基于遺傳算法的多點(diǎn)切觸刀位優(yōu)化算法

左遠(yuǎn)征,黃常標(biāo)+,張絮暉

(1.華僑大學(xué) 福建省特種能場(chǎng)制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,福建 廈門 361021；2.華僑大學(xué) 廈門市數(shù)字化視覺測(cè)量重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,福建 廈門 361021)

0 引言

隨著航空航天、新能源、汽車制造等領(lǐng)域的發(fā)展，不斷出現(xiàn)的復(fù)雜曲面零部件對(duì)數(shù)控加工編程技術(shù)、數(shù)控裝備和數(shù)控系統(tǒng)的極限性能等提出了新的挑戰(zhàn)，數(shù)控加工技術(shù)的優(yōu)劣直接決定了這些復(fù)雜曲面零部件的加工效率和加工精度[1]。隨著反求工程、快速成形和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)等技術(shù)的發(fā)展，由三角面片構(gòu)成的自由曲面被廣泛應(yīng)用于相關(guān)設(shè)計(jì)制造領(lǐng)域，與其相關(guān)的刀位計(jì)算、軌跡規(guī)劃研究也成為研究熱點(diǎn)[2-3]。在五軸數(shù)控加工中，通過(guò)優(yōu)化刀位來(lái)探索最大切削帶寬，同時(shí)還要考慮刀具與工件干涉等因素[4]。近年來(lái)，以寬行加工為目標(biāo)的刀位算法得到了較大的發(fā)展，主要包括傳統(tǒng)的單點(diǎn)切觸刀位算法和多點(diǎn)切觸刀位算法。

單點(diǎn)切觸刀位算法認(rèn)為刀具和工件曲面之間只存在一個(gè)切觸點(diǎn)，刀位計(jì)算時(shí)僅用一個(gè)切觸點(diǎn)處的微分幾何信息。目前主要有曲率匹配法、基于刀具掃描面的方法、C空間法、相交檢測(cè)法以及結(jié)合進(jìn)給方向的刀位優(yōu)化方法等。其中：①曲率匹配法是基于刀具與工件曲面的曲率匹配獲得無(wú)局部過(guò)切的刀位，主要包括曲面主曲率[5]、垂直于進(jìn)給方向的法曲率[6]、進(jìn)給方向垂直和平行的兩個(gè)方向的法曲率[7]以及刀具有效曲率的匹配。此外，CHEN等[8]提出一種通過(guò)調(diào)整刀具有效曲率使其大于曲面各方向的最大曲率來(lái)確定刀位的方法。②基于刀具掃描面的方法，通過(guò)沿刀具軌跡生成刀具掃描表面，在整個(gè)表面上連續(xù)計(jì)算切削帶寬[9]。刀具包絡(luò)面的表示是生成刀具掃描面的基礎(chǔ)，HU等[10]提出局部刀具定位方法的基本曲率方程，以逼近單個(gè)刀觸點(diǎn)處的刀具包絡(luò)面，可以在每個(gè)刀觸點(diǎn)處調(diào)整刀位，獲得最大的切削帶寬;MIN等[11]建立了刀具包絡(luò)面與工件近似圓弧面之間的二階或三階切觸來(lái)得出最佳刀具位姿。③C空間法將刀具姿態(tài)定義為C空間中的一點(diǎn)，并將工件投射到C空間中，通過(guò)避免干涉尋找最佳的刀具位置，最終將最佳刀具定位在C空間可行區(qū)域邊界上[12]。MI等[13]通過(guò)僅識(shí)別無(wú)干涉區(qū)域的邊界來(lái)簡(jiǎn)化C空間法。④相交檢測(cè)法通過(guò)刀具切削刃與工件表面之間的相交檢測(cè)獲得無(wú)干涉的刀具位姿。為了便于計(jì)算相交，通常采用離散方式，如將刀具分成有限數(shù)量的圓[14]、將刀具和工件細(xì)分為多邊形[15]、基于加工點(diǎn)云[16]等進(jìn)行干涉和相交檢測(cè)。FAN等[17]將工件表面用兩個(gè)二次曲面近似，表面上方的曲面用于避免干涉，表面下方的曲面用于保守的計(jì)算切削帶寬。⑤結(jié)合進(jìn)給方向，CHIOU等[18]基于3D有效切削輪廓，針對(duì)不同的進(jìn)給方向提出一種加工勢(shì)場(chǎng)(Machining Potential Field, MPF)的切削帶寬模型，根據(jù)切削帶寬評(píng)估了進(jìn)給方向的合理性。FARD等[19]用刀觸點(diǎn)附近的環(huán)面近似代替工件局部幾何形狀，獲得最佳進(jìn)給方向和刀位的解析解;LU等[20]采用差分進(jìn)化算法同時(shí)優(yōu)化進(jìn)給方向和刀位。

單點(diǎn)切觸方法大多采用解析法，因計(jì)算效率較高而被廣泛采用。但為了使刀具與工件曲面在宏觀區(qū)域得到更好的匹配，以獲得更大的切削帶寬，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了多點(diǎn)切觸刀位算法。目前，多點(diǎn)切觸刀位算法都默認(rèn)刀具和加工曲面存在兩個(gè)切觸點(diǎn)，主要可以分為3類：

