激波/湍流邊界層干擾分離泡直接數(shù)值模擬

童福林，董思衛(wèi)，段俊亦，李新亮

1. 中國空氣動力研究與發(fā)展中心 空氣動力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，綿陽 621000 2. 中國科學(xué)院 力學(xué)研究所 高溫氣體動力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190 3. 中國空氣動力研究與發(fā)展中心 計(jì)算空氣動力研究所， 綿陽 621000 4. 中國科學(xué)院大學(xué) 工程科學(xué)學(xué)院，北京 100049

數(shù)十年來，激波與湍流邊界層的相互作用一直是工程界和學(xué)術(shù)界都十分關(guān)注的熱點(diǎn)問題和基礎(chǔ)性問題，至今仍未得到徹底解決。在強(qiáng)激波的誘導(dǎo)作用下，干擾區(qū)內(nèi)會出現(xiàn)大范圍的流動分離現(xiàn)象，并形成復(fù)雜的波系結(jié)構(gòu)。大量研究表明，對于無分離或小分離邊界層流動，現(xiàn)有湍流模型往往有較好的預(yù)測精度，數(shù)值結(jié)果與試驗(yàn)測量數(shù)據(jù)吻合較好。而對于存在大范圍分離流的激波/湍流邊界層干擾問題，工程上常用的湍流模型往往不能很好地重現(xiàn)干擾區(qū)內(nèi)某些重要的流動現(xiàn)象，例如多數(shù)模型能夠較為準(zhǔn)確的預(yù)測出再壓縮過程后的峰值熱流和壓力，但采用不同湍流模型往往給出了不同的分離區(qū)長度和分離過程中的壓升結(jié)果。因此，進(jìn)一步深入研究干擾區(qū)內(nèi)分離泡的典型特征非常有助于加深對該問題的理解認(rèn)識，同時也可為湍流模型的改進(jìn)提供重要的理論依據(jù)。

國內(nèi)外學(xué)者針對壓縮拐角和平板入射激波這兩類經(jīng)典構(gòu)型開展了大量的風(fēng)洞試驗(yàn)和高精度數(shù)值模擬研究，特別是在初始分離準(zhǔn)則和分離區(qū)長度的準(zhǔn)確預(yù)測方面。Roshko等通過試驗(yàn)測量數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，大尺寸分離區(qū)出現(xiàn)的臨界角隨雷諾數(shù)增長具有增大的趨勢，而Settles等的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步證實(shí)了，對于完全湍流情況，該臨界角與雷諾數(shù)無關(guān)。Zheltovodov等在總結(jié)歸納大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)和數(shù)值模擬結(jié)果的基礎(chǔ)上，給出了絕熱壁條件下考慮了雷諾數(shù)、馬赫數(shù)、拐角角度和邊界層厚度影響的分離區(qū)長度預(yù)測公式。隨后，Jaunet等通過試驗(yàn)還發(fā)現(xiàn)壁面加熱對分離判據(jù)的影響較小。Zhu等通過直接數(shù)值模擬(Direct Numerical Simulation，DNS)研究了壁溫對分離泡大小的影響規(guī)律，發(fā)現(xiàn)隨著壁溫增加，分離泡變大。他們認(rèn)為壁溫的影響主要體現(xiàn)在對近壁雷諾數(shù)的改變上，并由此建立了分離泡大小與壁溫的0.85 次方成正比的半理論模型。童福林等對入射激波與超聲速湍流邊界層干擾進(jìn)行了一系列的DNS研究，分析了強(qiáng)膨脹作用下分離區(qū)長度的變化規(guī)律，給出了考慮膨脹效應(yīng)的分離區(qū)長度歸一化公式。

