模態(tài)邏輯與真理論*

李 晟 胡澤洪

一、引言

二、模態(tài)算子邏輯中的真理論

我們知道，僅通過算子方法并不能建立起令人滿意的真理論。因?yàn)闊o論把真算子（truth operator）表達(dá)成何種形式，只要令它滿足塔斯基雙條件模式，這樣的真算子就不足道。比如以“■”表示“真”，那么根據(jù)塔斯基雙條件模式，算子“■”應(yīng)滿足如下性質(zhì)：

很明顯，（Tr）使得真算子理論立刻坍塌為經(jīng)典命題邏輯。

在以自然的模型論解釋說明模態(tài)系統(tǒng)時(shí)，對(duì)模態(tài)詞的說明總是通過真來完成的。例如，語句p在某個(gè)可能世界w中是必然的，當(dāng)且僅當(dāng)p在每個(gè)與w有可及關(guān)系的可能世界中都是真的。只不過在這里，真是自明的，不需要再追問“什么是真”（what is truth）這個(gè)傳統(tǒng)真理論的重大問題。此外，在模態(tài)邏輯的語形方面，模態(tài)公式常常用于表達(dá)對(duì)模態(tài)概念的某種哲學(xué)構(gòu)想，而這些哲學(xué)構(gòu)想往往也包含著關(guān)于真的內(nèi)容。例如，Kp→p可用于表達(dá)“知識(shí)蘊(yùn)涵真”，而p∧?Bp可用于表達(dá)“p為真但某人不相信p”。由此可見，無論是模態(tài)邏輯的語形還是語義，模態(tài)邏輯始終都包含著真。盡管無須回答“什么是真”，但包含真也就自然包含了對(duì)真的理解，包含了對(duì)真的性質(zhì)和功能的預(yù)期，因而也就應(yīng)當(dāng)包含了真理論。

從模態(tài)算子邏輯并不明確區(qū)分“p”和“p 為真”這一點(diǎn)來看，如果要用算子方法將模態(tài)邏輯中的真理論表達(dá)出來，那么它應(yīng)當(dāng)滿足特征公理（Tr）。也就是說，模態(tài)邏輯中的真理論是坍塌的。這種坍塌的真理論允許（Tr）適用于所有語句，從而意味著它承認(rèn)塔斯基雙條件模式的所有實(shí)例，通常被稱為“樸素真理論”（naive theory of truth）。我們認(rèn)為，樸素真理論正是隱藏在模態(tài)算子方法中的真理論。但是承認(rèn)塔斯基雙條件模式的所有實(shí)例會(huì)導(dǎo)致說謊者悖論，因此，模態(tài)算子邏輯中的真理論事實(shí)上是不一致的。

盡管算子方法中隱藏著不一致的真理論，但模態(tài)算子邏輯本身仍是一致的，這是因?yàn)橥ㄟ^模態(tài)算子邏輯，人們往往只討論模態(tài)算子所刻畫的模態(tài)概念的性質(zhì)，并不需要本質(zhì)地涉及真概念的性質(zhì)，正如樸素集合論雖然包含悖論，但由它同樣能建立很多數(shù)學(xué)理論。然而一旦在討論中需要本質(zhì)地涉及真，算子方法就會(huì)暴露在悖論的風(fēng)險(xiǎn)中，而表達(dá)式的含義便首當(dāng)其沖?？紤]表達(dá)式 ?p → ?p，這是經(jīng)典命題邏輯的重言式，其含義似乎是確切的。但如果還原出真算子，就至少會(huì)有兩種不同的理解：（i）■?p→ ?■p；（ii）?■p → ■?p。從謂詞的角度看，對(duì)這兩條原則的承認(rèn)與否可能導(dǎo)致完全不同的真理論。那么在算子背景下，人們?cè)谟懻撝腥缛舸_實(shí)涉及真，究竟該如何理解呢？坍塌的真算子無疑模糊了這里的區(qū)別。

考慮認(rèn)知邏輯的公理（T）：Kφ→φ。由于我們通常是用它表達(dá)“知識(shí)蘊(yùn)涵真”，所以我們現(xiàn)在不妨把真直接明確地顯示出來，使之成為：