(1)傳統(tǒng)的刀位計(jì)算方法，包括多點(diǎn)切觸加工(Multi-Point Machining,MPM)算法[21,23]、Hermite算法[24]和圓弧相交法(Arc Intersect Method,AIM)算法[25]。MPM算法和Hermite算法通過(guò)規(guī)劃的第1個(gè)刀觸點(diǎn)求得滿足精度要求的第2個(gè)刀觸點(diǎn)，兩個(gè)切觸點(diǎn)關(guān)于最小主曲率方向?qū)ΨQ，算法計(jì)算原理較為復(fù)雜，刀位計(jì)算效率不高；AIM算法在由刀觸點(diǎn)及其法矢、進(jìn)給方向三者確定的平面內(nèi)，旋轉(zhuǎn)刀軸矢量找到滿足局部過(guò)切條件下的刀具最小后跟角，該算法第2個(gè)刀觸點(diǎn)受局部曲面形態(tài)的影響，當(dāng)?shù)?個(gè)切觸點(diǎn)離進(jìn)給方向較近時(shí)，刀位處僅能獲得比較小的加工帶寬。

(2)通過(guò)環(huán)心圓曲線到加工曲面的誤差分布曲線來(lái)尋找最大切削帶寬。端點(diǎn)誤差控制算法(End Points Error Controlling, EPEC)[26-27]將加工曲面的(圓環(huán)刀具圓角r+允許加工誤差δ)等距曲面內(nèi)一點(diǎn)作為環(huán)心圓上一點(diǎn)，動(dòng)態(tài)調(diào)整該曲面上在進(jìn)給方向另一側(cè)的另一個(gè)環(huán)心圓點(diǎn)，以這兩點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)環(huán)心圓計(jì)算最大帶寬的刀位。旋轉(zhuǎn)切觸法(Rotary Contact Method, RCM)[28]及改進(jìn)旋轉(zhuǎn)切觸法(Improved RCM, IRCM)[29,31]、中點(diǎn)誤差控制算法(Middle Point Error Control, MPEC)[32]及其改進(jìn)方法[33-34]則以加工曲面的(r+δ)等距曲面上給定環(huán)心圓曲線點(diǎn)及其法矢、進(jìn)給方向建立坐標(biāo)系，以不同旋轉(zhuǎn)軸分別旋轉(zhuǎn)環(huán)心圓，以環(huán)心圓曲線到被加工曲面的誤差分布為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)計(jì)算刀位。該方法基于環(huán)心圓計(jì)算誤差分布，可以在一定程度上簡(jiǎn)化計(jì)算，但在環(huán)心圓尺寸較大而加工曲面上包含較小結(jié)構(gòu)時(shí)，則有可能產(chǎn)生干涉；以(r+δ)等距曲面上環(huán)心圓曲線點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，在一定程度上限制了刀具與加工曲面的相對(duì)位置，從而導(dǎo)致切削帶寬也受到一定限制；同時(shí)由于旋轉(zhuǎn)中心遠(yuǎn)離刀心點(diǎn)，也導(dǎo)致優(yōu)化后的刀心與驅(qū)動(dòng)線的相對(duì)位置變化較大，不利于獲得更為平滑的軌跡。

(3)利用三角網(wǎng)格曲面的刀位計(jì)算方法。TSAINIS等[35]提出的凸包控制點(diǎn)(Point-In-Convex-Hull-Control,PICHC)算法通過(guò)幾何變換使得刀具網(wǎng)格模型面片與加工曲面上相應(yīng)投影面片的質(zhì)心和法矢重合，判斷曲面網(wǎng)格與刀具網(wǎng)格是否發(fā)生干涉來(lái)確定最佳刀具姿態(tài)；DUVEDI等[36-37]提出了針對(duì)曲面網(wǎng)格模型的刀具定位方法，使得刀具與曲面網(wǎng)格模型存在多個(gè)切觸點(diǎn)。該方法首先沿刀軸矢量將環(huán)形刀具定位在網(wǎng)格曲面上，然后刀具圍繞給定軸旋轉(zhuǎn)，直到出現(xiàn)第2個(gè)切觸點(diǎn)。這類方法的目的是獲得了無(wú)干涉的刀具位姿，實(shí)際上并未考慮到切削帶寬的大小。

現(xiàn)有五軸數(shù)控加工環(huán)形刀具的多點(diǎn)切觸刀位算法主要存在以下問(wèn)題：

(1)優(yōu)化算法大都默認(rèn)刀具和工件曲面存在兩個(gè)切觸點(diǎn)，雖然能夠得到較大的切削帶寬，但仍具有較大的局限性；

(2) 刀位優(yōu)化計(jì)算主要基于刀具環(huán)心圓或刀具環(huán)形面，在不考慮刀具底面的情況下將有可能產(chǎn)生干涉；

(3) 優(yōu)化刀位時(shí)的旋轉(zhuǎn)中心遠(yuǎn)離刀心點(diǎn)，隨著曲面的變化將導(dǎo)致刀心軌跡與驅(qū)動(dòng)線的相對(duì)位置產(chǎn)生較大波動(dòng)；

