考慮伴生轉(zhuǎn)動的大行程柔性微定位平臺

曹毅，孟剛，居勇健，徐偉勝

1. 江南大學(xué) 機械工程學(xué)院，無錫 214122 2. 江蘇省食品先進制造裝備技術(shù)重點實驗室，無錫 214122

柔性機構(gòu)是一類依靠材料彈性形變實現(xiàn)運動傳遞的新型機構(gòu)，避免了剛性機構(gòu)中的摩擦磨損，提高了運動定位精度；無需裝配及潤滑，降低了生產(chǎn)及維護成本。在航空航天領(lǐng)域，因其工作環(huán)境相對惡劣、不允許潤滑劑及摩擦屑的存在，柔性機構(gòu)得以廣泛應(yīng)用。在航天器微波天線對準(zhǔn)機構(gòu)、衛(wèi)星光學(xué)器件姿態(tài)調(diào)整及空間在軌精細(xì)操作等對定位精度要求較高的領(lǐng)域，柔性微定位平臺已成為空間精密定位的主要載體。

在精密定位領(lǐng)域，為滿足高精度定位需求，常采用宏微雙重驅(qū)動的方式，該方式要求微定位平臺運動行程大于剛性機構(gòu)的位移分辨率。因此，設(shè)計具有毫米級行程、微米級定位精度的柔性微定位平臺是實現(xiàn)精密定位的關(guān)鍵。平臺設(shè)計過程中，運動副串聯(lián)及分布柔度式柔性單元可有效增加運動行程，但前者的誤差累積和后者產(chǎn)生伴生轉(zhuǎn)動均對其定位精度產(chǎn)生消極影響，對大行程微定位平臺的優(yōu)化設(shè)計和伴生轉(zhuǎn)動研究及如何減小其消極影響已成為該領(lǐng)域一大研究熱點。

Awtar等基于分布柔度式柔性薄板設(shè)計了一種運動解耦的大行程微定位平臺，并指出伴生轉(zhuǎn)動現(xiàn)象對其運動精度的消極影響。Hao采用分布柔度式細(xì)桿設(shè)計了3-PPPR(P、R分別表示平動、轉(zhuǎn)動自由度)型微定位平臺，對其伴生轉(zhuǎn)動、耦合位移進行了分析；并基于剛度中心重合方法提出了一種低伴生轉(zhuǎn)動的3-PPPRR型柔性微定位平臺。Li等基于PRB模型設(shè)計并分析了一種新型五支鏈微定位平臺，利用結(jié)構(gòu)對稱性消除了運動過程中產(chǎn)生的部分伴生轉(zhuǎn)動。Kong和Hao基于反向串聯(lián)方法提出了一種大行程微定位平臺，從結(jié)構(gòu)上優(yōu)化了平臺運動性能。Lin等基于運動副替換設(shè)計了一種低伴生轉(zhuǎn)動的微定位平臺，并進行了有限元仿真及實驗測定。此外，Kim等通過優(yōu)化設(shè)計方法，提出了一種伴生轉(zhuǎn)角最小化的原子力顯微鏡掃描平臺。

伴生轉(zhuǎn)動是影響平臺定位精度的重要因素。綜合國內(nèi)外研究不難發(fā)現(xiàn)，目前對平臺伴生轉(zhuǎn)動的研究多限于定性分析及結(jié)構(gòu)改進，而對伴生轉(zhuǎn)動的量化研究相對欠缺。基于此，本文針對大行程柔性微定位平臺伴生轉(zhuǎn)動問題進行了深入研究。首先，提出了一種具有大行程、高精度的5-PPPR型柔性微定位平臺；其次，在考慮伴生轉(zhuǎn)動情況下對其靜、動態(tài)特性進行了理論建模，相較于不考慮伴生轉(zhuǎn)動，輸出位移理論誤差降低了94.63%，大幅提高了平臺理論精度；然后，基于有限元仿真驗證了理論模型的正確性；最后，探究了柔性桿結(jié)構(gòu)參數(shù)與平臺性能的靈敏度關(guān)系，并基于分析結(jié)果對平臺進行參數(shù)優(yōu)化。

