違約風(fēng)險(xiǎn)下混合養(yǎng)老金的最優(yōu)投資策略

王 奕，王傳玉，劉 帥

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理與金融學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

2008年金融危機(jī)過(guò)后，許多國(guó)家的養(yǎng)老金發(fā)展出現(xiàn)了資產(chǎn)價(jià)值大幅縮水、現(xiàn)期繳費(fèi)不足、養(yǎng)老金福利大幅減少等問(wèn)題，加劇了人們對(duì)潛在災(zāi)難性養(yǎng)老金違約風(fēng)險(xiǎn)導(dǎo)致養(yǎng)老金福利大幅減少的擔(dān)憂，這種擔(dān)憂來(lái)源于全球金融環(huán)境的不確定性和全球人口趨勢(shì)帶來(lái)的壓力。預(yù)期壽命延長(zhǎng)和出生率下降的現(xiàn)況使得公共養(yǎng)老金制度面臨的財(cái)政壓力越來(lái)越大。大多數(shù)發(fā)達(dá)國(guó)家的支持比例(Support Ratio，在職人員/養(yǎng)老金領(lǐng)取人員)也在不斷下降，有關(guān)養(yǎng)老金的財(cái)政赤字預(yù)計(jì)將在可預(yù)見(jiàn)的未來(lái)繼續(xù)存在，養(yǎng)老金計(jì)劃將不可避免地受到資金赤字的負(fù)面影響，因此養(yǎng)老金福利不得不隨之減少。傳統(tǒng)的養(yǎng)老金計(jì)劃正在經(jīng)受著現(xiàn)實(shí)的考驗(yàn),越來(lái)越難以滿足養(yǎng)老金市場(chǎng)的需求，兼具確定給付(Defined-benefit,DB)和確定繳費(fèi)(Defined-contribution,DC)型特點(diǎn)的混合型計(jì)劃開(kāi)始大量出現(xiàn)。混合型養(yǎng)老金計(jì)劃的一個(gè)主要目標(biāo)是在可持續(xù)、穩(wěn)定和負(fù)擔(dān)得起的基礎(chǔ)上提供更好的退休保障，將養(yǎng)老金風(fēng)險(xiǎn)在雇主和雇員之間、不同年齡組之間進(jìn)行不同程度的分?jǐn)?，使得養(yǎng)老金計(jì)劃顯得更加公平。計(jì)劃的管理者不僅為計(jì)劃的參與者建立個(gè)人賬戶進(jìn)行獨(dú)立投資，還為計(jì)劃的參與者制定了一個(gè)相對(duì)固定的養(yǎng)老金收益標(biāo)準(zhǔn)。近些年來(lái)，保險(xiǎn)公司正在積極參與交易具有違約風(fēng)險(xiǎn)的高收益?zhèn)?，由于養(yǎng)老基金的投資期限較長(zhǎng)，債券違約事件的發(fā)生會(huì)為養(yǎng)老金計(jì)劃的連續(xù)性帶來(lái)影響。因此，考慮保險(xiǎn)公司在可違約債券上的投資選擇是很有必要的。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)混合型的養(yǎng)老金計(jì)劃進(jìn)行了一定的研究，Kevin等[1]的一份研究報(bào)告介紹了傳統(tǒng)的DB和DC計(jì)劃的風(fēng)險(xiǎn)分擔(dān)方式和混合養(yǎng)老金計(jì)劃的全面知識(shí)，以及全球混合計(jì)劃的發(fā)展情況，提出了發(fā)展混合型養(yǎng)老金計(jì)劃的重要意義。Turner等[2]評(píng)估了國(guó)際上不同國(guó)家的混合計(jì)劃的種類(lèi)，并以四種不同的混合方案為案例進(jìn)行了深入的研究：荷蘭的混合型DB計(jì)劃，瑞典的非金融DC計(jì)劃(Nonfinancial DC Plan)，美國(guó)、加拿大和日本的現(xiàn)金平衡計(jì)劃(Cash Balance Plans)，以及德國(guó)的李斯特計(jì)劃(Riester Plans)，此外還構(gòu)建了混合方案進(jìn)一步分類(lèi)的風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)體系。陳凱等[3]分析了兩種典型的混合型養(yǎng)老金——傳統(tǒng)DB模式與DC模式混合型養(yǎng)老金和保證固定收益率的混合型養(yǎng)老金，將養(yǎng)老金的固定收益保證視為歐式期權(quán)，利用Black-Scholes模型進(jìn)行期權(quán)定價(jià)，最后發(fā)現(xiàn)在實(shí)務(wù)中保證固定收益率的混合型養(yǎng)老金更具有優(yōu)勢(shì)。