(4) 優(yōu)化算法采用數(shù)值計(jì)算方法，大多基于格點(diǎn)法對(duì)傾斜角、側(cè)偏角進(jìn)行離散尋優(yōu)，其刀位角度的計(jì)算精度取決于離散網(wǎng)格的密集程度，刀位優(yōu)化精度受限，且效率不高。

為此，本文基于被廣泛應(yīng)用的三角網(wǎng)格曲面，提出一種基于遺傳算法的環(huán)形刀具刀位優(yōu)化算法，即通過(guò)刀心定位刀具，在精確計(jì)算預(yù)定位刀位到被加工曲面最短有向距離的基礎(chǔ)上，通過(guò)刀具與被加工曲面的等加工殘留偏置曲面來(lái)精確計(jì)算切削帶寬，最后通過(guò)遺傳算法來(lái)尋找能夠獲得最大切削帶寬的刀位傾斜角、側(cè)偏角。

1 刀位優(yōu)化基本原理

刀位優(yōu)化的最終目標(biāo)是獲得最大的切削帶寬。本文通過(guò)刀具網(wǎng)格模型表示刀具實(shí)體結(jié)構(gòu)的3D表面，基于刀具網(wǎng)格模型與三角網(wǎng)格曲面簡(jiǎn)化刀具定位和刀位計(jì)算過(guò)程，精確計(jì)算切削帶寬。通過(guò)最短有向距離法確定給定傾斜角和側(cè)偏角的環(huán)形刀具與被加工區(qū)域的相對(duì)位置，再利用刀具網(wǎng)格模型與等殘留偏置曲面求交來(lái)精確計(jì)算多點(diǎn)切觸切削帶寬。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)遺傳算法尋找出切削帶寬最大的刀位傾斜角和側(cè)偏角。刀位計(jì)算的總體流程如下：

步驟1在全局坐標(biāo)系Oxyz下創(chuàng)建初始環(huán)形刀具的網(wǎng)格模型D1，刀具尺寸參數(shù)包括環(huán)心圓半徑R和圓角半徑r。刀具刀心點(diǎn)Ot與全局坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，刀具局部坐標(biāo)系與全局坐標(biāo)系重合，即初始傾斜角、側(cè)偏角都設(shè)為0；

步驟2任意給定刀位的傾斜角和側(cè)偏角，刀具D1經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變換得到新的刀具網(wǎng)格模型D2，再將D2沿z方向平移距離d(d為大于刀具半徑R+r的任意值)，得到新位置下的刀具網(wǎng)格模型D3，如圖1所示；

步驟3如圖2所示，L為被加工曲面上的一條刀具驅(qū)動(dòng)線，任取驅(qū)動(dòng)線上某一點(diǎn)作為參考點(diǎn)C。以參考點(diǎn)C為中心，以刀具半徑為約束，采用區(qū)域增長(zhǎng)算法獲得點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的刀位生成區(qū)域；基于C點(diǎn)建立局部坐標(biāo)系Cxcyczc，其中xc為刀具進(jìn)給方向，zc為參考點(diǎn)法矢方向，yc由右手定則確定。將該局部坐標(biāo)系及其刀位生成區(qū)域變換到與全局坐標(biāo)系Oxyz重合；

步驟4在全局坐標(biāo)系下，沿z軸方向精確計(jì)算刀具網(wǎng)格模型D3到刀位生成區(qū)域的最短有向距離dmin，將刀具沿著z軸反方向平移最短距離dmin，此時(shí)刀具網(wǎng)格模型與加工曲面正好相切(切觸點(diǎn)數(shù)量≥1)，完成刀具的最終定位；

步驟5計(jì)算最終定位刀具網(wǎng)格模型與刀位生成區(qū)域等殘留偏置曲面之間的交點(diǎn)，計(jì)算得到當(dāng)前傾斜角、側(cè)偏角下的切削帶寬；

步驟6基于遺傳算法原理不斷改變傾斜角、側(cè)偏角，重復(fù)步驟2～步驟5，直至遺傳算法結(jié)束，得到最大切削帶寬對(duì)應(yīng)的最優(yōu)刀位。

2 刀位優(yōu)化計(jì)算過(guò)程

2.1 環(huán)形刀具離散

刀具離散的目的是為了盡可能完整表示刀具實(shí)體結(jié)構(gòu)的3D表面，以便精確計(jì)算最短距離dmin和切削帶寬。如圖3所示，以O(shè)t為環(huán)形刀具的刀心點(diǎn)，R為刀具環(huán)心圓或底面圓半徑，r為刀具圓角半徑。以環(huán)形刀刀心點(diǎn)Ot為坐標(biāo)原點(diǎn)建立刀具局部坐標(biāo)系Otxtytzt，其中zt即為環(huán)形刀的刀軸矢量T，xt、yt在垂直于zt軸的平面上。

