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    “齊次化”法在圓錐曲線問題中的應(yīng)用

    2022-09-08 02:34:10廣西百色市凌云縣中學(xué)533100段繼華
    中學(xué)教學(xué)參考 2022年14期
    關(guān)鍵詞:定值斜率定點

    廣西百色市凌云縣中學(xué)(533100)段繼華

    圓錐曲線是高考的重點考查內(nèi)容,圓錐曲線問題常以壓軸題或把關(guān)題的形式出現(xiàn),此類問題因計算煩瑣,而常令考生望而卻步。若能根據(jù)題目所給條件,找到簡捷的解法,往往可化繁為簡,使解題事半功倍。下面利用“齊次化”法解決由斜率關(guān)系引發(fā)的定點、定值問題。

    一、引例分析

    [例1]已知橢圓=1(a>b>0)的離心率為,且過點A(2,1)。

    (1)求C的方程;

    (2)點M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足。證明:存在定點Q,使得|DQ|為定值。

    “已知直線l與圓錐曲線交于兩點,另一定點與兩個交點相連,所得兩條直線的斜率之和或斜率之積為定值?!比纛}目中給出這種類似的條件,則確定直線l過某一定點。

    由已知條件AM⊥AN,可知直線AM和AN的斜率之積為定值-1,故本題名為求定值,實為求定點,即直線MN過某一定點。設(shè)該定點為E(如圖1),則AE為定線段,由AD⊥MN可知三角形ADE為直角三角形,故點D到AE的中點Q的距離為定值,即。因此問題求解的關(guān)鍵是確定定點E的坐標(biāo)。

    圖1

    二、問題解答

    直線過定點問題的常規(guī)處理方法是設(shè)出直線方程y=kx+m,根據(jù)已知條件尋找k,m的等量關(guān)系,從而得出直線所過的定點。

    (一)常規(guī)方法

    引入直線MN的方程(注意討論斜率不存在的情況),將其與橢圓方程聯(lián)立,利用坐標(biāo)法(設(shè)出N、M兩點的坐標(biāo))、消元法、判別式及根與系數(shù)的關(guān)系等,再結(jié)合AM⊥AN進(jìn)行求解。

    (2)設(shè)當(dāng)MN的斜率存在時,設(shè)其方程為y=kx+m,與橢圓方程聯(lián)立,消元得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0。

    (二)齊次化處理

    因此,若題目條件中給出斜率之積或斜率之和為定值的情況,即可利用上述方式構(gòu)造關(guān)于x,y的齊二次式,將兩斜率視為方程+C=0的兩根,進(jìn)而利用根與系數(shù)的關(guān)系得到相關(guān)的等式。

    若斜率之積或斜率之和的兩條直線交點不是原點,可先通過構(gòu)造或換元(平移),再轉(zhuǎn)化成齊次式來求解。

    三、拓展應(yīng)用

    在近年高考中,以斜率關(guān)系為背景的考題屢見不鮮。下面列舉兩例,并應(yīng)用“齊次化”法進(jìn)行求解,供參考。

    [例2]設(shè)橢圓=1 的右焦點為F,過F的直線l與橢圓C交于A、B兩點,點M的坐標(biāo)為M(2,0)。

    (1)當(dāng)l與x軸垂直時,求直線AM的方程;

    (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點,證明:∠OMA=∠OMB。

    解:(1)y=-

    (2)若∠OMA=∠OMB,則直線MA與MB關(guān)于x軸對稱,兩條直線斜率互為相反數(shù),因此問題轉(zhuǎn)化為證明kMA+kMB=0。

    (1)求橢圓C的方程;

    (2)設(shè)直線l不經(jīng)過點P2且與橢圓C相交于A、B兩點,若直線P2A與直線P2B的斜率和為-1,證明:直線l恒過定點。

    當(dāng)然上述兩題也可采用常規(guī)方法求解,在此不再贅述。

    由斜率關(guān)系引發(fā)的定點、定值問題在高考中總是以不同的方式出現(xiàn),但問題的本質(zhì)并沒有發(fā)生變化,希望教師指導(dǎo)學(xué)生備考時能夠多多總結(jié),善于挖掘題目背景,選擇合理的解題方法。

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