雷諾數(shù)對高負荷低壓渦輪葉柵流動損失的不確定性影響

羅佳奇，傅文豪，曾先，夏志恒

1. 浙江大學(xué) 航空航天學(xué)院, 杭州 310027 2. 中國空氣動力研究與發(fā)展中心, 綿陽 621000

高負荷葉片是降低低壓渦輪(LPT)重量的必然選擇，但同時導(dǎo)致流動更復(fù)雜。高空巡航時，LPT雷諾數(shù)較低，葉背層流在速度峰之后將經(jīng)歷膨脹過程，由此產(chǎn)生的逆壓梯度極易誘導(dǎo)邊界層分離及轉(zhuǎn)捩，導(dǎo)致較大的葉型損失。Howell、Hodson等均指出：LPT葉背損失占總損失的60%以上，主要歸因于邊界層的分離、轉(zhuǎn)捩及再附。整體上，邊界層分離轉(zhuǎn)捩在LPT內(nèi)部較為常見，相關(guān)的影響機理及流動控制研究自2000年以來開展較多，目前仍是國際性研究熱點。

在真實工作環(huán)境下，航空發(fā)動機部件進、出口流動不可避免地會受到環(huán)境變化、上下游部件的影響，如：進氣道邊界層將導(dǎo)致壓氣機/風(fēng)扇進口流動發(fā)生周向和徑向畸變；燃燒不穩(wěn)定將導(dǎo)致燃燒室出口燃氣具有較強的周向和徑向非均勻性，對高壓渦輪氣熱固性能有重要的不確定性影響。雷諾數(shù)與較多參數(shù)有關(guān)，當(dāng)飛行姿態(tài)發(fā)生變化或受到上下游部件、環(huán)境擾動的影響時，雷諾數(shù)都將發(fā)生不確定性變化?？紤]雷諾數(shù)及葉片進、出口流動參數(shù)不確定性變化的影響，計算葉片平均氣動性能及分散度，對于評估葉片氣動穩(wěn)健性及葉片魯棒性設(shè)計具有重要意義。

在不確定性的數(shù)值研究中，高效高精度的不確定性量化(UQ)方法及高保真流場數(shù)值模擬是關(guān)鍵。已有研究表明：目前應(yīng)用較為廣泛的UQ方法主要是模型方法和靈敏度方法；靈敏度方法更高效，但只適用于小尺度UQ問題；模型方法在大尺度UQ問題中更具有優(yōu)勢。此外，高負荷LPT分離轉(zhuǎn)捩的流動機理非常復(fù)雜，近年來，大渦模擬、直接數(shù)值模擬在LPT的數(shù)值研究中已經(jīng)初步實現(xiàn)。考慮到不確定性研究需要采用概率統(tǒng)計方法，涉及大量的流場計算，求解定常雷諾平均Navier-Stokes(RANS)方程的流場計算方法更為可行。

1 T106C流動數(shù)值模擬

圖1 T106C葉柵葉型Fig.1 Profile of T106C cascade

表1 T106C葉柵主要參數(shù)Table 1 Specifications of T106C cascade

流場數(shù)值模擬采用自研程序，對流通量離散采用Roe格式，通量重構(gòu)采用三階迎風(fēng)；采用隱式LU-SGS(Lower-Upper Symmetric Gauss-Seidel)進行時間推進；采用多重網(wǎng)格加速收斂。為了實現(xiàn)高保真數(shù)值模擬，首先確定網(wǎng)格收斂解并進行誤差分析。研究中采用表2所示的5套網(wǎng)格及對應(yīng)的第1層網(wǎng)格壁面距離。圖2為動能損失系數(shù)(KELC)網(wǎng)格收斂曲線，KELC的定義為

(1)