近些年，分離泡空間結(jié)構(gòu)特征及其非定常運(yùn)動特性越來越受到重視。Grilli等采用動態(tài)模態(tài)分解方法對其大渦模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行模態(tài)分析，利用4個低頻模態(tài)成功重構(gòu)了壓縮拐角內(nèi)分離泡的膨脹和收縮。Priebe等數(shù)值研究了24°壓縮拐角分離激波低頻振蕩現(xiàn)象與分離泡的關(guān)聯(lián)性。低通濾波結(jié)果表明，低頻振蕩運(yùn)動與下游分離泡的舒張和收縮運(yùn)動密切相關(guān)。然而，以往研究大多是針對展向平均后的二維流場開展的，并沒有考慮分離泡展向三維結(jié)構(gòu)的影響。實(shí)際上，現(xiàn)有風(fēng)洞試驗(yàn)和數(shù)值模擬結(jié)果都證實(shí)，即便是在壓縮拐角和平板入射激波這類準(zhǔn)二維構(gòu)型下，分離區(qū)內(nèi)流動仍存在顯著的三維特征，如分離流線發(fā)散和匯聚、回流斑塊和類“Owl eye”結(jié)構(gòu)等。

本文采用DNS方法對入射激波/平板湍流邊界層干擾區(qū)內(nèi)分離泡進(jìn)行數(shù)值研究。通過定量比較3個不同展向站位分離泡的典型特征，細(xì)致探討展向三維結(jié)構(gòu)對分離泡非定常運(yùn)動特性的影響規(guī)律，條件統(tǒng)計(jì)分析分離泡內(nèi)瞬態(tài)分離微團(tuán)的幾何形態(tài)。此外，采用本征正交分解(Proper Orthogonal Decomposition,POD)方法，比較分析各展向站位脈動速度場的差異，同時對分離泡的非定常運(yùn)動過程進(jìn)行低維重構(gòu)。為了便于比較和驗(yàn)證結(jié)果，計(jì)算參數(shù)的選取與Dupont等的試驗(yàn)和Fang等的DNS相近。

1 計(jì)算設(shè)置

控制方程為三維曲線坐標(biāo)系(,,)守恒型可壓縮Navier-Stokes方程組:

(1)

式中：守恒變量，無黏通量、和，黏性通量、和的具體表達(dá)式見文獻(xiàn)[18]。采用自由來流參數(shù)以及單位特征長度對方程進(jìn)行無量綱化，黏性系數(shù)的計(jì)算采用Sutherland公式。DNS計(jì)算時，求解器為課題組自主開發(fā)的高精有限差分軟件OpenCFD-SC，該程序已在壓縮拐角、平板入射激波、超聲速膨脹角等復(fù)雜流動中得到廣泛應(yīng)用，可以保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。黏性項(xiàng)的計(jì)算采用WENO_SYMBO_LMT格式以及Steger-Warming流通量分裂方法，無黏項(xiàng)的計(jì)算采用八階中心差分格式，時間推進(jìn)采用三階Runge-Kutta方法，詳細(xì)的數(shù)值方法介紹見文獻(xiàn)[18, 22]。

圖1給出計(jì)算模型示意圖。模型流向長度=137.6 mm，法向高度為=12.7 mm，展向?qū)挾葹?span id="j5i0abt0b" class="subscript">=4.4 mm，來流方向?yàn)閺淖笸?。如圖1所示，計(jì)算域入口處層流邊界層在壁面吹吸擾動(Blowing and suction)作用下轉(zhuǎn)捩生成非定常湍流邊界層，隨后在計(jì)算域上邊界數(shù)值生成一道入射斜激波，進(jìn)而與湍流邊界層產(chǎn)生相互作用。這里入射斜激波波角取為33.2，上邊界層激波入射點(diǎn)取為=82.2 mm，為入射激波在壁面上的名義入射點(diǎn)。來流馬赫數(shù)為=2.25，來流靜溫為=169.44 K，基于單位米的來流雷諾數(shù)為=2.5×10。圖1中:為上游湍流邊界層參考點(diǎn);為層流邊界層厚度。

