Stewart式六維力傳感器輕量化設(shè)計(jì)

王 晨，高 波，楊 旭

（1.陜西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院航空工程學(xué)院，陜西 咸陽(yáng) 712000；2.中國(guó)航天科技集團(tuán)公司陜西電器研究所，陜西 西安 710065；3.北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100094）

六維力傳感器能實(shí)現(xiàn)對(duì)空間力學(xué)環(huán)境的實(shí)時(shí)監(jiān)控，有效地解決空間復(fù)合力測(cè)量問(wèn)題。常見(jiàn)的六維力傳感器按結(jié)構(gòu)可分為Stewart式和一體式。其中，Stewart式六維力傳感器具有量程大、精度高和質(zhì)量小等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域。

2003年，燕山大學(xué)的趙現(xiàn)朝［1］對(duì)Stewart式六維力傳感器的性能指標(biāo)定義、樣機(jī)設(shè)計(jì)及靜力標(biāo)定等進(jìn)行了詳細(xì)研究。2008年，浙江大學(xué)的王宣銀等［2］提出了一種新型的Stewart式六維力傳感器標(biāo)定方法。2009年，燕山大學(xué)的姚建濤等［3］設(shè)計(jì)了一種大量程預(yù)緊式六維力傳感器。2017年，陜西電器研究所的劉曉宇等［4］、高波等［5］設(shè)計(jì)了一款基于局部去耦的重載型Stewart式六維力傳感器。然而，目前針對(duì)Stewart式六維力傳感器的研究主要集中在其精度、各同向性等方面［6-9］，雖有關(guān)于其質(zhì)量方面的理論分析，但缺乏工程應(yīng)用層面的研究。

鑒于高強(qiáng)度、輕量化為航空航天設(shè)備的重要技術(shù)目標(biāo)，筆者擬通過(guò)理論推導(dǎo)、數(shù)值仿真及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證相結(jié)合的方式，在滿足Stewart式六維力傳感器靈敏度和剛度要求的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)一種新型的減重結(jié)構(gòu)，以實(shí)現(xiàn)其輕量化設(shè)計(jì)。

1 Stewart式六維力傳感器各向同性優(yōu)化設(shè)計(jì)

Stewart式六維力傳感器是由上、下加載盤(pán)和6個(gè)支路傳感器（通常每個(gè)支路傳感器均看作“二力桿”）組成的裝配體。其中，上、下加載盤(pán)為主要支撐部件，支路傳感器為彈性敏感元件。如圖1所示，決定Stewart式六維力傳感器性能的主要參數(shù)為支路傳感器與上、下加載盤(pán)的鉸接點(diǎn)到對(duì)應(yīng)加載盤(pán)中心的距離R2、R1，支路傳感器在上、下加載盤(pán)上的定位角φ2、φ1以及上、下加載盤(pán)中心之間的距離Hc［10-12］。圖中：ui、Ui（i=1，2，…，6）為各支路傳感器與上、下加載盤(pán)的鉸接點(diǎn)。

圖1 Stewart式六維力傳感器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Structural diagram of Stewart type six-axis force sensor

根據(jù)螺旋理論，建立各支路傳感器的軸向力與作用于上加載盤(pán)中心的力和力矩的平衡方程：

式中：fi為第i個(gè)支路傳感器的軸向力；li為第i個(gè)支路傳感器軸線指向坐標(biāo)系原點(diǎn)（以上加載盤(pán)中心為原點(diǎn)構(gòu)建坐標(biāo)系）的單位矢量；Fw、Mw分別為作用于上加載盤(pán)中心的力和力矩，

將式（1）簡(jiǎn)化為矩陣形式，可表示為：

式中：F為廣義外力矢，F(xiàn)=［FwMw］；G為Stewart式六維力傳感器的一階靜力影響系數(shù)矩陣；f為支路傳感器反作用力矩陣。

研究表明，Stewart式六維力傳感器的一階靜力影響系數(shù)矩陣G僅與其結(jié)構(gòu)參數(shù)R2、R1、φ2、φ1及Hc有關(guān)。若G非奇異，則G可逆，即有：

