三個版本教材中“三角形的認(rèn)識”的比較
——以蘇教版、人教版和北師大版教材為例

江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)景城學(xué)校（215000）彭國慶

三角形是多邊形中邊數(shù)最少的平面圖形，它和其他多邊形有著緊密的聯(lián)系，“三角形的認(rèn)識”是學(xué)生學(xué)習(xí)多邊形知識的基礎(chǔ)，因而有必要深入研究“三角形的認(rèn)識”（本文中的“三角形的認(rèn)識”是廣義上的“三角形的認(rèn)識概念”），以提高“三角形的認(rèn)識”的教學(xué)實效。

一、三個版本教材中“三角形的認(rèn)識”的內(nèi)容編排

對江蘇教育出版社、人民教育出版社、北京師范大學(xué)出版社出版的教材（分別簡稱蘇教版教材、人教版教材和北師大版教材）中“三角形的認(rèn)識”的內(nèi)容進行整理，如表1所示。

表1

從表1中可以看出，蘇教版和人教版教材中有關(guān)“三角形的認(rèn)識”內(nèi)容的編排基本一致，北師大版教材中有關(guān)“三角形的認(rèn)識”內(nèi)容的編排思路與蘇教版、人教版的差異較大。

二、三個版本教材中“三角形的認(rèn)識”內(nèi)容編排的相同點

1.利用學(xué)生已有的經(jīng)驗認(rèn)識三角形

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出，教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)。蘇教版和人教版教材都是編排學(xué)生熟悉的、感興趣的生活場景，如斜拉橋、金字塔等，引導(dǎo)學(xué)生從實物中分別找出這些物體面上的三角形，體現(xiàn)從生活經(jīng)驗出發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意圖。北師大版教材則是從學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生對多個平面圖形和立體圖形進行分類，在分類的過程中認(rèn)識三角形。三個版本教材的編排方式，均有效激活了學(xué)生的生活經(jīng)驗和知識經(jīng)驗，有利于學(xué)生進一步探究三角形的特征。

2.在豐富的活動中探究三角形的邊的關(guān)系

我國著名教育家陶行知先生認(rèn)為“行是知之始，知是行之成”。動手操作是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效方式。蘇教版教材編排了活動情境：有5㎝、2㎝、4㎝和8㎝長的四根小棒，從中任取三根小棒，嘗試圍一圍，看看有怎樣的發(fā)現(xiàn)。人教版教材則編排了數(shù)學(xué)實驗：剪出下面4組紙條（單位：㎝）“（1）6、7、8；（2）4、5、9；（3）3、6、10；（4）8、11、11”，用每組紙條擺三角形，從中你發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生在實驗的過程中發(fā)現(xiàn)有的組的三張紙條能擺成三角形，有的組的三張紙條不能擺成三角形。北師大版教材用了“探索與發(fā)現(xiàn)：三角形邊的關(guān)系”這樣的標(biāo)題引發(fā)學(xué)生的探究，和人教版教材類似，提供了4組小棒“（1）3、5、6；（2）3、4、6；（3）3、3、6；（4）3、2、6”讓學(xué)生擺三角形，并提出三個問題“哪組能擺成，哪組擺不成？”“想一想，怎樣的3根小棒能擺成一個三角形？”“算一算，比一比，能擺成三角形的3根小棒之間有什么關(guān)系？”引發(fā)學(xué)生透過現(xiàn)象探尋本質(zhì)。三個版本教材均通過探究活動來引發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)、深入理解。

3.問題驅(qū)動學(xué)生探究三角形的內(nèi)角和

對于三角形的內(nèi)角和，三個版本教材非常一致地采用了問題驅(qū)動的方式引導(dǎo)學(xué)生進行探究。蘇教版教材的是“你知道每塊三角尺3個內(nèi)角的和是多少度嗎？”“用量角器量出每個三角形3個內(nèi)角的度數(shù)，3個內(nèi)角度數(shù)的和是多少？”“你發(fā)現(xiàn)了什么？”人教版教材設(shè)計了兩個連續(xù)性問題：“畫幾個不同類型的三角形。量一量，算一算，三角形3個內(nèi)角的和各是多少度?！薄澳惆l(fā)現(xiàn)了什么？用實驗來驗證一下?！北睅煷蟀娼滩南扔萌鐖D1所示的問題引發(fā)學(xué)生思考，緊接著提問“小組交流發(fā)現(xiàn)了什么？”“有什么方法能驗證你們的想法？”三個版本教材設(shè)計的問題環(huán)環(huán)相扣，由淺入深逐步引導(dǎo)學(xué)生在探究中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