在刀具局部坐標(biāo)系Otxtytzt下，環(huán)形刀具的離散包括刀具圓環(huán)面的離散和刀具底面圓的離散兩個(gè)部分。對(duì)于刀具圓環(huán)面的離散，環(huán)形刀的離散點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算公式為：

(1)

其中：θ∈(-2/π,0),φ∈(0,2π)。如圖4所示，為了盡可能精確地表示刀具實(shí)體結(jié)構(gòu)的3D表面，分別在給定范圍內(nèi)對(duì)角度θ、φ以離散角度Δθ、Δφ進(jìn)行內(nèi)分，使得相鄰刀具離散點(diǎn)之間滿足給定的弦高誤差ε。在圓環(huán)面上，離散角度Δθ在r半徑的圓上滿足給定弦高誤差ε，為了使離散角度Δφ在半徑[R,R+r]范圍內(nèi)的任意半徑的圓上都滿足給定弦高誤差ε，只需使得離散角度Δφ在最大半徑R+r的圓上滿足給定弦高誤差ε，即離散角度Δθ, Δφ滿足：

(2)

對(duì)每一組θ、φ，利用式(1)計(jì)算對(duì)應(yīng)的離散點(diǎn)坐標(biāo)，得到圓環(huán)面上規(guī)則排列的離散點(diǎn)。對(duì)于刀具底面圓的離散，將刀具底面圓半徑R按一定精度等分，分別以底面圓中心到各等分點(diǎn)的距離為半徑作同心圓，每個(gè)同心圓的圓弧再以角度φ等分，使得底面圓離散點(diǎn)分布均勻。獲得刀具環(huán)形面和刀具底面的離散點(diǎn)后，依據(jù)離散頂點(diǎn)的相鄰關(guān)系和三角模型的面片規(guī)則，構(gòu)造三角網(wǎng)格模型。

2.2 刀具及刀位生成區(qū)域曲面的幾何變換

為便于計(jì)算，將刀具坐標(biāo)系與全局坐標(biāo)系重合，同時(shí)需要將任意參考點(diǎn)為C的刀位生成區(qū)域局部坐標(biāo)系Cxcyczc變換到與全局坐標(biāo)系Oxyz重合。

全局坐標(biāo)系下，環(huán)形刀具網(wǎng)格模型的刀心點(diǎn)與坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，初始傾斜角α、側(cè)偏角β均為0。計(jì)算任意刀位與刀位生成區(qū)域曲面間最短距離時(shí)，需要先對(duì)刀具進(jìn)行預(yù)定位，包括旋轉(zhuǎn)變換和平移變換兩個(gè)部分。如圖5所示，對(duì)于任意非零傾斜角、側(cè)偏角，刀具幾何變換的順序?yàn)椋旱毒呦壤@著y軸旋轉(zhuǎn)傾斜角α，得到新的刀具局部坐標(biāo)系Otxt1ytzt1，再繞著坐標(biāo)軸z旋轉(zhuǎn)側(cè)偏角β，得到新的刀具坐標(biāo)系Otxt2yt1zt2，最后將旋轉(zhuǎn)后的環(huán)形刀具網(wǎng)格模型沿著z軸平移一定距離d。由此可得刀具離散點(diǎn)坐標(biāo)變換的公式為：

Pt=M(z,d)M(z,β)M(y,α)P。

(3)

式中：P為坐標(biāo)變換前的刀具網(wǎng)格點(diǎn)；Pt為坐標(biāo)變換后的刀具網(wǎng)格點(diǎn)；M(z,β)為刀具繞z旋轉(zhuǎn)β的變換矩陣；M(y,α)為刀具繞y旋轉(zhuǎn)α的變換矩陣；M(z,d)為刀具沿z軸方向平移距離d的平移矩陣。

刀位生成區(qū)域曲面的幾何變換是將刀位生成區(qū)域的Cxcyczc局部坐標(biāo)系變換到與全局坐標(biāo)系重合，即參考點(diǎn)C與O重合，局部坐標(biāo)系xc、yc、zc軸分別與全局坐標(biāo)系軸x、y、z重合。設(shè)局部坐標(biāo)系的原點(diǎn)為C(Cx,Cy,Cz)，局部坐標(biāo)系各軸的單位方向矢量分別為(xcx,ycx,zcx)、(xcy,ycy,zcy)、(xcz,ycz,zcz)。根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換矩陣的行向量性質(zhì)，可以直接得出參考點(diǎn)局部坐標(biāo)系到全局坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣M為：

M=MR·MT(-C)

(4)

式中：MT(-C)為將參考點(diǎn)C變換到與O重合的平移矩陣；MR為參考點(diǎn)局部坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)至與全局坐標(biāo)系重合的旋轉(zhuǎn)變換矩陣。

2.3 刀具與刀位生成區(qū)域曲面間最短距離計(jì)算

刀具網(wǎng)格模型變換到預(yù)定位置、刀位生成區(qū)域曲面變換到全局坐標(biāo)系下后，為了使刀具網(wǎng)格模型沿v(0,0,-1)方向放下時(shí)與工件曲面剛好切觸，需要計(jì)算刀具網(wǎng)格模型沿著v方向到加工曲面的最小距離，將刀具網(wǎng)格模型沿著v方向平移最小距離，便完成了刀具最終定位。