基于養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)資產(chǎn)配置策略研究，大部分學(xué)者都是在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的財(cái)富組合下，研究年金的財(cái)富投資問(wèn)題。一類(lèi)文獻(xiàn)主要研究DB型養(yǎng)老金的最優(yōu)繳費(fèi)問(wèn)題和最優(yōu)投資問(wèn)題，而對(duì)于DC型養(yǎng)老金，因?yàn)槔U費(fèi)率提前確定，未來(lái)的養(yǎng)老金支付水平將完全取決于參保人的繳費(fèi)水平和養(yǎng)老基金投資運(yùn)營(yíng)的投資收益，所以對(duì)投資和風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題的研究居多。Boulier等[4]建立了一個(gè)跨期框架中的權(quán)衡模型，使用隨機(jī)控制方法研究了DB計(jì)劃中養(yǎng)老基金投資和繳費(fèi)政策的優(yōu)化。Davis等[5]通過(guò)對(duì)38個(gè)國(guó)家(16個(gè)新興市場(chǎng)國(guó)家和22個(gè)OECD國(guó)家)養(yǎng)老金資產(chǎn)配置的實(shí)證分析，得出結(jié)論：將資產(chǎn)配置于股票可獲得高投資回報(bào)率，對(duì)于OECD國(guó)家可以將少數(shù)比例的資產(chǎn)配置于國(guó)外資產(chǎn)，但投資國(guó)內(nèi)股票可獲得較高收益，且OECD國(guó)家不易將國(guó)外投資作為主要投資，養(yǎng)老金投資呈現(xiàn)“國(guó)內(nèi)傾向”。肖建武等[6]通過(guò)構(gòu)建養(yǎng)老基金資產(chǎn)配置的常方差彈性模型，提出了退休前后資產(chǎn)配置比例的計(jì)算公式，在追求指數(shù)效用最大化的條件下求得了精確解析解。對(duì)于具體養(yǎng)老金計(jì)劃資產(chǎn)配置的研究多借助于數(shù)理模型的分析，如Gao[7]應(yīng)用隨機(jī)優(yōu)化方法，構(gòu)造了相應(yīng)的Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程，研究了DC計(jì)劃養(yǎng)老基金的最優(yōu)資產(chǎn)配置問(wèn)題。

以上文獻(xiàn)大都假設(shè)金融市場(chǎng)中只存在一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種高風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(股票)，但是在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中，可違約的公司債券也一直是保險(xiǎn)公司的主要投資資產(chǎn)，因此考慮養(yǎng)老金基金在可違約債券上的投資也是很有必要的。Bielecki等[8]研究了在最大化終端財(cái)富的預(yù)期HARA效用的目標(biāo)下，與違約債券相關(guān)的最優(yōu)分配問(wèn)題。Sun等[9]研究了模型歧義和違約風(fēng)險(xiǎn)下保險(xiǎn)人的魯棒最優(yōu)投資和再保險(xiǎn)問(wèn)題，該問(wèn)題包括儲(chǔ)蓄賬戶、股票和違約債券的交易，目標(biāo)是使期望CARA效用最大化。Deng等[10]推導(dǎo)出了具有違約風(fēng)險(xiǎn)的兩個(gè)保險(xiǎn)公司之間的非零和隨機(jī)微分博弈的均衡策略。Jang等[11]同時(shí)考慮了借款約束和保險(xiǎn)公司違約風(fēng)險(xiǎn)，解決了不完全市場(chǎng)中的最優(yōu)消費(fèi)和投資問(wèn)題，以封閉形式推導(dǎo)出了最優(yōu)消費(fèi)和投資策略。