1 結(jié)構(gòu)設(shè)計

1.1 PPR型柔性運動副設(shè)計

柔性微定位平臺常采用結(jié)構(gòu)緊湊且動態(tài)性能優(yōu)越的并聯(lián)式結(jié)構(gòu)。采用分布柔度式柔性單元來滿足平臺大行程的需求，同時避免應(yīng)力集中問題。為便于實現(xiàn)高精度位移控制，平臺應(yīng)具有低伴生轉(zhuǎn)動和較好的運動及驅(qū)動解耦特性。

為此，首先基于分布柔度式柔性桿提出了一種PPR型柔性運動副如圖1所示。PPR型柔性運動副采用反向串聯(lián)方法，通過改變寄生運動的方向，在增大平臺運動行程的同時，將兩組四桿結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的寄生運動相互抵消(-)，提升了平臺的運動精度及解耦特性，且該結(jié)構(gòu)在承受徑向載荷時，由于中間剛性平臺的過渡作用，柔性桿不會產(chǎn)生軸向拉伸，避免了因軸向形變引起的柔性桿應(yīng)力剛化效應(yīng)，其工作原理如圖2所示。

圖1 PPR型柔性運動副Fig.1 PPR compliant joint

圖2 PPR型柔性運動副工作原理Fig.2 Schematic diagram of PPR compliant joint

1.2 5-PPPR型柔性微定位平臺設(shè)計

基于上述PPR柔性運動副設(shè)計的5-PPPR型柔性微定位平臺如圖3所示，包括、軸方向4個結(jié)構(gòu)相同的支鏈一、軸方向支鏈二、動平臺及基座。微定位平臺采用結(jié)構(gòu)對稱的五支鏈布局，消除了動平臺、方向的輸入、輸出耦合及方向運動時的伴生轉(zhuǎn)動，其支鏈對稱布局提高了平臺定位精度，優(yōu)化了平臺運動性能。

圖3 5-PPPR型柔性微定位平臺Fig.3 5-PPPR compliant micro-positioning stage

支鏈一結(jié)構(gòu)如圖4(a)所示，包括4個相同的PPR型柔性運動副，其中3個并聯(lián)連接構(gòu)成支鏈的驅(qū)動副，其自由度等效為沿其正交方向具有平移自由度的P型運動副；并與正交方向被動副模塊下端串聯(lián)固接，構(gòu)成PPPR型支鏈一整體。同理，支鏈二結(jié)構(gòu)如圖4(b)所示?；诼菪碚?，該平臺自由度可表示為

2{,,,}∩2{,,,}∩{,,,}=

{,,}

(1)

圖4 平臺支鏈結(jié)構(gòu)示意圖Fig.4 Schematic diagram of kinematic limbs of stage

2 靜、動態(tài)特性分析

2.1 剛度分析

剛度是指微定位平臺在運動方向上產(chǎn)生單位位移時所需力的大小，是衡量平臺靜態(tài)特性的重要指標(biāo)?？紤]到運動副無應(yīng)力剛化、可線性分析的特點，采用矩陣法對平臺剛度進行分析。

對于一端固定的方形截面細(xì)長桿，其末端中心點處的力-位移關(guān)系柔度矩陣在小變形假設(shè)下可表示為

(2)

式中:、、、(=,,) 分別表示沿軸的廣義驅(qū)動力和廣義驅(qū)動位移;==4，==6，=，==12，=0.141;、分別為材料的彈性模量及剪切模量;、分別為梁的長度、厚度。

如圖5(b)所示，在柔性桿及內(nèi)四桿模塊的自由運動端分別建立坐標(biāo)系-、-，柔性桿～坐標(biāo)系同理可建。基于矩陣坐標(biāo)變換原則，運動副內(nèi)四桿結(jié)構(gòu)在坐標(biāo)系-下的柔度矩陣可表示為

圖5 柔性運動副結(jié)構(gòu)示意圖Fig.5 Schematic diagram of structural of PPR joint

(3)

如圖5(c)所示，同理建立相應(yīng)坐標(biāo)系-(=1～4)及-，運動副外四桿結(jié)構(gòu)在坐標(biāo)系-下的柔度矩陣為

(4)