應(yīng)該說這樣的顯示處理并不會(huì)修改原公理的含義，但倘若將這種經(jīng)由顯示處理之后的模態(tài)原則用于實(shí)際問題的分析中，所得結(jié)果就將大為不同了。

菲奇（F.B.Fitch）提出了著名的“可知性悖論”（Knowability Paradox），在這個(gè)悖論導(dǎo)出矛盾的過程中，其核心命題“p∧?Kp”的含義是：p為真，但p并非已知。現(xiàn)在讓我們簡(jiǎn)單回顧一下菲奇推導(dǎo)中的幾個(gè)關(guān)鍵步驟。

① L.Horsten,, Cambridge: MIT Press, 2011, pp.37-39.

②在真謂詞的理論中，原則（i）因其等值于“?（T〈φ〉∧T〈?φ〉）”而被稱為“真之相容性原則”（T-consistency），原則（ii）因其等值于“T〈φ〉∨T〈?φ〉”而被稱為“真之完全性原則”（T-completeness）。在不同的真之原則的集合中引入這兩條原則將產(chǎn)生不同的結(jié)果。詳細(xì)內(nèi)容可參見H.Friedman, M.Sheard, “An Axiomatic Approach to Self-Referential Truth”,, vol.33, no.1, 1987, pp.1-21.

③ F.B.Fitch, “A Logical Analysis of Some Value Concepts”,, vol.28, no.2, 1963, pp.135-142.矛盾是顯然的，但不能令人滿意，因?yàn)榉破驺Ｕ撍P(guān)注的問題本質(zhì)地涉及了真與知識(shí)。那么對(duì)其核心命題的推導(dǎo)無論如何也不能只采用隱藏的真，而應(yīng)該把真明確地顯示出來，也即改述為“■p ∧ ?Kp”，并重新推導(dǎo)如下：

通過對(duì)真的顯示，矛盾不再唾手可得。倘若要由上述第（3°）步得到矛盾，還必須至少假設(shè)另外兩條原則：（i）■?p → ?■p；（ii）K■p → ■Kp。這兩條原則都不是平庸的，前者是重要的真之原則，后者是關(guān)于真與知識(shí)相互作用的原則。這兩條原則都與真密切相關(guān)，又都不在任何一致的真理論中必定成立。但是在算子背景下，它們都被隱匿起來，造成推導(dǎo)過程中的意義含混，這對(duì)哲學(xué)問題的討論來說是不利的。這是算子方法的一個(gè)缺點(diǎn)。所以，假如我們?cè)诜治鲋T如可知性悖論時(shí)，不能清楚地考慮到這些潛匿的條件，而是急于修正或拋棄那些居于明處的原則，恐怕很難說是獲得了對(duì)問題的真正解答。

反觀以蒙塔古悖論為代表的模態(tài)謂詞悖論，雖然算子方法確實(shí)規(guī)避了矛盾，但是正如我們所看到的，算子方法中隱藏著不一致的真理論，這種不一致性雖不直接影響模態(tài)邏輯，但仍會(huì)在涉及真的推導(dǎo)中默默地發(fā)揮作用。因此，我們不得不考慮這樣一種可能性：算子方法通過禁止語言的惡性自指，消除的只是矛盾的次要方面，而矛盾的主要方面則被掩蓋起來，當(dāng)孔斯以一種特殊的方式（即φ??Jφ）重構(gòu)矛盾的次要方面時(shí)，矛盾就立刻發(fā)生了。我們認(rèn)為，這個(gè)被掩蓋起來的方面正是真理論的不一致性。而要進(jìn)一步說明這個(gè)問題，必須把討論的背景由算子轉(zhuǎn)回到謂詞上來。

三、模態(tài)謂詞悖論中的真謂詞

與蒙塔古原始文獻(xiàn)的版本不同，蒙塔古悖論的構(gòu)造可以采用一種更簡(jiǎn)化的形式，也即只需通過以下兩條模態(tài)原則：

這兩條模態(tài)原則在通常的模態(tài)算子邏輯中是重要的特征公理和規(guī)則，現(xiàn)在把它們添加進(jìn)某個(gè)使得哥德爾自指定理成立的形式算術(shù)的擴(kuò)張系統(tǒng)中，便可進(jìn)行如下推導(dǎo)：

