r-貝爾數(shù)的對數(shù)性質(zhì)

王窕窕， 熊義財， 孫 毅

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊 830046)

1 引 言

令Bn,r表示r-貝爾數(shù)，它最先由Corcino在文獻[1]中給出，并被定義為第二類r-Stirling數(shù)Sr(n,k)的總和，第二類r-Stirling數(shù)最早由Broder 在文獻[2]中引入.在組合學(xué)中，Sr(n,k) 可解釋為將集合[n]∶={1,2,…,n}劃分為k個非空子集的數(shù)量，使得[r]∶={1,2,…,r}中的數(shù)字分別出現(xiàn)在不同的子集中.之后，該組合數(shù)在文獻[3]中又給出了進一步的推廣.為后續(xù)方便分析，r-貝爾數(shù)可以寫成如下形式：

顯然，r-貝爾數(shù)在r=0時就退化為普通貝爾數(shù)，即Bn=Bn,0，其中Bn表示普通的貝爾數(shù).

自r-貝爾數(shù)提出以來，已有一些關(guān)于r-貝爾數(shù)的研究.文獻[4]研究了r-貝爾多項式的遞歸形式.文獻[3]提出了r-貝爾數(shù)的漸進公式，并證明r-貝爾數(shù)可以用一種Dobinski的公式來表示，即

(1)

此外，文獻[5]定義了一個更具一般形式的r-貝爾數(shù)，并研究了它的一些基本性質(zhì).文獻[6-7]中研究了r-貝爾數(shù)的一些組合性質(zhì)，其中包括它的各種遞歸形式以及生成函數(shù).Mezo通過以下方式定義了r-貝爾多項式

該多項式滿足以下遞歸恒等式[6]

Bn,r(x)=xB′n-1,r(x)+(x+r)Bn-1,r(x).

(2)

定理1[6]r-貝爾多項式的指數(shù)型生成函數(shù)為

文獻[8]研究了廣義貝爾多項式，其系數(shù)可以被看做是r-貝爾數(shù)的推廣，并證明了這種多項式函數(shù)是凸的.但是，關(guān)于r-貝爾數(shù)的對數(shù)性質(zhì)還沒有人研究，本文將重點研究其對數(shù)性質(zhì).

(3)

如果序列{Zn/n!}n≥0是對數(shù)凹的而序列{Zn}n≥0是對數(shù)凸的，則稱實數(shù)序列{Zn}n≥0是對數(shù)平衡的，詳見文獻[13].

通過研究r-貝爾數(shù)的對數(shù)性質(zhì)，得出了如下主要結(jié)果.

基于上述定理，還可以得出以下結(jié)果：

值得指出的是，文獻[14]通過Bell-Touchard多項式的函數(shù)性質(zhì)導(dǎo)出了比定理3更一般的結(jié)論，本文從組合學(xué)的角度給出了新的證明.

結(jié)合定理 2和 3可得推論1.

基于上述定理，使用一些不等式方法推導(dǎo)出定理4.

(4)

對所有的m,n≥0.注意到一個函數(shù)f∶[a,b]?R→(0,∞)是對數(shù)凸的，如果對于[x,y]∈[a,b]和t∈[0,1],有f(tx+(1-t)y)≤[f(x)]t[f(y)]1-t.反之，如果上式的不等號反向，則稱函數(shù)f是對數(shù)凹的.眾所周知，如果函數(shù)f是可導(dǎo)的，則稱函數(shù)f是對數(shù)凸(或?qū)?shù)凹)的，當且僅當f′/f是遞增的(或遞減的).本文還考慮了函數(shù)Bx,r的對數(shù)性質(zhì)，其中

(5)

定理5當r,x≥0,以下結(jié)論成立：

(i) 函數(shù)Bx,r是對數(shù)凸的；

(ii) 函數(shù) (Bx,r)1/x是單調(diào)遞增的，即當0

定理6r-貝爾多項式只有實零點.

利用該定理可以發(fā)現(xiàn)，r-stirling 數(shù)關(guān)于n是對數(shù)凹的.

2 主要結(jié)果的證明

2.1 定理2和3的證明

首先，需要一個由Bender 和Canfield得出的一個結(jié)果[15].

引理1[15]設(shè)Z0=1,Z1,Z2,…是一組實數(shù)序列，定義

Z={Z1,Z2,…}∪{ZjZk-Zj-1Zk+1:0

則有

(n+1)pmpn-mpm-1pn+1∈[Z], 對1≤m≤n.

pm-1pn+1-pmpn∈[w1,w2,…,w] (1≤m≤n).

根據(jù)引理1, Bender 和Canfield 得到了如下著名的Bender-Canfield 定理.