為了簡(jiǎn)化最短距離計(jì)算過(guò)程，采用射線法對(duì)刀具網(wǎng)格模型上各離散點(diǎn)到刀位生成區(qū)域所有三角面片的距離進(jìn)行計(jì)算，求得的距離最小值即為最短距離。具體方法如下：

(1)對(duì)刀具網(wǎng)格模型各離散點(diǎn)與矢量v構(gòu)造射線，與刀位生成區(qū)域內(nèi)的曲面三角面片進(jìn)行求交計(jì)算，即射線與三角面片求交計(jì)算。在圖6中，P為刀具網(wǎng)格模型某一離散點(diǎn)，刀位生成區(qū)域內(nèi)存在某一三角面片，面片單位法矢為N。以點(diǎn)P為射線起點(diǎn)，矢量v為射線方向，構(gòu)造射線參數(shù)方程為：

P(t)=P+t·v,t∈[0,+∞)。

(5)

當(dāng)矢量v與三角面片法矢不垂直時(shí)，射線與三角面片所在平面存在交點(diǎn)，射線與平面相交時(shí)的系數(shù)t為：

(6)

式中單位矢量e為離散點(diǎn)P到三角面片任意頂點(diǎn)的方向矢量。

(2)若所求系數(shù)t>0，則將t代入?yún)?shù)方程得到交點(diǎn)Pt。判斷交點(diǎn)Pt是否在三角面片內(nèi)，若Pt在面片內(nèi)，則射線與三角面片的交點(diǎn)即為Pt，刀具離散點(diǎn)P沿矢量v方向到三角面片的距離

d=|PPt|。

(7)

(3)若Pt不在面片內(nèi)，則射線與三角面片沒(méi)有交點(diǎn)。遍歷刀具網(wǎng)格模型的所有離散點(diǎn)，所求得有向距離中的最小值即為刀具網(wǎng)格模型到刀位生成區(qū)域曲面的最短有向距離dmin。將刀具沿著矢量v方向平移最小距離，便完成了給定傾斜角、側(cè)偏角下的刀具最終定位。

2.4 刀心點(diǎn)與刀軸矢量計(jì)算

在完成對(duì)刀具網(wǎng)格模型的最終定位后，最優(yōu)刀位將基于遺傳算法尋找出來(lái)。在獲得的最優(yōu)刀位后，還需將刀具變換回參考點(diǎn)C所在的原始位置，最終刀位點(diǎn)約束在參考點(diǎn)C的法矢方向上。根據(jù)刀位計(jì)算過(guò)程可知，刀位計(jì)算后的刀具刀心點(diǎn)Ot與傾斜角α、側(cè)偏角β無(wú)關(guān)，只由平移距離d和最短有向距離dmin決定，則刀心點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算公式為：

(8)

式中：MRT為正交旋轉(zhuǎn)變換矩陣；MR的轉(zhuǎn)置矩陣；MT(C)為將O平移到參考點(diǎn)C原始位置的平移矩陣。而刀軸矢量T則由傾斜角α、側(cè)偏角β決定，可由下式求出：

(9)

2.5 切削帶寬的計(jì)算

切削帶寬的大小與工件曲面參數(shù)、圓環(huán)面刀具參數(shù)、刀具進(jìn)給方向及允許的最大加工誤差等均有著密切的關(guān)系。將刀位生成區(qū)域曲面的頂點(diǎn)沿其法矢方向偏置一個(gè)距離，該距離為允許最大殘留高度h，由此得到刀位生成區(qū)域偏置曲面。然后通過(guò)最終定位的刀具網(wǎng)格模型與刀位生成區(qū)域偏置曲面進(jìn)行求交，計(jì)算出給定α、β的切削帶寬。

為了提高面片求交的計(jì)算效率，將刀具網(wǎng)格模型劃分為八叉樹子節(jié)點(diǎn)，如圖7所示。依次取刀位生成區(qū)域偏置曲面中的面片，判斷面片任一頂點(diǎn)是否在刀具網(wǎng)格模型的八叉樹節(jié)點(diǎn)包圍盒內(nèi)，若在節(jié)點(diǎn)包圍盒內(nèi)，則繼續(xù)判斷是否在該節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)包圍盒內(nèi)，直至最底層子節(jié)點(diǎn)，依次取出最底層節(jié)點(diǎn)的三角面片，進(jìn)行面片與面片之間的相交檢測(cè)。

兩個(gè)三角面片之間的求交計(jì)算可以看作一個(gè)三角面片的三條邊與另一個(gè)三角面片進(jìn)行求交，即線段與三角面片求交問(wèn)題。若三角面片的邊與另一個(gè)三角面片所在平面存在交點(diǎn)，且交點(diǎn)在三角面片邊界內(nèi)，則保存交點(diǎn)。遍歷刀位生成區(qū)域偏置曲面內(nèi)的面片與刀具網(wǎng)格模型的所有面片進(jìn)行求交計(jì)算，便得到刀具模型與刀位生成區(qū)域偏置曲面的交點(diǎn)集vecP。