圖1

三、三個版本教材中“三角形的認(rèn)識”內(nèi)容編排的不同點

1.三角形的特征

“三角形的認(rèn)識”主要是認(rèn)識三角形的特征，其中三角形的底和高是重要內(nèi)容。蘇教版教材編排了一個畫三角形的活動，讓學(xué)生畫三角形后說說三角形有什么特點，之后給出三角形的定義“三條線段首尾相接圍成的圖形叫作三角形”，同時介紹三角形的底和高。人教版教材也是讓學(xué)生畫一個三角形，并說一說三角形有幾條邊、幾個角、幾個頂點，在此基礎(chǔ)上給出三角形的定義“由3條線段圍成的圖形（每相鄰兩條線段的端點相連）叫作三角形”，同時介紹三角形的底和高，之后說明可用字母A、B、C分別表示三角形的三個頂點，三角形可以表示成三角形ABC。相比之下，蘇教版教材對三角形的定義更簡潔，讀起來也朗朗上口；人教版教材對三角形的定義和初中的知識，尤其是在字母表示方面銜接更加緊密。北師大版教材在“三角形的認(rèn)識”中沒有編排三角形的定義以及底和高的內(nèi)容，而是引導(dǎo)學(xué)生借助已有的認(rèn)知經(jīng)驗對圖形進行分類，把三角形的底和高的內(nèi)容編排在了五年級上冊“多邊形的面積”中，且和平行四邊形、梯形的底和高進行整合。北師大版教材與其他兩個版本教材的內(nèi)容編排差異較為明顯。

2.三角形的穩(wěn)定性

三角形的穩(wěn)定性是三角形的一個非常重要的內(nèi)容。蘇教版教材把三角形的穩(wěn)定性編排在了三角形的內(nèi)角和之后的“你知道嗎”欄目（如圖2）中，通過文字解釋了三角形的穩(wěn)定性“就是當(dāng)一個三角形的三條邊確定后，這個三角形的形狀和大小就不會改變”，而后引導(dǎo)學(xué)生在實驗中理解三角形的穩(wěn)定性。人教版教材則單獨編排了一個例題，讓學(xué)生用3根小棒擺三角形，用4根小棒擺四邊形（如圖3），而后引導(dǎo)學(xué)生通過實驗發(fā)現(xiàn)三角形具有穩(wěn)定性。北師大版教材創(chuàng)設(shè)問題情境（如圖4）采用動手操作的方式引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形具有穩(wěn)定性，四邊形具有不穩(wěn)定性，而后在“你知道嗎”介紹三角形的穩(wěn)定性在生活中的應(yīng)用。

圖2

圖3

圖4

從三個版本教材的內(nèi)容編排上可以看出，蘇教版教材揭示了三角形穩(wěn)定性的內(nèi)涵，但沒有和四邊形的不穩(wěn)定性聯(lián)系起來。人教版和北師大版教材把三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性放在一起進行對比，通過對比突出三角形的穩(wěn)定性。北師大版教材沒有編排讓學(xué)生用小棒或者紙條拼擺三角形的活動，而是引導(dǎo)學(xué)生在拉三角形和四邊形木框的活動中體會三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性。這樣一來，學(xué)生對于三角形的穩(wěn)定性的理解可能會更多地傾向于三角形的穩(wěn)固性，這種穩(wěn)固性更多地表現(xiàn)為三角形的物理特性，而對于三角形的形狀、大小不變的穩(wěn)定性的理解有所弱化。

3.三角形按角分類

按角對三角形進行分類，有助于學(xué)生全面細致地研究三角形，形成系統(tǒng)、完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。蘇教版教材通過問題“下面每個三角形的3個角分別是什么角？你能根據(jù)角的特點把這些三角形分類嗎？”引導(dǎo)學(xué)生對6個三角形進行分類，而后呈現(xiàn)分類依據(jù)和分類結(jié)果，在此基礎(chǔ)上采用描述性的語言給出銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的定義，最后提出問題“一個三角形可能有2個直角或者2個鈍角嗎？為什么？”，讓學(xué)生結(jié)合三角形的內(nèi)角和的知識理解直角三角形和鈍角三角形的定義。人教版教材沒有蘇教版教材那么細致，只是由提示語引導(dǎo)學(xué)生把三角形按照角來分類，再結(jié)合主題圖給出三角形分類的結(jié)果，沒有給出每種三角形的定義，這樣可能會造成一些學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生對銳角三角形、鈍角三角形等概念的理解較為吃力。北師大版教材提供了9個三角形讓學(xué)生進行分類，并在呈現(xiàn)分類結(jié)果后，通過給每種分類結(jié)果起名稱引出3種不同的三角形。

