram of state transition of system

可得該系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移率矩陣為

為求系統(tǒng)可靠度，將狀態(tài)n和f認(rèn)定為吸收狀態(tài)，則根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖得到微分方程組：

對上述微分方程組兩端作拉普拉斯變換，并利用初始條件系統(tǒng)在0 時(shí)刻處于狀態(tài)0，即：(P0(0),P1(0),···,Pn-1(0),Pn(0),Pf(0))=(1,0,···,0,0,0)，可解出：

對上述各Pi*(s)進(jìn)行拉氏逆變換，可得各狀態(tài)概率函數(shù)Pi(t)，那么系統(tǒng)處于正常工作狀態(tài)的概率Pi(t)=P{X(t)=i}(i∈W)。對上述各概率求和，即可得到系統(tǒng)的可靠度：

對于連續(xù)型馬爾科夫過程來說，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)較多、微分方程組較復(fù)雜時(shí)，可以將連續(xù)型馬爾科夫過程離散化為馬爾科夫鏈，并通過數(shù)值計(jì)算方法來求得各狀態(tài)概率[10-12]，即：

式中：P(t)=[P0(t),P1(t),···,Pn(t),Pf(t)]；P(Δt)為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣；m=[t/Δt]；[t/Δt]表示對t/Δt進(jìn)行取整運(yùn)算；Δt為時(shí)間步長，一般情況下取Δt=，h=0.0001即可滿足精度要求，ai j為矩陣A的元素。且有：

3 Monte Carlo 仿真方法

本文所述可靠性模型可以通過構(gòu)建Monte Carlo 仿真算法來進(jìn)行仿真計(jì)算[13-15]，系統(tǒng)壽命的一次仿真具體步驟如下：

1）生成2 組n×1的服從參數(shù)為 λ1、λ2的指數(shù)分布的數(shù)組T1、T2，作為各單元2 種失效模式下的失效時(shí)間。

2）分別從T1、T2中選取最小值T1min、T2min，比較T1min和T2min。若T1min＞T2min，則有系統(tǒng)壽命Ts=T2min，本次壽命仿真結(jié)束；否則將T1min及對應(yīng)的T2中的分量從數(shù)組中剔除，生成新的T1、T2，并轉(zhuǎn)回步驟2，直至T1、T2已變?yōu)榭諗?shù)組，此時(shí)Ts=T1max。

執(zhí)行上述步驟N次，可得到N組壽命數(shù)據(jù)。對其進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，可得系統(tǒng)平均壽命及其標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為

對于給定的置信水平1-α，系統(tǒng)平均壽命的置信區(qū)間為

式中：z1-α/2由Φ(z1-α/2)=1-α/2給出，Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)。

因此，上述Monte Carlo 仿真算法的收斂判據(jù)為：在給定的置信水平1-α完成第l次仿真后，若小于給定值，則仿真結(jié)束，輸出結(jié)果。

4 實(shí)例分析

某型光電吊艙由主機(jī)提供28 V 直流電壓，為確保供電可靠性，由主機(jī)到光電吊艙的供電回路通常采用3 路并聯(lián)的方式。各供電支路由兩端的接插件和中間的線路組成，歸納起來，各支路失效模式分為2 種：斷路和短路。其中造成斷路的原因包括：由振動引起的焊點(diǎn)疲勞斷開、線路疲勞折斷等；造成短路的原因包括：由振動引起的絕緣層磨損、由高溫造成的線路絕緣層老化、由低溫造成的線路絕緣層脆化斷裂。對于斷路失效，各供電支路屬于并聯(lián)可靠性模型，即為I 型失效模式；對于短路失效，各供電支路屬于串聯(lián)可靠性模型，即為II 型失效模式。故對于該供電回路的可靠性分析，可以采用本文中的模型來進(jìn)行。系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖2 所示。

圖 2 供電回路狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.2 Diagram of state transition of power supply circuit

一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P(Δt)為

根據(jù)（3）式和（4）式，該供電回路的可靠度及平均壽命（mean time to failures,MTTF）分別為

假設(shè)該型光電吊艙供電回路I 型失效模式的故障率為λ1=1/30 000 h-1，λ2=1/36 000 h-1。根據(jù)解析公式法、離散馬爾科夫鏈狀態(tài)轉(zhuǎn)移法、Monte Carlo 仿真法進(jìn)行計(jì)算和仿真，其中在Monte Carlo仿真計(jì)算中，設(shè)置信水平1-α=0.99，要求：

將上述各方法得到的供電回路各時(shí)刻可靠度值列表進(jìn)行對比，如表1 所示，表2 為供電回路平均壽命結(jié)果。

由表1 和表2 可知，3 種方法的計(jì)算結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了本文可靠性模型的正確性和可行性，也相互驗(yàn)證了各種方法的正確性。從表1 和表2中還可以看出，對于給定的置信水平和收斂判據(jù)，仿真算法能夠快速收斂，并給出比較滿意的仿真結(jié)果，將供電回路MTTF 誤差控制在1%以內(nèi)，各時(shí)刻可靠度值與解析方法和數(shù)值方法的結(jié)果差別也很小，表明了本文仿真算法的有效性，也為其他更復(fù)雜、難以進(jìn)行解析分析的系統(tǒng)可靠性分析提供了方法和思路。

表 1 供電回路3 種方法下各時(shí)刻可靠度值Table 1 Reliability of power supply circuit at each time with three methods

表 2 供電回路平均壽命結(jié)果Table 2 MTTF results of power supply circuit

對于供電回路的每一路，其失效率為λ1+λ2=(1/30 000+1/36 000)h-1，若按照原有并聯(lián)或串聯(lián)模型進(jìn)行可靠性建模，其可靠度函數(shù)曲線如圖3 所示。則可靠度函數(shù)為

從圖3 和MTTF 計(jì)算結(jié)果可知，本文模型能夠從供電回路實(shí)際失效過程角度出發(fā)，更加符合工程實(shí)際。

圖 3 不同模型下供電回路可靠度函數(shù)曲線Fig.3 Reliability function curves of power supply circuit under different models

5 結(jié)論

本文提出了解析表達(dá)式法、數(shù)值計(jì)算法和Monte Carlo 仿真法3 種方法，用以解決具有多種失效模式且各失效模式均服從指數(shù)分布的產(chǎn)品可靠性建模和分析問題。通過對某光電系統(tǒng)供電回路進(jìn)行實(shí)例分析，驗(yàn)證了上述方法的正確性及可行性，也表明了本文的可靠性模型更加符合工程實(shí)際，對產(chǎn)品的可靠性預(yù)計(jì)及可靠性分析工作具有指導(dǎo)意義。同時(shí)，對于光電系統(tǒng)中其他分系統(tǒng)失效服從非指數(shù)分布的情形，Monte Carlo 仿真方法也可以推廣到其可靠性分析中。將在后續(xù)的研究工作中借助光電系統(tǒng)可靠性試驗(yàn)結(jié)果的對比分析，進(jìn)一步驗(yàn)證本文模型的正確性及應(yīng)用價(jià)值。