在垂直于進(jìn)給方向上，距離最遠(yuǎn)的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離即為切削帶寬。2.2節(jié)中,已將刀位生成區(qū)域變換到了全局坐標(biāo)系下，且x軸為進(jìn)給方向，因此能夠通過(guò)交點(diǎn)集vecP中各交點(diǎn)的y值來(lái)計(jì)算切削帶寬w，具體為：

w=ymax-ymin。

(10)

式中:ymax為各交點(diǎn)中的最大y坐標(biāo)值;ymin為各交點(diǎn)中的最小y坐標(biāo)值。

3 基于遺傳算法刀位優(yōu)化計(jì)算

在刀位優(yōu)化的計(jì)算過(guò)程中，不同的傾斜角、側(cè)偏角可以獲得不同的切削帶寬?，F(xiàn)有的刀位優(yōu)化方法主要通過(guò)格點(diǎn)法對(duì)傾斜角、側(cè)偏角進(jìn)行離散尋優(yōu)，尋優(yōu)結(jié)果取決于網(wǎng)格劃分的密集程度。針對(duì)這一問(wèn)題，采用遺傳算法尋找刀位優(yōu)化過(guò)程中的最優(yōu)傾斜角、側(cè)偏角，遺傳算法的應(yīng)用主要包括以下幾個(gè)部分：

(1)確定編碼方式

由于算法的變量值為傾斜角和側(cè)偏角，采用精度高、取值范圍大的浮點(diǎn)數(shù)編碼，將在尋優(yōu)范圍內(nèi)的隨機(jī)生成的傾斜角和側(cè)偏角浮點(diǎn)數(shù)值作為一個(gè)個(gè)體。

(2)種群初始化與適應(yīng)度值計(jì)算

算法的初始種群通過(guò)完全隨機(jī)的方法產(chǎn)生，利用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器在尋優(yōu)范圍內(nèi)隨機(jī)選取兩個(gè)值作為兩個(gè)變量的初始值。適應(yīng)度值f(α,β)的計(jì)算即為切削帶寬的計(jì)算，通過(guò)刀具定位和切削帶寬計(jì)算方法，計(jì)算每一個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值。

(3)個(gè)體選擇

個(gè)體選擇采用輪盤賭算法，基本思想是每個(gè)個(gè)體被選中的概率與其適應(yīng)度函數(shù)值大小成正比。輪盤賭算法的核心在于個(gè)體選擇概率和累積概率的計(jì)算，個(gè)體i(i=1,2,…,n)選擇概率的計(jì)算公式為：

(11)

式中：(αi,βi)為某個(gè)刀位的角度，即個(gè)體；n為種群數(shù)量。累積概率是把每個(gè)個(gè)體的概率使用不同長(zhǎng)度的線段來(lái)表示，這些線段組合成一條直線，直線的長(zhǎng)度為1，任意個(gè)體的累積概率為該個(gè)體對(duì)應(yīng)的前幾項(xiàng)數(shù)據(jù)的累加和，計(jì)算公式為：

(12)

通過(guò)在[0,1)中產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，看隨機(jī)數(shù)落在哪個(gè)線段區(qū)間內(nèi)，若落在[Q(αi-1,βi-1),Q(αi,βi)]區(qū)間內(nèi)，則對(duì)應(yīng)的個(gè)體i被選中進(jìn)入下一代。反復(fù)執(zhí)行選擇操作，直至新群體的個(gè)體數(shù)目達(dá)等于父代群體個(gè)數(shù)。

(4)交叉和變異操作

選取兩個(gè)個(gè)體，通過(guò)隨機(jī)數(shù)發(fā)生器在[0,1)區(qū)間中產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，若產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)小于交叉率，則該兩個(gè)個(gè)體進(jìn)行交叉操作產(chǎn)生兩個(gè)新個(gè)體。交叉操作選擇離散交叉和算術(shù)交叉兩種方式。離散交叉是指兩個(gè)交叉?zhèn)€體之間交換其中一個(gè)變量值。算術(shù)交叉通過(guò)線性組合兩個(gè)個(gè)體的變量值而產(chǎn)生兩個(gè)新的個(gè)體，算術(shù)交叉?zhèn)€體變量值的計(jì)算公式為：

(13)

式中：X1和X2為交叉后的兩個(gè)個(gè)體的新變量；x1和x2是交叉前兩個(gè)個(gè)體的變量，均包含兩個(gè)分量(α,β)；p為取值為(0,1]的隨機(jī)數(shù)。

變異操作的判斷方法與交叉操作類似。選取一個(gè)個(gè)體，若產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)小于變異率，則對(duì)該個(gè)體進(jìn)行變異操作產(chǎn)生新的個(gè)體。變異操作選擇均勻變異和非均勻變異兩種方式。均勻變異通過(guò)隨機(jī)數(shù)發(fā)生器生成新的變量值代替原個(gè)體變量值。非均勻變異在原個(gè)體變量值的微小區(qū)域內(nèi)生成，非均勻變異個(gè)體變量值的計(jì)算公式為：