圖1 計(jì)算模型示意圖Fig.1 Computational model

圖2 計(jì)算網(wǎng)格示意圖Fig.2 Computational grid

具體邊界條件如下：首先，在計(jì)算域入口取為相同來流條件下的層流解，層流邊界層厚度為=0.6 mm。計(jì)算域出口采用超聲速出口條件及緩沖區(qū)。計(jì)算域上邊界采用簡單無反射邊界條件，同時在激波入射點(diǎn)前后分別設(shè)置為自由來流參數(shù)和按照Rankine-Hugoniot關(guān)系式給出波后參數(shù)。計(jì)算域下邊界采用無滑移等溫壁條件，壁溫為=321.9 K，吹吸擾動帶的起始位置分別=7.62 mm和=20.32 mm，多頻擾動波的分布函數(shù)和擾動形式與Fang等的DNS完全一致。由于本文轉(zhuǎn)捩區(qū)相對較短，為了匹配上游參考點(diǎn)處湍流邊界層參數(shù)(見表1中邊界層厚度雷諾數(shù)、位移厚度雷諾數(shù)*和動量厚度雷諾數(shù))，擾動幅值和擾動基頻取為=0.2和=0.628/。在本文分析討論中，為來流速度，為參考點(diǎn)處的邊界層厚度;、、分別對應(yīng)流向、法向、展向上的速度。

表1 參考點(diǎn)xref處湍流邊界層參數(shù)

2 結(jié)果驗(yàn)證

在流場達(dá)到統(tǒng)計(jì)定常后(約兩個無量綱時間/)，對三維瞬態(tài)流場開始進(jìn)行統(tǒng)計(jì)取樣，共獲得600個流場樣本，統(tǒng)計(jì)時間為/=750(為采用時間)。

圖3給出了上游層流邊界層的轉(zhuǎn)捩過程，這里采用物面法向距離渲染的瞬態(tài)密度梯度等值面云圖顯示。在壁面吹吸擾動作用下，層流邊界層間歇性顯著增強(qiáng)，同時邊界層外層出現(xiàn)了大尺度湍流凸塊(Bulges)。圖4給出了參考點(diǎn)處的平均速度剖面和雷諾應(yīng)力分布情況。本文中平均指的是時間和展向平均?？梢钥吹剑?jì)算結(jié)果與Bookey等的試驗(yàn)數(shù)據(jù)以及Fang等的DNS結(jié)果吻合良好。從圖4(b)中還可以看到，雷諾正應(yīng)力峰值出現(xiàn)在近壁區(qū)=13處，這與Pirozzoli等的研究結(jié)果也較為一致。

圖5還給出了干擾區(qū)內(nèi)無量綱化平均物面壓力=(-)(-)的分布情況，其中和分別為物面壓力和來流壓力;為入射激波波后壓力值。與Fang等相同，圖中流向坐標(biāo)=(-)，其中為=(+)/2對應(yīng)的流向位置。在強(qiáng)激波的干擾作用下，物面壓力急劇升高，隨后在干擾區(qū)下游逐步逼近于無黏解。計(jì)算得到的壓力分布與Dupont等的試驗(yàn)結(jié)果和Fang等的DNS結(jié)果均符合較好，進(jìn)一步證實(shí)了本文計(jì)算結(jié)果的可靠性。

圖3 上游邊界層轉(zhuǎn)捩過程瞬態(tài)密度云圖Fig.3 Instantaneous density gradient in upstream transitional boundary layer

圖4 參考點(diǎn)xref處湍流統(tǒng)計(jì)特征Fig.4 Turbulence statistics at reference station xref

圖5 物面壓力分布Fig.5 Wall pressure distribution

3 平均結(jié)構(gòu)

圖6為干擾區(qū)內(nèi)時間平均分離泡云圖，這里采用速度等值面=0進(jìn)行顯示。圖中:和代表平均分離點(diǎn)，和代表平均再附點(diǎn)。圖7 為物面平均摩阻分布及不同展向站位截面內(nèi)分離泡高度的比較情況。這里沿展向分別取了3個站位：=0.7，=1.1和=1.75，其中站位對應(yīng)為展向中截面。各站位截面內(nèi)分離泡高度通過速度等值線=0的法向位置來確定。

圖6 時間平均分離泡高度云圖Fig.6 Contour of mean separation bubble height

圖7 平均摩阻及不同展向截面內(nèi)分離泡高度分布Fig.7 Distribution of mean skin-friction and separation bubble height in xOy plane at different spanwise locations