根據(jù)改述后的原則，上述推導(dǎo)的（2）顯然應(yīng)是：N〈?λ〉 → T〈?λ〉，如若要由它推出（3），還必須依賴兩條新的真之原則：

這兩條原則在蒙塔古悖論的推導(dǎo)中是預(yù)設(shè)成立的，但實(shí)際上它們并不相容。

引入一個(gè)新的名字 〈λ〉，使得語句 λ 就是 ?T〈λ〉。假設(shè) λ 是真的，即 T〈λ〉，根據(jù)（T1）可得T〈T〈λ〉〉；又因?yàn)?λ 即為 ?T〈λ〉，于是得到 T〈?T〈λ〉〉；由此根據(jù)（T2）得到 ?T〈 T〈λ〉〉，從而矛盾，根據(jù)歸謬法， λ 不是真的，即 ?T〈λ〉。據(jù)此再次根據(jù)（T1）可得到 T〈?T〈λ〉〉；并且由于 λ 就是 ?T〈λ〉，所以又得到 T〈λ〉，即 λ 是真的，從而再次矛盾。

通過上述討論我們可以看到，當(dāng)由算子背景轉(zhuǎn)回謂詞背景后，隱藏在算子方法中的不一致真理論便暴露出來了。算子方法禁止了語言的惡性自指，也就是取消了蒙塔古悖論推導(dǎo)過程中的步驟（1），但這只是消解了構(gòu)成矛盾的其中一個(gè)方面，并未觸及不一致的真理論。算子方法采取的方式是“禁錮”，它把不一致的真理論坍塌為一致的經(jīng)典命題邏輯，從而限制了真理論的活動(dòng)，確保了模態(tài)算子邏輯的安全。但同時(shí)，“禁錮”真理論也帶給算子方法一些哲學(xué)討論上的不便：一來它在一定程度上割裂了模態(tài)與真，使得人們透過模態(tài)算子無法更精準(zhǔn)地探視到模態(tài)概念與真概念的關(guān)系，正如我們?cè)诳芍糟Ｕ摰睦又兴吹降?，但哲學(xué)中的大量問題并不能忽略真；二來由于它未能消除不一致真理論所帶來的悖論風(fēng)險(xiǎn)，當(dāng)類似惡性自指的語句卷土重來之時(shí)，模態(tài)算子也就不得不面臨悖論的考驗(yàn)。

孔斯為構(gòu)造悖論而設(shè)置并辯護(hù)的前提之一是J(φ??Jφ)，這個(gè)語句中所含的等值式在謂詞背景下通過哥德爾自指定理可以很容易獲得，但我們認(rèn)為這并不是導(dǎo)致矛盾的關(guān)鍵。在謂詞背景下，形式算術(shù)構(gòu)造出自我否定的自指語句是不可避免的，應(yīng)當(dāng)視之為形式算術(shù)的特點(diǎn)而非缺點(diǎn)?？姿广Ｕ撝袑?dǎo)致矛盾的關(guān)鍵還是在于不一致的真理論。孔斯用以推導(dǎo)矛盾的認(rèn)知邏輯系統(tǒng)包括以下四條公理模式（為便于討論，在此只給出相應(yīng)的謂詞版本）：

在這里，（J1）其實(shí)就是（T）的一個(gè)特殊形式，（J2）和（J4）則是（Nec）的特殊形式。那么根據(jù)前面的分析，在推導(dǎo)時(shí)一旦還原出它們隱含的真謂詞，馬上就可以在孔斯悖論的推導(dǎo)過程中發(fā)現(xiàn)，矛盾推導(dǎo)要想成立，必須額外假設(shè)兩條新的真之原則：