(14)

式中：X為變異后個(gè)體的新變量值；x為變異前的個(gè)體變量值；xmax,xmin為變量值上下限；r為(0,1]的隨機(jī)數(shù)；k為(0,1]的一個(gè)常系數(shù)；m為隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生的隨機(jī)整數(shù)；隨機(jī)整數(shù)m的奇偶性決定了變異個(gè)體新變量值X的計(jì)算。變異后個(gè)體的兩個(gè)變量值α、β分別通過(guò)式(14)進(jìn)行計(jì)算。

(5)算法輸入?yún)?shù)設(shè)置

遺傳算法的參數(shù)包括種群大小、最大進(jìn)化代數(shù)、變異概率、交叉概率、迭代終止條件等。算法對(duì)遺傳算法各參數(shù)的選取如表1所示。迭代終止條件設(shè)定為當(dāng)相鄰兩次進(jìn)化的最優(yōu)個(gè)體適應(yīng)度值，即切削帶寬的差值小于給定值δ時(shí)，即使未達(dá)到最大進(jìn)化代數(shù)，仍停止迭代。

表1 遺傳算法參數(shù)選取表

為了比較不同遺傳操作對(duì)刀位優(yōu)化結(jié)果的影響，將上述交叉變異方式兩兩組合，分別對(duì)同一參考點(diǎn)重復(fù)計(jì)算20次。如圖8所示為不同交叉變異方式下的最優(yōu)適應(yīng)度值，即刀位優(yōu)化計(jì)算獲得的最大切削帶寬。

從圖8可以看出，在重復(fù)計(jì)算20次的情況下，離散交叉與非均勻變異的組合可以獲得最大的切削帶寬，并且切削帶寬的值波動(dòng)較小。因此，算法的交叉、變異操作分別選擇離散交叉和非均勻變異。

4 計(jì)算實(shí)例

4.1 算法有效性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，在Windows平臺(tái)VC++ 2017環(huán)境下，Intel(R) Core(TM) i7-9 700 3.00 GHz CPU，16 GB內(nèi)存PC機(jī)上實(shí)現(xiàn)了本文算法及相關(guān)算法對(duì)比。采用環(huán)心圓半徑R=5 mm和圓角半徑r=3 mm的圓環(huán)面刀具，等殘留高度設(shè)定為0.05 mm。

如圖9所示為所用三角網(wǎng)格曲面在不同視圖下的原圖，曲面包含1 135個(gè)三角面片，在曲面上隨機(jī)選取10個(gè)點(diǎn)作為待優(yōu)化參考點(diǎn)。為了便于比較本文算法與相關(guān)對(duì)比算法，設(shè)定每個(gè)參考點(diǎn)的進(jìn)給方向f為其最小主曲率方向。因?yàn)楸疚乃惴ǖ那邢鲙捠峭ㄟ^(guò)三角網(wǎng)格曲面的等殘高偏置曲面與最終定位后的刀具網(wǎng)格模型求交計(jì)算得到的，所以能夠適應(yīng)凹、凸、平面等不同曲面特征區(qū)域。對(duì)于平面區(qū)域的點(diǎn)，無(wú)法得到其最小主曲率方向，在給定其進(jìn)給方向后，本文算法才能得到最優(yōu)刀位。表2給出了本文算法的刀位優(yōu)化的結(jié)果，從表中數(shù)據(jù)可以看出，本文算法在各參考點(diǎn)處均可以產(chǎn)生很大的切削帶寬，在這些參考點(diǎn)處，最小的切削帶寬為10.918 0 mm。如圖10a～圖10c分別為處于曲面局部凹區(qū)域、局部平坦區(qū)域、局部凸區(qū)域的參考點(diǎn)的刀位計(jì)算效果圖，分別對(duì)應(yīng)于表2中序號(hào)7,8,10的參考點(diǎn)。圖10中的點(diǎn)集是刀具與刀位生成區(qū)域偏置曲面的交點(diǎn)集，Cxcyczc為參考點(diǎn)局部坐標(biāo)系，其中xc為參考點(diǎn)最小主曲率方向，即進(jìn)給方向f，zc為參考點(diǎn)法矢方向，yc由右手定則確定，w為參考點(diǎn)刀位優(yōu)化計(jì)算后的切削帶寬。結(jié)合表2和圖10可以看出，本文算法在曲面不同特征區(qū)域都可以產(chǎn)生較大的切削帶寬。

表2 曲面部分參考點(diǎn)刀位計(jì)算結(jié)果

4.2 算法對(duì)比分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文算法的刀位優(yōu)化效果，編程實(shí)現(xiàn)了文獻(xiàn)[29]的IRCM算法和文獻(xiàn)[34]的MPEC算法。如表3所示為MPEC算法、IRCM算法以及本文算法刀位計(jì)算后傾斜角、側(cè)偏角、切削帶寬以及計(jì)算時(shí)間的結(jié)果對(duì)比，所選用曲面對(duì)象與4.1節(jié)相同，表中1～10序號(hào)的參考點(diǎn)對(duì)應(yīng)于表2中隨機(jī)采樣獲得的10個(gè)參考點(diǎn)。另外需要指出的是，MPEC算法與本文算法的傾斜角、側(cè)偏角尋優(yōu)范圍均為[-10°,10°]，而IRCM算法由于其對(duì)傾斜角、側(cè)偏角的定義不同，只設(shè)定初始傾斜角為10°。