(5)

其中:、、為坐標(biāo)系-到坐標(biāo)系-的向量坐標(biāo)。

將二者轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系-中，如圖5(a)所示，則運動副在坐標(biāo)系-下的柔度矩陣為

(6)

()為繞軸旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換矩陣：

(7)

(8)

故PPR柔性運動副在-的剛度矩陣為

(9)

如圖4(a)所示，對于平臺、方向的支鏈一，其3個PPR運動副并聯(lián)連接組成驅(qū)動副，被動PPR副與驅(qū)動副正交方向串聯(lián)連接，故支鏈一驅(qū)動副在動平臺中心-點處的柔度矩陣為

(10)

式中:為構(gòu)成其驅(qū)動副的PPR型模塊在-坐標(biāo)系下的柔度矩陣：

(11)

故支鏈一在-點處柔(剛)度矩陣為

=P+

(12)

(13)

同理可求得沿方向支鏈二的驅(qū)動副及其整體在動平臺中心坐標(biāo)系-下的柔度及剛度矩陣分別為P、、P、。

5條支鏈與動平臺為并聯(lián)連接，故柔性微定位平臺整體在動平臺中心坐標(biāo)系-下的柔度矩陣可表示為

(14)

式中:()為分別繞軸、軸同時旋轉(zhuǎn)角度的旋轉(zhuǎn)變換矩陣：

(15)

(16)

(17)

為進一步得到微定位平臺各方向輸入點處的剛度，需將所有柔性單元的柔度矩陣變換到各輸入點。如圖3所示，以-點處為例，設(shè)支鏈一主動副、支鏈一被動副及其余四條支鏈并聯(lián)連接的整體在輸入點處的剛度矩陣分別為1、2、3，則：

(18)

(19)

(20)

支鏈一主動副、支鏈一被動副及其余四條支鏈并聯(lián)連接的整體相對該輸入點串聯(lián)連接，故平臺在方向輸入剛度矩陣表示為

=1+2+3

(21)

鑒于該平臺結(jié)構(gòu)的對稱性，故其在、方向具有相同的輸入剛度，即：

=

(22)

同理，根據(jù)支鏈串并聯(lián)關(guān)系及矩陣變換規(guī)則可以求得支鏈二主動副、被動副及、方向四條相同支鏈一并聯(lián)連接的整體在-輸入點處的剛度矩陣1、2、3及平臺方向輸入剛度矩陣。

因此，平臺的輸入剛度為

(=,,)=[3,3]

(23)

2.2 伴生轉(zhuǎn)動分析

對于空間平動微定位平臺，在完成其主運動功能的同時，還會產(chǎn)生額外的轉(zhuǎn)動，稱之為伴生轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)角為伴生轉(zhuǎn)角。伴生轉(zhuǎn)動是導(dǎo)致平臺定位精度降低的重要因素，應(yīng)盡量減小。

2.2.1 PPR柔性運動副伴生轉(zhuǎn)動

微定位平臺工作狀態(tài)下，PPR柔性運動副兩組四桿結(jié)構(gòu)受力和力矩情況不同，其伴生轉(zhuǎn)動也相應(yīng)不同，因此需分別進行分析。

1) 外四桿結(jié)構(gòu)受力

假設(shè)柔性桿上端剛性連接平臺具有絕對剛性，且在運動過程中不產(chǎn)生自身形變，柔性運動副外四桿結(jié)構(gòu)～受水平力4產(chǎn)生形變簡化示意圖如圖6所示。

外四桿結(jié)構(gòu)末端平臺受水平力4作用時，考慮柔性桿軸向變形，左側(cè)柔性桿受拉力1拉伸，右側(cè)柔性桿受壓力2壓縮，進而引起整體偏轉(zhuǎn)，設(shè)該偏轉(zhuǎn)角為，桿軸向形變量分別為Δ、Δ，如圖6所示。鑒于其結(jié)構(gòu)的對稱性，作用于兩側(cè)柔性桿末端的力和力矩大小相同。故==、1=2=、==，則有：

(24)