不過孔斯悖論和蒙塔古悖論都直接地依賴于模態(tài)原則（T），從謂詞的角度看，二者在結(jié)構(gòu)上很相似。但托馬森悖論就不同了，一方面，托馬森悖論的推導(dǎo)依賴于比（T）更弱的原則 P〈P〈φ〉→φ〉（可記為T）；另一方面，托馬森悖論其實(shí)并不直接導(dǎo)致矛盾，它只是內(nèi)部不一致的（即P〈⊥〉），也就是說，除非假設(shè)謂詞 P 滿足相容性（即?P〈⊥〉），否則它至少在形式上仍然可接受。但是對(duì)于托馬森提出的“理想信念”而言，完全可以合理地假設(shè)其具有相容性，而且對(duì)其他的很多模態(tài)概念（如知識(shí)、規(guī)范等）也有必要規(guī)定相容性，因此內(nèi)部不一致也不容小覷。倘若將（T）改述為 P〈P〈φ〉→T〈φ〉〉，還原出托馬森悖論推導(dǎo)過程中的真謂詞，那么“內(nèi)在不一致”結(jié)果的得出同樣需要假設(shè)真之原則（T3）和（T4）。所以，托馬森悖論的影響因素仍舊是真理論的不一致性。

哈爾巴赫指出，如果把上述真之原則和模態(tài)原則分別引入算術(shù)系統(tǒng)，那么所得結(jié)果都將是一致的，但兩類原則無法相容地結(jié)合在一起。為說明矛盾，可進(jìn)行如下推導(dǎo)：

而若是按照我們的分析，問題或許會(huì)變得簡(jiǎn)單。只要我們還原出在上述推導(dǎo)中隱去的真謂詞，那么如果仍要由（3）和（4）推出（5），就必須假設(shè)（T1）和（T2）成立，但這兩條真之原則無法相容。所以，以我們的觀點(diǎn)看，哈爾巴赫解悖方案中的矛盾實(shí)際上并不在于真謂詞和模態(tài)謂詞之間是否缺乏互限，而在于真之原則提供的真謂詞與模態(tài)原則隱藏的真謂詞不協(xié)調(diào)。也就是說，在上述推導(dǎo)中其實(shí)包含了兩種不同的真理論，而真正導(dǎo)致矛盾的是那個(gè)被模態(tài)原則隱藏起來的不一致的真理論。

綜上所述，我們?cè)敿?xì)地考察了幾種具有代表性的模態(tài)謂詞悖論，它們各有特點(diǎn)。但我們發(fā)現(xiàn)，在這些形形色色的模態(tài)謂詞悖論的背后，始終貫穿著一個(gè)共同的影響因素：不一致的真理論。我們認(rèn)為，真理論是模態(tài)邏輯的基礎(chǔ)，解決模態(tài)謂詞悖論的關(guān)鍵策略是為模態(tài)謂詞理論提供一個(gè)可靠的真謂詞，以使得模態(tài)謂詞理論所賴以奠基的真理論是一致的。

四、作為模態(tài)邏輯基礎(chǔ)的真理論

事實(shí)上，這種思路并不算一種真正的新思路，它早已體現(xiàn)在模態(tài)算子邏輯中。在證明模態(tài)算子邏輯的一致性時(shí)，人們是通過對(duì)模態(tài)公式施以變形處理，使之轉(zhuǎn)變成經(jīng)典命題邏輯的公式，進(jìn)而以經(jīng)典命題邏輯的一致性擔(dān)保模態(tài)邏輯的一致性的。前文指出，模態(tài)算子邏輯中不是沒有真理論，而是已經(jīng)坍塌為經(jīng)典命題邏輯，所以應(yīng)當(dāng)看到，以經(jīng)典命題邏輯擔(dān)保模態(tài)邏輯實(shí)際上就是以真理論作為模態(tài)邏輯的基礎(chǔ)。只不過坍塌的真算子不會(huì)造成經(jīng)典命題邏輯的失效，但不一致的真謂詞卻會(huì)導(dǎo)致模態(tài)系統(tǒng)的崩潰，因而必須確保真理論的一致性。