通過(guò)比較3種算法計(jì)算得到的最優(yōu)傾斜角、側(cè)偏角中可以看出，MPEC算法的傾斜角、側(cè)偏角是采用格點(diǎn)法進(jìn)行尋優(yōu)計(jì)算，所獲得的結(jié)果是固定精度的格點(diǎn)值。IRCM算法則是通過(guò)二分法確定最優(yōu)的傾斜角，側(cè)偏角則是根據(jù)環(huán)心圓曲線左半圓、右半圓與誤差等距面的干涉量以一定精度從零開始遞增或者遞減，進(jìn)行尋優(yōu)計(jì)算。本文算法是通過(guò)遺傳算法在給定范圍內(nèi)隨機(jī)生成傾斜角、側(cè)偏角的雙精度浮點(diǎn)數(shù)值，表3中數(shù)據(jù)僅保留小數(shù)點(diǎn)后四位。

表3 三種算法的試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比

如圖11所示為3種算法在10個(gè)參考點(diǎn)處的最大切削帶寬的對(duì)比圖，可以看出，3種算法在隨機(jī)采樣的10個(gè)參考點(diǎn)處均能夠獲得較大的切削帶寬，其中本文算法計(jì)算得到的切削帶寬要略優(yōu)于MPEC算法和IRCM算法。

如圖12所示，本文算法的計(jì)算時(shí)間較短，在3～5 min左右，MPEC算法由于采用格點(diǎn)法尋找最優(yōu)傾斜角、側(cè)偏角，需要大量的嵌套迭代計(jì)算時(shí)間，而IRCM算法的計(jì)算時(shí)間較為波動(dòng)，原因在于不同參考點(diǎn)處的環(huán)心圓曲線左右兩側(cè)的干涉量有較大區(qū)別，當(dāng)兩側(cè)干涉量相差較大時(shí)，需要大量時(shí)間迭代尋找最優(yōu)的側(cè)偏角，使得刀具和工件曲面在最小主曲率方向兩側(cè)達(dá)到兩點(diǎn)切觸。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)廣泛應(yīng)用的三角網(wǎng)格曲面，提出一種基于遺傳算法的環(huán)形刀具五軸加工刀位優(yōu)化計(jì)算方法。算法在預(yù)定位刀具與刀位優(yōu)化區(qū)域曲面變換的基礎(chǔ)上，精確計(jì)算出二者間的有向距離后完成刀具的最終定位；通過(guò)計(jì)算最終定位刀具與刀位優(yōu)化區(qū)域曲面的等加工殘留偏置曲面的交線獲得切削帶寬；以刀位傾斜角α、側(cè)偏角β為變量，以切削帶寬最大化為目標(biāo)，通過(guò)遺傳算法尋找刀位的最優(yōu)α、β。本文算法的特點(diǎn)可以歸納如下：

(1) 通過(guò)精確計(jì)算預(yù)定位刀具與變換的刀位優(yōu)化區(qū)域曲面之間的有向距離，可以保證在給定α、β條件下刀位優(yōu)化區(qū)域內(nèi)不產(chǎn)生干涉；

(2)基于環(huán)形刀具的刀心來(lái)定位、旋轉(zhuǎn)刀具，優(yōu)化刀位后，刀心只是在曲面驅(qū)動(dòng)線上參考點(diǎn)的法矢方向上變化，能夠獲得更接近驅(qū)動(dòng)線的加工軌跡，同時(shí)也更能夠適應(yīng)曲面的凸凹變化；

(3) 通過(guò)最終定位刀具與刀位優(yōu)化區(qū)域曲面的等加工殘留偏置曲面求交，能夠更加全面地反映切削情況，獲得更接近真實(shí)的切削帶寬；

(4) 通過(guò)遺傳算法進(jìn)行刀位傾斜角α、側(cè)偏角β的尋優(yōu)，可以避免格點(diǎn)法帶來(lái)的精度受限、計(jì)算效率較低的問(wèn)題，獲得更大的切削帶寬，提高加工效率。

目前單點(diǎn)切觸加工軌跡的計(jì)算效率大大優(yōu)于多點(diǎn)切觸加工軌跡。在本文工作的基礎(chǔ)上，后續(xù)還需要進(jìn)一步提升刀位尋優(yōu)算法的優(yōu)化效率。另外，與多點(diǎn)切觸加工相匹配的軌跡生成算法并不完善，在刀位優(yōu)化計(jì)算過(guò)程中沒(méi)有考慮全局干涉問(wèn)題，也沒(méi)有考慮軌跡內(nèi)相鄰刀軸變化的光順問(wèn)題，未來(lái)還需進(jìn)一步研究以促進(jìn)環(huán)形刀具多點(diǎn)切觸加工的實(shí)際應(yīng)用。