式中：和分別表示靜壓和總壓；下標(biāo)1、2分別表示進口和出口；為比熱比。

圖2中，在每個雷諾數(shù)條件下將網(wǎng)格1的計算結(jié)果()作為參考值對KELC進行歸一化處理，為網(wǎng)格編號。由圖可知：隨著網(wǎng)格的加密，KELC呈明顯收斂趨勢；前3套網(wǎng)格的計算結(jié)果非常接近，尤其是在低雷諾數(shù)條件下，網(wǎng)格3基本收斂。表3將網(wǎng)格3的計算結(jié)果()與試驗結(jié)果()進行了對比，當(dāng)雷諾數(shù)較高時，數(shù)值解與試驗結(jié)果的相對偏差非常小(低于0.5%)；隨著雷諾數(shù)降低，KELC逐漸增加，數(shù)值解與試驗結(jié)果的相對偏差(Δ)也逐漸增大。

表2 T106C計算網(wǎng)格Table 2 Computational grids for T106C

圖2 動能損失系數(shù)的網(wǎng)格收斂性Fig.2 Grid-independence of KELC

圖3為葉面等熵馬赫數(shù)分布，圖中表示出口等熵馬赫數(shù)，右上角為分離轉(zhuǎn)捩區(qū)放大圖。除了在葉背前緣附近，網(wǎng)格1和網(wǎng)格3的計算結(jié)果與試驗結(jié)果(Exp)吻合較好，網(wǎng)格5的計算結(jié)果與試驗結(jié)果有一定偏差。此外，由圖3(b)可知：數(shù)值模擬的轉(zhuǎn)捩完成點明顯前移，導(dǎo)致分離泡偏小、KELC偏低。實際上，試驗研究發(fā)現(xiàn)：隨著雷諾數(shù)的降低，分離泡不斷增大，甚至在葉背出現(xiàn)開式分離泡，流動變得更復(fù)雜，給邊界層分離轉(zhuǎn)捩的數(shù)值模擬帶來更大挑戰(zhàn)。

表3 動能損失系數(shù)對比Table 3 Comparison of KELC

圖3 葉面等熵馬赫數(shù)分布Fig.3 Isentropic Mach number distributions on blade

圖4 動能損失系數(shù)隨雷諾數(shù)變化曲線Fig.4 Variation curves of KELC with Reynolds numbers

2 KELC不確定性量化

2.1 UQ方法及影響分析

在UQ之前，先分析雷諾數(shù)擾動對KELC的影響。試驗測量中，出口等熵馬赫數(shù)和雷諾數(shù)的最大不確定度分別為1.2%、1.3%。若考慮飛行姿態(tài)或環(huán)境變化的影響，雷諾數(shù)的不確定性變化將更顯著。文中雷諾數(shù)的不確定度為20%。

研究中將對比使用二階靈敏度和代理模型來描述雷諾數(shù)擾動范圍內(nèi)KELC的變化規(guī)律。由于不確定性參數(shù)較少，研究中采用原理簡單、易實現(xiàn)的多項式函數(shù)來構(gòu)造代理模型:

(2)

式中：為多項式系數(shù)，為多項式階數(shù)，研究中采用三階多項式(=3)。

構(gòu)造代理模型的核心是訓(xùn)練樣本選取。研究中采用“棄一交叉驗證”法(LOOCV)實現(xiàn)自適應(yīng)抽樣。LOOCV是交叉驗證法的一種，主要原理參見文獻[27]：在個樣本集合中，依次選取一個樣本作為測試樣本，其他-1個作為訓(xùn)練樣本并構(gòu)造代理模型；由函數(shù)響應(yīng)誤差評估各個測試樣本所在子空間的模型響應(yīng)精度。采用該方法，可以向初始樣本集合中動態(tài)地增加新樣本，直至所有樣本的LOOCV函數(shù)響應(yīng)誤差達到精度要求。

