沖激函數(shù)δ(t)及其導(dǎo)數(shù)的微分方程求解

方 飛， 肖立文

(內(nèi)江師范學(xué)院 物理與電子信息工程學(xué)院， 四川 內(nèi)江 641100)

0 引言

《信號(hào)與系統(tǒng)》是電子信息類專業(yè)的核心課程，該課程理論性強(qiáng)、過于抽象,學(xué)生學(xué)起來普遍有畏難情緒[1].單位沖激響應(yīng)是分析線性時(shí)不變(linear and time invariant，LTI)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、因果性等特性的重要方法[2].教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，阻礙學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的常常是某些知識(shí)點(diǎn)理解不到位，而沖激函數(shù)δ(t)(也稱奇異函數(shù))及其響應(yīng)就加重了學(xué)生的理解難度.

當(dāng)前對《信號(hào)與系統(tǒng)》課程的研究主要集中教學(xué)模式及教學(xué)方法改革[3-6]和課程思政[7-10]等方面.杜世民等[2]利用奇異函數(shù)平衡法、等效初始條件法、線性分析法分析了沖激響應(yīng)的求解算法；張國強(qiáng)等[11]對單位沖激信號(hào)的引入方法進(jìn)行了對比；許梅等[12]對單位沖激信號(hào)的性質(zhì)進(jìn)行了研究.已有的研究都未對沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及高階導(dǎo)數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分析，沒有對微分方程中出現(xiàn)沖激函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)如何求解展開研究，而拉氏變換求解算法中又經(jīng)常用到.針對此問題，本文對微分方程中出現(xiàn)沖激函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時(shí)如何采取經(jīng)典方法進(jìn)行求解開展研究.

1 微分方程經(jīng)典求解算法

二階常系數(shù)微分方程如下：

y″(t)+5y′(t)+6y(t)=f′(t)+f(t).

(1)

假定系統(tǒng)初始值為零，即

y′(0-)=0,y(0-)=0，

(i)當(dāng)f(t)=u(t)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)；

(ii)當(dāng)f(t)=δ(t)時(shí)，求系統(tǒng)的全響應(yīng).

依據(jù)線性微分方程求解方法，得到微分方程的特征方程為：

α2+5α+6=0，

(2)

求得特征根為α1=-2，α2=-3，齊次解為：yh(t)=C1e-2t+C2e-3t.

由于δ(t)、δ′(t)及其高階導(dǎo)數(shù)只在0時(shí)刻起作用，因此對于(i)的求解，式(1)的右邊變?yōu)棣?t)+u(t)，依據(jù)沖激函數(shù)匹配方法，左邊y″(t)將出現(xiàn)δ(t)，在0-到0+時(shí)刻，y′(t)將發(fā)生躍變，y′(0+)=y′(0-)+1=1.

微分方程的特解為：

yp(t)=1/6.

微分方程的全解可表示為：

代入初始值：

(3)

對于(ii)的求解中，右邊激勵(lì)變成3δ′(t)+2δ(t)，對于δ(t)引起的響應(yīng)可以按照(i)所求方法進(jìn)行求解.然而當(dāng)激勵(lì)為δ′(t)時(shí)，依據(jù)沖激函數(shù)匹配方法，左邊y″(t)將出現(xiàn)δ′(t)項(xiàng)，y′(t)將出現(xiàn)δ(t).依據(jù)δ(t)的性質(zhì)，在0-到0+時(shí)刻，y(t)將發(fā)生躍變.此時(shí)將產(chǎn)生如下問題：

(1)當(dāng)y″(t)中包含δ′(t)項(xiàng)時(shí)，也可能包括δ(t)項(xiàng)，此時(shí)如何確定系數(shù)；

(2)y″(t)中δ′(t)項(xiàng)從0-到0+是否會(huì)引起y(t)發(fā)生躍變.

這是在求解含δ′(t)的微分方程時(shí)很難理解的地方，也是包含δ(t)導(dǎo)數(shù)及高階導(dǎo)數(shù)的微分方程在求解過程中面臨的問題.

2 拉氏變換求解算法

二階常系數(shù)微分方程如下：

y″(t)+5y′(t)+6y(t)=f′(t)+f(t).