圖6 外四桿結(jié)構(gòu)受水平作用力形變簡化示意圖Fig.6 Schematic diagram of deformation of external beams module exerted by a horizontal force

式中:為柔性桿桿間距；為柔性桿截面積。

基于固定導(dǎo)向梁的彎曲變形理論，結(jié)合圖6柔性桿受力情況，其截面轉(zhuǎn)角方程為

(25)

則柔性桿端截面轉(zhuǎn)角為

(26)

聯(lián)立式(18)和式(20)得：

(27)

2) 外四桿結(jié)構(gòu)受力矩

運動副外四桿結(jié)構(gòu)受力矩4作用時，考慮柔性桿軸向形變，引起剛性連接平臺整體偏轉(zhuǎn)，設(shè)該轉(zhuǎn)角為，如圖7所示，有1=2=、==，則其形變及力偶平衡關(guān)系可表示為

(28)

聯(lián)立可得：

(29)

3) 內(nèi)四桿結(jié)構(gòu)受力

柔性運動副內(nèi)四桿～受水平力4作用示意圖如圖8所示，將該作用力分解為兩正交方向分力、分別作用于邊長為'的等效立方體(圖示虛線)側(cè)邊處，并將、轉(zhuǎn)化到′和′作用點處，隨之產(chǎn)生兩附加力矩、，則有：

(30)

圖7 外四桿結(jié)構(gòu)受力矩形變簡化示意圖Fig.7 Schematic diagram of deformation of external beams module subjected to a moment

圖8 內(nèi)四桿受力形變簡化示意圖Fig.8 Schematic diagram of internal beams module exerted by a horizontal force

內(nèi)四桿結(jié)構(gòu)受作用力4產(chǎn)生伴生轉(zhuǎn)動效果與受力′、′及力矩、共同作用效果等價。其中′、′對邊長′的等效立方體作用效果與上述外四桿結(jié)構(gòu)受力偏轉(zhuǎn)原理一致。基于式(24)～式(27)同理可得等效立方體平臺在力′、′作用下，產(chǎn)生的伴生偏轉(zhuǎn)角、為

(31)

附加力矩、大小相等、方向相反，其對平臺產(chǎn)生的伴生轉(zhuǎn)動相互抵消，不予考慮。

基于幾何關(guān)系可得，內(nèi)四桿結(jié)構(gòu)受力4作用產(chǎn)生的沿該力方向的偏轉(zhuǎn)角為

(32)

4) 內(nèi)四桿結(jié)構(gòu)受力矩

內(nèi)四桿結(jié)構(gòu)受力矩4作用時，考慮柔性桿軸向變形，引起剛性平臺整體偏轉(zhuǎn)角設(shè)為，如圖9所示，其形變及力偶平衡關(guān)系式為

(33)

基于式(33)可得：

(34)

圖9 內(nèi)四桿結(jié)構(gòu)受力矩形變簡化示意圖Fig.9 Schematic diagram of deformation of internal beams module subjected to a moment

必須指出的是，用于固定柔性運動副的連接模塊(圖5(d))運動過程中也會產(chǎn)生微量偏轉(zhuǎn)：

(35)

式中:為十字形桿長度;為其截面慣性矩;為附加力偶矩。

PPR柔性運動副末端平臺受力4作用時，各部分結(jié)構(gòu)受力及偏轉(zhuǎn)效果如圖10所示，運動副總伴生轉(zhuǎn)角為以上各作用效果的累加，即

=+-++

(36)

式中:、和中附加力偶矩分別為

(37)

其中:、、為運動副結(jié)構(gòu)參數(shù)，詳見圖5。

圖10 PPR柔性運動副伴生轉(zhuǎn)角示意圖Fig.10 Schematic diagrams of parasitic rotation principle of PPR compliant joint