式中：J為Stewart式六維力傳感器的雅克比矩陣；G1、G2和J1、J2分別為Stewart式六維力傳感器的一階力/力矩影響系數(shù)矩陣和力/力矩雅克比矩陣。

則廣義外力矢F與支路傳感器反作用力f的關(guān)系可表示為：

由此可得，Stewart式六維力傳感器所受力/力矩的各向同性度及其靈敏度的各向同性度為：

式中：η1、η2和η3、η4分別為Stewart式六維力傳感器所受力/力矩的各向同性度及其靈敏度的各向同性度。

以Stewart式六維力傳感器所受力/力矩的各向同性度及其靈敏度的各向同性度為主要參數(shù)，建立其綜合性能目標(biāo)函數(shù)：

式中：k1、k2和k3、k4分別為力/力矩的各向同性度η1、η2及其靈敏度的各向同性度η3、η4的權(quán)重系數(shù)，權(quán)重矩陣k=[k1k2k3k4]；φ12為支路傳感器在上、下加載盤(pán)上的定位角之差。

結(jié)合式（7）所示的Stewart式六維力傳感器各結(jié)構(gòu)參數(shù)的約束條件，利用MATLAB工具箱對(duì)所構(gòu)建的綜合性能目標(biāo)函數(shù)［13］進(jìn)行優(yōu)化求解，得到該傳感器各向同性度理論最優(yōu)時(shí)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

表1所示為Stewart式六維力傳感器各向同性度理論最優(yōu)時(shí)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，其理論最優(yōu)各向同性度如表2所示。

表1 Stewart式六維力傳感器各向同性度理論最優(yōu)時(shí)的結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Structural parameters of Stewart type six-axis force sensor with optimum theoretical isotropy

表2 Stewart式六維力傳感器的理論最優(yōu)各向同性度Table 2 Theoretical optimum isotropy of Stewart type sixaxis force sensor

根據(jù)表1所示的結(jié)構(gòu)參數(shù)以及表3所示的量程，制作Stewart式六維力傳感器的初始樣機(jī)，其主要由上加載盤(pán)、下加載盤(pán)和支路傳感器（鉸座、彈性體及去耦件）組成（不計(jì)外部濾波放大組件），如圖2所示。

表3 Stewart式六維力傳感器量程Table 3 Range of Stewart type six-axis force sensor

圖2 Stewart式六維力傳感器初始樣機(jī)Fig.2 Initial prototype of Stewart type six-axis force sensor

2 Stewart式六維力傳感器有限元模型構(gòu)建

鑒于Stewart式六維力傳感器為裝配體，其組件數(shù)量較多且約束關(guān)系復(fù)雜，故采用Pro/E軟件建立其三維模型，并以SAT文件格式導(dǎo)入ABAQUS有限元分析軟件。在ABAQUS軟件中進(jìn)行約束關(guān)系設(shè)置時(shí)，為更接近實(shí)際Stewart式六維力傳感器各組件間的連接方式，采用Tie約束。

網(wǎng)格設(shè)置會(huì)直接影響數(shù)值仿真的可靠性。由于所設(shè)計(jì)的Stewart式六維力傳感器的組件均以圓柱體或圓槽形結(jié)構(gòu)為主，其尺寸為30～100 mm，為提高數(shù)值仿真的計(jì)算時(shí)效性和準(zhǔn)確性，選取四面體二次單元C3D10M作為各組件的主要單元。對(duì)傳感器整體采用自由網(wǎng)格劃分技術(shù)，對(duì)彈性體應(yīng)變測(cè)量區(qū)采用掃瓊網(wǎng)格劃分技術(shù)。上、下加載盤(pán)的材料為超硬鋁7A04，支路傳感器（鉸座、彈性體及去耦件）的材料為鈦合金TB9。為滿足計(jì)算精度要求，對(duì)Stewart式六維力傳感器有限元模型進(jìn)行網(wǎng)格密度影響無(wú)關(guān)性分析，結(jié)果如圖3所示。

