羅佳奇,傅文豪,曾先,夏志恒
1. 浙江大學 航空航天學院, 杭州 310027 2. 中國空氣動力研究與發(fā)展中心, 綿陽 621000
高負荷葉片是降低低壓渦輪(LPT)重量的必然選擇,但同時導致流動更復雜。高空巡航時,LPT雷諾數(shù)較低,葉背層流在速度峰之后將經(jīng)歷膨脹過程,由此產(chǎn)生的逆壓梯度極易誘導邊界層分離及轉捩,導致較大的葉型損失。Howell、Hodson等均指出:LPT葉背損失占總損失的60%以上,主要歸因于邊界層的分離、轉捩及再附。整體上,邊界層分離轉捩在LPT內(nèi)部較為常見,相關的影響機理及流動控制研究自2000年以來開展較多,目前仍是國際性研究熱點。
在真實工作環(huán)境下,航空發(fā)動機部件進、出口流動不可避免地會受到環(huán)境變化、上下游部件的影響,如:進氣道邊界層將導致壓氣機/風扇進口流動發(fā)生周向和徑向畸變;燃燒不穩(wěn)定將導致燃燒室出口燃氣具有較強的周向和徑向非均勻性,對高壓渦輪氣熱固性能有重要的不確定性影響。雷諾數(shù)與較多參數(shù)有關,當飛行姿態(tài)發(fā)生變化或受到上下游部件、環(huán)境擾動的影響時,雷諾數(shù)都將發(fā)生不確定性變化??紤]雷諾數(shù)及葉片進、出口流動參數(shù)不確定性變化的影響,計算葉片平均氣動性能及分散度,對于評估葉片氣動穩(wěn)健性及葉片魯棒性設計具有重要意義。
在不確定性的數(shù)值研究中,高效高精度的不確定性量化(UQ)方法及高保真流場數(shù)值模擬是關鍵。已有研究表明:目前應用較為廣泛的UQ方法主要是模型方法和靈敏度方法;靈敏度方法更高效,但只適用于小尺度UQ問題;模型方法在大尺度UQ問題中更具有優(yōu)勢。此外,高負荷LPT分離轉捩的流動機理非常復雜,近年來,大渦模擬、直接數(shù)值模擬在LPT的數(shù)值研究中已經(jīng)初步實現(xiàn)。考慮到不確定性研究需要采用概率統(tǒng)計方法,涉及大量的流場計算,求解定常雷諾平均Navier-Stokes(RANS)方程的流場計算方法更為可行。
圖1 T106C葉柵葉型Fig.1 Profile of T106C cascade
表1 T106C葉柵主要參數(shù)Table 1 Specifications of T106C cascade
流場數(shù)值模擬采用自研程序,對流通量離散采用Roe格式,通量重構采用三階迎風;采用隱式LU-SGS(Lower-Upper Symmetric Gauss-Seidel)進行時間推進;采用多重網(wǎng)格加速收斂。為了實現(xiàn)高保真數(shù)值模擬,首先確定網(wǎng)格收斂解并進行誤差分析。研究中采用表2所示的5套網(wǎng)格及對應的第1層網(wǎng)格壁面距離。圖2為動能損失系數(shù)(KELC)網(wǎng)格收斂曲線,KELC的定義為
(1)
式中:和分別表示靜壓和總壓;下標1、2分別表示進口和出口;為比熱比。
圖2中,在每個雷諾數(shù)條件下將網(wǎng)格1的計算結果()作為參考值對KELC進行歸一化處理,為網(wǎng)格編號。由圖可知:隨著網(wǎng)格的加密,KELC呈明顯收斂趨勢;前3套網(wǎng)格的計算結果非常接近,尤其是在低雷諾數(shù)條件下,網(wǎng)格3基本收斂。表3將網(wǎng)格3的計算結果()與試驗結果()進行了對比,當雷諾數(shù)較高時,數(shù)值解與試驗結果的相對偏差非常小(低于0.5%);隨著雷諾數(shù)降低,KELC逐漸增加,數(shù)值解與試驗結果的相對偏差(Δ)也逐漸增大。
表2 T106C計算網(wǎng)格Table 2 Computational grids for T106C
圖2 動能損失系數(shù)的網(wǎng)格收斂性Fig.2 Grid-independence of KELC