2.2.2 微定位平臺伴生轉(zhuǎn)角

5-PPPR柔性微定位平臺支鏈的對稱結(jié)構(gòu)，雖消除了動平臺沿方向運動時的伴生轉(zhuǎn)動，但、方向運動時伴生轉(zhuǎn)角依舊存在。以方向為例，對平臺施加驅(qū)動位移，動平臺產(chǎn)生伴生轉(zhuǎn)角為方向支鏈繞軸方向的偏轉(zhuǎn)角，如圖11(a)所示，包括被動副受力偏轉(zhuǎn)及驅(qū)動副受力矩發(fā)生偏轉(zhuǎn)及扭轉(zhuǎn)等共同影響。支鏈被動副繞軸方向偏轉(zhuǎn)角由于對稱結(jié)構(gòu)相互抵消，如圖11(b)所示，僅存在驅(qū)動副偏轉(zhuǎn)角。

基于內(nèi)力分析，方向支鏈被動副所受作用力及驅(qū)動副所受力矩分別為

(38)

式中:、和、分別表示平臺和PPR運動副的反作用力及其平移剛度。

圖11 支鏈伴生轉(zhuǎn)動示意圖Fig.11 Schematic diagrams of parasitic rotation of limbs

基于2.2.1節(jié)理論模型，其伴生轉(zhuǎn)角與輸入力成一次線性關(guān)系，因此該支鏈被動副受作用力產(chǎn)生的伴生轉(zhuǎn)角可表示為

(39)

對于支鏈驅(qū)動副，沿軸方向兩運動副發(fā)生偏轉(zhuǎn)，其偏轉(zhuǎn)角為，沿軸方向兩運動副發(fā)生扭轉(zhuǎn)，扭轉(zhuǎn)角為，如圖11(a)所示，則有：

(40)

式中：、分別為支鏈驅(qū)動副偏轉(zhuǎn)、扭轉(zhuǎn)力矩；、分別為運動副的偏轉(zhuǎn)、扭轉(zhuǎn)剛度。

基于式(40)，支鏈驅(qū)動副偏轉(zhuǎn)角為

(41)

同理求得圖11(b)中驅(qū)動副偏轉(zhuǎn)角。故柔性微定位平臺方向單軸驅(qū)動時，輸出動平臺所產(chǎn)生繞軸伴生轉(zhuǎn)角為

=+

(42)

同理，方向單軸驅(qū)動產(chǎn)生的伴生轉(zhuǎn)角為

=

(43)

根據(jù)幾何關(guān)系，當(dāng)平臺、方向雙軸同時驅(qū)動時，其產(chǎn)生的伴生轉(zhuǎn)角的最大值為

(44)

2.3 考慮伴生轉(zhuǎn)動的平臺輸出位移分析

平臺輸入、輸出位移之間的關(guān)系決定其定位精度，伴生轉(zhuǎn)動、丟失運動等是影響平臺輸出位移的主要因素，需分別進行探究。

2.3.1軸方向輸出位移

平臺方向施加驅(qū)動位移，因其無伴生轉(zhuǎn)動現(xiàn)象，其輸出位移僅與該支鏈被動副丟失運動有關(guān)。運動副內(nèi)四桿結(jié)構(gòu)～受拉力，外四桿結(jié)構(gòu)～受壓力，其所受力為為

=(-4)4

(45)

基于線彈性梁變形理論，中間剛性平臺及剛性連接件Ⅱ的受力彎曲形變量為

(46)

式中：、、、為運動副結(jié)構(gòu)參數(shù)，見圖5。

剛性連接件Ⅰ及十字桿壓縮變形量為

(47)

內(nèi)側(cè)柔性桿的伸長及外側(cè)柔性桿壓縮均導(dǎo)致丟失運動，其總形變量為

(48)

故平臺方向的總運動丟失量為

=++++

(49)

因此，動平臺方向輸出位移為

=-

(50)

2.3.2、軸方向輸出位移

方向施加驅(qū)動位移時，輸出位移受丟失運動及伴生轉(zhuǎn)動共同影響，綜合式(46)～式(49)，鑒于運動副丟失運動與軸向力的線性關(guān)系，平臺在該方向的運動丟失量為

(51)

式中：為每根柔性桿所受軸向力，其表達(dá)式為

(52)