圖3 Stewart式六維力傳感器有限元模型的網(wǎng)格密度影響無(wú)關(guān)性分析結(jié)果Fig.3 Analysis results of grid density influence independence of Stewart type six-axis force sensor finite element model

由圖3可知，當(dāng)近似全局尺寸小于4 mm時(shí)，Stewart式六維力傳感器有限元模型的計(jì)算精度不受網(wǎng)格密度的影響，最終共生成150萬(wàn)個(gè)C3D10M網(wǎng)格單元，劃分效果如圖4所示。此外，外力矢的傳導(dǎo)是通過(guò)上、下加載盤(pán)的螺孔和銷孔實(shí)現(xiàn)的，為更接近真實(shí)的力矢?jìng)鲗?dǎo)，采用梁約束方式進(jìn)行等效，并在下加載盤(pán)的螺紋處施加固支約束，完成荷載狀態(tài)設(shè)置。

圖4 Stewart式六維力傳感器有限元模型Fig.4 Finite element model of Stewart type six-axis force sensor

3 Stewart式六維力傳感器初始樣機(jī)性能分析

利用所構(gòu)建的Stewart式六維力傳感器有限元模型，計(jì)算其初始樣機(jī)在不同工作荷載下的強(qiáng)度、剛度和靈敏度，同時(shí)參照設(shè)計(jì)要求對(duì)其剛度和靈敏度進(jìn)行測(cè)試，對(duì)比結(jié)果如表4所示。表中：σmax為最大應(yīng)力，εmax為最大應(yīng)變，σeav為彈性體工作區(qū)的平均應(yīng)力，KF為拉壓剛度，KM為扭轉(zhuǎn)剛度，T為靈敏度。值得注意的是，相同荷載工況下，上、下加載盤(pán)的應(yīng)力僅為彈性體應(yīng)力的7%～12%，故不計(jì)入統(tǒng)計(jì)。由表4可知，通過(guò)數(shù)值仿真得到的Stewart式六維力傳感器初始樣機(jī)的最大應(yīng)力遠(yuǎn)小于材料的屈服極限1 050 MPa，無(wú)論是仿真剛度還是實(shí)測(cè)剛度均遠(yuǎn)大于設(shè)計(jì)要求，靈敏度遠(yuǎn)小于最佳靈敏度2 mV/V。

表4 Stewart式六維力傳感器初始樣機(jī)的性能對(duì)比Table 4 Performance comparison of initial prototype of Stewart type six-axis force sensor

經(jīng)實(shí)測(cè)，Stewart式六維力傳感器初始樣機(jī)的質(zhì)量為6.437kg，其質(zhì)量分布如表5所示。由表5可知，Stewart式六維力傳感器初始樣機(jī)的上、下加載盤(pán)質(zhì)量占總質(zhì)量的77.54%，而支路傳感器（鉸座、彈性體及去耦件）和標(biāo)準(zhǔn)件（螺釘、螺母）的質(zhì)量?jī)H占22.46%。

表5 Stewart式六維力傳感器初始樣機(jī)的質(zhì)量分布Table 5 Mass distribution of initial prototype of Stewart type six-axis force sensor

綜上可知，Stewart式六維力傳感器初始樣機(jī)的剛度過(guò)大、靈敏度欠佳且加載盤(pán)質(zhì)量占比高?？紤]到支路傳感器結(jié)構(gòu)復(fù)雜，結(jié)合濺射工藝、加工工藝和生產(chǎn)成本，選取上、下加載盤(pán)作為傳感器輕量化設(shè)計(jì)的主體。