圖5(a)、圖5(b)分別為高湍流度、低湍流度條件下KELC在雷諾數(shù)擾動范圍內(nèi)的變化，Δ表示相對雷諾數(shù)變化量。圖中，Model表示代理模型結(jié)果，Hesse表示二階靈敏度分析結(jié)果。初始樣本集合包含5個均勻分布樣本，采用LOOCV方法后，擾動邊界附近的樣本有所增加，所構(gòu)造的多項式代理模型和數(shù)值結(jié)果幾乎完全重合；此外，低湍流度和低雷諾數(shù)條件下，KELC的非線性變化更明顯。

研究中還采用直接差分法計算KELC的一階和二階靈敏度。擾動后的KELC為

(3)

式中：和分別為一階、二階靈敏度；為原始KELC。

由圖5可知：當(dāng)雷諾數(shù)擾動較小時，基于靈敏度分析的KELC與數(shù)值結(jié)果較為接近；當(dāng)雷諾數(shù)擾動增大時，偏差較為明顯。此外，低湍流度條件下，靈敏度分析與數(shù)值結(jié)果之間的偏差也更大。

圖5 動能損失系數(shù)隨雷諾數(shù)擾動的變化曲線Fig.5 Variation curves of KELC with ΔRe

由上述分析可知：雷諾數(shù)的不確定度為20%時，所研究的問題為大尺度不確定性問題，雷諾數(shù)擾動對KELC變化具有較強的非線性影響。后續(xù)研究中將采用式(2)所示的自適應(yīng)模型。

2.2 不確定性量化

UQ的目標(biāo)是在給定的輸入?yún)?shù)概率分布的基礎(chǔ)上計算輸出參數(shù)的統(tǒng)計均值()、標(biāo)準(zhǔn)差()等。不同于葉片幾何偏差的不確定性問題，確定流動擾動的概率分布難度非常大，需要較長時間內(nèi)的數(shù)據(jù)積累。根據(jù)隨機事件的特點，一般假設(shè)流動參數(shù)不確定性變化滿足以下標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：

(4)

式中：表示雷諾數(shù)擾動量，定義為

(5)

其中：為雷諾數(shù)變化標(biāo)準(zhǔn)差；表示擾動后雷諾數(shù)；為截斷邊界且=2.0；為修正系數(shù)，保證標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)在[-,]區(qū)間內(nèi)的積分為1，當(dāng)=2.0時，=0.954。

接下來在=180 000的條件下進行UQ。研究中隨機生成20萬個滿足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的統(tǒng)計樣本，根據(jù)式(2)計算統(tǒng)計樣本的KELC，再進行統(tǒng)計分析確定KELC變化量的統(tǒng)計均值和標(biāo)準(zhǔn)差，同時還確定其概率密度函數(shù)(PDF)。

圖6為雷諾數(shù)變化量、不同湍流度KELC變化量的PDF。整體上，KELC的PDF已較大程度地偏離了正態(tài)分布。如圖6(c) 所示：KELC的最大下降量約為10%、最大增加量約為17%，進一步表明雷諾數(shù)變化對KELC的非線性影響。當(dāng)湍流度增加時，KELC的最大變化量顯著下降，如圖6(b) 所示。上述結(jié)果表明：低湍流度時雷諾數(shù)變化的非線性影響更顯著。此外，當(dāng)湍流度下降時，KELC的統(tǒng)計均值和標(biāo)準(zhǔn)差明顯增大，結(jié)果表明：湍流度較低時，考慮雷諾數(shù)不確定性影響的葉柵氣動性能衰退更嚴(yán)重、氣動分散度更大。

研究中還將對比分析滿足不同概率分布的雷諾數(shù)變化對KELC的不確定性影響。假設(shè)雷諾數(shù)變化滿足以下所示的均勻分布：

(6)

類似地，=180 000，隨機生成20萬個滿足均勻分布的統(tǒng)計樣本。采用相同的方法計算KELC變化量的統(tǒng)計均值、標(biāo)準(zhǔn)差及PDF。