從總體構(gòu)型來看，分離泡呈現(xiàn)復(fù)雜的三維結(jié)構(gòu)特征，其流向尺度明顯大于其他兩個方向，特別是在法向，其峰值高度僅約為0.12,說明分離泡整體形態(tài)以扁平型為主。同時，以摩阻曲線的過零點(diǎn)來確定分離區(qū)流向范圍，可以看到，分離泡在流向上可以劃分為兩個區(qū)域：次分離泡(Second Bubble, SB)，位于-區(qū)間；主分離泡(First Bubble, FB)，位于-區(qū)間?？梢钥吹?，盡管次分離泡的展向范圍略大于主分離泡，但其流向長度和法向高度則明顯小于主分離泡，以站位為例，前者分別約為后者的42%和3%。從圖7中還可以看到，主分離泡法向高度在展向也存在較大的差異，站位和的峰值高度約為站位的25%和19%，這說明主分離泡沿展向呈現(xiàn)中間高兩邊低的山峰型結(jié)構(gòu)。

4 非定常特性

圖8給出了站位截面內(nèi)不同時刻的瞬態(tài)流向速度云圖，圖中黑色箭頭為速度矢量方向，白色實(shí)線為時間平均分離泡的高度。可見，在湍流的強(qiáng)間歇作用下，瞬態(tài)分離泡分布極為不規(guī)則，在下游再附區(qū)內(nèi)仍存在一定的出現(xiàn)概率。值得特別關(guān)注的是，不同時刻下分離泡面積變化非常劇烈。以流向速度<0區(qū)域的面積和為表征(圖中深藍(lán)色區(qū)域)，在/=100時，瞬態(tài)分離泡遠(yuǎn)大于平均分離泡，其峰值高度約為0.3；而在/=300時，其面積又急劇減小，此時分離泡以小尺度多塊結(jié)構(gòu)隨機(jī)分布為主。這表明分離泡具有較強(qiáng)的非定常特性，對應(yīng)為分離泡的膨脹和收縮過程，這與Priebe等在壓縮拐角流動中的研究結(jié)論較為類似。

為了定量描述分離泡的膨脹/收縮過程，這里對3個展向站位的瞬態(tài)分離泡進(jìn)行了高頻采樣，總采樣時間跨度為/=442, 約為6個無量綱時間()。圖9分別給出了各站位分離泡面積的時間序列，其中黑色虛線表示時間平均值。采樣時，還進(jìn)一步將瞬態(tài)分離泡按照圖6中的定義區(qū)分為主分離泡和次分離泡分別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。

圖8 不同時刻展向中截面瞬態(tài)流向速度云圖Fig.8 Contours of instantaneous streamwise velocity in spanwise mid-plane

圖9 分離泡面積時間序列Fig.9 Time series of separation bubble areas

圖中藍(lán)色曲線對應(yīng)為次分離泡，紅色曲線為主分離泡，黑色曲線則代表未區(qū)分時得到的結(jié)果。

從圖9中可以清楚看到，相較于主分離泡，次分離泡的瞬時面積非常小，其整體貢獻(xiàn)可以忽略不計(jì)。這主要是由于盡管次分離泡在流向上具有一定的范圍，但是其法向高度非常低，因而導(dǎo)致其占比非常小。而從主分離泡來看，各展向站位處主分離泡的瞬時面積差異較大，但各時間序列與未區(qū)分時的統(tǒng)計(jì)結(jié)果均吻合較好，這也證實(shí)了主分離泡在干擾區(qū)流動分離現(xiàn)象中占主導(dǎo)作用。因此，在本文后續(xù)的分析中主要以主分離泡為研究對象。

圖10給出了各站位分離泡面積預(yù)乘功率譜的比較情況。圖中:PSD為功率譜密度，為頻率，為Strouhal 數(shù)，定義為=/。以往研究表明，干擾區(qū)分離激波的低頻振蕩運(yùn)動時間尺度約為10/～100/。從本文計(jì)算結(jié)果來看，各站位處分離泡的特征頻率也基本符合這一規(guī)律。可以看到，站位和的預(yù)乘功率譜較為接近，主要以雙峰結(jié)構(gòu)為主，峰值頻率分別約為=0.02和=0.04，而站位處則以單峰特征為主，峰值頻率出現(xiàn)在=0.04處，這很可能是由于其分離區(qū)尺度相對較小的緣故。結(jié)果表明，干擾區(qū)分離泡的非定常特性表征為低頻膨脹/收縮過程，不同展向站位之間的峰值頻率略有差異。