圖3為葉面等熵馬赫數(shù)分布,圖中表示出口等熵馬赫數(shù),右上角為分離轉捩區(qū)放大圖。除了在葉背前緣附近,網(wǎng)格1和網(wǎng)格3的計算結果與試驗結果(Exp)吻合較好,網(wǎng)格5的計算結果與試驗結果有一定偏差。此外,由圖3(b)可知:數(shù)值模擬的轉捩完成點明顯前移,導致分離泡偏小、KELC偏低。實際上,試驗研究發(fā)現(xiàn):隨著雷諾數(shù)的降低,分離泡不斷增大,甚至在葉背出現(xiàn)開式分離泡,流動變得更復雜,給邊界層分離轉捩的數(shù)值模擬帶來更大挑戰(zhàn)。
表3 動能損失系數(shù)對比Table 3 Comparison of KELC
圖3 葉面等熵馬赫數(shù)分布Fig.3 Isentropic Mach number distributions on blade
圖4 動能損失系數(shù)隨雷諾數(shù)變化曲線Fig.4 Variation curves of KELC with Reynolds numbers
在UQ之前,先分析雷諾數(shù)擾動對KELC的影響。試驗測量中,出口等熵馬赫數(shù)和雷諾數(shù)的最大不確定度分別為1.2%、1.3%。若考慮飛行姿態(tài)或環(huán)境變化的影響,雷諾數(shù)的不確定性變化將更顯著。文中雷諾數(shù)的不確定度為20%。
研究中將對比使用二階靈敏度和代理模型來描述雷諾數(shù)擾動范圍內(nèi)KELC的變化規(guī)律。由于不確定性參數(shù)較少,研究中采用原理簡單、易實現(xiàn)的多項式函數(shù)來構造代理模型:
(2)
式中:為多項式系數(shù),為多項式階數(shù),研究中采用三階多項式(=3)。
構造代理模型的核心是訓練樣本選取。研究中采用“棄一交叉驗證”法(LOOCV)實現(xiàn)自適應抽樣。LOOCV是交叉驗證法的一種,主要原理參見文獻[27]:在個樣本集合中,依次選取一個樣本作為測試樣本,其他-1個作為訓練樣本并構造代理模型;由函數(shù)響應誤差評估各個測試樣本所在子空間的模型響應精度。采用該方法,可以向初始樣本集合中動態(tài)地增加新樣本,直至所有樣本的LOOCV函數(shù)響應誤差達到精度要求。
圖5(a)、圖5(b)分別為高湍流度、低湍流度條件下KELC在雷諾數(shù)擾動范圍內(nèi)的變化,Δ表示相對雷諾數(shù)變化量。圖中,Model表示代理模型結果,Hesse表示二階靈敏度分析結果。初始樣本集合包含5個均勻分布樣本,采用LOOCV方法后,擾動邊界附近的樣本有所增加,所構造的多項式代理模型和數(shù)值結果幾乎完全重合;此外,低湍流度和低雷諾數(shù)條件下,KELC的非線性變化更明顯。
研究中還采用直接差分法計算KELC的一階和二階靈敏度。擾動后的KELC為
(3)
式中:和分別為一階、二階靈敏度;為原始KELC。
由圖5可知:當雷諾數(shù)擾動較小時,基于靈敏度分析的KELC與數(shù)值結果較為接近;當雷諾數(shù)擾動增大時,偏差較為明顯。此外,低湍流度條件下,靈敏度分析與數(shù)值結果之間的偏差也更大。
圖5 動能損失系數(shù)隨雷諾數(shù)擾動的變化曲線Fig.5 Variation curves of KELC with ΔRe
由上述分析可知:雷諾數(shù)的不確定度為20%時,所研究的問題為大尺度不確定性問題,雷諾數(shù)擾動對KELC變化具有較強的非線性影響。后續(xù)研究中將采用式(2)所示的自適應模型。
UQ的目標是在給定的輸入?yún)?shù)概率分布的基礎上計算輸出參數(shù)的統(tǒng)計均值()、標準差()等。不同于葉片幾何偏差的不確定性問題,確定流動擾動的概率分布難度非常大,需要較長時間內(nèi)的數(shù)據(jù)積累。根據(jù)隨機事件的特點,一般假設流動參數(shù)不確定性變化滿足以下標準正態(tài)分布:
(4)
式中:表示雷諾數(shù)擾動量,定義為
(5)
其中:為雷諾數(shù)變化標準差;表示擾動后雷諾數(shù);為截斷邊界且=2.0;為修正系數(shù),保證標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)在[-,]區(qū)間內(nèi)的積分為1,當=2.0時,=0.954。