以真理論作為模態(tài)邏輯的基礎(chǔ)還體現(xiàn)在語義方面。我們知道，模態(tài)算子邏輯的可能世界語義學(xué)是以經(jīng)典命題邏輯語義學(xué)為基礎(chǔ)的。在那里，一個(gè)語句p在某個(gè)可能世界w中是必然的，當(dāng)且僅當(dāng)p在每個(gè)與w有可及關(guān)系的可能世界中都是真的。至于p在這些可能世界中是否為真，完全取決于賦值函數(shù)對(duì)它的指派，有p則為真，無p則為假。而這顯然又是承認(rèn)塔斯基雙條件模式所有實(shí)例的樸素真理論。也就是說，在模態(tài)算子邏輯的語義學(xué)中，真仍然是被含糊處理的，仍然是不一致的真理論。

但是我們知道，并不是所有的模態(tài)原則都會(huì)導(dǎo)致悖論，也即并非所有的模態(tài)謂詞理論都需要奠基于真理論，這就說明模態(tài)謂詞有可能根據(jù)是否依賴真理論而分為兩類。前面討論的“必然”“知道”“理想信念”等謂詞屬于依賴真謂詞的一類，而不依賴真謂詞的一類的典型代表可以考慮“可證明”（provability）謂詞Bew?？勺C明謂詞是形式算術(shù)系統(tǒng)中的一個(gè)可定義謂詞，通常在形式算術(shù)中可以證明它具有以下性質(zhì)：

由此可見，根據(jù)是否基于真理論，模態(tài)謂詞確實(shí)被分為兩類。我們認(rèn)為，如果一個(gè)模態(tài)謂詞所能遵循的模態(tài)原則不需要借助于真理論就能保持一致性，就說明這樣的模態(tài)謂詞在作為基底理論的形式算術(shù)中是可定義的，它的哲學(xué)含義也無需依賴真，正如“證明”與“真”的區(qū)別；同樣，如果一個(gè)模態(tài)謂詞所能遵循的模態(tài)原則必須借助真理論才能保持一致性，就說明這樣的模態(tài)謂詞在作為基底理論的形式算術(shù)中是不可定義的，它的哲學(xué)含義也必須依賴真，正如“知識(shí)”與“真”的聯(lián)系。因此，真理論作為模態(tài)邏輯的基礎(chǔ)還體現(xiàn)在為模態(tài)邏輯的分類提供依據(jù)上。

五、結(jié)語

算子和謂詞都是表達(dá)模態(tài)的方式，但由于謂詞方法長(zhǎng)期面臨悖論的困擾，使得它始終無法同算子方法一道在模態(tài)邏輯的研究中大放異彩。在這篇論文中，我們通過對(duì)幾個(gè)具有代表性的模態(tài)謂詞悖論的研究發(fā)現(xiàn)，每一次矛盾的產(chǎn)生無不隱含著對(duì)真之原則的不當(dāng)使用，不一致的真理論是導(dǎo)致模態(tài)謂詞悖論的根本因素。我們認(rèn)為，真理論是模態(tài)邏輯的基礎(chǔ)，但算子方法和謂詞方法在對(duì)待真理論時(shí)采取的方式不同。在算子方法中，真是被隱藏的，其對(duì)模態(tài)邏輯的基礎(chǔ)性作用由經(jīng)典命題邏輯取代，所以即便算子方法藏著不一致的真理論，卻并沒有在通常的模態(tài)算子邏輯中表現(xiàn)出來。但是如果謂詞方法忽略了這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，也效仿算子方法對(duì)真的處理，則必然導(dǎo)致悖論。解決模態(tài)謂詞悖論的方法是引入一致的真謂詞，把模態(tài)邏輯建立在真理論的基礎(chǔ)上。具體說來，就是分別以公理化真理論和語義真理論作為模態(tài)邏輯的語形基礎(chǔ)和語義基礎(chǔ)。把模態(tài)邏輯建立在真理論的基礎(chǔ)上，最顯著的優(yōu)點(diǎn)是有可能真正揭示出模態(tài)概念與真概念的邏輯關(guān)系，這對(duì)哲學(xué)問題的討論無疑將是意義重大的。