受伴生轉(zhuǎn)動影響，支鏈被動副在該情況下形變簡化示意圖見圖12，兩支鏈對稱偏轉(zhuǎn)，并產(chǎn)生向偏轉(zhuǎn)位移。動平臺連接處由于對稱結(jié)構(gòu)無偏轉(zhuǎn)角產(chǎn)生，偏轉(zhuǎn)部件長度為運動副中反向串聯(lián)柔性桿的等效長度2，根據(jù)幾何關(guān)系：

=2sin2≈

(53)

因此，動平臺在方向輸出位移為

=-+

(54)

同理，可以分析平臺方向輸出位移。

圖12 偏轉(zhuǎn)位移Fig.12 Deflection displacement

2.4 模態(tài)分析

(55)

考慮到平臺各部件運動狀態(tài)不完全一致，式中2、2、2分別為運動副中間平臺及內(nèi)四桿結(jié)構(gòu)的等效質(zhì)量，1、1、1為其余部件在各方向等效質(zhì)量，各部分等效質(zhì)量為

(56)

式中：～為圖5(a)中運動副各部件質(zhì)量。

因此，平臺的總運動動能為

=++

(57)

平臺的總運動勢能為

(58)

將式(58)代入拉格朗日方程：

(59)

根據(jù)特征方程，微定位平臺的固有頻率為

=,,

(60)

3 仿真驗證

為驗證平臺靜動態(tài)特性理論模型正確性，采用ABAQUS對其進行有限元仿真，平臺材料選用AL-7075，其彈性模量71.7 GPa，剪切模量為26.9 GPa，屈服強度為503 MPa，密度為2 810 kg/m，運動副尺寸參數(shù)如表1所示。

表1 PPR柔性運動副的尺寸參數(shù)Table 1 Dimension parameters of PPR compliant joint.

3.1 剛 度

如圖13所示，分別沿平臺軸、軸方向施加0～1 mm的驅(qū)動位移，驅(qū)動點反作用力的理論值與仿真值曲線如圖14所示。

圖13 柔性微定位平臺有限元仿真Fig.13 Finite element analysis of stage

如圖14所示，0～1 mm驅(qū)動范圍內(nèi)，軸方向反作用力的理論及仿真最大值分別為19.70 N、19.40 N，其理論與仿真值之間的最大相對誤差不超過1.52%；軸方向反作用力的理論及仿真最大值分別為17.74 N、17.35 N，最大相對誤差不超過2.20%；上述理論與仿真結(jié)果的高度吻合也驗證了平臺剛度理論模型的正確性。

圖14 柔性微定位平臺驅(qū)動點反作用力Fig.14 Reaction forces of the driving point of the stage

基于仿真結(jié)果，兩種運動狀態(tài)下，結(jié)構(gòu)中最大應(yīng)力分別為99.85、99.91 MPa，均小于材料許用應(yīng)力；微定位平臺剛度在0～1 mm驅(qū)動范圍內(nèi)呈現(xiàn)嚴(yán)格的線性變化趨勢，也體現(xiàn)出運動副反向串聯(lián)結(jié)構(gòu)避免應(yīng)力剛化效應(yīng)的有效性及平臺良好的線性特性，有助于提高平臺穩(wěn)定性及抗震性能。

3.2 伴生轉(zhuǎn)角

微定位平臺在單軸驅(qū)動和多軸驅(qū)動時具有不同的伴生轉(zhuǎn)動效果。本文僅考慮單軸驅(qū)動及、雙軸驅(qū)動兩種驅(qū)動狀態(tài)，其伴生轉(zhuǎn)角、與驅(qū)動位移關(guān)系的理論、仿真結(jié)果如圖15所示，由圖可知：

圖15 柔性微定位平臺伴生轉(zhuǎn)角Fig.15 Parasitic rotational angles of stage

1) 對于給定0～1 mm驅(qū)動位移，單軸驅(qū)動最大伴生轉(zhuǎn)角理論、仿真值分別為4.21×10rad 和4.26×10rad；雙軸驅(qū)動最大伴生轉(zhuǎn)角分別為5.95×10rad和6.02×10rad，最大相對誤差分別為1.19%和1.23%，驗證了理論模型的正確性。