(4)

依據(jù)拉氏變換求解方法，對方程兩邊進(jìn)行拉普拉斯(Laplace)變換，當(dāng)初始條件為0時(shí)，得到方程的拉氏變換：

s2Y(s)+5sY(s)+6Y(s)=sF(s)+F(s)，

(5)

(6)

是由激勵(lì)f′(t)=δ(t)引起的響應(yīng)，依據(jù)拉氏反變換，可以求得在該激勵(lì)下的響應(yīng)為

y1(t)=(e-2t-e-3t)u(t)；

由激勵(lì)f(t)=u(t)引起的響應(yīng)，依據(jù)拉氏反變換，可以求得在該激勵(lì)下的響應(yīng)為

全解為：

(7)

(ii)當(dāng)f(t)=δ(t)時(shí)，F(xiàn)(s)=1，

(8)

是由激勵(lì)f(t)=δ(t)引起的響應(yīng)，依據(jù)拉氏反變換，可以求得在該激勵(lì)下的響應(yīng)為

y1(t)=(e-2t-e-3t)u(t)；

是由激勵(lì)f(t)=δ′(t)引起的響應(yīng)，依據(jù)拉氏反變換，可以求得在該激勵(lì)下的響應(yīng)為

y2(t)=(-2e-2t+3e-3t)u(t).

全解為：

y(t)=y1(t)+y2(t)=(-e-2t+2e-3t)u(t).

(9)

3 含δ(t)及其導(dǎo)數(shù)方程的求解

依據(jù)LTI系統(tǒng)的線性特性，松馳條件下(初始條件為0)的微分方程y″(t)+b0y′(t)+b1y(t)=f′(t)+f(t)可以分解為兩部分：

y″(t)+b0y′(t)+b1y(t)=f1(t)+f2(t)，

其中f1(t)=f2′(t)，因此只考慮微分方程最簡單的形式

y″(t)+b0y′(t)+b1y(t)=f(t)類型的微分方程.

3.1 激勵(lì)為δ(t)的響應(yīng)

定理1對于二階線性常系微分方程，y″(t)+b0y′(t)+b1y(t)=mf(t)，若其特征方程的根為非重根，則該微分方向的沖激響應(yīng)為：

y(t)=C1ea1+C2eα2，t≥0，

且C1，C2由如下方程確定：

(10)

其中，α1，α2是微分方程對應(yīng)特征方程的特征根，m是激勵(lì)δ(t)的系數(shù).

證明：

先考慮一常見微分方程：

y″(t)+b0y′(t)+b1y(t)=mf(t).

假設(shè)其特征根為α1，α2,(α1≠α2).由特征根的計(jì)算表達(dá)，可知：

α1+α2=-b0，α1×α2=b1.

當(dāng)輸入激勵(lì)為f(t)=δ(t)時(shí)，得到微分方程的拉氏變換為：

(11)

得出系統(tǒng)的響應(yīng)為：

依據(jù)傳統(tǒng)常系數(shù)微分方程的求解方法，得到該微分方程的特征方程為：

α2+b0α+b1=0，

求得特征根α1，α2,(α1≠α2).

微分方程的解可寫成：

y(t)=C1eα1t+C2eα2t，t≥0.

輸入為δ(t)時(shí)，左邊y″(t)將出現(xiàn)δ(t)，在0-到0+時(shí)刻，y′(t)將發(fā)生躍變，

y′(0+)=y′(0-)+1=m.

代入初始值：

(12)

比較兩種解法，可以發(fā)現(xiàn)，在輸入為δ(t)時(shí)，由拉氏變換分式分解求得的k1，k2與采用傳統(tǒng)微分方程求解得到的C1，C2相同.

將該結(jié)論應(yīng)用于微分方程：

y″(t)+5y′(t)+6y(t)=3f(t)

的沖激響應(yīng)求解.利用拉氏變換求解得到該微分方程的解為

y(t)=e-2t-e-3t,t≥0.

由式(2)的公式m=3，α1=-2，α2=-3，推導(dǎo)得出C1=k1=3，C2=k2=-3.測試結(jié)果表明定理的準(zhǔn)確性.

