測(cè)量數(shù)據(jù)中色噪聲處理方法探討

付 莉，高 冰，劉明波

（中國(guó)人民解放軍91388 部隊(duì)，湛江 524022）

1 引 言

采用經(jīng)緯儀進(jìn)行測(cè)量的過(guò)程中，測(cè)量數(shù)據(jù)y（t）由真實(shí)信號(hào)Y（t）、系統(tǒng)誤差s（t）和隨機(jī)誤差e（t）組成，即y（t） ＝Y(jié)（t） ＋s（t） ＋e（t）。 系統(tǒng)誤差影響測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度，隨機(jī)誤差影響測(cè)量結(jié)果的精密度。 要獲得高精度試驗(yàn)處理結(jié)果，必須準(zhǔn)確地分離測(cè)量數(shù)據(jù)中的系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。

經(jīng)緯儀測(cè)量數(shù)據(jù)中的系統(tǒng)誤差主要是指定向、零位、軸系、跟蹤部位等具有常值或有規(guī)律的誤差，在明確系統(tǒng)誤差模型的條件下，可以精確地予以修正。

目前，對(duì)測(cè)量序列隨機(jī)誤差影響的消除主要采用平滑濾波的方法，如中心平滑、多項(xiàng)式擬合等。平滑處理后數(shù)據(jù)的誤差有所降低，但由于平滑處理模型使平穩(wěn)時(shí)間序列的點(diǎn)與點(diǎn)之間相關(guān)（時(shí)序相關(guān)），若使用的數(shù)據(jù)要求采樣率較高時(shí)，如要求數(shù)據(jù)處理步長(zhǎng)為40 fps 點(diǎn)或更高時(shí)，就出現(xiàn)了數(shù)據(jù)時(shí)序相關(guān)問(wèn)題。

本文針對(duì)目前經(jīng)緯儀測(cè)量數(shù)據(jù)在高采樣率下隨機(jī)誤差具有較強(qiáng)相關(guān)性的實(shí)際問(wèn)題，對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)步長(zhǎng)判別方法和相關(guān)數(shù)據(jù)的處理策略進(jìn)行了分析探討。

2 白噪聲多項(xiàng)式平滑方法

在討論相關(guān)數(shù)據(jù)平滑處理前，首先介紹目前測(cè)量數(shù)據(jù)中的隨機(jī)誤差為白噪聲時(shí)，所采用的正交多項(xiàng)式平滑方法，作為相關(guān)數(shù)據(jù)平滑處理的基礎(chǔ)。

設(shè)測(cè)量數(shù)據(jù)為｛y，y，y，……，y｝

式 中： y（t）——觀測(cè)數(shù)據(jù)； Y（ t）——真 值；ε（t）——平穩(wěn)噪聲。

當(dāng)隨機(jī)誤差為白噪聲時(shí)，E［ε（t）］ ＝0，D［ε（t）ε（t）］ ＝σ，σ為噪聲方差。

為便于計(jì)算及統(tǒng)計(jì)分析，采用切比雪夫正交多項(xiàng)式的線性組合來(lái)逼近y（t），即

其中，φ（t）是切比雪夫正交多項(xiàng)式。

當(dāng)k ＝l 時(shí)，切比雪夫正交多項(xiàng)式滿足以下條件

其中，b（k ＝0，1，……，m）為待估系數(shù)。 令Q ＝min，利用φ（t）的正交性，得b的最小二乘解為

這就是目前普遍采用的正交多項(xiàng)式平滑處理方法。

3 非相關(guān)轉(zhuǎn)化法

采用差分的方法檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的相關(guān)性，導(dǎo)出相關(guān)條件下差分步長(zhǎng)的計(jì)算方法，通過(guò)求取測(cè)量數(shù)據(jù)的不相關(guān)步長(zhǎng)，將具有相關(guān)特性的原始測(cè)量序列轉(zhuǎn)化為若干個(gè)不相關(guān)的數(shù)據(jù)序列。

