論函數(shù)的可導(dǎo)與分?jǐn)?shù)階可導(dǎo)

劉書霞，詹華稅

(廈門理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，福建 廈門 361024)

導(dǎo)數(shù)是微積分學(xué)中最基本最重要的概念[1-4]。長期以來，導(dǎo)數(shù)一直受到眾多學(xué)者的不間斷的研究和討論。文獻[5]利用閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的最值原理論證了二元函數(shù)的梯度的重要性；文獻[6]利用定義討論分段函數(shù)在分界點處的可導(dǎo)性；文獻[7-8]討論了某類分段函數(shù)的一些求導(dǎo)方法；文獻[9]通過一些例子展示了如何用不同的方法求分段函數(shù)的分段點處的導(dǎo)數(shù)；文獻[10]研究了分段函數(shù)求導(dǎo)理論在退化拋物方程解唯一性討論中的一些具體應(yīng)用?？傮w而言，除文獻[11] 之外，尚未發(fā)現(xiàn)有其他學(xué)者研究僅在一點可導(dǎo)的函數(shù)性質(zhì)。同時，尚未發(fā)現(xiàn)有關(guān)導(dǎo)數(shù)四則運算、反函數(shù)求導(dǎo)法、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法這些常用求導(dǎo)方法彼此間相互依存關(guān)系的研究。

近年來，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用越來越受到數(shù)學(xué)物理界、工程力學(xué)界、生物醫(yī)學(xué)界學(xué)者的廣泛關(guān)注，其在建筑學(xué)、核物質(zhì)、黏彈性材料、數(shù)學(xué)建模甚至是天氣預(yù)報、地震波的預(yù)測等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用[12-16]。另外，即便是經(jīng)典的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)，也還有一些理論需要補充和完善[17-18]。而對于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的理論和應(yīng)用研究，除了Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)之外，還有其他不同的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義[19]。

為此，本文針對經(jīng)典整數(shù)階導(dǎo)數(shù)研究的空白點，從是否存在一點可導(dǎo)的相關(guān)函數(shù)和求導(dǎo)法則間相互關(guān)系的視角討論函數(shù)的可導(dǎo)性問題；在分析一元分段函數(shù)在分界點處的導(dǎo)數(shù)問題和總結(jié)分段函數(shù)求導(dǎo)法的基礎(chǔ)之上，引進Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義和Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義，探討分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的相容性問題，研究次數(shù)為μ>0分?jǐn)?shù)階可導(dǎo)問題。

1 函數(shù)的可導(dǎo)性

1.1 僅在一點可導(dǎo)的相關(guān)函數(shù)的構(gòu)造

注意到函數(shù)y=f(x)關(guān)于連續(xù)和可導(dǎo)都是逐點定義的，那么是否存在僅在一點連續(xù)的函數(shù)？是否存在僅在一點可導(dǎo)的函數(shù)？下面例子給出這樣的函數(shù)的構(gòu)造。

定理1初等函數(shù)在其定義域區(qū)間內(nèi)連續(xù)。

關(guān)于導(dǎo)數(shù)，初等函數(shù)未必在其定義域內(nèi)都可導(dǎo)。但比定理1弱的結(jié)論有定理2。

定理2初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)幾乎處處可導(dǎo)，即除去一個零測度集外，其他點都可導(dǎo)。

證明只要對基本初等函數(shù)的四則運算和有限次復(fù)合運算后所得到的函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)幾乎處處可導(dǎo)就可以了。

重要的是，定理2中的初等函數(shù)的條件不能減弱為連續(xù)函數(shù)，因為Weierstrass、Waerden等已給出了處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)的例子。f(x)在x點不可導(dǎo)，可能是f(x)在該點表現(xiàn)為尖點，所以要構(gòu)造一個處處連續(xù)但不可導(dǎo)的例子的一個方法便是不斷增加尖點的密度。

結(jié)合例2、例3，存在處處連續(xù)但只在一點可導(dǎo)的例子，只要修正例3的構(gòu)造即可。

例4可以回答以下問題1和問題2。

問題1是否存在一個只有一點存在二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)?

1.2 求導(dǎo)法則間的關(guān)系

熟知，求導(dǎo)數(shù)的方法有四則運算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、反函數(shù)求導(dǎo)法則、對數(shù)求導(dǎo)法、參數(shù)方程求導(dǎo)法等。下面論述它們之間的依存關(guān)系。

就求導(dǎo)方法而言，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法更重要。理由如下：

2 分?jǐn)?shù)階可導(dǎo)問題

2.1 一元分段函數(shù)在分界點處的導(dǎo)數(shù)問題

一元分段函數(shù)在分界點處的導(dǎo)數(shù)問題可簡單歸納為以下2點：1)根據(jù)可導(dǎo)必連續(xù)，不連續(xù)一定不可導(dǎo)，可先判斷是否連續(xù)，若不連續(xù)，則函數(shù)在該點不可導(dǎo)；2)在分界點處連續(xù)的情況下，一般都是利用定義判斷是否可導(dǎo)。在分界點處連續(xù)的情況下，還可以采用另一種方法判斷可導(dǎo)性。

2)在x=2處，顯然在該點連續(xù)，x2+1及x+3在包含x=2的某鄰域可導(dǎo)，但是(x2+1)′|x=2=4≠(x+3)′|x=2=1，由定理3可知f′(2)不存在。

可以看出，此種方法比定義法簡潔。當(dāng)然，分段函數(shù)還有其他諸多可以研究的性質(zhì)，比如，如何將一元函數(shù)的分段函數(shù)推廣到多元函數(shù)。特別需要著重指出的是，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)正是以分段函數(shù)的形式來定義的。

當(dāng)0<α<1,n=[α]+1=1時，如果f(t)在[a,t]上二階可導(dǎo)，有：

當(dāng)0<α<1,n=[α]+1=1時，如果f(t)在[a,t]上二階可導(dǎo)，有

基于以上分析可知，這2種分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)都是普通導(dǎo)數(shù)的合理推廣。并且發(fā)現(xiàn)，對于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，因為是左、右分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)分別定義的，所以考慮分段函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是沒有意義的。當(dāng)然也可以考慮以左、右分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)存在且相等來定義分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在某一點的可導(dǎo)性，但目前沒有見到這方面的討論。另外，雖然Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)都是普通導(dǎo)數(shù)的推廣，但從定義1和定義2可以看出，Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)首先要求f(t)是可導(dǎo)的，甚至要求在二階可導(dǎo)的條件下才能推斷出它與普通導(dǎo)數(shù)的相容性。

2.2 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的相容性

下面討論Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與經(jīng)典整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的相容性問題。這個問題可以直接從Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義來導(dǎo)出。

3 結(jié)論

本文從導(dǎo)數(shù)定義出發(fā)，通過研究導(dǎo)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)及其在分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的推廣，得到了以下結(jié)論：

1)構(gòu)造出僅在一點可導(dǎo)的函數(shù)及其他相關(guān)函數(shù)。

2)導(dǎo)數(shù)的加法運算在四則運算中最為重要，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法在求導(dǎo)方法中最重要。

3)Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)都是普通導(dǎo)數(shù)的推廣；Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與經(jīng)典整數(shù)階導(dǎo)數(shù)具有相容性，Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與經(jīng)典整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的相容性略差。

本文的結(jié)果有助于進一步開展分?jǐn)?shù)階微分方程等解的存在性、唯一性和大時間漸近等的研究工作。