股票投資組合分析
——基于均值- 方差模型

周廷森

（貴州大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，貴陽 550025）

引言

中國資本市場經(jīng)過30 多年的發(fā)展，已經(jīng)由初期單一的市場結(jié)構(gòu)向多元化市場發(fā)展，形成了多層次的資本市場并逐步走向成熟。近年來，中國A 股市場投資者結(jié)構(gòu)正在發(fā)生著明顯改變，機(jī)構(gòu)投資者占比越來越高。根據(jù)中國證券投資基金業(yè)協(xié)會(huì)數(shù)據(jù)顯示，截至2021 年1 月15 日，A 股流通市值的18.44%由境內(nèi)專業(yè)機(jī)構(gòu)持有，處于近年來的峰值。中國資本市場正向投融資并重的格局發(fā)展演變，其財(cái)富管理功能越加凸顯。中國市場對外開放程度逐步提升，分別于2014 年、2016 年和2019年開通滬港通、深港通和滬倫通，市場交易品種不斷豐富，交易機(jī)制更加完善。在發(fā)行制度上，我國正在推進(jìn)核準(zhǔn)制向注冊制的轉(zhuǎn)變，上市公司退市制度不斷完善。相關(guān)法律和監(jiān)管制度也不斷完善，對公司治理的監(jiān)管由法律和機(jī)構(gòu)的單一監(jiān)管轉(zhuǎn)向法律制度、監(jiān)管機(jī)構(gòu)和廣大投資者組成的多層次監(jiān)管格局。在這樣的大背景下，我國資本市場為投資者提供了一片“沃土”，股票收益表現(xiàn)回歸到基于公司基本面的價(jià)值體現(xiàn)。從投資者的視角看，我國國民的金融素養(yǎng)在不斷提高，股票作為一種重要的投資品種被廣大個(gè)人投資者所接受并納入資產(chǎn)配置的范疇。波動(dòng)是股票市場最顯著的特點(diǎn)之一，普通投資者如何在波動(dòng)中以風(fēng)險(xiǎn)與收益的最佳平衡為前提獲取超額收益是其最關(guān)心的問題之一。

基于以上背景，對旨在獲取超額收益的個(gè)人投資者來說，具備擇股擇時(shí)等專業(yè)能力就顯得非常重要。投資組合理論是結(jié)合投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好與對收益的預(yù)期基礎(chǔ)上最優(yōu)化投資績效的方法。構(gòu)建合適的股票投資組合能幫助投資者在資本市場找到收益優(yōu)異且風(fēng)險(xiǎn)較小的機(jī)會(huì)。本文通過主成分分析，從滬深300 成分股中選取投資標(biāo)的組建股票池，通過均值方差模型構(gòu)建投資組合。對于普通投資者來說，本文梳理的方法在操作上具有一定的參考意義。

一、文獻(xiàn)綜述

在Markowitz 創(chuàng)建現(xiàn)代投資組合理論之前，學(xué)術(shù)界對于資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)與收益的研究更多是定性研究，對風(fēng)險(xiǎn)的量化分析以及風(fēng)險(xiǎn)與收益之間量化關(guān)系的研究沒有找到合適的方法。1952 年美國著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家Markowitz（1952）將數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法引用到投資組合選擇的研究中，首次從風(fēng)險(xiǎn)和收益的量化關(guān)系角度詳細(xì)分析最優(yōu)資產(chǎn)組合的選擇問題，提出著名的均值- 方差模型。此后，圍繞著投資組合的研究不斷出現(xiàn)，學(xué)界運(yùn)用新的方法和技術(shù)手段，結(jié)合現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)的運(yùn)行規(guī)律和大量數(shù)據(jù)，不斷獲得新的研究發(fā)現(xiàn)。Markowitz 提出的均值- 方差模型有嚴(yán)格的假定條件，并且模型計(jì)算較為復(fù)雜，在實(shí)踐中，投資者無法做到按照假設(shè)條件限定的條件去操作，也無法忽略一些其他的約束條件，比如持有資金量、市場利率、最小交易單位、交易費(fèi)用等。William Sharpe（1963）建立了一種均值- 方差模型的簡化式，提高了現(xiàn)代證券投資組合的實(shí)用性和可操作性。Hiroshi Konno和Hiroshi Yamazaki（1991）在風(fēng)險(xiǎn)度量上用絕對離差替代方差，進(jìn)一步提高了均值- 方差模型在應(yīng)用上的可操作性。在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)借貸方面，Black 研究了無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)借貸條件下的資產(chǎn)定價(jià)。經(jīng)典均值- 方差模型的假定條件中假設(shè)投資資產(chǎn)是無限可分的，這與實(shí)際不符。Jobst 等（1996）利用啟發(fā)方式算法計(jì)算有基數(shù)限制和交易份額限制的均值- 方差模型。Mansini 等（1999）也用相同方法研究了含最低交易單位的股票投資組合問題。