綜合以上有關(guān)養(yǎng)老金計(jì)劃最優(yōu)投資問(wèn)題的研究文獻(xiàn)，目前還沒(méi)有將違約風(fēng)險(xiǎn)與混合養(yǎng)老金計(jì)劃結(jié)合起來(lái)的相關(guān)研究，因此本文的研究有一定的創(chuàng)新意義。本文模型受到Khorasanee[12]研究的混合養(yǎng)老金計(jì)劃和Wang等[13]改進(jìn)的計(jì)劃的啟發(fā)，結(jié)合DB和DC的資產(chǎn)負(fù)債相關(guān)研究，設(shè)計(jì)一個(gè)混合型養(yǎng)老金計(jì)劃，對(duì)養(yǎng)老金繳款收入和養(yǎng)老金支出同時(shí)做出調(diào)整，以攤銷(xiāo)因精算負(fù)債和基金價(jià)值之間的差異而產(chǎn)生的盈余或赤字，使得養(yǎng)老金風(fēng)險(xiǎn)可以由不同代人共同管理和分擔(dān)。根據(jù)混合養(yǎng)老金系統(tǒng)的資產(chǎn)及負(fù)債情況，考慮違約風(fēng)險(xiǎn)因素，假設(shè)養(yǎng)老金資產(chǎn)可以投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)、普通風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(如股票)和可違約債券，選擇合適的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行投資策略的優(yōu)化，分別得到違約前和違約后的價(jià)值函數(shù)和最優(yōu)策略，從而動(dòng)態(tài)調(diào)整養(yǎng)老金的繳費(fèi)和收益水平，避免養(yǎng)老金計(jì)劃中存在的不連續(xù)風(fēng)險(xiǎn)。最后對(duì)結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬，分析價(jià)格過(guò)程中相關(guān)參數(shù)對(duì)最優(yōu)策略的影響。

本文的創(chuàng)新之處在于，將違約風(fēng)險(xiǎn)因素融入混合養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)投資策略之中，這是對(duì)傳統(tǒng)DB或DC型養(yǎng)老金計(jì)劃研究的進(jìn)一步深入，也是有關(guān)商業(yè)養(yǎng)老理財(cái)產(chǎn)品的理論創(chuàng)新。我國(guó)的養(yǎng)老保險(xiǎn)金融改革剛剛起步，隨著我國(guó)人口老齡化程度加深以及社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的提高，我國(guó)養(yǎng)老金體系三大支柱發(fā)展不均衡的問(wèn)題日益凸顯，加快養(yǎng)老金第三支柱建設(shè)迫在眉睫。為此，“十四五”規(guī)劃綱要明確提出，要實(shí)現(xiàn)基本養(yǎng)老保險(xiǎn)全國(guó)統(tǒng)籌，發(fā)展多層次、多支柱的養(yǎng)老保險(xiǎn)體系；2021年9月3日，中國(guó)人民銀行發(fā)布了《中國(guó)金融穩(wěn)定報(bào)告(2021)》，提出規(guī)范發(fā)展第三支柱養(yǎng)老保險(xiǎn)的建議；2021年9月10日，銀保監(jiān)會(huì)正式發(fā)布《關(guān)于開(kāi)展養(yǎng)老理財(cái)產(chǎn)品試點(diǎn)的通知》，養(yǎng)老理財(cái)正式參與我國(guó)養(yǎng)老金第三支柱的建設(shè)。未來(lái)我國(guó)養(yǎng)老金第三支柱的發(fā)展前景廣闊，考慮各種風(fēng)險(xiǎn)因素的養(yǎng)老金計(jì)劃研究也是十分有意義的。

1 模型及假設(shè)

1.1 金融市場(chǎng)

給定賦流完備概率空間[Ω,F,(Ft)t∈[0,T],P]，Ω是真實(shí)空間，濾子Ft表示t時(shí)刻為止的所有信息，由m維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)W(t)=[W1(t),W2(t),…,Wm(t)]′生成，且m維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)Wi(t)之間相互獨(dú)立，P是概率測(cè)度。假設(shè)在時(shí)間段[0,T]內(nèi)，金融市場(chǎng)是一個(gè)無(wú)套利無(wú)摩擦的完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)，金融資產(chǎn)是連續(xù)交易的。