4 Stewart式六維力傳感器加載盤(pán)輕量化設(shè)計(jì)

4.1 加載盤(pán)尺寸參數(shù)優(yōu)化

Stewart式六維力傳感器初始樣機(jī)中上、下加載盤(pán)的主要尺寸參數(shù)如圖5和圖6所示。

圖5 上加載盤(pán)半剖視圖Fig.5 Half-section diagram of upper loading plate

圖6 下加載盤(pán)半剖視圖Fig.6 Half-section diagram of lower loading plate

由圖5和圖6可知，上加載盤(pán)的可優(yōu)化參數(shù)為通孔直徑φ1（初始值為182 mm）及沉臺(tái)深度H1（初始值為2.5 mm），下加載盤(pán)的可優(yōu)化參數(shù)為通孔直徑φ2（初始值為202 mm）及沉臺(tái)深度H2（初始值為2.5 mm）。因此，下文主要分析加載盤(pán)尺寸參數(shù)φ1、φ2、H1和H2對(duì) Stewart式六維力傳感器強(qiáng)度、剛度及質(zhì)量的影響。

由于機(jī)械接口、制造工藝等因素的影響，尺寸參數(shù)φ1的可優(yōu)化范圍為182～188 mm，φ2的可優(yōu)化范圍為202～212 mm，H1的可優(yōu)化范圍為2.5～8.0 mm，H2的可優(yōu)化范圍為2.5～5.0 mm。經(jīng)分析計(jì)算可知，φ1、φ2對(duì)Stewart式六維力傳感器質(zhì)量的影響不到2.2%，對(duì)剛度的影響不到1.5%，而H1、H2對(duì)質(zhì)量的影響達(dá)13%～15%。因此，設(shè)定φ1=188 mm，φ2=212 mm，分析H1、H2對(duì) Stewart式六維力傳感器強(qiáng)度、剛度和質(zhì)量的影響規(guī)律。為便于分析，定義K1和K2分別為：

式中：KFx、KFy、KFz分別為沿x、y、z方向的拉壓剛度；KMx、KMy、KMz分別為沿x、y、z方向的扭轉(zhuǎn)剛度。

根據(jù)H1、H2的可優(yōu)化范圍，利用ABAQUS軟件對(duì)Stewart式六維力傳感器在不同H1、H2下的強(qiáng)度（滿量程、全荷載作用下的最大應(yīng)力）、剛度（拉壓剛度K1和扭轉(zhuǎn)剛度K2）和質(zhì)量進(jìn)行數(shù)值仿真分析，結(jié)果如圖7至圖10所示。

圖7 H1、H2對(duì)Stewart式六維力傳感器最大應(yīng)力的影響Fig.7 Effect of H1,H2on maximum stress of Stewart type six-axis force sensor

圖8 H1、H2對(duì)Stewart式六維力傳感器拉壓剛度的影響Fig.8 Effect of H1,H2on tension stiffness of Stewart type six-axis force sensor

圖9 H1、H2對(duì)Stewart式六維力傳感器扭轉(zhuǎn)剛度的影響Fig.9 Effect of H1,H2on torsional stiffness of Stewart type six-axis force sensor

圖10 H1、H2對(duì)Stewart式六維力傳感器質(zhì)量的影響Fig.10 Effect of H1,H2on mass of Stewart type sixaxis force sensor

由圖7至圖10可知，隨著H1、H2的增大，Stewart式六維力傳感器的最大應(yīng)力不斷增大，而其剛度和質(zhì)量不斷減小。根據(jù)其設(shè)計(jì)要求，H1、H2可分別優(yōu)化為4.5 mm和4.0 mm。優(yōu)化后Stewart式六維力傳感器的最大應(yīng)力為987.6 MPa，拉壓剛度KFx=0.672 5×108N/m，KFy=0.653 1×108N/m，KFz=1.057 7×108N/m，扭轉(zhuǎn)剛度KMx=1.167 5×106Nm/rad，KMy=1.003 1×106Nm/rad，KMz=1.756 8×106Nm/rad，質(zhì)量為5.991 kg。

4.2 加載盤(pán)減重結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

Stewart式六維力傳感器上、下加載盤(pán)的原減重結(jié)構(gòu)如圖11所示。

圖11 原加載盤(pán)減重結(jié)構(gòu)示意Fig.11 Schematic diagram of original weight reduction structure of loading plate