我國國內(nèi)資本市場雖然起步較晚，但是發(fā)展迅速，相關(guān)學(xué)術(shù)研究也取得很多結(jié)合我國實(shí)際情況的新成果。蘇咪咪和葉中行（2005）討論了在協(xié)方差矩陣奇異時(shí)如何求解投資組合的最優(yōu)解。孫超和李勝宏（2008）在求解最佳投資組合解的過程中加入了交易成本和交易約束兩個(gè)條件，最終計(jì)算結(jié)果表明交易成本這一因子對組合構(gòu)造的影響。宋立軍和楊永愉（2008）結(jié)合我國股票市場不允許做空的特點(diǎn)，討論了均值- 條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值模型的求解問題。高建偉和邊念怡（2009）從動(dòng)態(tài)的角度出發(fā)，基于最壞情形條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值對風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行控制，將風(fēng)險(xiǎn)控制應(yīng)用到整個(gè)投資過程，并且給出了相應(yīng)的優(yōu)化模型和求解，最后結(jié)合實(shí)證數(shù)據(jù)論證了優(yōu)化模型的有效性。王曉琴和高岳林（2020）在交易成本約束和投資權(quán)重約束兩個(gè)條件下研究了多階段的投資組合構(gòu)造，并建立了對應(yīng)優(yōu)化模型。莫東序和鄭田丹（2021）從方法優(yōu)化的角度對傳統(tǒng)的均值方差模型做了優(yōu)化研究，其模型構(gòu)造中基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的局部聚類系數(shù)法在實(shí)證中顯示了良好的應(yīng)用效果。

綜上所述，學(xué)術(shù)界圍繞投資組合的風(fēng)險(xiǎn)及收益的度量以及兩者之間的量化關(guān)系做了大量研究。Markowitz首次提出了經(jīng)典的均值方差模型，在該模型的基礎(chǔ)上，學(xué)界針對其理論的局限性又進(jìn)一步提出了新的解決方法。本文基于中國的A 股市場，利用主成分分析的方法分析各公司的財(cái)務(wù)指標(biāo)，選出合格標(biāo)的構(gòu)成股票集合，基于均值方差模型確定最佳投資比例，最后對組合績效進(jìn)行評估，以期為投資者擇股和組合構(gòu)造提供參考意義。

二、樣本股選取

（一）選擇指標(biāo)

企業(yè)的各項(xiàng)財(cái)務(wù)指標(biāo)是其經(jīng)營管理的晴雨表，體現(xiàn)了其經(jīng)營成果、財(cái)務(wù)狀況和現(xiàn)金流量狀況。為了較為全面地反映公司的運(yùn)營狀況，本文選取2019 年第四季度上市公司的51 個(gè)財(cái)務(wù)指標(biāo)作為分析對象，其中，短期償債能力指標(biāo)如流動(dòng)比率、速動(dòng)比率、每股現(xiàn)金流量凈額等，長期償債能力指標(biāo)如資產(chǎn)負(fù)債率、產(chǎn)權(quán)比率、權(quán)益乘數(shù)、利息保障倍數(shù)等，營運(yùn)能力指標(biāo)如存貨周轉(zhuǎn)天數(shù)、應(yīng)收賬款周轉(zhuǎn)天數(shù)等，盈利能力指標(biāo)如營業(yè)凈利率、總資產(chǎn)凈利率、權(quán)益凈利率等，估值指標(biāo)如每股收益、每股凈資產(chǎn)、每股營業(yè)收入等。

