“用倒推的策略解決問題”學(xué)習(xí)路徑優(yōu)化的實(shí)證研究

江蘇蘇州市實(shí)驗(yàn)小學(xué)校（215000）王逸駿

一、引言

“解決問題的策略”（又稱“還原問題”）是蘇教版教材的重要內(nèi)容之一。此內(nèi)容的設(shè)置旨在讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和其他知識(shí)解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力；獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)。

“倒推”是解決問題時(shí)經(jīng)常用到的一種策略。在用“倒推”策略解決問題時(shí)，學(xué)生要進(jìn)行分析、選擇、判斷、對(duì)比、優(yōu)化等一系列復(fù)雜的思維活動(dòng)?！暗雇啤辈呗?，通俗地講就是“倒過來想”，即從事情的結(jié)果倒過去想它在開始的時(shí)候是怎樣的，教學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維和發(fā)散性思維，提高其解決問題的能力。為了讓學(xué)生能夠真正掌握“倒推”的策略，必須探索出利于學(xué)生理解的學(xué)習(xí)路徑，筆者把研究問題定為：教師預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)路徑是怎樣的？經(jīng)過實(shí)踐檢驗(yàn)并優(yōu)化過的學(xué)習(xí)路徑是怎樣的？如何驗(yàn)證學(xué)習(xí)的路徑是否得到了優(yōu)化？

二、研究設(shè)計(jì)

1.研究對(duì)象

根據(jù)學(xué)生的期末考試成績(jī)和前測(cè)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)蘇州市S小學(xué)六年級(jí)甲、乙兩個(gè)平行班的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平上沒有顯著的差異。兩次教學(xué)均由W教師承擔(dān)，教齡4年。

2.研究流程

研究的主要步驟如圖1所示：

圖1

主要采用課堂觀察法、問卷調(diào)查法、訪談法、行動(dòng)研究法來收集數(shù)據(jù)。來自教師的數(shù)據(jù)包括教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)錄像、教學(xué)反思日志、課前和課后測(cè)試單。

3.對(duì)學(xué)生的后測(cè)

（1）理論模型

本文以斯根普的理解模型為理論依據(jù)，把學(xué)生的理解分為以下三種類型（如表1），以這三類理解為標(biāo)準(zhǔn)判斷學(xué)生對(duì)倒推策略的理解情況。

表1

（2）后測(cè)材料

用盡可能多的方法（可用文字、算式、畫圖等）表示解決以下問題的過程。

問題1 有一位老人說：“把我的年齡加上12，再除以4，接著減去15，最后乘10，恰好是100歲?！鼻筮@位老人的年齡。

問題2 學(xué)校運(yùn)來36棵樹苗，樂樂與歡歡兩人爭(zhēng)著去栽，樂樂先拿了若干樹苗，歡歡看到樂樂拿得太多，就搶了10棵，樂樂不肯，又從歡歡那里搶回來6棵，這時(shí)樂樂拿的棵數(shù)是歡歡的2倍。問：最初樂樂拿了多少棵樹苗？

問題3 糧庫(kù)內(nèi)有一批面粉，第一次運(yùn)出總數(shù)的一半多3噸，第二次運(yùn)出剩下的一半少7噸，還剩4噸。問：糧庫(kù)內(nèi)原有面粉多少噸？

問題4 糧庫(kù)里有120噸面粉，第一次運(yùn)出總數(shù)的一半多2噸，第二次運(yùn)出剩下的一半少7噸，現(xiàn)在還有多少噸面粉？

問題5 結(jié)合問題3和問題4，說說在什么情況下需要用倒推的策略來解決問題。

（3）計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)

根據(jù)學(xué)生的回答，參照表1的理解類型，對(duì)學(xué)生的理解進(jìn)行分類并計(jì)分（如表2）。

表2

三、結(jié)果與分析

1.學(xué)習(xí)路徑A

（1）學(xué)習(xí)路經(jīng)A的呈現(xiàn)

W教師獨(dú)立備課，并在甲班上課。根據(jù)課堂實(shí)錄，歸納出第一次設(shè)計(jì)與實(shí)施的學(xué)習(xí)路徑A（如圖2）。

圖2

首先，從前測(cè)已知學(xué)生對(duì)于簡(jiǎn)單的一步還原問題掌握得還是非常到位的，正確率高達(dá)94.59%，但是對(duì)于較復(fù)雜的類似于“幾分之幾多幾”的多步還原問題，學(xué)生的正確率卻只有62.16%。因此以簡(jiǎn)單的一步還原問題作為任務(wù)1，旨在讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下通過直觀表征的方式理解題中信息，進(jìn)而用倒著想的方法解決問題，最后能夠?qū)⒗斫獾膬?nèi)容抽象為算式。

其次，出示任務(wù)2，旨在讓學(xué)生在復(fù)雜情境中獨(dú)立整理題目中的信息，用倒著想的方法解決問題，能夠列出算式。

最后，出示任務(wù)3，旨在讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下通過列表的方式整理信息，并用倒著想的方法解決問題，能夠列出算式。

（2）教學(xué)效果

教學(xué)結(jié)束后，對(duì)甲班學(xué)生進(jìn)行后測(cè)，學(xué)生不同理解類型的平均得分如表3所示。

表3

工具性理解得分為0.324，說明部分學(xué)生對(duì)于還原問題還停留在表象階段，記住的僅僅是加變減、乘變除以及運(yùn)算順序需要相反的規(guī)則，但不理解這一規(guī)則背后的意義。