3．1 測(cè)量數(shù)據(jù)的差分方法

設(shè)測(cè)量結(jié)果為y，y，……，y，則一階差分為

（y－ y），（y－ y），……，（y－ y），……，（y－y）；

二階差分為

（y－y） －（y－y） ＝（y－2y＋y），（y－2y＋y），……，（y－2y＋y），……，（y－2y＋y）；

……

因?yàn)閠是等時(shí)間間隔分布的，當(dāng)做P 階差分時(shí)，凡包含有系數(shù)的各項(xiàng)均為0，剩下的是包含隨機(jī)誤差的項(xiàng)，所以根據(jù)一組P 階差分的值可以算出隨機(jī)誤差的估計(jì)量。 差分也可以每隔若干個(gè)數(shù)據(jù)相減，例如：

（y－ y），（y－ y），……，（y－y）

間隔的長(zhǎng)度L 稱為差分步長(zhǎng)。

3．2 不相關(guān)步長(zhǎng)判別方法

按照上面介紹的差分方法，對(duì)原始測(cè)量數(shù)據(jù)序列y做P 階向前差分處理，得到一組新的數(shù)據(jù)序列

根據(jù)P 階差分序列計(jì)算隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)方差S為

不成立，說(shuō)明步長(zhǎng)L 偏小，應(yīng)增加為L(zhǎng) ＋1；如果公式（9）成立，則認(rèn)為步長(zhǎng)L 是合適的，即測(cè)量數(shù)據(jù)是不相關(guān)的，此時(shí)L 為最小不相關(guān)步長(zhǎng)。 其中，σ 為一個(gè)根據(jù)需要確定的小正數(shù)，一般取σ ＝0.05。

3．3 非相關(guān)處理策略

在計(jì)算得到L 后，可采用下面的方法對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理。

3．3．1 序列重組

將原測(cè)量序列按照不相關(guān)步長(zhǎng)拆分成L 個(gè)不相關(guān)測(cè)量數(shù)據(jù)序列，此時(shí)，各序列的數(shù)據(jù)點(diǎn)為原序列中以L 為間隔的采樣點(diǎn)，并滿足不相關(guān)條件。

如原始測(cè)量數(shù)據(jù)序列為

y，y，y，……，y，y，y

由第3.2 條中的方法計(jì)算得到L ＝4，則可將原始測(cè)量序列拆分成4 列不相關(guān)數(shù)據(jù)序列

3．3．2 平滑濾波處理

對(duì)得到的各個(gè)不相關(guān)序列可采用目前普遍采用的白噪聲數(shù)據(jù)平滑濾波方法，如中心平滑濾波、端點(diǎn)平滑濾波、多項(xiàng)式擬合平滑濾波等方法。 具體方法不再贅述。

3．3．3 序列還原

將平滑濾波處理后的各序列，按照時(shí)間順序重新恢復(fù)成以測(cè)量采樣間隔為步長(zhǎng)的完整序列，得到

即經(jīng)過(guò)非相關(guān)轉(zhuǎn)化法處理得到的平滑結(jié)果。

3．4 隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

對(duì)隨機(jī)誤差序列采用貝塞爾公式統(tǒng)計(jì)為

3．5 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算分析

以某紅外測(cè)量設(shè)備為例，使用該設(shè)備對(duì)某空中飛行目標(biāo)進(jìn)行測(cè)量，受周圍氣候環(huán)境影響以及目標(biāo)形狀和姿態(tài)等變化，導(dǎo)致測(cè)量數(shù)據(jù)隨機(jī)誤差嚴(yán)重超差。 經(jīng)分析，此情況下獲取的測(cè)量數(shù)據(jù)含有較強(qiáng)噪聲，不滿足理想情況下對(duì)該型設(shè)備的鑒定結(jié)果，同時(shí)，原來(lái)白噪聲前提下的數(shù)據(jù)處理方法和模型也不再適用。

采用前面提出的相關(guān)數(shù)據(jù)分析處理方法，對(duì)該次測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析；在獲取不相關(guān)步長(zhǎng)后，將該測(cè)量序列拆分成多個(gè)不相關(guān)數(shù)據(jù)序列；再對(duì)各不相關(guān)序列按照白噪聲處理方法進(jìn)行處理，并將處理后的各序列重組，獲取目標(biāo)空中飛行軌道。兩種情況下的測(cè)量數(shù)據(jù)序列處理結(jié)果誤差比對(duì)如圖1 所示。