由圖11可知，Stewart式六維力傳感器加載盤(pán)減重結(jié)構(gòu)為分布于加載盤(pán)上端面的單層矩形槽，該結(jié)構(gòu)可加工性較好且抗拉壓能力強(qiáng)，但抗扭轉(zhuǎn)性較差、質(zhì)量分布均勻性欠佳及質(zhì)量利用率低。為改善上述問(wèn)題，須對(duì)加載盤(pán)減重結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。鑒于球形結(jié)構(gòu)具有良好的抗拉壓/抗扭轉(zhuǎn)能力且抗各向變形的同性度高，以及正四面體具有良好的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，設(shè)計(jì)了一種具有一定對(duì)稱性的“半球形”減重結(jié)構(gòu)，如圖12所示，即以半球形區(qū)域（半徑為R）作為材料移除部位，4個(gè)半球形區(qū)域位于正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)處，共同構(gòu)成一個(gè)半球形減重單元，正四面體的高度等于優(yōu)化區(qū)域厚度。半球形減重結(jié)構(gòu)除具有球形結(jié)構(gòu)和正四面體的優(yōu)點(diǎn)外，還可改善加載盤(pán)的質(zhì)量分布狀態(tài)，提高了其質(zhì)量分布的均勻性。

圖12 半球形減重結(jié)構(gòu)示意Fig.12 Schematic diagram of hemispherical weight reduction structure

由加載盤(pán)結(jié)構(gòu)可知，上、下加載盤(pán)可優(yōu)化區(qū)域?yàn)閳A環(huán)形區(qū)域，考慮到工藝需求及加工的可行性，上加載盤(pán)可優(yōu)化區(qū)域?yàn)橹睆降扔?82～308 mm的圓環(huán)狀區(qū)域，下加載盤(pán)可優(yōu)化區(qū)域?yàn)橹睆降扔?02～364 mm的圓環(huán)狀區(qū)域。結(jié)合加工效率，針對(duì)上、下加載盤(pán)各提出2種優(yōu)化方案。為方便分析，在加載盤(pán)端面環(huán)形區(qū)域標(biāo)記等間距圓（定義為位置圓），如圖13所示。半球形區(qū)域的球心均布于位置圓上，同時(shí)為保證半球形減重單元的正四面體特性，加載盤(pán)上、下端面位置圓的數(shù)量相差1。將位置圓1（基準(zhǔn)）定義在位置圓個(gè)數(shù)為奇數(shù)的加載盤(pán)端面上，其半徑等于環(huán)形優(yōu)化區(qū)域最小半徑與最大半徑之和的一半；相鄰位置圓之間半徑差等于正四面體邊長(zhǎng)。同理，可確定位置圓個(gè)數(shù)為偶數(shù)的加載盤(pán)端面上的減重結(jié)構(gòu)。

圖13 半球形減重結(jié)構(gòu)位置圓定義Fig.13 Definition of position circle of hemispherical weight reduction structure

1）上加載盤(pán)優(yōu)化方案1。

上加載盤(pán)的優(yōu)化方案1為：上加載盤(pán)上端面設(shè)置3列等間距半球形減重單元，下端面設(shè)置4列等間距半球形減重單元，如圖14所示。

圖14 上加載盤(pán)優(yōu)化方案1Fig.14 Optimization scheme 1 of upper loading plate

2）上加載盤(pán)優(yōu)化方案2。

上加載盤(pán)的優(yōu)化方案2為：上加載盤(pán)上端面設(shè)置4列等間距半球形減重單元，下端面設(shè)置5列等間距半球形減重單元，如圖15所示。

圖15 上加載盤(pán)優(yōu)化方案2Fig.15 Optimization scheme 2 of upper loading plate

3）下加載盤(pán)優(yōu)化方案1。

下加載盤(pán)的優(yōu)化方案1為：下加載盤(pán)上端面設(shè)置4列等間距半球形減重單元，下端面設(shè)置5列等間距半球形減重單元，如圖16所示。