2) 雙軸驅(qū)動伴生轉(zhuǎn)角仿真結(jié)果為單軸驅(qū)動的1.41倍，這與式(44)理論結(jié)果基本吻合。

3) 兩種運動狀態(tài)下，動平臺的伴生轉(zhuǎn)角與驅(qū)動位移呈線性關(guān)系，這與文中伴生轉(zhuǎn)動理論模型相一致，也進一步驗證平臺良好的線性特性。

3.3 輸出位移

圖16(a)所示為平臺軸方向丟失運動的理論與仿真值曲線，在驅(qū)動位移0～1 mm范圍內(nèi)的理論與仿真值最大值分別為2.88 μm和3.04 μm，最大相對誤差不超過5.56%，運動丟失率不高于0.31%。平臺軸方向輸出位移與丟失運動及伴生轉(zhuǎn)動引起的偏轉(zhuǎn)位移均有關(guān)，圖16(b)所示為兩者綜合作用引起的輸入、輸出位移差的理論與仿真值曲線：

1) 在不考慮伴生轉(zhuǎn)動的條件下，平臺的理論值與仿真值呈相反變化趨勢，最大相對誤差達(dá)585%。

圖16 柔性微定位平臺的輸入輸出位移關(guān)系Fig.16 Input-output displacement relation of the stage

2) 考慮平臺伴生轉(zhuǎn)動引起的偏轉(zhuǎn)位移，其理論與仿真值之間最大相對誤差降低至原來的5.37%，理論模型精度顯著提高，說明了大行程微定位平臺考慮伴生轉(zhuǎn)動影響的有效性及必要性，也進一步驗證了理論模型的正確性。

3) 仿真結(jié)果表明平臺方向輸入、輸出位移差最大值僅為0.86 μm，說明該平臺在毫米級運動范圍內(nèi)依舊保持亞微米級的高定位精度。

3.4 耦合位移

平臺不同輸入點之間相互干擾造成的位移稱為平臺的輸入耦合，動平臺在非輸入方向上的位移稱為平臺的輸出耦合，二者分別對應(yīng)平臺的驅(qū)動解耦及運動解耦特性。

圖17(a)所示為軸驅(qū)動時，、軸輸入點輸入耦合位移。仿真結(jié)果表明：平臺、方向驅(qū)動點輸入耦合位移分別為1.12×10mm、1.82×10mm，均小于驅(qū)動位移的0.02%。

圖17 柔性微定位平臺的輸入輸出耦合Fig.17 Input and output couplings of the stage

圖17(b)所示為軸驅(qū)動時，動平臺、方向輸出耦合位移。仿真結(jié)果表明：動平臺中心點各方向輸出耦合位移分別為7.86×10mm、3.94×10mm，均小于驅(qū)動位移的0.04%。

軸驅(qū)動時，()支鏈的對稱布局使動平臺不存在輸入及輸出耦合，解耦特性良好。

綜合以上仿真結(jié)果，微定位平臺各項靜態(tài)特性的理論值、仿真值及其相對誤差如表2所示；在考慮伴生轉(zhuǎn)動和不考慮伴生轉(zhuǎn)動條件下平臺輸入、輸出位移差如表3所示。

表2 平臺靜態(tài)特性的理論、仿真值及相對誤差

表3 平臺輸入、輸出位移差Table 3 Difference between input-output displacements

3.5 模 態(tài)

圖18所示為平臺的1～6階模態(tài)振型示意圖，平臺固有頻率的理論值、仿真值及相對誤差如表4所示。

圖18 柔性微定位平臺1～6階模態(tài)振型Fig.18 1-6 order mode shapes of stage

表4 平臺固有頻率的理論、仿真值及相對誤差

平臺前3階固有頻率理論值與仿真值的相對誤差分別為0.96%、0.96%和1.98%，具有較高的一致性；此外，平臺1～3階固有頻率與4～6階固有頻率的顯著差異，表明平臺在非自由度方向具有良好的抗干擾能力，抗震性能優(yōu)越。

綜合理論及仿真分析結(jié)果，該定位平臺具有行程大、解耦性好、定位精度高、穩(wěn)定性強、抗震性能好等優(yōu)點，可用于衛(wèi)星精密光學(xué)器件的姿態(tài)調(diào)整及機器人在軌精細(xì)操作的末端執(zhí)行器。