圖6 xRe、Δξ的概率統(tǒng)計函數(shù)(xRe滿足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)Fig.6 PDFs of xRe, Δξ(xRe follows standard normal distribution)

圖7為雷諾數(shù)變化量、不同湍流度時KELC變化量的PDF。整體上，KELC的PDF已完全偏離均勻分布。和圖6結(jié)果類似，與高湍流度結(jié)果對比，在低湍流度條件下，雷諾數(shù)變化的非線性影響更顯著，考慮雷諾數(shù)不確定性影響的葉柵氣動分散度更大。值得注意的是：與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相比，當(dāng)雷諾數(shù)變化滿足均勻分布時，截斷邊界附近強非線性影響的統(tǒng)計樣本更多，導(dǎo)致均勻分布時KELC變化量的統(tǒng)計均值和標(biāo)準(zhǔn)差更大，該葉柵的氣動性能衰退更嚴(yán)重、氣動分散度更大。

圖7 xRe、 Δξ的概率統(tǒng)計函數(shù)(xRe滿足均勻分布)Fig.7 PDFs of xRe,Δξ(xRe follows uniform distribution)

接下來將對比分析不同雷諾數(shù)條件下，雷諾數(shù)變化對KELC的不確定性影響大小。圖8為KELC變化量的統(tǒng)計均值和標(biāo)準(zhǔn)差隨雷諾數(shù)的變化曲線，對比發(fā)現(xiàn)：隨著雷諾數(shù)的增加，KELC變化量的統(tǒng)計均值和標(biāo)準(zhǔn)差均不斷減小，表明：考慮雷諾數(shù)不確定性影響的葉柵氣動性能衰退減弱、氣動分散度降低；此外，均勻分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的KELC統(tǒng)計量之間的偏差也不斷減小。導(dǎo)致上述變化的主要原因是葉背分離泡隨著雷諾數(shù)增大而減小，流動復(fù)雜性降低。值得注意的是：KELC變化量的統(tǒng)計均值與雷諾數(shù)變化近似呈線性關(guān)系，而標(biāo)準(zhǔn)差與雷諾數(shù)變化呈弱非線性。

表4 不同湍流度條件下動能損失系數(shù)變化量的統(tǒng)計結(jié)果Table 4 Statistics of KELC variations under different Tu

圖8 統(tǒng)計均值和標(biāo)準(zhǔn)差隨雷諾數(shù)的變化曲線Fig.8 Variation curves of statistical mean and variance with Reynolds number

3 流場統(tǒng)計分析

由2.2節(jié)可知：在低湍流度條件下，且雷諾數(shù)變化滿足均勻分布時，雷諾數(shù)變化對KELC的不確定性影響最為顯著。接下來將采用蒙特卡羅模擬(MCS)對流場進行統(tǒng)計分析，以研究低湍流度條件下(=0.96%)滿足均勻分布的雷諾數(shù)不確定性作用機理。研究中隨機生成200個滿足均勻分布的統(tǒng)計樣本。大量研究表明：基于MCS的統(tǒng)計分析收斂較慢，往往需要數(shù)以千計的統(tǒng)計樣本。200個均勻樣本可能無法確定收斂的統(tǒng)計結(jié)果，但是仍然可以用于定性揭示不確定性作用機理。

圖9 葉背黏應(yīng)力分布Fig.9 Distribution of viscous shear stress on suction side

圖10 葉背間歇因子分布Fig.10 Distribution of intermittency on suction side

雷諾數(shù)變化能改變分離和再附點的位置，原始分離和再附點的黏應(yīng)力隨之發(fā)生變化，平均黏應(yīng)力將大于零。圖9中，再附點的平均黏應(yīng)力遠大于零，該現(xiàn)象往往和不同區(qū)域流動對雷諾數(shù)變化的敏感性不同相關(guān)。圖10中間歇因子在再附點附近出現(xiàn)峰值，考慮雷諾數(shù)不確定性變化的平均間歇因子峰值降低、且峰值位置前移。轉(zhuǎn)捩在再附之前完成，圖10中，以=250 000為例，轉(zhuǎn)捩自83%軸向弦長附近開始，在88%軸向弦長之前完成，此區(qū)域內(nèi)統(tǒng)計平均間歇因子與基準(zhǔn)值較為接近，表明雷諾數(shù)不確定性變化對轉(zhuǎn)捩的影響不如對流動再附明顯。但是不同雷諾數(shù)條件下，雷諾數(shù)不確定性變化對轉(zhuǎn)捩的影響需要進一步深入研究。