圖16 下加載盤(pán)優(yōu)化方案1Fig.16 Optimization scheme 1 of lower loading plate

4）下加載盤(pán)優(yōu)化方案2。

下加載盤(pán)的優(yōu)化方案2為：下加載盤(pán)上端面設(shè)置5列等間距半球形減重單元，下端面設(shè)置6列等間距半球形減重單元，如圖17所示。

圖17 下加載盤(pán)優(yōu)化方案2Fig.17 Optimization scheme 2 of lower loading plate

取半球形區(qū)域半徑為設(shè)計(jì)變量，參照4個(gè)優(yōu)化方案，依據(jù)設(shè)計(jì)要求建立Stewart式六維力傳感器加載盤(pán)結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型：

式中：V為加載盤(pán)體積。

根據(jù)上、下加載盤(pán)的優(yōu)化方案，利用ABAQUS軟件對(duì)加載盤(pán)減重結(jié)構(gòu)不同的Stewart式六維力傳感器進(jìn)行仿真分析，具體過(guò)程如圖18所示。

圖18 加載盤(pán)減重結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程Fig.18 Optimization design process of loading plate weight reduction structure

設(shè)半球形區(qū)域半徑的初始值為10 mm，以0.1 mm為間隔依次遞減；加載盤(pán)材料為7A04，網(wǎng)格單元為C3D10M，網(wǎng)格單元尺寸為4 mm；螺釘、銷釘處施加固定約束，利用MPC模塊中的梁約束進(jìn)行外荷載施加等效設(shè)置，荷載值參見(jiàn)表2，仿真至最大應(yīng)力、剛度不滿足設(shè)計(jì)要求時(shí)結(jié)束。經(jīng)反復(fù)驗(yàn)證，最終確定上加載盤(pán)采取優(yōu)化方案1，下加載盤(pán)采取優(yōu)化方案2，即上加載盤(pán)半球形區(qū)域半徑取8.2 mm，下加載盤(pán)半球形區(qū)域半徑取7.8 mm。優(yōu)化后上、下加載盤(pán)的端面結(jié)構(gòu)如圖19所示。

圖19 優(yōu)化后的加載盤(pán)端面結(jié)構(gòu)示意Fig.19 Schematic diagram of end face structure of loading plate after optimization

優(yōu)化后Stewart式六維力傳感器的質(zhì)量為5.216 kg，相較于優(yōu)化前下降了18.97%。通過(guò)仿真可得其主要性能如表6所示。

由表 6 可知，在單向力/力矩（Fx、Fy、Fz、Mx、My、Mz）作用下，相較于優(yōu)化前，優(yōu)化后Stewart式六維力傳感器，最大應(yīng)力依次變化了11.98%，10.89%，10.43%，14.96%，-5.17%和8.64%，平均應(yīng)力依次變化了8.46%，12.13%，8.91%，13.19%，-3.31%和8.12%，剛度依次變化了-7.42%，-5.84%，-16.57%，-12.07%，-7.16%和-10.53%，靈敏度依次變化了12.50%，16.00%，15.71%，20.34%，-2.79%和12.51%。

表6 優(yōu)化后Stewart式六維力傳感器的性能Table 6 Performance of Stewart type six-axis force sensor after optimization

圖20所示為優(yōu)化后Stewart式六維力傳感器在滿量程、全荷載作用下的應(yīng)力云圖。由圖可知，優(yōu)化后其最大應(yīng)力為930.4 MPa，滿足設(shè)計(jì)要求（小于1 000 MPa）。

圖20 優(yōu)化后Stewart式六維力傳感器的應(yīng)力云圖Fig.20 Stress cloud diagram of Stewart type six-axis force sensor after optimization

5 Stewart式六維力傳感器優(yōu)化樣機(jī)性能實(shí)驗(yàn)與分析

參照優(yōu)化結(jié)果，制作Stewart式六維力傳感器優(yōu)化樣機(jī)，如圖21所示。

圖21 Stewart式六維力傳感器優(yōu)化樣機(jī)Fig.21 Optimized prototype of Stewart type six-axis force sensor