圖10 分離泡面積預(yù)乘功率譜Fig.10 Pre-multiplied power spectral density for separation bubble areas

為了進(jìn)一步給出各站位之間膨脹/收縮過程的相關(guān)程度，圖11還分別給出了站位分離泡面積與站位和分離泡面積的互相關(guān)系數(shù)。從圖11(a)中可以看到，站位與站位存在正的強(qiáng)相關(guān)性，兩者之間時間延遲約為τ=-11，而圖11(b)的結(jié)果表明，站位與站位之間則為負(fù)相關(guān)，延遲時間約為=-3/。顯然，站位分離泡的膨脹收縮過程明顯滯后于站位和。

圖11 分離泡面積互相關(guān)系數(shù)Fig.11 Cross-correlation coefficient between separation bubble areas

5 條件統(tǒng)計(jì)分析

Waindim等采用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)對分離激波瞬時位置進(jìn)行了條件分析，研究了分離泡收縮(激波往上游運(yùn)動)和分離泡膨脹(激波往下游運(yùn)動)的兩者情況下的流場結(jié)構(gòu)特征。與Waindim等的不同之處在于，本節(jié)采用EMD方法直接對分離泡面積的時間序列進(jìn)行分解，條件統(tǒng)計(jì)分析低頻膨脹/收縮過程中分離泡瞬態(tài)幾何特征。

首先，通過EMD方法，將原始分離泡脈動信號自適應(yīng)分解為一系列具有不同特征時間尺度的本征模態(tài)函數(shù)(Intrinsic Mode Function, IMF)。隨后，選取特定的本征模態(tài)函數(shù)對分離泡的低頻膨脹/收縮過程進(jìn)行了重構(gòu)，并據(jù)此分別對膨脹和收縮兩個特定過程中的分離泡瞬態(tài)結(jié)構(gòu)進(jìn)行提取和統(tǒng)計(jì)。EMD方法的求解過程如下：

1) 獲得分離泡面積脈動原始時間序列()的所有局部極大值()和極小值()。

2) 采用三次樣條差值方法，依據(jù)局部極值的位置，分別構(gòu)建原始信號的上包絡(luò)線()和下包絡(luò)落線()。

3) 從原始型號()中減去上下包絡(luò)線的均值()=05(()+())，判斷剩余部分()=()-()是否滿足本征模態(tài)函數(shù)的條件。如不滿足則將其代替()后再重復(fù)步驟1)～步驟3)，直至()滿足本征模態(tài)函數(shù)的條件，并將其記為分離泡面積脈動原始時間序列的第一個IMF分量(IMF)，依次類推，最后將()可分解為若干個本征模態(tài)函數(shù)和殘余項(xiàng)。更為詳細(xì)的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法介紹可參見文獻(xiàn)[26]。

EMD方法具有良好的自適應(yīng)頻率分辨率，無需人為給定濾波閥值。圖12分別給出了采用EMD方法對站位處分離泡面積脈動進(jìn)行分解后得到9個本征模態(tài)函數(shù)(IMF～I(xiàn)MF)?？梢郧宄吹?，不同的IMF都有著特定的頻段，且每個IMF包含的頻率成分和頻寬都是各不相同的，但整體來看，IMF～I(xiàn)MF對應(yīng)為從高頻到低頻的排列，同時脈動幅值呈現(xiàn)增大的趨勢。

圖12 站位Z2分離泡面積本征模態(tài)函數(shù)Fig.12 IMFs of separation bubble areas at station Z2