關(guān)系性理解得分為0.432，而形式性理解得分為0.243，主要原因有以下三點(diǎn)：

①形式性理解對(duì)于學(xué)生而言認(rèn)知難度較高；

②部分學(xué)生解題時(shí)需要借助線段圖整理信息，但在復(fù)雜情境中無法將線段圖直接轉(zhuǎn)換成算式；

③W教師在課堂上過分強(qiáng)調(diào)用畫圖的方式整理信息，忽視了對(duì)學(xué)生倒著想的方法的引導(dǎo)和思維的訓(xùn)練。

（3）問題分析

①不會(huì)直觀表征。學(xué)生是通過線段圖來整理信息，進(jìn)而列出算式的，而真正的直觀理解應(yīng)該是看圖即可知道結(jié)果，不需要再次進(jìn)行計(jì)算。

②難以抽象成算式。教師著重于信息的整理，對(duì)于倒著想的方法的引導(dǎo)比較少，進(jìn)而使得學(xué)生抽象理解不到位，抽象成算式的能力較弱。

③分率問題對(duì)倒推造成干擾。任務(wù)1導(dǎo)致大部分學(xué)生陷入了“單位1”是否已知的怪圈，因?yàn)閷W(xué)生看到分?jǐn)?shù)就自然而然想到了分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，不會(huì)從倒推的角度去思考問題。

④時(shí)間分配不合理。任務(wù)1耗時(shí)過長(zhǎng)，以至于后面的任務(wù)2匆忙，任務(wù)3來不及出示。

（4）改進(jìn)建議

①替換任務(wù)1。教師發(fā)展指導(dǎo)者L在教學(xué)研討中提出：任務(wù)1容易對(duì)學(xué)生造成干擾，使學(xué)生陷入解決分率問題的怪圈，并不適合放在課始，應(yīng)當(dāng)改為從整數(shù)出發(fā)的還原問題，并在學(xué)生提出用線段圖或者流程圖以后，補(bǔ)充列表的方法。這樣一來，3種整理信息的方法都在任務(wù)1中有所體現(xiàn)，且從整數(shù)出發(fā)，學(xué)生不會(huì)將其與分率問題混淆，倒推的味道更濃，學(xué)生也更容易從倒著想的方法出發(fā)解題。

②增加對(duì)比練習(xí)。教師發(fā)展指導(dǎo)者Q在教學(xué)研討中提出：還原問題的特點(diǎn)是已知現(xiàn)在的情況，探索原來的情況。但是現(xiàn)實(shí)中，還原問題不過是諸多現(xiàn)實(shí)問題中的一個(gè)種類，所以在教學(xué)新知后，需要出示兩道對(duì)比練習(xí)題，讓學(xué)生體會(huì)遇到什么類型的問題適合用倒推的策略去解決。

2.改進(jìn)后的學(xué)習(xí)路徑B

（1）學(xué)習(xí)路徑B的呈現(xiàn)

經(jīng)過對(duì)學(xué)習(xí)路徑A的課后反思與討論，W教師重新修改教學(xué)設(shè)計(jì)，在乙班實(shí)施了學(xué)習(xí)路徑B（如圖3）。

圖3

（2）教學(xué)效果

教學(xué)結(jié)束后，W教師對(duì)學(xué)生實(shí)施了后測(cè)，結(jié)果如表4所示。

表4

比較表3和表4可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的工具性理解的得分明顯下降，形式性理解的得分顯著上升，關(guān)系性理解的得分基本持平，這與教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生倒著想并用自己的話解釋倒推的過程這一設(shè)計(jì)是密不可分的。此外，形式性理解的提升還與教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比練習(xí)，進(jìn)而總結(jié)出還原問題的一般規(guī)律有關(guān)?？傮w來說，學(xué)生在還原問題的理解上取得了一定的進(jìn)步，說明這一學(xué)習(xí)路徑的優(yōu)化確實(shí)可行。

四、結(jié)論與建議

1.結(jié)論

W教師預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)路徑A中的任務(wù)1太過注重教授學(xué)生用畫圖的策略去整理信息，而忽視了對(duì)學(xué)生運(yùn)用倒推策略的引導(dǎo)。在經(jīng)過教師發(fā)展指導(dǎo)者L和Q的干預(yù)后，W教師重新進(jìn)行任務(wù)單的設(shè)計(jì)。從不涉及分率的問題出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生用倒著想的方法去解決問題，讓學(xué)生自由交流解決問題的具體過程，自然生成線段圖、流程圖、列表的信息整理方法，最后利用兩道對(duì)比練習(xí)題（任務(wù)4）引導(dǎo)學(xué)生思考在什么樣的情況下適合用倒推的策略解決問題。

對(duì)比甲、乙兩個(gè)班學(xué)生的后測(cè)數(shù)據(jù)可知，優(yōu)化學(xué)習(xí)路徑后，學(xué)生工具性理解的得分明顯下降，而形式性理解的得分顯著上升。

2.建議

（1）弱化整理信息的策略教學(xué)

倒推策略和逆向思維的培養(yǎng)是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)目標(biāo)，但還有一個(gè)重要的過程性策略，那便是畫圖整理題中的信息。不少教師在教學(xué)時(shí)往往會(huì)本末倒置，習(xí)慣性依托畫圖來解釋解決問題的過程，忽視了對(duì)于學(xué)生倒推策略和逆向思維的培養(yǎng)。因此，教師在教學(xué)該內(nèi)容時(shí)要弱化整理信息的策略教學(xué)。

（2）任務(wù)設(shè)計(jì)的指向性要明確

如果任務(wù)設(shè)計(jì)從含有分率的還原問題出發(fā)，那么學(xué)生在思考如何解決問題時(shí)就容易從解決分率問題的角度入手，這樣一來便不利于教學(xué)的開展。因此，教師在設(shè)計(jì)任務(wù)時(shí)指向性要明確，要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從倒推的角度思考解決問題的方法。