因?yàn)橹笜?biāo)眾多且某些項(xiàng)彼此存在相關(guān)關(guān)系，所以首先利用主成分分析對分類結(jié)果做降維處理，使得新生成的維度指標(biāo)能夠較好地代表原來指標(biāo)，以便于后續(xù)投資組合構(gòu)造分析。

（二）聚類分析

運(yùn)用聚類方法可以發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)項(xiàng)目間的信息依賴關(guān)系，從而去除或者合并有密切依賴關(guān)系的數(shù)據(jù)項(xiàng)，以對復(fù)雜結(jié)構(gòu)的多維數(shù)據(jù)進(jìn)行聚集，是數(shù)據(jù)預(yù)處理階段比較有效的方法之一。

財(cái)務(wù)指標(biāo)數(shù)據(jù)眾多，且財(cái)務(wù)指標(biāo)間可能存在某些相似特征，因此，首先通過聚類分析對指標(biāo)做聚類處理，擬分為K類。通過python 調(diào)用scikit-learn 實(shí)現(xiàn)K-means聚類分析模型訓(xùn)練和參數(shù)計(jì)算。根據(jù)算出的輪廓系數(shù)值，當(dāng)K=5 時(shí)，輪廓系數(shù)最大為0.24；另外，根據(jù)Calinski-Harabasz準(zhǔn)則算出的Calinski-Harabasz 指數(shù)在K=5時(shí)，最大為36.54，因此將財(cái)務(wù)指標(biāo)分為5 類。

（三）主成分分析

PCA 的原理是對數(shù)據(jù)的眾多指標(biāo)維度進(jìn)行降維處理，將多維指標(biāo)信息轉(zhuǎn)化為較少的幾個(gè)綜合指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)方法，其前提是降維后的指標(biāo)應(yīng)很好的代表原始數(shù)據(jù)的特征，具體步驟如下。

第一步，數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理。為了有效化解不同指標(biāo)因度量單位帶來的數(shù)量等級差異，首先利用標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化方法對財(cái)務(wù)指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。標(biāo)準(zhǔn)化公式如下：

第二步，計(jì)算主成分對象。通過python 中的PCA函數(shù)產(chǎn)生15 個(gè)主成分模型對象。

第三步，計(jì)算方差貢獻(xiàn)率。15 個(gè)主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率為89.56%，能較好解釋總體方差。

第四步，計(jì)算主成分載荷，本文也通過調(diào)用python函數(shù)計(jì)算完成。

第五步，計(jì)算主成分得分，并按照聚類分析的結(jié)果每簇取得分最優(yōu)的兩支股票，再按照各主成分的方差貢獻(xiàn)率進(jìn)行加權(quán)平均，將計(jì)算出的各股票對應(yīng)的企業(yè)得分進(jìn)行降序排列，取排名前十的公司構(gòu)建股票集合，如表1 所示。

表1 前10 名上市公司綜合得分排名表

三、投資組合構(gòu)造

（一）均值- 方差模型概述

Markowitz 首創(chuàng)的現(xiàn)代投資組合選擇理論的基本原理是：證券收益用證券的期望收益衡量，證券的風(fēng)險(xiǎn)由證券收益的方差衡量，各支證券預(yù)期收益的加權(quán)平均來表示整個(gè)組合的收益，即如下模型：

其中，r為第i 支證券的預(yù)期收益，r為證券組合的收益，ω、ω分別為第i、j 支證券在證券組合中的權(quán)重，σ（r）為證券組合收益的方差，σ為證券之間的協(xié)方差。該模型的實(shí)際意義是在一定風(fēng)險(xiǎn)程度下求解出最優(yōu)收益的證券組合，也可在組合期望收益一定的條件下得到單項(xiàng)資產(chǎn)的最佳投資權(quán)重，以使整個(gè)組合的風(fēng)險(xiǎn)最小化。

（二）股票投資組合構(gòu)造

構(gòu)建股票投資組合的意義在于結(jié)合投資者自身風(fēng)險(xiǎn)偏好和對收益的期望，找到一個(gè)最優(yōu)的投資組合結(jié)構(gòu)。選取上述主成分分析選出的10 支股票在2018年10 月至2021 年3 月的日收盤價(jià)數(shù)據(jù)計(jì)算日收益率，公式為：