接下來在=180 000的條件下進行UQ。研究中隨機生成20萬個滿足標準正態(tài)分布的統(tǒng)計樣本,根據(jù)式(2)計算統(tǒng)計樣本的KELC,再進行統(tǒng)計分析確定KELC變化量的統(tǒng)計均值和標準差,同時還確定其概率密度函數(shù)(PDF)。
圖6為雷諾數(shù)變化量、不同湍流度KELC變化量的PDF。整體上,KELC的PDF已較大程度地偏離了正態(tài)分布。如圖6(c) 所示:KELC的最大下降量約為10%、最大增加量約為17%,進一步表明雷諾數(shù)變化對KELC的非線性影響。當湍流度增加時,KELC的最大變化量顯著下降,如圖6(b) 所示。上述結果表明:低湍流度時雷諾數(shù)變化的非線性影響更顯著。此外,當湍流度下降時,KELC的統(tǒng)計均值和標準差明顯增大,結果表明:湍流度較低時,考慮雷諾數(shù)不確定性影響的葉柵氣動性能衰退更嚴重、氣動分散度更大。
研究中還將對比分析滿足不同概率分布的雷諾數(shù)變化對KELC的不確定性影響。假設雷諾數(shù)變化滿足以下所示的均勻分布:
(6)
類似地,=180 000,隨機生成20萬個滿足均勻分布的統(tǒng)計樣本。采用相同的方法計算KELC變化量的統(tǒng)計均值、標準差及PDF。
圖6 xRe、Δξ的概率統(tǒng)計函數(shù)(xRe滿足標準正態(tài)分布)Fig.6 PDFs of xRe, Δξ(xRe follows standard normal distribution)
圖7為雷諾數(shù)變化量、不同湍流度時KELC變化量的PDF。整體上,KELC的PDF已完全偏離均勻分布。和圖6結果類似,與高湍流度結果對比,在低湍流度條件下,雷諾數(shù)變化的非線性影響更顯著,考慮雷諾數(shù)不確定性影響的葉柵氣動分散度更大。值得注意的是:與標準正態(tài)分布相比,當雷諾數(shù)變化滿足均勻分布時,截斷邊界附近強非線性影響的統(tǒng)計樣本更多,導致均勻分布時KELC變化量的統(tǒng)計均值和標準差更大,該葉柵的氣動性能衰退更嚴重、氣動分散度更大。
圖7 xRe、 Δξ的概率統(tǒng)計函數(shù)(xRe滿足均勻分布)Fig.7 PDFs of xRe,Δξ(xRe follows uniform distribution)
接下來將對比分析不同雷諾數(shù)條件下,雷諾數(shù)變化對KELC的不確定性影響大小。圖8為KELC變化量的統(tǒng)計均值和標準差隨雷諾數(shù)的變化曲線,對比發(fā)現(xiàn):隨著雷諾數(shù)的增加,KELC變化量的統(tǒng)計均值和標準差均不斷減小,表明:考慮雷諾數(shù)不確定性影響的葉柵氣動性能衰退減弱、氣動分散度降低;此外,均勻分布與標準正態(tài)分布的KELC統(tǒng)計量之間的偏差也不斷減小。導致上述變化的主要原因是葉背分離泡隨著雷諾數(shù)增大而減小,流動復雜性降低。值得注意的是:KELC變化量的統(tǒng)計均值與雷諾數(shù)變化近似呈線性關系,而標準差與雷諾數(shù)變化呈弱非線性。
表4 不同湍流度條件下動能損失系數(shù)變化量的統(tǒng)計結果Table 4 Statistics of KELC variations under different Tu
圖8 統(tǒng)計均值和標準差隨雷諾數(shù)的變化曲線Fig.8 Variation curves of statistical mean and variance with Reynolds number
由2.2節(jié)可知:在低湍流度條件下,且雷諾數(shù)變化滿足均勻分布時,雷諾數(shù)變化對KELC的不確定性影響最為顯著。接下來將采用蒙特卡羅模擬(MCS)對流場進行統(tǒng)計分析,以研究低湍流度條件下(=0.96%)滿足均勻分布的雷諾數(shù)不確定性作用機理。研究中隨機生成200個滿足均勻分布的統(tǒng)計樣本。大量研究表明:基于MCS的統(tǒng)計分析收斂較慢,往往需要數(shù)以千計的統(tǒng)計樣本。200個均勻樣本可能無法確定收斂的統(tǒng)計結果,但是仍然可以用于定性揭示不確定性作用機理。