為了更好地反映雷諾數(shù)變化對葉背流動的影響，圖11給出了黏應(yīng)力相對變化量的統(tǒng)計均值和標(biāo)準(zhǔn)差在葉背的分布，黏應(yīng)力相對變化量定義為

(7)

式中：和τ分別表示擾動后的黏應(yīng)力和基準(zhǔn)黏應(yīng)力；為小量，避免分離點附近黏應(yīng)力為0。

由圖11可知：不同雷諾數(shù)條件下，δ統(tǒng)計量均在分離和再附點出現(xiàn)峰值。由之前分析可知：統(tǒng)計均值在分離和再附點較大的主要原因是雷諾數(shù)變化導(dǎo)致分離和再附點位置發(fā)生偏移。標(biāo)準(zhǔn)差能反映雷諾數(shù)擾動范圍內(nèi)統(tǒng)計樣本δ偏離均值的程度，可以用于評估黏應(yīng)力的敏感性。因此，標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果表明：分離和再附點附近的流動對雷諾數(shù)變化最為敏感。此外，在再附點之前、86%軸向弦長附近統(tǒng)計量出現(xiàn)局部峰值。由圖10可知，此處為轉(zhuǎn)捩完成點；進一步表明雷諾數(shù)的不確定性變化對轉(zhuǎn)捩的影響相對較弱。

為了進一步分析不同雷諾數(shù)條件下雷諾數(shù)不確定性變化對轉(zhuǎn)捩的影響，圖12給出了間歇因子相對變化量的標(biāo)準(zhǔn)差云圖。由圖可知：在靠近壁面的區(qū)域I和狹長區(qū)域Ⅱ內(nèi)，間歇因子變化較為顯著，但是與黏應(yīng)力相對變化量的標(biāo)準(zhǔn)差相比，間歇因子相對變化量的標(biāo)準(zhǔn)差較小，表明雷諾數(shù)不確定性變化對轉(zhuǎn)捩有一定的影響。隨著雷諾數(shù)的降低，區(qū)域I和區(qū)域II內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)差逐漸增大，表明雷諾數(shù)降低時，雷諾數(shù)對轉(zhuǎn)捩的不確定性影響逐漸增強。

圖11 葉背黏應(yīng)力相對變化量的統(tǒng)計分布Fig.11 Distribution of statistics of relative variations of viscous shear stress on suction side

圖12 間歇因子相對變化量的標(biāo)準(zhǔn)差云圖Fig.12 Contours of statistical variance of relative variations of intermittency factor

4 結(jié) 論

2) 當(dāng)=0.96%和=2.19%時，葉背存在明顯邊界層分離轉(zhuǎn)捩，此時雷諾數(shù)擾動對KELC具有較強的非線性影響；當(dāng)雷諾數(shù)降低時，非線性影響增強；此外，隨著湍流度的降低，雷諾數(shù)的非線性影響也增強；相對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，均勻分布的雷諾數(shù)擾動的非線性影響更強。

3) 當(dāng)T106C葉背出現(xiàn)層流邊界層分離轉(zhuǎn)捩時，分離和再附點附近的流動對雷諾數(shù)變化較為敏感，再附點附近流動的敏感性更強；隨著雷諾數(shù)降低，分離、轉(zhuǎn)捩和再附的敏感性均增強，這是雷諾數(shù)對KELC不確定性影響的根源。