5.1 質(zhì)量分析

對(duì)Stewart式六維力傳感器優(yōu)化樣機(jī)進(jìn)行整機(jī)質(zhì)量測(cè)定，可得優(yōu)化后的整機(jī)質(zhì)量為5.738 kg，相較于初始樣機(jī)（整機(jī)質(zhì)量為6.967 kg，含約0.530 kg的外部放大組件）下降了17.65%，滿足設(shè)計(jì)要求（小于6.000 kg）。

5.2 靜態(tài)標(biāo)定及測(cè)量誤差分析

假設(shè)Stewart式六維力傳感器為線性系統(tǒng)，則其靜態(tài)標(biāo)定實(shí)質(zhì)上是利用施加的廣義力F和通過(guò)采集卡采集的6個(gè)輸出信號(hào)所構(gòu)成的向量組U求得標(biāo)定矩陣C［14-15］，C=F(UTU)-1UT。

為此，研制了專用的Stewart式六維力傳感器標(biāo)定裝置（滿足宇航產(chǎn)品技術(shù)指標(biāo)實(shí)驗(yàn)要求），如圖22所示，其主要由校準(zhǔn)中心臺(tái)、S型力傳感器、滑輪、螺紋加力組件及加載盤(pán)構(gòu)成。

圖22 Stewart式六維力傳感器標(biāo)定裝置Fig.22 Calibration device of Stewart type six-axis force sensor

在特制的標(biāo)定裝置上對(duì)Stewart式六維力傳感器優(yōu)化樣機(jī)進(jìn)行標(biāo)定，具體步驟如下［16］：

1）參照校準(zhǔn)中心臺(tái)上的位置標(biāo)記，使用力矩扳手將傳感器優(yōu)化樣機(jī)安裝至校準(zhǔn)中心臺(tái)上。

2）傳感器優(yōu)化樣機(jī)按規(guī)定激勵(lì)電源供電（±12 V）并預(yù)熱30 min，顯示儀表等預(yù)熱15 min以上。

3）在傳感器優(yōu)化樣機(jī)量程范圍內(nèi)選6個(gè)測(cè)量點(diǎn)（包含零點(diǎn)和滿量程點(diǎn)）。

4）針對(duì)6個(gè)方向（沿x、y、z軸向和繞x、y、z軸旋轉(zhuǎn)方向），完成傳感器優(yōu)化樣機(jī)的加載與記錄，每個(gè)方向上需完成3次有效加載與記錄。加載方式為：將荷載按測(cè)量點(diǎn)從零逐漸加載至滿量程，然后減小至零，再逐漸增加至負(fù)方向滿量程，然后減小至零，完成一個(gè)測(cè)試循環(huán)。到達(dá)各加載點(diǎn)時(shí)保持5～10 s后記錄相應(yīng)的輸出值（每個(gè)方向正式標(biāo)定前須按上述方法預(yù)加載3次）。

5）采用最小二乘法求解得到3組標(biāo)定矩陣并進(jìn)行平均化處理，最終得到平均標(biāo)定矩陣。

6）參照不同使用工況進(jìn)行耦合補(bǔ)償，得到各工況下的（標(biāo)準(zhǔn)）標(biāo)定矩陣。

式（11）為求解得到的常溫常壓狀態(tài)下優(yōu)化后Stewart式六維力傳感器樣機(jī)的標(biāo)定矩陣C：

通常以Stewart式六維力傳感器的標(biāo)定誤差矩陣作為其單維精度和維間耦合的度量。單維精度由Ⅰ類誤差表示，即測(cè)量力/力矩與實(shí)際施加力/力矩的差值，其為標(biāo)定誤差矩陣中的對(duì)角線元素；維間耦合由Ⅱ類誤差表示，由非對(duì)角線元素表示不同維間耦合程度。標(biāo)定誤差矩陣δ［17-18］可表示為：