金融市場(chǎng)由一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)、一支股票(風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn))和一種可違約債券組成，資產(chǎn)的價(jià)值滿足：

dS0(t)=r0S0(t)dt,S0(0)=1,

(1)

dS1(t)=S1(t)[μ1dt+σ1dW1(t)],

(2)

式中，r0為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率;μ1和σ1表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和波動(dòng)率。

接下來(lái)推導(dǎo)違約資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程，不像前兩種資產(chǎn)直接給出在現(xiàn)實(shí)世界概率測(cè)度P下的動(dòng)態(tài)過(guò)程，我們首先定義風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度Q下的價(jià)格過(guò)程，然后基于此給出概率測(cè)度P下的價(jià)格過(guò)程。令τ為違約時(shí)刻，它為定義在概率空間[Ω,F,(Ft)t∈[0,T],P]中的非負(fù)隨機(jī)變量，則違約過(guò)程{H(t)}定義為H(t)=I{τ≤t}，假設(shè)該過(guò)程為概率測(cè)度P下具有恒定強(qiáng)度hP的泊松過(guò)程，則有鞅違約過(guò)程(3)，該過(guò)程為(G,P)鞅：

相對(duì)應(yīng)的{Mp(t)}的隨機(jī)微分方程為

dMp(t)=dH(t)-hp(1-H(t-))dt。

根據(jù)Bielecki等[8]的定義，存在一個(gè)到期日為T(mén)1的可違約零息債券，ζ∈[0,1]為違約發(fā)生時(shí)的損失比例(假設(shè)為常數(shù))，hQ為測(cè)度Q下的違約強(qiáng)度，風(fēng)險(xiǎn)中性信用利差為δ′=ζhQ，則該違約債券的價(jià)格過(guò)程為

p(t,T1)=I{τ>t}e-(r+δ′)(T1-t)+I{τ≥t}(1-ζ)e-(r+δ′)(T1-t)er(t-τ)。

在測(cè)度Q下有類(lèi)似的(G,P)鞅過(guò)程：

那么違約債券的價(jià)格過(guò)程滿足：

dp(t,T1)=rp(t,T1)dt-ζe-(r+δ′)(T1-t)dMQ(t)。

dp(t,T1)=p(t-,T1)[rdt+(1-H(t))(1-Δ)δ′dt-(1-H(t-))ζdMp(t)],

(3)

該方程由兩個(gè)部分組成(Yu[15])：第一部分是相同條件無(wú)違約債券的收益；第二部分是t時(shí)沒(méi)有發(fā)生違約的前提下風(fēng)險(xiǎn)中性信用利差與真實(shí)世界信用利差之間的差異。

1.2 混合養(yǎng)老金計(jì)劃設(shè)定

考慮非平穩(wěn)年齡結(jié)構(gòu)人群在一個(gè)時(shí)間周期內(nèi)的演化：

(3)w(x,t)表示a≤x≤r時(shí)在職人員的平均年薪率。假設(shè)達(dá)到退休年齡r的成員的初始養(yǎng)老金福利是當(dāng)時(shí)最終薪金率的ξ部分，即工資替代率為ξ；

(4)h(x)表示適用于多年前退休人員(x-r)的初始養(yǎng)老金福利的年齡相關(guān)調(diào)整系數(shù)，且h(r)=1；

養(yǎng)老金計(jì)劃的最終籌資方法可表示為t時(shí)刻r年齡退休人員未來(lái)養(yǎng)老金收入精算現(xiàn)值=工作期間應(yīng)計(jì)養(yǎng)老金。t時(shí)刻r年齡退休人員未來(lái)養(yǎng)老金福利總額精算現(xiàn)值為