圖13分別給出了IMF～I(xiàn)MF對應(yīng)的預(yù)乘功率譜?？梢姡琁MF～I(xiàn)MF的峰值頻率由≈4逐漸減小到≈0.01，與之前圖10中的研究結(jié)果較為符合，這也證實(shí)了EMD方法得到的本征模態(tài)函數(shù)是準(zhǔn)確可靠的。從定量比較來看，IMF～I(xiàn)MF的主頻基本維持在0.1<<10范圍內(nèi)，這里將其定義為高頻模態(tài)，而IMF～I(xiàn)MF的能量主要集中在<0.1區(qū)間，因而定義為低頻模態(tài)。圖14還給出了低頻模態(tài)和高頻模態(tài)重構(gòu)信號的預(yù)乘功率譜，低頻重構(gòu)信號為()=IMF()+IMF()+IMF()+IMF()+IMF()，高頻重構(gòu)信號為()=()-()。如圖14所示，低頻重構(gòu)信號的預(yù)乘功率譜在<0.1區(qū)間內(nèi)基本與原始信號完全重合，而高頻重構(gòu)信號在>0.3的范圍內(nèi)則與原始信號吻合較好，這說明基于IMF～I(xiàn)MF的低頻重構(gòu)信號能夠準(zhǔn)確表征分離泡的低頻非定常運(yùn)動過程。

圖13 本征模態(tài)函數(shù)預(yù)乘功率譜Fig.13 Pre-multiplied power spectral density for IMFs

圖14 分離泡面積脈動低頻和高頻成分預(yù)乘功率譜Fig.14 Pre-multiplied power spectral density for low-and high-frequency of separation bubble area fluctuations

在低頻重構(gòu)出分離泡脈動信號后，采用式(12) 分別確定分離泡的膨脹(Dilation)和收縮(Contraction)運(yùn)動：

(2)

圖15給出了站位處分離泡脈動的低頻重構(gòu)信號以及提取得到的膨脹(紅色曲線)和收縮(藍(lán)色曲線)運(yùn)動?？梢?，瞬態(tài)膨脹和收縮運(yùn)動的時間尺度差異顯著。例如，在/=100，此時膨脹運(yùn)動對應(yīng)的時間跨度約14，而隨后的收縮運(yùn)動則只持續(xù)了4，這說明此時分離泡的非定常運(yùn)動以長時膨脹為主。而在/=420，收縮運(yùn)動的時間尺度明顯大于前后時刻的膨脹運(yùn)動，因而長時收縮運(yùn)動占主導(dǎo)?？傮w來看，由于分離泡脈動處于統(tǒng)計(jì)定常態(tài)，因而膨脹和收縮運(yùn)動在總時間上的占比基本一致。

圖15 站位Z2分離泡面積脈動條件取樣分析(紅：膨脹；藍(lán)：收縮)Fig.15 Conditional analysis of separation bubble area fluctuations at station Z2(red: dilation; blue: contraction)

圖16 分離微團(tuán)瞬態(tài)云圖Fig.16 Contour of instantaneous separation micro-clusters

圖17 分離微團(tuán)高度/長度比概率密度分布函數(shù)Fig.17 Probability density function of aspect-ratio for separation micro-clusters

圖18 分離微團(tuán)面積和高度的散點(diǎn)圖(黑色：壓縮；紅色：膨脹)Fig.18 Scatter plots of separation micro-clusters area and height(black: contraction; red: dilation)

6 本征正交分解

為了進(jìn)一步揭示分離泡非定常運(yùn)動中的典型相干結(jié)構(gòu)，采用POD方法對瞬態(tài)流向速度場進(jìn)行了分析。在筆者前期的研究中，通過對展向平均后的非定常流場進(jìn)行低階近似，得到了分離泡非定常演化過程中能量占優(yōu)的特征模態(tài)。但由于POD分析針對的是展向平均場，其結(jié)果并不能精確反映出分離泡三維結(jié)構(gòu)差異的影響規(guī)律。從本文之前的分析來看，此時分離泡沿展向存在變化劇烈的三維結(jié)構(gòu)(見圖6)，因此這里將分別針對3個展向站位(～)的流向-法向剖面內(nèi)非定常流向速度場開展POD分析。樣本總數(shù)為4 425，采樣區(qū)間為-3<(-)<06和0<<04。采樣時間取為0.1/，對應(yīng)的可分辨范圍為0.009<<5。流向-法向剖面內(nèi)非定常流向速度場(,,)的具體分解過程如下：

