由一道模擬題引發(fā)的探索與反思

江蘇江陰市璜塘中學(xué)（214407）陸琴花

基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求，近年的中考數(shù)學(xué)出現(xiàn)了不少創(chuàng)新試題。筆者結(jié)合教學(xué)實踐，以具有較高研究價值的幾何圖形試題為載體，引導(dǎo)學(xué)生探索，從而使其發(fā)現(xiàn)題目的內(nèi)在聯(lián)系，掌握解題思路，提升解題能力。

一、題目呈現(xiàn)

如圖1 所示，在△ABC中，已知∠ABC=90°，且AB=6，BC=8，點M，N分別在邊AB，BC上，沿著直線MN把△ABC折疊，點B落在點P處，如果AP∥BC，且AP=4，那么BN= _________。

圖1

圖2

二、解法探索

這道題對大多數(shù)學(xué)生來說有一定的難度，這種難度不敢說可以難倒一大片，但會讓相當(dāng)一部分學(xué)生丟分。這道題旨在考查學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力，且在解題過程中對數(shù)學(xué)思維有一定的要求。下面我們分析解題思路的形成過程。如果把△ABC沿直線MN折疊，點B落在點P處，那么很顯然MN垂直平分BP，欲在Rt△BHN中求BN的長，只需知道sin∠BNH即可。又因為∠BNH=∠ABP，所 以sin∠BNH=sin∠ABP，得BN=。當(dāng)然也可以用△BNH∽△PBA對應(yīng)邊成比例得到BN的長。

解法1：如圖3，由AP平行且等于，再利用三角形中位線的性質(zhì)及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，延長CP，BA交于點K，連接BP交MN于H，易得CK=。又因為∠PBN=∠BCP，所以cos∠PBN=cos∠BCP，得BN=。

圖3

解法2：如圖4，把△ABC沿直線MN折疊，得出BN=PN和∠PBN=∠BPN，由AP∥BC得∠PBN=∠APB，所以∠BPN=∠APB，再利用角平分線性質(zhì)定理，過B點作BE⊥PN，垂足為E，易得EP=AP=4，BE=AB=6。根據(jù)勾股定理及方程思想設(shè)BN=x，就能列出方程62+(x-4)2=x2，解 得x=，即BN=。

圖4

解法3：如圖5，把△ABC沿直線MN折疊得出BN=PN，將求BN的長轉(zhuǎn)化為求PN的長，這樣就可以利用直角三角形的勾股定理求解。過N作NF⊥AP，垂足為F，易得AF=BN，NF=AB=6，設(shè)BN=x，則PN=x，PF=x-4，由此可列出方程62+(x-4)2=x2，解得x=，即BN=。

圖5

解法4：把△ABC沿直線MN折疊，得出∠MPN=∠B=90°，構(gòu)造三角形，同解法3 添加輔助線，過點N作NF⊥AP，垂足為F，得出△MAP∽△PFN，于是=，易得PM=，NF=6，得BN=。

在圖形運動類問題中，圖形翻折及其性質(zhì)屬于高頻考點。從上述4 種解法可以看出，根據(jù)已知條件，通過聯(lián)想和類比能找到不同的解題思路。不管解題思路如何多元化，但是萬變不離其宗，都離不開圖形翻折的性質(zhì)，即所得對應(yīng)線段和對應(yīng)角，其對應(yīng)點連線被對稱軸平分。由此看來，這一類題的實質(zhì)是幾何計算中求線段長度問題。

三、例題設(shè)計

以翻折為背景的中考題并不少見，“圖形變換置于三角形或四邊形”為常見命題形式，目的是考查翻折性質(zhì)、全等三角形性質(zhì)、勾股定理、相似三角形性質(zhì)等，主要考查學(xué)生的觀察能力和分析能力。教師在教學(xué)中應(yīng)突出活動探究環(huán)節(jié)，既要讓學(xué)生搞清楚圖形翻折的本質(zhì)，又要讓學(xué)生理解數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化，這才是增強學(xué)生解題能力的關(guān)鍵點。

（一）例題設(shè)計，看清圖形翻折本質(zhì)

圖形翻折的本質(zhì)有三點：①相互重合的點以折痕為對稱軸，連接兩重合點的線段被折痕垂直平分；②相互重合的線段是以折痕為對稱軸的對稱線段；③相互重合的部分是全等的，也是以折痕為對稱軸的。針對這三點，九年級數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)可以進行有針對性的拓展訓(xùn)練。

［例1］菱形ABCD的邊長是1，且∠B=45°，AE為BC邊上的高，現(xiàn)在把△ABE沿AE翻折，請根據(jù)以上所給條件畫圖。

這種逆向思維的出題方式，別具一格。這雖說是傳統(tǒng)意義上的一題多解，但它又不同于以往。教師應(yīng)圍繞圖形翻折的本質(zhì)進行教學(xué)，以此為核心和目標(biāo)，使學(xué)生充分體會數(shù)學(xué)解題萬變不離其宗。通過這種訓(xùn)練，不僅能開闊學(xué)生的視野，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，還能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。