在職人員在t時(shí)刻達(dá)到退休年齡r時(shí)確認(rèn)養(yǎng)老金負(fù)債(義務(wù))，該負(fù)債需要通過(guò)在職成員在工作期間的繳款來(lái)確認(rèn)和供資。為了描述養(yǎng)老金的應(yīng)計(jì)精算負(fù)債，應(yīng)用Bowers等[16]的精算函數(shù)M(x)來(lái)表示在職成員在終端供資方法下作為養(yǎng)老金系統(tǒng)精算負(fù)債累積的1美元未來(lái)養(yǎng)老金福利的一部分。M(x)為非減函數(shù)，對(duì)a≤x≤r，年齡為x的成員具有0≤M(x)≤1的右連續(xù)函數(shù)。定義M(x)的密度函數(shù)為m(x)，以密度m(x)累積的繳費(fèi)可以完全提供給計(jì)劃成員支付未來(lái)養(yǎng)老金。

用NC(t)代表t時(shí)所有在職成員未來(lái)養(yǎng)老金福利的精算現(xiàn)值比率，這也是t時(shí)需要由在職成員的養(yǎng)老金繳款供資的公認(rèn)負(fù)債比率。

(4)

用PB(t)表示t時(shí)刻需向所有已退休人員支付的養(yǎng)老金比率：

(5)

由于存在著財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)，養(yǎng)老金的盈利水平對(duì)養(yǎng)老金系統(tǒng)存在著一定的隱含性影響，因此，應(yīng)該動(dòng)態(tài)地調(diào)整在職成員目前支付的養(yǎng)老金繳款和應(yīng)支付給退休人員的養(yǎng)老金支出。為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，定義兩個(gè)控制變量λ1(t)和λ2(t)，用以同時(shí)調(diào)整養(yǎng)老金給付率(即養(yǎng)老基金收益)和繳費(fèi)率(即養(yǎng)老基金支出率)。

B(t)=PB(t)+λ1(t),

(6)

C(t)=NC(t)-λ2(t),

(7)

式中，C(t)為養(yǎng)老金的繳費(fèi)率，B(t)為養(yǎng)老金的給付率。若t時(shí)刻養(yǎng)老金基金存在著盈余SP(t)>0，那么就可以對(duì)λ1(t)和λ2(t)進(jìn)行正向調(diào)整，即增加養(yǎng)老金給付，減少養(yǎng)老金繳費(fèi)；若t時(shí)刻養(yǎng)老金基金存在著盈余SP(t)<0，那么就可以對(duì)λ1(t)和λ2(t)進(jìn)行負(fù)向調(diào)整。這兩個(gè)控制變量發(fā)揮著攤銷(xiāo)養(yǎng)老金基金盈余SP(t)的作用，基金的資產(chǎn)回報(bào)分散在在職成員和退休人員身上，這就意味著代際之間的不連續(xù)風(fēng)險(xiǎn)可以根據(jù)基金盈余情況進(jìn)行轉(zhuǎn)移或分擔(dān)，養(yǎng)老金計(jì)劃的“混合性”也就體現(xiàn)在這里。

1.3 混合養(yǎng)老金資產(chǎn)負(fù)債過(guò)程

假設(shè)t時(shí)刻投資于股票和可違約債券的金額分別為π1(t)和πp(t)，則混合養(yǎng)老金的財(cái)富過(guò)程表示為

(8)

養(yǎng)老金計(jì)劃中的實(shí)際總負(fù)債不僅包括精算應(yīng)計(jì)負(fù)債，還應(yīng)包含其他因素造成的負(fù)債，因此可以對(duì)精算應(yīng)計(jì)負(fù)債進(jìn)行修正，將投資收益的變化納入負(fù)債的調(diào)整，從而得到實(shí)際負(fù)債的微分表達(dá)：

(9)

式(9)可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

(10)

因?yàn)镾P(t)=F(t)-L(t)，則有盈余過(guò)程的微分方程：

(11)

設(shè)φ(t,l,f)為t時(shí)刻的目標(biāo)函數(shù)，l為負(fù)債水平，f為資產(chǎn)價(jià)值，則有

(12)

(13)

式中，∏是所有可容許策略的集合，參數(shù)是估值的貼現(xiàn)率β和3個(gè)損失函數(shù)Lλ1(t)、Lλ2(t)和LSP(t)，它們分別代表收益風(fēng)險(xiǎn)、繳費(fèi)風(fēng)險(xiǎn)和計(jì)劃終端盈余的不連續(xù)風(fēng)險(xiǎn)。