(3)

圖19給出了不同站位歸一化后的POD模態(tài)能量和累積能量的比較情況。這里第個模態(tài)的歸一化能量定義為：=∑，其中為第個模態(tài)的特征值。從圖19(a)中可以看到，模態(tài)能量隨著模態(tài)階數(shù)的增加而急劇降低，>100時，模態(tài)能量下降了約兩個數(shù)量級，其能量衰減率基本符合律，這與Mustafa等的研究結(jié)果是一致的。不同站位能量分布曲線也基本重合，低階模態(tài)能量略有差異。以第1階模態(tài)為例(能量貢獻(xiàn)最大，下文簡稱主能量模態(tài))，站位處主能量模型的能量占比約為20.8%，略高于站位和站位處的15.6%和16.4%。從圖19(b)中累積能量分布還可以看到，站位～的前10階模態(tài)能量占比分別約為42.1%、44.9%和43.9%，這說明相較于高階模態(tài)，低階模態(tài)的貢獻(xiàn)明顯占優(yōu)。

圖19 模態(tài)能量分布Fig.19 Mode energy distributions

為了考察POD模態(tài)的非定常特性，圖20分別給出了不同站位模態(tài)系數(shù)的預(yù)乘功率譜?？梢?，各站位的結(jié)果基本類似，隨著模態(tài)階數(shù)增加，占優(yōu)頻率從低頻區(qū)往高頻區(qū)快速移動。對于<10的低階模態(tài)，其峰值頻率主要集中在0.01<<0.1范圍內(nèi)，這與圖10中分離泡脈動的特征頻率較為接近；而對于>100的高階模態(tài)，其能譜則以>1的高頻特征為主，低頻區(qū)內(nèi)則沒有明顯的脈動能量。圖21還給出了各模態(tài)時間系數(shù)()與分離泡面積()的相關(guān)系數(shù)。這里相關(guān)系數(shù)定義為

圖20 模態(tài)時間系數(shù)預(yù)乘譜云圖Fig.20 Contours of pre-multiplied spectra for time coefficient of POD modes

(4)

由式(4)可以看到，各站位主能量模態(tài)與分離泡面積脈動強(qiáng)相關(guān)，站位處為正相關(guān)=0.76，站位和處為負(fù)相關(guān)=-0.89和=-0.91。對于<10時，盡管相關(guān)系數(shù)急劇衰減，但兩者之間仍存在著弱相關(guān)。然而，高階模態(tài)與分離泡面積脈動的相關(guān)性系數(shù)則基本維持在零附近。研究結(jié)果表明，分離泡的低頻膨脹/收縮運(yùn)動與低階模態(tài)(<10)密切相關(guān)，特別是主能量模態(tài)。

圖21 模態(tài)時間系數(shù)與分離泡面積相關(guān)系數(shù)Fig.21 Correlation between time coefficient and separation bubble area

圖22給出模態(tài)1和模態(tài)100的空間分布情況。圖中黑色虛線為時間平均聲速線，粉色實(shí)線為分離泡外邊界。從定性比較來看，盡管分離泡在展向存在復(fù)雜的三維結(jié)構(gòu)，其流向和法向尺度差異顯著，但各站位主能量模態(tài)的空間結(jié)構(gòu)基本一致，分離泡展向三維結(jié)構(gòu)的影響可以忽略不計(jì)。如圖22所示，站位～主能量模態(tài)均對應(yīng)為大尺度含能結(jié)構(gòu)，模態(tài)能量集中在聲速線下方和分離泡上方的狹長區(qū)域，而在上游湍流邊界層和分離泡內(nèi)并沒有出現(xiàn)明顯的大尺度含能結(jié)構(gòu)。研究表明，主能量模態(tài)與分離泡上方剪切層密切相關(guān)，特別是其腳部區(qū)域，這與前人在平板入射激波中的研究結(jié)論是較為類似。造成這一現(xiàn)象的主要原因很可能是分離泡上方的剪切層仍以準(zhǔn)二維結(jié)構(gòu)特征為主，見圖22(a)～圖22(c)中聲速線的位置。高階模態(tài)的空間則與主能量模態(tài)完全不同，對應(yīng)為含能較低的小尺度正負(fù)交替結(jié)構(gòu)，表征了分離泡的高頻脈動過程。