基于上述定理，下面給出定理2的證明.

證由定理 1, 令x=1，可得

其中ui滿足

(6)

對所有的i≥2.

因此，當0≤r≤1,對所有的j≥0,有uj≥0 .

于是根據(jù)引理1，可得(n+1)Bm,rBn,r-mBm-1,rBn+1,r≥0.由此可得

據(jù)此可以得出

(7)

在式(7)中，令m=n便得證.

接下來，本文給出定理3的證明.

推論2貝爾序列{Bn}n≥0是對數(shù)凸的，且序列{Bn/n!}n≥0是對數(shù)凹的.因此，序列{Bn}n≥0是對數(shù)平衡的.

值得指出的是，推論 2的結(jié)果也以不同的方法在文獻[16]中得到了證明.

2.2 定理 4的證明

證首先給出不等式(4)左邊的證明，即

Bn,rBm,r≤Bn+m,r.

(8)

因此可得

令B0,r=1則得到以上不等式(8).

由此可得

因此，對所有的0≤k≤m-1，有

這說明

即

這相當于,當n≥0,m≥1時，有

(9)

當B0,r=1時，顯然，不等式(9)對m=0成立.因此

對n≥0,m≥0和0≤r≤2.

令不等式 (4)中的r=0，則可以得到推論3.

推論3對于貝爾數(shù)Bn

(10)

對所有整數(shù)m,n≥0.

2.3 定理 5的證明

E(|XY|)≤E(|X|p)1/p·E(|Y|q)1/q.

等號成立的充要條件是存在一個實數(shù)λ，使得|X|=λ|Y|或E(|X|p)=0或E(|Y|q)=0.

證先給出(i)的證明.要證(logBx,r)″≥0,即相當于證

Bx,rB″x,r-(B′x,r)2≥0.

(11)

當x≥1時，利用公式 (5)可得

因此，當x≥1,可以推出

Bx,rB″x,r-(B′x,r)2

令ak=1且Bk=Xx,則對所有的整數(shù)k≥0，由引理 3，令X=Zx,Y=1且p=y/x,對所有的y>x>0，可以得出

E(Zx)≤(E|Zx|y/x)x/y(E|Y|y/(y-x))(y-x)/y=(EZy)x/y.

這相當于E(Zx)1/x≤E(Zy)1/y.

特別地，如果定理 5中的y>x>0，則不難推出

(12)

根據(jù)定理 5 和不等式(12), 易得推論4.

推論4對于r≥0的r-貝爾數(shù)，有

(13)

對于r≥0.

2.4 定理6的證明

令RZ表示實數(shù)多項式的集合.假設(shè){pn(x)}n≥0是 一系列標準多項式，這些多項式都是零或首系數(shù)為正的多項式，當pn(r)=0且n≥1時，如果pn(x)的階數(shù)為n且pn-1(r)pn+1(r)<0，那么稱{pn(x)}n≥0是Sturm序列.關(guān)于實根多項式的研究，可參見文獻[18].

引理4[18]令{pn(x)}n≥0是具有非負系數(shù)的多項式序列，并且

deg(pn(x))=deg(pn-1(x))+1,

其中deg(f(x))是多項式f(x)的次數(shù).假設(shè)

pn(x)=(anx+bn)pn-1(x)+x(cnx+dn)p′n-1(x).

其中an,bn∈且cn≤0,dn≥0.則{pn(x)}是Sturm序列.

證首先貝爾多項式滿足deg(Bn,r(x))=deg(Bn-1,r(x))+1.利用遞歸關(guān)系(2)，有

Bn,r(x)=(anx+bn)Bn-1,r(x)+x(cnx+dn)B′n,r(x).

其中an=1,bn=r且cn=0,dn=1.因此，利用引理 4，可以推導(dǎo)出序列{Bn,r(x)}n≥0是一個Sturm 序列.因此，對于所有的r≥1,Bn,r(x)都具有實根.

根據(jù)定理 6，易得到推論5.

推論5序列{Sr(n,k)}n≥0是對數(shù)凹的，因此該序列具有單峰性.

3 結(jié) 論

本文對r-貝爾數(shù)的對數(shù)凸凹性進行了研究，并證明了它的一些組合性質(zhì)，包括其關(guān)于n的對數(shù)凸性和對數(shù)凹性.本文還考慮了r-貝爾多項式的零點.通過使用文獻[18]的結(jié)果，證明了r-貝爾多項式僅有實根.這意味著r-stirling數(shù)是對數(shù)凹的.通過計算機實驗，本文還發(fā)現(xiàn)了一些新的猜想以供進一步研究.

猜想2對于所有r≥0，序列{Bn,r}n≥0是對數(shù)平衡的.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.