比較后發(fā)現(xiàn)，蘇教版教材是把三角形按角分類放在了三角形的內(nèi)角和之后，而人教版和北師大版教材則是把三角形按角分類放在三角形的內(nèi)角和之前。從合理解釋為什么三角形中只有一個直角或者只有一個鈍角的角度來看，蘇教版教材的編排更為科學(xué)。通過比較還發(fā)現(xiàn)，人教版教材對于直角三角形的邊的內(nèi)容的編排更為細致，突出了直角邊和斜邊的介紹，并通過問題“量一量左邊這個直角三角形的直角邊和斜邊，再比一比，你發(fā)現(xiàn)了什么？”，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“在直角三角形中，直角邊的長度都比斜邊的長度短”的重要結(jié)論，而蘇教版和北師大版教材中沒有相關(guān)內(nèi)容。

4.對多邊形的內(nèi)角和的拓展程度和呈現(xiàn)方式

三角形的內(nèi)角和是研究多邊形的內(nèi)角和的基礎(chǔ)，編排多邊形的內(nèi)角和的目的就是通過對三角形內(nèi)角和的應(yīng)用培養(yǎng)學(xué)生的知識應(yīng)用能力和知識遷移能力。蘇教版教材在本單元內(nèi)容結(jié)束之后單獨設(shè)計了探索規(guī)律“多邊形的內(nèi)角和”這一內(nèi)容，探索多邊形的內(nèi)角和的規(guī)律并總結(jié)出多邊形的內(nèi)角和的計算公式，在探究方法上采用量一量、分一分的方法。人教版教材在三角形的內(nèi)角和之后緊接著編排了四邊形的內(nèi)角和，圖6的四邊形的內(nèi)角和的研究方式延續(xù)了圖5的三角形的內(nèi)角和的探究方式，是對內(nèi)角和探究這一數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的應(yīng)用和再積累，而后在練習(xí)中編排了求六邊形的內(nèi)角和，但是沒有給出多邊形的內(nèi)角和的計算公式。北師大版教材則是在三角形的內(nèi)角和的練習(xí)中設(shè)計了一道探索四邊形內(nèi)角和的習(xí)題（如圖7），直觀形象地展示了四邊形的內(nèi)角和的探究方法，沒有過多涉及其他多邊形的內(nèi)角和的探究學(xué)習(xí)。

圖5

圖6

圖7

四、“三角形的認(rèn)識”相關(guān)內(nèi)容的編排建議

1.適當(dāng)后置三角形的部分內(nèi)容

小學(xué)階段的多邊形主要研究三角形和四邊形（長方形、正方形、平行四邊形和梯形），雖然三角形的內(nèi)容看起來不多，但包含的知識點還是非常多的，如三角形的特征、三角形邊的關(guān)系、三角形分類等，而對于四邊形（如長方形、正方形、平行四邊形和梯形等），尤其是平行四邊形和梯形包含的內(nèi)容相對少一些。三角形邊的關(guān)系、三角形的內(nèi)角和等都是三角形的基礎(chǔ)內(nèi)容。教材普遍是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角形的分類后再安排三角形的相關(guān)面積計算，建議可以將三角形的底和高的認(rèn)識結(jié)合圖形面積計算進行組合編排，也就是學(xué)習(xí)三角形的特征、邊的關(guān)系、內(nèi)角和之后，緊接著編排三角形的面積計算，而不是先認(rèn)識所有的圖形再學(xué)習(xí)所有圖形的面積計算。

2.適當(dāng)調(diào)整三角形的內(nèi)角和和三角形的分類的位置

分類是認(rèn)識事物的方法之一，通過分類可以達到充分認(rèn)識并掌握圖形的學(xué)習(xí)目標(biāo)。對于三角形，可以按照邊的特點或關(guān)系進行分類，也可以按照角的特點進行分類，但如果是在學(xué)生對于三角形的邊的要素以及角的要素等內(nèi)容全面學(xué)習(xí)之后安排相應(yīng)的內(nèi)容，效果會更好。也就是，先讓學(xué)生學(xué)習(xí)三角形的內(nèi)角和，因為三角形的內(nèi)角和是三角形分類的前提，有了三角形內(nèi)角和的知識點，學(xué)生理解三角形的分類會更容易。

綜上，三角形的教學(xué)要基于對三角形相關(guān)內(nèi)容以及教材編寫意圖的深刻理解，通過不斷深入研究，方能有效提高教學(xué)質(zhì)量。