圖22 POD模態(tài)空間分布Fig.22 Spatial distribution of POD modes

本文研究結(jié)果也進(jìn)一步支持了激波湍流邊界層干擾低頻振蕩現(xiàn)象的下游機(jī)制。對于上游機(jī)制，大量學(xué)者認(rèn)為低頻振蕩現(xiàn)象來源于上游湍流邊界層速度型、壓力脈動、擬序結(jié)構(gòu)等因素，而下游機(jī)制則認(rèn)為其誘因來源于下游干擾區(qū)內(nèi)，如分離泡、剪切層等下游因素。從計(jì)算結(jié)果來看，低階模態(tài)與分離泡的低頻膨脹/收縮運(yùn)動存在較強(qiáng)關(guān)聯(lián)(見圖21)，同時低階模態(tài)含能結(jié)構(gòu)集中出現(xiàn)在分離泡上方的剪切層，而非上游湍流邊界層內(nèi)。為了定量考察低階模態(tài)和分離泡低頻膨脹和收縮的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，這里采用前10個POD低階模態(tài)對各站位的非定常脈動速度場進(jìn)行了重構(gòu)，具體過程為

(5)

圖23分別給出了重構(gòu)得到的站位～分離泡面積時間序列，為了便于比較，這里采用分離泡瞬時面積的最大值進(jìn)行了歸一化處理。顯然，重構(gòu)信號準(zhǔn)確捕捉到了原始分離泡的低頻膨脹/收縮過程，兩者的差異主要體現(xiàn)在局部高頻脈動方面，這是由于前10階低頻模態(tài)峰值頻率主要集中在低頻區(qū)，因而其高頻區(qū)能量的貢獻(xiàn)則要的小得多。

圖23 前10階模態(tài)重構(gòu)的分離泡面積時間序列Fig.23 Time series of separation bubble areas reconstructed from POD modes 1 to 10

7 結(jié) 論

本文采用DNS方法研究了來流馬赫數(shù)2.25，33.2°激波角的入射激波/平板湍流邊界層干擾區(qū)內(nèi)分離泡特性，得到以下結(jié)論：

1) 數(shù)值模擬準(zhǔn)確捕捉到了分離泡的三維復(fù)雜結(jié)構(gòu)。分離泡流向長度明顯大于法向高度和展向?qū)挾?，同時沿展向呈現(xiàn)中間高兩邊低的扁平型單峰構(gòu)型。

2) 數(shù)值模擬準(zhǔn)確捕捉到了分離泡的低頻膨脹/收縮運(yùn)動。與物面壓力脈動類似，分離泡低頻振蕩的時間尺度為10/～100/，其展向三維結(jié)構(gòu)對峰值頻率的影響相對較小，同時分離泡兩側(cè)略滯后于中間區(qū)域。

3) 條件統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，分離泡膨脹和收縮對分離微團(tuán)幾何特征沒有實(shí)質(zhì)影響。研究發(fā)現(xiàn)，分離微團(tuán)流向長度明顯大于法向高度，其高度/長度比值的概率峰值出現(xiàn)在0.1附近，同時分離微團(tuán)面積和法向高度近似符合二次方分布。

4) POD結(jié)果表明，低階模態(tài)峰值頻率出現(xiàn)在低頻區(qū)，與分離泡低頻膨脹/收縮運(yùn)動密切相關(guān)，而高階模態(tài)則以高頻小尺度脈動為主，總體貢獻(xiàn)相對較小。采用前10個低階模態(tài)可以準(zhǔn)確重構(gòu)出分離泡的低頻振蕩過程。

致 謝

感謝國家超級計(jì)算廣州中心、中國空氣動力研究與發(fā)展中心計(jì)算中心提供計(jì)算機(jī)時。