“齊次化”法在圓錐曲線問題中的應(yīng)用

廣西百色市凌云縣中學(xué)（533100）段繼華

圓錐曲線是高考的重點考查內(nèi)容，圓錐曲線問題常以壓軸題或把關(guān)題的形式出現(xiàn)，此類問題因計算煩瑣，而常令考生望而卻步。若能根據(jù)題目所給條件，找到簡捷的解法，往往可化繁為簡，使解題事半功倍。下面利用“齊次化”法解決由斜率關(guān)系引發(fā)的定點、定值問題。

一、引例分析

［例1］已知橢圓=1（a＞b＞0）的離心率為，且過點A(2,1)。

（1）求C的方程；

（2）點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足。證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值。

“已知直線l與圓錐曲線交于兩點，另一定點與兩個交點相連，所得兩條直線的斜率之和或斜率之積為定值?！比纛}目中給出這種類似的條件，則確定直線l過某一定點。

由已知條件AM⊥AN，可知直線AM和AN的斜率之積為定值-1，故本題名為求定值，實為求定點，即直線MN過某一定點。設(shè)該定點為E（如圖1），則AE為定線段，由AD⊥MN可知三角形ADE為直角三角形，故點D到AE的中點Q的距離為定值，即。因此問題求解的關(guān)鍵是確定定點E的坐標(biāo)。

圖1

二、問題解答

直線過定點問題的常規(guī)處理方法是設(shè)出直線方程y=kx+m，根據(jù)已知條件尋找k,m的等量關(guān)系，從而得出直線所過的定點。

（一）常規(guī)方法

引入直線MN的方程（注意討論斜率不存在的情況），將其與橢圓方程聯(lián)立，利用坐標(biāo)法（設(shè)出N、M兩點的坐標(biāo)）、消元法、判別式及根與系數(shù)的關(guān)系等，再結(jié)合AM⊥AN進(jìn)行求解。

（2）設(shè)當(dāng)MN的斜率存在時，設(shè)其方程為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立，消元得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0。

（二）齊次化處理

因此，若題目條件中給出斜率之積或斜率之和為定值的情況，即可利用上述方式構(gòu)造關(guān)于x，y的齊二次式，將兩斜率視為方程+C=0的兩根，進(jìn)而利用根與系數(shù)的關(guān)系得到相關(guān)的等式。

若斜率之積或斜率之和的兩條直線交點不是原點，可先通過構(gòu)造或換元（平移），再轉(zhuǎn)化成齊次式來求解。

三、拓展應(yīng)用

在近年高考中，以斜率關(guān)系為背景的考題屢見不鮮。下面列舉兩例，并應(yīng)用“齊次化”法進(jìn)行求解，供參考。

［例2］設(shè)橢圓=1 的右焦點為F，過F的直線l與橢圓C交于A、B兩點，點M的坐標(biāo)為M(2,0)。

（1）當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，證明：∠OMA=∠OMB。

解：（1）y=-

（2）若∠OMA=∠OMB，則直線MA與MB關(guān)于x軸對稱，兩條直線斜率互為相反數(shù)，因此問題轉(zhuǎn)化為證明kMA+kMB=0。

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過點P2且與橢圓C相交于A、B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率和為-1，證明：直線l恒過定點。

當(dāng)然上述兩題也可采用常規(guī)方法求解，在此不再贅述。

由斜率關(guān)系引發(fā)的定點、定值問題在高考中總是以不同的方式出現(xiàn)，但問題的本質(zhì)并沒有發(fā)生變化，希望教師指導(dǎo)學(xué)生備考時能夠多多總結(jié)，善于挖掘題目背景，選擇合理的解題方法。