4 靈敏度分析和參數(shù)優(yōu)化

4.1 靈敏度分析

為設(shè)計滿足性能需求的微定位平臺，需進一步探究柔性部件結(jié)構(gòu)參數(shù)對平臺靜、動態(tài)特性的影響關(guān)系。主要包括柔性桿的長度、厚度、桿間距與平臺的前3階固有頻率、，方向運動產(chǎn)生的伴生轉(zhuǎn)角及軸方向丟失運動之間的靈敏度關(guān)系，進而為微定位平臺的結(jié)構(gòu)設(shè)計及優(yōu)化提供理論依據(jù)，其分析結(jié)果如圖19所示。

上述柔性桿結(jié)構(gòu)參數(shù)靈敏度分析結(jié)果表明，在相同輸入位移條件下：

1) 平臺前三階固有頻率、隨桿長度、桿間距增大而減小，隨桿厚度的增大而增大。

2) 平臺軸方向丟失運動隨桿長度的增大而減小，隨桿間距、桿厚度的增大而增大。

3) 平臺軸方向的伴生轉(zhuǎn)角隨桿長度、桿間距的增大而減小，隨桿厚度的增大而增大。

比較圖19(a)～圖19(d)發(fā)現(xiàn)，桿厚度對、以及的影響較大，桿間距次之，桿長度影響最?。粚τ趤G失運動，桿厚度對其影響靈敏度最大，桿長度次之，桿間距影響靈敏度最小。

圖19 柔性桿結(jié)構(gòu)參數(shù)對平臺靜動態(tài)特性的靈敏度分析Fig.19 Sensitivity analysis of parameters of compliant beams

4.2 參數(shù)優(yōu)化

上述靈敏度分析僅限于柔性結(jié)構(gòu)單參數(shù)對平臺特性的影響，并未考慮參數(shù)間耦合，有必要建立其全局優(yōu)化模型，并開展優(yōu)化研究。

微定位平臺柔性部件的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)有柔性桿長度、厚度及桿間距。基于靈敏度分析，取其優(yōu)化模型的設(shè)計變量及上下限值為

(61)

以保證平臺運動精度為首要優(yōu)化目標(biāo)，即使其伴生轉(zhuǎn)角及丟失運動最小化，同時具有較大的固有頻率，其優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)表示為

(62)

同時，應(yīng)滿足以下約束條件：

(63)

式中：取安全系數(shù)=2。

基于MATLAB中的fmincon和fgoalattain函數(shù)，開展微定位平臺多目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化研究，平臺優(yōu)化前、后的結(jié)構(gòu)及性能參數(shù)如表5所示。優(yōu)化結(jié)果表明：相同輸入條件下，優(yōu)化后平臺的伴生轉(zhuǎn)角和丟失運動分別降低了28.9%和21.5%，進一步提高了平臺的運動精度及綜合性能。

表5 平臺結(jié)構(gòu)及性能參數(shù)Table 5 Structure and performance parameters for stage

5 結(jié) 論

1) 提出了一種PPR型大行程柔性運動副，并基于該運動副設(shè)計了一種新型5-PPPR型大行程柔性微定位平臺。

2) 提出了對大行程柔性運動副及微定位平臺伴生轉(zhuǎn)角的理論建模方法，并在考慮伴生轉(zhuǎn)動情況下，將輸出位移的理論誤差降低了94.63%，極大的提高了理論模型精度。

3) 通過有限元仿真驗證了理論模型的正確性，并對平臺耦合位移進行分析。結(jié)果表明：輸入、輸出耦合分別小于驅(qū)動位移的0.02%和0.04%，平臺運動完全解耦。

4) 對平臺柔性部件進行了靈敏度分析及參數(shù)優(yōu)化，相同驅(qū)動條件下伴生轉(zhuǎn)角及丟失運動分別降低了28.8%和21.5%，進一步提升了平臺的定位精度及綜合運動性能。

微定位平臺的動力學(xué)分析及控制，實驗系統(tǒng)的搭建及相關(guān)實驗測試，將在后續(xù)工作中做進一步研究與完善。