2 模型求解

使用指數(shù)效用函數(shù)作為損失函數(shù)，度量收益風(fēng)險(xiǎn)、繳費(fèi)風(fēng)險(xiǎn)、不連續(xù)風(fēng)險(xiǎn)的損失函數(shù)由指數(shù)函數(shù)組成：

Lλ1(t;Q1,q1)=Q1e-q1λ1(t),

Lλ2(t;Q2,q2)=Q2e-q2λ2(t),

Lsp(t;Q3,q3)=Q3e-q3sp(t),

式中，系數(shù)Qi為損失函數(shù)的相對(duì)權(quán)重，反映了退休人員的風(fēng)險(xiǎn)偏好。qi為相應(yīng)正、負(fù)偏差的內(nèi)部權(quán)重。一般情況下，指數(shù)型損失函數(shù)對(duì)負(fù)偏差的權(quán)值大于對(duì)正偏差的權(quán)重。價(jià)值函數(shù)最終表示為

F(t)=f,H(t)=z],

(14)

邊界條件為J(T,l,f)=Q3e-q3SP(T)-βT。

使用標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)控制方法為最優(yōu)化問(wèn)題提供框架。通過(guò)運(yùn)用HJB變分法將完全非線性偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程進(jìn)而對(duì)該模型進(jìn)行求解，最終得到最優(yōu)投資策略。在本節(jié)中，首先利用隨機(jī)最優(yōu)控制理論推導(dǎo)出優(yōu)化問(wèn)題式(14)的一般框架，然后分別得到違約前(z=0)和違約后(z=1)的價(jià)值函數(shù)和最優(yōu)策略。

2.1 一般框架

上述優(yōu)化問(wèn)題對(duì)應(yīng)的HJB方程為

sup{Aπ,λ1,λ2J(t,l,f,z)}=0,

(15)

J(t,l,f)的變分算子為

Aπ,λ1,λ2J(t,l,f,z)=Jt+[r0f+π1(t)(μ1-r0)+πp(1-H(t))(1-Δ)δ′+C(t)-B(t)]Jf+

hp[J(t,f-ζπp,l,1)-J(t,l,f,0)](1-z)+[Q1e-q1λ1(t)+Q2e-q2λ2(t)]e-βt,

(16)

式中，Jt、Jl、Jf、Jff分別為變量t、l、f的一階偏微分和二階偏微分。

2.2 違約后情況(z=1)

在違約發(fā)生后，p(t,T1)=0，τ≤t≤T，那么有πp(t)=0。式(16)變?yōu)?/p>

Aπ,λ1,λ2J(t,l,f,1)=Jt+[r0f+π1(t)(μ1-r0)+πp(1-H(t))(1-Δ)δ′+C(t)-B(t)]Jf+

(17)

因此，基于最優(yōu)控制問(wèn)題式(15)，分別給出了最優(yōu)資產(chǎn)分配策略和調(diào)整策略。

定理1 最優(yōu)策略的控制變量為

(18)

相對(duì)應(yīng)的值函數(shù)為J(t,l,f,1)=Q3e[b(t)f+c(t)l+h1(T-t)-βt]；其中，

2.3 違約發(fā)生前(z=0)

當(dāng)違約沒(méi)有發(fā)生時(shí)，有

(19)

因此，針對(duì)最優(yōu)控制問(wèn)題式(15)，分別給出了最優(yōu)資產(chǎn)分配策略和調(diào)整策略。

定理2 最優(yōu)策略的控制變量為

(20)

相對(duì)應(yīng)的值函數(shù)為J(t,l,f,1)=Q3e[b(t)f+c(t)l+h0(T-t)-βt]。其中，

3 數(shù)值模擬與分析

上一節(jié)中，在指數(shù)效用函數(shù)下，得到了混合型養(yǎng)老保險(xiǎn)模型的最優(yōu)投資分配和養(yǎng)老保險(xiǎn)費(fèi)率以及養(yǎng)老保險(xiǎn)福利支付調(diào)整策略的明確表達(dá)式。在這一部分，使用蒙特卡羅模擬方法來(lái)提供數(shù)值例子說(shuō)明得出的結(jié)果。