3.2 激勵(lì)為δ′(t)的響應(yīng)

定理2對于二階線性常系微分方程，

y″(t)+b0y′(t)+b1y(t)=mf(t)，

其激勵(lì)為δ′(t)的響應(yīng)為：

y(t)=C1eα1t+C2eα2t，t≥0，

且C1，C2由如下方程確定.

(13)

其中，α1，α2是微分方程對應(yīng)特征方程的特征根，m是激勵(lì)δ′(t)的系數(shù).

證明：

依據(jù)LTI系統(tǒng)的線性特性，松馳條件下(初始條件為0)且不出現(xiàn)重根的二階線性微分方程y″(t)+b0y′(t)+b1y(t)=mf(t)，假設(shè)α1，α2是微分方程對應(yīng)特征方程的根.當(dāng)輸入激勵(lì)為f(t)=δ′(t)時(shí)，F(xiàn)(s)=s，得到微分方程的拉氏變換為：

(14)

得出微分方程的解為：

(15)

而微分方程對應(yīng)特征方程為

α2+b0α+b1=0，

求得特征為根為α1，α2.

3.3 激勵(lì)為δ′(t)的響應(yīng)

定理3對于二階線性常系微分方程，

y″(t)+b0y′(t)+b1y(t)=mf(t)，

其激勵(lì)δ′(t)響應(yīng)為：

y(t)=m(δ(t)+C1eα1t+C2eα2t)，t≥0，

且C1，C2由如下方程確定：

(16)

其中，α1，α2是微分方程對應(yīng)特征方程的特征根，m是激勵(lì)δ(t)的系數(shù).

證明：

依據(jù)LTI系統(tǒng)的線性特性，松馳條件下(初始條件為0)且不出現(xiàn)重根的微分方程

y″(t)+b0y′(t)+b1y(t)=mf(t)，

假設(shè)α1，α2是微分方程對應(yīng)特征方程的特征根.當(dāng)輸入激勵(lì)為f(t)=δ″(t)時(shí)，F(xiàn)(s)=s2時(shí)，得到微分方程的拉氏變換為：

得出微分方程的解為：

(18)

而微分方程對應(yīng)特征方程為α2+b0α+b1=0，求得特征為根為α1，α2.使用經(jīng)典求解方法的沖激函數(shù)匹配法，y(t)必然包含δ(t)，y″(t)包含mδ″(t)，但是難以確定δ″(t)對y′(t)及y(t)的影響，這也是經(jīng)典求解算法存在的問題.通過分析發(fā)現(xiàn)：

正好是微分方程y′(t)的系數(shù)；

是y′(t)的系數(shù).

驗(yàn)證：將該推論應(yīng)用于微分方程

y″(t)+5y′(t)+6y(t)=f(t)，

其解為

y(t)=δ(t)+4e-2t-9e-3t，t≥0，

可以得出：

(19)

對于方程

y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t)，

其解為

y(t)=δ(t)+e-t-4e-2t，t≥0，

可以得出

(20)

兩個(gè)方程滿足相同的條件，驗(yàn)證結(jié)論正確.

4 結(jié)論

經(jīng)典的微分方程求解算法在求解含沖激函數(shù)δ(t)及其一階、二階導(dǎo)數(shù)甚至高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，無法解決在0-到0+時(shí)刻，沖激函數(shù)引起的初始狀態(tài)變化情況.拉氏變換通過將微分方程變成線性方程，并通過將積分限設(shè)置為0-的方式來避免0-到0+時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)變化，簡化了微分方程的求解過程.在實(shí)際系統(tǒng)分析中，盡量采用拉氏變換來求解實(shí)際電路微分方程.經(jīng)典微分方程求解是傅里葉變換、拉氏變換以及Z變換算法的基礎(chǔ)，學(xué)生必須掌握經(jīng)典求解算法技巧與方法.本文提出的系統(tǒng)匹配方法只針對了二階不重根的方法，包含δ(t)三階導(dǎo)數(shù)及以上微分方程的匹配算法還需要進(jìn)一步證明.