R為股票在t 日的收益率，p為股票在t 日的收盤價(jià)，p為股票在t-1日的收盤價(jià)。

分別求解組合中單支股票的日收益率均值、收益的方差、標(biāo)準(zhǔn)差。模型中預(yù)期收益是投資者設(shè)定的預(yù)期收益值，這里用組合中單支證券在所選期間內(nèi)年化收益率的算術(shù)平均值表示，計(jì)算可得預(yù)期收益率約為0.31。由均值- 方差理論，定義如下目標(biāo)函數(shù)：

設(shè)定條件：Σb=1，b≥0即允許賣空，r為投資組合的收益，r為第i 支股票的收益，b、b分別為第i、j 支股票在資產(chǎn)組合中的權(quán)重，σ（r）為組合收益的方差，σ為兩支股票的協(xié)方差。通過調(diào)用python 的相關(guān)函數(shù)計(jì)算得到最優(yōu)解：b=0.284，b=0.011，b=0.027，b=0.048，b=0.229，b=0.01，b=0.048，b=0.057，b=0.284，b=0。根據(jù)求解的最優(yōu)解，投資者若要達(dá)到預(yù)期收益，且在該預(yù)期收益下組合風(fēng)險(xiǎn)最小，應(yīng)將資金的28.4%、1.1%、2.7%、4.8%、22.9%、1%、4.8%、5.7%、28.4%、0 分別投資于貴州茅臺、聞泰科技、長春高新、牧原股份、中國平安、中海油服、新城控股、匯頂科技、海螺水泥、新華保險(xiǎn)。

四、投資組合評價(jià)

（一）夏普比率

Sharpe 基于Markowitz 現(xiàn)代投資組合理論，提出衡量基金業(yè)績的風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整指標(biāo)：夏普比率。夏普比率的核心思想是假設(shè)理性投資人會(huì)投資并持有一個(gè)最有利于自己的投資組合，即風(fēng)險(xiǎn)水平一定但預(yù)期收益最大化或預(yù)期收益一定風(fēng)險(xiǎn)水平最小化的投資組合（葉志強(qiáng)，張順明，等，2010），其計(jì)算公式為：

其中，S為夏普比率，E（R）為組合的期望收益率，R為無風(fēng)險(xiǎn)收益率，σ為資產(chǎn)組合的標(biāo)準(zhǔn)差。投資組合的預(yù)期收益率及標(biāo)準(zhǔn)差分別由組合中單支股票年化收益率的簡單算術(shù)平均值和組合收益的標(biāo)準(zhǔn)差表示，計(jì)算可得R=0.31，σ=0.30，無風(fēng)險(xiǎn)利率采用2018 年10月22 日—2021 年3 月31 日期間中國十年期國債收益率收盤價(jià)的均值0.031 3 表示，通過計(jì)算可得S=0.929。同樣的方法可以計(jì)算出滬深300 指數(shù)的S=0.91，根據(jù)夏普比率的含義，投資組合每承擔(dān)1%的風(fēng)險(xiǎn)，組合回報(bào)率增加0.929%，可見該投資組合的表現(xiàn)較好。

（二）特雷諾比率

特雷諾比率（Treynor Ratio），該指標(biāo)的分子為組合的期望收益與無風(fēng)險(xiǎn)收益率的差值，分母則是投資組合的貝塔值，表示當(dāng)投資組合每承受一單位系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)時(shí)所產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。其公式為：

其中，E（r）為投資組合的期望收益，r為無風(fēng)險(xiǎn)利率，β為股票i 的β 系數(shù)，E（r）為市場組合的期望收益。通過最小二乘法估計(jì)投資組合的β系數(shù)約為0.93，繼續(xù)可算出TR=0.268 7。特雷諾比率比較的基準(zhǔn)是市場組合收益率與無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率的差值，即γ=r-r，可算出γ=0.189 7。因?yàn)門R＞γ，表明投資組合承擔(dān)單位市場風(fēng)險(xiǎn)所取得的收益優(yōu)于大盤表現(xiàn)。