圖1 處理結(jié)果誤差比對(duì)Fig．1 Error comparison of processing results

4 相關(guān)數(shù)據(jù)平滑法

探討從另一個(gè)角度對(duì)具有相關(guān)性的測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑的方法，即不考慮測(cè)量數(shù)據(jù)是否相關(guān)，將前面介紹的利用正交多項(xiàng)式對(duì)白噪聲測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑的方法，推廣到隨機(jī)誤差相關(guān)時(shí)的情況。

4．1 相關(guān)系數(shù)計(jì)算方法

將公式（6）寫成向量形式為

其中，

由φ（t）的正交性有

即

其中，

（K，1 ＝0，1，……，m）

4．2 相關(guān)測(cè)量數(shù)據(jù)平滑處理方法

對(duì)離散測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑的方法，在考慮測(cè)量誤差的相關(guān)性時(shí)，要比白噪聲數(shù)據(jù)的處理復(fù)雜得多，關(guān)鍵是求出誤差相關(guān)矩陣的逆。 但在實(shí)際工作中要精確給出一個(gè)觀測(cè)序列噪聲的相關(guān)矩陣并不是很容易，再加上矩陣求逆往往比較復(fù)雜，這就給濾波器的設(shè)計(jì)帶來(lái)了困難。 為了較準(zhǔn)確地描述和分析測(cè)量中相關(guān)噪聲的性質(zhì)和影響，現(xiàn)采用簡(jiǎn)單廣義馬爾可夫噪聲作為相關(guān)噪聲的一階近似。

具有標(biāo)準(zhǔn)化自相關(guān)函數(shù)的廣義平穩(wěn)連續(xù)隨機(jī)過(guò)程稱為簡(jiǎn)單廣義馬爾可夫過(guò)程。

其中，ω ＞0 稱為噪聲帶寬，可由實(shí)驗(yàn)確定，它的大小反映了相關(guān)性的強(qiáng)弱。 ω 越大，相關(guān)性越弱。

基于上述理由，為了簡(jiǎn)化分析與計(jì)算，現(xiàn)假設(shè)測(cè)量隨機(jī)誤差為平穩(wěn)過(guò)程，則有零值數(shù)學(xué)期望和由公式（18）定義的自相關(guān)噪聲。

在這種情況下，誤差相關(guān)矩陣K 的逆矩陣K是對(duì)稱三角陣

其中，

當(dāng)n→∞時(shí)，上述兩種估值的方差均趨于同一極限（與m 無(wú)關(guān)），則

當(dāng)d ＝0 時(shí)，兩種估值意義相同，有

這實(shí)際上是測(cè)量誤差非相關(guān)時(shí)的平滑值方差。

當(dāng)d≠0 時(shí)，平滑值的方差總是超過(guò)非相關(guān)情況下的相應(yīng)方差值，在自相關(guān)函數(shù)可用簡(jiǎn)單廣義馬爾可夫過(guò)程描述的情況下，不考慮測(cè)量誤差相關(guān)性所造成的平滑值方差增加是很小的，這時(shí)可按測(cè)量誤差對(duì)白噪聲進(jìn)行處理，而不至于使誤差增加很多。

5 結(jié)束語(yǔ)

隨著技術(shù)發(fā)展，經(jīng)緯儀測(cè)量數(shù)據(jù)的錄取頻率越來(lái)越高，從過(guò)去要求的1 fps、2 fps，提高到10 fps、20 fps，甚至更高。 因處理頻率的提高，數(shù)據(jù)的相關(guān)性明顯增強(qiáng)。 特別是隨著多傳感器測(cè)量設(shè)備的研制和在實(shí)際測(cè)量中的應(yīng)用，因其測(cè)量手段的多樣化和測(cè)量工程原理與背景環(huán)境的復(fù)雜性，提供用于處理的信息已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出過(guò)去傳統(tǒng)意義上的誤差簡(jiǎn)化為白噪聲的情況。 原有數(shù)據(jù)處理方法假定測(cè)量數(shù)據(jù)是白噪聲的前提條件已不滿足。

本文針對(duì)因現(xiàn)有測(cè)量條件的變化和數(shù)據(jù)處理要求的提高所帶來(lái)的新問(wèn)題進(jìn)行了分析和探討。通過(guò)采取適當(dāng)?shù)奶幚聿呗?，拓寬了原有?shù)據(jù)處理方法的應(yīng)用領(lǐng)域，增強(qiáng)了數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)的適應(yīng)能力。