3.1 基本數(shù)值假設(shè)

養(yǎng)老金模型中相關(guān)基礎(chǔ)公式假設(shè)參考Bowers等[16]的研究；模型中的其他參數(shù)取值參考Wang等[13]和張永濤等[17]的研究，具體參數(shù)取值如表1、2所示。

表1 相關(guān)公式假設(shè)

表2 相關(guān)參數(shù)取值

3.2 模擬結(jié)果

(1)違約發(fā)生后。

(2)違約發(fā)生前。

①模型參數(shù)對(duì)最優(yōu)投資策略的影響。圖5～7描述了資產(chǎn)組合中可違約債券的最優(yōu)投資比例變化及相關(guān)參數(shù)的影響?？傮w來(lái)看，可違約債券的最優(yōu)投資比例隨著時(shí)間的推移而降低。由圖5可知，可違約債券的最優(yōu)投資比例與違約強(qiáng)度hp成反比，即違約強(qiáng)度越高，投資計(jì)劃對(duì)可違約債券的投資金額越少；由圖6可知，可違約債券的最優(yōu)投資比例與違約損失率ζ成反比，因?yàn)楫?dāng)違約發(fā)生時(shí)，損失率越高，可違約債券就越?jīng)]有吸引力；由圖7可知，可違約債券的最優(yōu)投資比率與風(fēng)險(xiǎn)中性信用利差δ′成正比，因?yàn)樾庞美钤酱?，増加?duì)可違約債券的投資金額將獲得更多的收益。

4 結(jié)論

本文主要研究了違約風(fēng)險(xiǎn)下混合養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)投資和策略調(diào)整問(wèn)題。假設(shè)養(yǎng)老金基金可以投資于一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)、一種普通風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(如股票)和一種可違約債券，考慮在職成員和退休人員的“損失”以及與養(yǎng)老基金連續(xù)性相關(guān)的終端約束的養(yǎng)老基金隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題，根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，建立相對(duì)應(yīng)的HJB方程，分別得到違約前和違約后養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)投資策略和最優(yōu)調(diào)整策略，最后通過(guò)數(shù)值模擬分析了各模型參數(shù)對(duì)最優(yōu)策略的影響。結(jié)果顯示在職人員和退休人員對(duì)損失的厭惡程度會(huì)影響到最優(yōu)繳費(fèi)調(diào)整策略和最優(yōu)收益調(diào)整策略；風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)模型和可違約債券價(jià)格模型中的參數(shù)都會(huì)影響對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和可違約債券的投資策略，研究得出相關(guān)參數(shù)對(duì)投資策略的影響也可以為養(yǎng)老金計(jì)劃或政策的設(shè)計(jì)提供借鑒。黨的十八大以來(lái)，政府高度重視養(yǎng)老金第三支柱的發(fā)展，在第一支柱養(yǎng)老金基本完善，第二支柱職業(yè)養(yǎng)老金覆蓋面不足的背景下，逐漸強(qiáng)調(diào)規(guī)范發(fā)展養(yǎng)老保險(xiǎn)第三支柱，第三支柱的建設(shè)方向逐漸明確，我國(guó)養(yǎng)老理財(cái)市場(chǎng)將迎來(lái)巨大發(fā)展空間，對(duì)養(yǎng)老金計(jì)劃的投資問(wèn)題進(jìn)行研究，有助于養(yǎng)老理財(cái)產(chǎn)品的設(shè)計(jì)和規(guī)劃。

本文假設(shè)違約強(qiáng)度是恒定的常數(shù)，但是在實(shí)際問(wèn)題中，違約強(qiáng)度往往是一個(gè)不確定的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，以隨機(jī)過(guò)程或相關(guān)分布來(lái)刻畫(huà)違約強(qiáng)度可能更合理一些，如Jang等[11]就為違約強(qiáng)度設(shè)計(jì)了一個(gè)密度函數(shù)，使用分布函數(shù)來(lái)刻畫(huà)違約過(guò)程。此外本文以期望指數(shù)損失效用最小為目標(biāo)建立目標(biāo)函數(shù)，使用其他形式的效用函數(shù)是可以進(jìn)一步延伸的研究方向。