圖9 葉背黏應力分布Fig.9 Distribution of viscous shear stress on suction side
圖10 葉背間歇因子分布Fig.10 Distribution of intermittency on suction side
雷諾數(shù)變化能改變分離和再附點的位置,原始分離和再附點的黏應力隨之發(fā)生變化,平均黏應力將大于零。圖9中,再附點的平均黏應力遠大于零,該現(xiàn)象往往和不同區(qū)域流動對雷諾數(shù)變化的敏感性不同相關。圖10中間歇因子在再附點附近出現(xiàn)峰值,考慮雷諾數(shù)不確定性變化的平均間歇因子峰值降低、且峰值位置前移。轉捩在再附之前完成,圖10中,以=250 000為例,轉捩自83%軸向弦長附近開始,在88%軸向弦長之前完成,此區(qū)域內(nèi)統(tǒng)計平均間歇因子與基準值較為接近,表明雷諾數(shù)不確定性變化對轉捩的影響不如對流動再附明顯。但是不同雷諾數(shù)條件下,雷諾數(shù)不確定性變化對轉捩的影響需要進一步深入研究。
為了更好地反映雷諾數(shù)變化對葉背流動的影響,圖11給出了黏應力相對變化量的統(tǒng)計均值和標準差在葉背的分布,黏應力相對變化量定義為
(7)
式中:和τ分別表示擾動后的黏應力和基準黏應力;為小量,避免分離點附近黏應力為0。
由圖11可知:不同雷諾數(shù)條件下,δ統(tǒng)計量均在分離和再附點出現(xiàn)峰值。由之前分析可知:統(tǒng)計均值在分離和再附點較大的主要原因是雷諾數(shù)變化導致分離和再附點位置發(fā)生偏移。標準差能反映雷諾數(shù)擾動范圍內(nèi)統(tǒng)計樣本δ偏離均值的程度,可以用于評估黏應力的敏感性。因此,標準差結果表明:分離和再附點附近的流動對雷諾數(shù)變化最為敏感。此外,在再附點之前、86%軸向弦長附近統(tǒng)計量出現(xiàn)局部峰值。由圖10可知,此處為轉捩完成點;進一步表明雷諾數(shù)的不確定性變化對轉捩的影響相對較弱。
為了進一步分析不同雷諾數(shù)條件下雷諾數(shù)不確定性變化對轉捩的影響,圖12給出了間歇因子相對變化量的標準差云圖。由圖可知:在靠近壁面的區(qū)域I和狹長區(qū)域Ⅱ內(nèi),間歇因子變化較為顯著,但是與黏應力相對變化量的標準差相比,間歇因子相對變化量的標準差較小,表明雷諾數(shù)不確定性變化對轉捩有一定的影響。隨著雷諾數(shù)的降低,區(qū)域I和區(qū)域II內(nèi)的標準差逐漸增大,表明雷諾數(shù)降低時,雷諾數(shù)對轉捩的不確定性影響逐漸增強。
圖11 葉背黏應力相對變化量的統(tǒng)計分布Fig.11 Distribution of statistics of relative variations of viscous shear stress on suction side
圖12 間歇因子相對變化量的標準差云圖Fig.12 Contours of statistical variance of relative variations of intermittency factor
2) 當=0.96%和=2.19%時,葉背存在明顯邊界層分離轉捩,此時雷諾數(shù)擾動對KELC具有較強的非線性影響;當雷諾數(shù)降低時,非線性影響增強;此外,隨著湍流度的降低,雷諾數(shù)的非線性影響也增強;相對于標準正態(tài)分布,均勻分布的雷諾數(shù)擾動的非線性影響更強。
3) 當T106C葉背出現(xiàn)層流邊界層分離轉捩時,分離和再附點附近的流動對雷諾數(shù)變化較為敏感,再附點附近流動的敏感性更強;隨著雷諾數(shù)降低,分離、轉捩和再附的敏感性均增強,這是雷諾數(shù)對KELC不確定性影響的根源。