（二）數(shù)形結(jié)合，理解數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化

在復(fù)習(xí)教學(xué)中，要抓住翻折題型的數(shù)形轉(zhuǎn)化，并且要指導(dǎo)學(xué)生以此為學(xué)習(xí)突破口，這其中的重點在于“數(shù)”和“形”。比如說軸對稱、全等、相似形等都是“翻折”中“形”的變化；而線段之間、角與角之間的數(shù)量關(guān)系則是“翻折”中“數(shù)”的變化，這其中的種種聯(lián)系，就是“翻折”中的“數(shù)形轉(zhuǎn)化”。針對這一點，筆者結(jié)合班情、學(xué)情設(shè)計例題。

［例2］矩形ABCD的邊AB=1，AD=2，把矩形ABCD折疊，讓折痕過點B，且與邊AD交于點M，點A翻折到點E，直線ME與邊BC交于點P。（1）當(dāng)點M和點D重合，請求出PC的長；（2）在求PC長度時，發(fā)現(xiàn)MP=BP，隨著折痕移動，這兩線段之間的關(guān)系有什么變化？（3）假設(shè)AM=x，PC=y，請寫出x與y的函數(shù)關(guān)系式，并給出定義域。

數(shù)形轉(zhuǎn)化是翻折題型的“不變核心”，通過前面例子的一題多解，我們不難找到“數(shù)”與“形”之間的變化和聯(lián)系。值得注意的是，探索一題多解是一個具有趣味性的過程，教法不應(yīng)死板，教師應(yīng)該結(jié)合基本學(xué)情而設(shè)定，要以“趣”為引，“激情”導(dǎo)入，使學(xué)生在愉快的氛圍中養(yǎng)成“勤思考，多動腦”和“勤鍛煉，多動手”的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。

學(xué)生通過翻折題型的歸納總結(jié)，進一步了解了折痕對稱軸，明確了線段相等重合，知道了什么是角相等重合、什么是三角形全等重合。通過線段的數(shù)量關(guān)系，利用勾股定理和銳角三角形比例方程及相似比等，完成數(shù)形轉(zhuǎn)化，進行問題求解。

四、教學(xué)反思

不可否認(rèn)，“一題多解”是數(shù)學(xué)學(xué)科的奇妙所在，尤其體現(xiàn)在幾何教學(xué)的過程當(dāng)中。在一般情況下，通過一題多解，學(xué)生獲得的不僅僅是“多元化”數(shù)學(xué)思維，更多的是學(xué)習(xí)興趣及個人“滿足感”的獲得。從現(xiàn)實角度來看，當(dāng)“知識”和“興趣”只能選擇某一方時，我們以情感需求為出發(fā)點，通常會不自覺地傾向于“興趣”。由此得出教學(xué)反思：相較于知識與能力的獲得，學(xué)生更傾向于情感態(tài)度與價值觀的獲取。

［例3］把A4 紙張ABCD，按照圖6 所示，依照順序折疊，使點A、點C恰好落在對角線BD上，得到菱形BEDF，若BC=6，那么AB的長是多少？

圖6

在此例教學(xué)中，教師若想嘗試用“一題多解”的教法，就得多層面、多角度、多維度地提出設(shè)想。但是，“一題多解”應(yīng)建立在“因材施教”的基礎(chǔ)之上，這是要符合學(xué)生的基本學(xué)情的。一題多解的方法雖好，但并不代表一道題必須變著花樣地給出多種解答方法才算好。如果片面地追求“唯多是好”，則很容易弄巧成拙，違背教學(xué)規(guī)律和基本學(xué)情，使學(xué)生喪失學(xué)習(xí)的興趣。

解題時，可設(shè)DC=x，通過題意得知BD=2DC=2x，在直角三角形BDC中，(2x)2-x2=62，解得x=

由此得出結(jié)論，“一題多解”的核心不應(yīng)該脫離本質(zhì)，就像例3，不能脫離“圖形的折疊及性質(zhì)”這個本質(zhì)，教師必須讓學(xué)生知道它的考點在哪里、難點在哪里，然后根據(jù)考點和難點，系統(tǒng)復(fù)習(xí)勾股定理和二次根式的化簡等知識，繼而把代數(shù)與幾何融合學(xué)精學(xué)透。若有條件，且基本學(xué)情允許，教師可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試一題多解。

總之，要使學(xué)生通過“多解”的過程，獲得思維創(chuàng)造上的快樂、個人滿足感以及強烈的數(shù)學(xué)自信心，以此調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，使學(xué)生在愉悅的學(xué)習(xí)環(huán)境中有效學(xué)習(xí)。

把一道題研究“精”、研究“透”，這可不是一件容易的事，而教學(xué)生把一道題研究“精”、研究“透”，更不是一件容易的事。教師在教學(xué)中應(yīng)注重“授人以漁”而不是只在表面下功夫，對于一個數(shù)學(xué)問題，要教會學(xué)生根據(jù)“已知條件”不斷“探索研究未知”，即通過發(fā)散思維善于聯(lián)系、善于多角度地深入思考，以此獲得多種不同的解決途徑，同時也要提倡自主學(xué)習(xí)，要讓學(xué)生進行“我的發(fā)言”。要在喚醒學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時，有效揭示知識“遷移”和“產(chǎn)生”的過程，繼而引人入勝，使學(xué)生大膽嘗試，這樣才能使學(xué)生暴露自己的思維過程，讓教師明白學(xué)生的見解，進而使教師更加了解學(xué)情，進一步給出具有針對性、有效性的建議和指導(dǎo)。