式中：Fs為施加于Stewart式六維力傳感器的6×6維標(biāo)定力/力矩矩陣；Fj為基于標(biāo)定數(shù)據(jù)理論計(jì)算得到的6×6維力/力矩矩陣；Fk為由各維滿量程力/力矩構(gòu)成的6×6維對(duì)角矩陣。

結(jié)合式（2）、式（11）和式（12），求得Stewart式六維力傳感器優(yōu)化樣機(jī)的標(biāo)定誤差矩陣δu：

由式（13）可知，對(duì)于Stewart式六維力傳感器優(yōu)化樣機(jī)，其x、y、z方向的力測(cè)量精度分別為0.97%，0.89%和1.34%，其x、y、z方向的力矩測(cè)量精度分別為0.58%，0.46%和0.33%，最大I類誤差為1.34%，出現(xiàn)在z方向上。其中：當(dāng)加載My時(shí)，x方向上產(chǎn)生的維間耦合誤差為2.48%；當(dāng)加載Mz時(shí)，y方向上產(chǎn)生了2.72%的維間耦合誤差，維間耦合較明顯。綜上可知，Stewart式六維力傳感器優(yōu)化樣機(jī)的測(cè)量精度為2.72%，滿足設(shè)計(jì)要求。

5.3 剛度及靈敏度分析

按照國(guó)家軍用測(cè)試標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)Stewart式六維力傳感器優(yōu)化樣機(jī)進(jìn)行剛度及靈敏度測(cè)試，結(jié)果如表7所示。由表7可知，相較于初始樣機(jī)，Stewart式六維力傳感器優(yōu)化樣機(jī)在單向力/力矩（Fx、Fy、Fz、Mx、My、Mz）的作用下，其剛度依次變化了-7.34%，-5.61%，-16.15%，-12.13%，-6.31%和-10.61%，靈敏度依次變化了8.00%，11.54%，17.65%，19.85%，-3.51%和7.76%，這與仿真結(jié)果基本吻合。

表7 Stewart式六維力傳感器優(yōu)化樣機(jī)的剛度、靈敏度Table 7 Stiffness and sensitivity of optimized prototype of Stewart type six-axis force sensor

5.4 工作帶寬分析

對(duì)Stewart式六維力傳感器優(yōu)化樣機(jī)進(jìn)行整機(jī)工作帶寬測(cè)試。通過(guò)測(cè)量得到，優(yōu)化后整機(jī)的工作帶寬約為1 kHz，與優(yōu)化前的基本相同，符合設(shè)計(jì)要求。由此可見(jiàn)，輕量化設(shè)計(jì)并未對(duì)Stewart式六維力傳感器整機(jī)的工作帶寬產(chǎn)生明顯影響。

6 結(jié)論

本文對(duì)Stewart式六維力傳感器進(jìn)行了輕量化設(shè)計(jì)，所得結(jié)果如下。

1）基于螺旋理論，建立了Stewart式六維力傳感器的力映射模型，并結(jié)合多目標(biāo)綜合性能優(yōu)化函數(shù)，有效解決了該傳感器多項(xiàng)力學(xué)性能難以綜合優(yōu)化的問(wèn)題，極大地減少了仿真分析的運(yùn)算量，并能獲取特定約束條件下傳感器的最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)。

2）設(shè)計(jì)了一種具有正四面體特征的半球形減重結(jié)構(gòu)，其具備良好的抗拉壓/抗扭轉(zhuǎn)能力且抗各向變形同性度高、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性好及可加工性強(qiáng)，可有效改善Stewart式六維力傳感器上、下加載盤(pán)質(zhì)量分布不均以及質(zhì)量利用率低的問(wèn)題。

3）經(jīng)理論推導(dǎo)、數(shù)值仿真及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證結(jié)果可知，優(yōu)化后Stewart式六維力傳感器的整機(jī)質(zhì)量下降了17.65%，靈敏度提升了7.76%～19.85%，且測(cè)量精度、剛度、強(qiáng)度及工作帶寬均符合設(shè)計(jì)要求。

研究結(jié)果可為Stewart式六維力傳感器性能的綜合優(yōu)化提供一定的參考。