基于改進(jìn)式SL0算法的超聲混疊信號分離

陸傳雨，陸銘慧,*，劉浩宇，徐喜浩

1. 南昌航空大學(xué) 無損檢測教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南昌 330063 2. 中車青島四方機(jī)車車輛股份有限公司，青島 266111

鋁合金具有密度小、強(qiáng)度高、加工性能優(yōu)良等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域。真空擴(kuò)散焊作為一種固相增材制造技術(shù)常用于飛行器內(nèi)部部分復(fù)雜鋁合金構(gòu)件的加工與制作。但在焊接過程中，接頭處可能存在未焊合、弱結(jié)合等情況，導(dǎo)致構(gòu)件內(nèi)部存在缺陷，影響構(gòu)件質(zhì)量，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)l(fā)飛行事故。因此，對這類焊接構(gòu)件的無損檢測具有重要意義。

壓電超聲檢測具有檢測靈敏度高，成本低，效率高等特點(diǎn)，在該類金屬構(gòu)件的檢測中發(fā)揮了很好的效果。傳統(tǒng)超聲特征掃描技術(shù)將超聲波垂直入射至構(gòu)件內(nèi)，通過分析反射回波實(shí)現(xiàn)內(nèi)部缺陷的檢測。但對于等厚的同種材料擴(kuò)散焊接構(gòu)件(例如3層等厚鋁合金薄板)，當(dāng)上、下層界面在某一垂直位置同時(shí)存在缺陷時(shí)，上層缺陷的二次回波會和下層缺陷的一次回波產(chǎn)生了重疊，導(dǎo)致下層缺陷識別和定位困難，如圖 1所示。本文希望通過算法實(shí)現(xiàn)下層界面重疊信號的分離，并對上下層界面的缺陷精確定位。

圖1 重疊缺陷的超聲回波示意圖Fig.1 Schematic diagram of ultrasonic echo waveform of overlapping defects

近些年，稀疏分解方法常被應(yīng)用于解決此類信號重疊問題。該方法首先選擇一個與原始信號類似的原型原子，然后對原型原子進(jìn)行參數(shù)擴(kuò)展或字典學(xué)習(xí)來創(chuàng)造一個過完備字典，最后通過稀疏分解算法選擇精確表示信號的最小原子子集(稀疏表示)來重構(gòu)原始信號。鄭國軍等采用基于Gabor字典的正交匹配追蹤算法(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)對管道軸向缺陷的超聲導(dǎo)波信號進(jìn)行分解，利用分解后得到的前后兩端信號實(shí)現(xiàn)了缺陷定量。燕學(xué)智等提出了一種基于近似L0范數(shù)約束的新算法，實(shí)現(xiàn)了寬帶信號波達(dá)方向估計(jì)聯(lián)合估計(jì)。其在低信噪比、小快拍及信源空間間隔較小的情況下，可明顯提高參數(shù)估計(jì)精度及角度分辨率。Mor等為了解決薄層介質(zhì)超聲測厚時(shí)，上下表面回波混疊的問題，在傳統(tǒng)OMP算法的基礎(chǔ)上提出了一種支持匹配追蹤(Support Matching Pursuit,SMP)算法。該算法通過超聲回波的時(shí)間定位特性，成功實(shí)現(xiàn)了重疊信號分離。以上方法雖然可以解決部分信號重疊的問題，但當(dāng)多個信號嚴(yán)重重疊時(shí)卻不能起到很好的分離效果。因?yàn)镺MP算法中采用的貪婪迭代思想僅在每次迭代中尋找當(dāng)前的最優(yōu)解。對于重疊嚴(yán)重的信號，這會使其陷入局部最優(yōu)解，導(dǎo)致信號分離的結(jié)果和真實(shí)情況并不匹配。事實(shí)上，重疊信號的精確分解與重構(gòu)問題的難點(diǎn)在于如何令所求得的字典原子子集最稀疏。而這一過程可以抽象為L0范數(shù)最小化問題，這也是本文重點(diǎn)想要解決的問題。

L0范數(shù)最小化問題的解雖然存在，但這是一個非確定性多項(xiàng)式(NP-hard)問題，無法直接求解。因此，如何找到該問題的近似最優(yōu)解就成了國內(nèi)外學(xué)者的研究重點(diǎn)。Mohimani等提出了一種平滑化L0范數(shù)的方法(SL0算法)。該方法將L0范數(shù)替換為一種高斯族函數(shù)，通過不斷收縮高斯族函數(shù)中的方差來近似逼近L0范數(shù)，最終得出最優(yōu)解。L0算法有著較好的求解結(jié)果和較快的求解速度，但由于可行集的等式約束條件限制，使其對于噪聲特別敏感，并不適合實(shí)際信號。為了提高SL0算法的魯棒性，消除噪聲的影響， Bu等在SL0算法的基礎(chǔ)上融合了L2范數(shù)正則化的思想，提出了一種正則化SL0算法(ReSL0算法)。通過在投影時(shí)加入正則化項(xiàng)來平衡最小化L0范數(shù)和約束條件之間的限制，成功的抑制了噪聲。但是正則化參數(shù)的選取對于一維信號重構(gòu)有著較大的影響，其取值只能通過試錯法來大概得出。因此，對于真實(shí)實(shí)驗(yàn)，該方法仍然需要改進(jìn)。此外，為了克服SL0在利用梯度下降法近似逼近L0范數(shù)過程中所產(chǎn)生的“鋸齒”現(xiàn)象和搜索步長選取困難等問題，進(jìn)一步提高SL0的性能。趙瑞珍等將SL0算法中近似逼近過程中需要用到的高斯族函數(shù)和梯度下降法換成了雙曲反正切函數(shù)和修正牛頓迭代法，提出了一種基于光滑L0范數(shù)和修正牛頓法的重建算法(NSL0算法),在縮短求解時(shí)間并提高計(jì)算精度的同時(shí)避免了梯度下降法中搜索步長的超參數(shù)調(diào)節(jié)。

為了實(shí)現(xiàn)三層等厚鋁合金擴(kuò)散焊試塊在超聲檢測中波形重疊的問題，本文在傳統(tǒng)SL0算法的基礎(chǔ)上提出一種改進(jìn)式SL0算法。使用雙曲反正切函數(shù)和修正牛頓迭代法代替原本SL0中使用的高斯族函數(shù)和梯度下降法，簡化算法流程，以避免部分超參數(shù)調(diào)節(jié)對結(jié)果產(chǎn)生的影響。同時(shí)，將傳統(tǒng)SL0算法中的等式約束投影條件修改為不等式約束的凸優(yōu)化問題，以實(shí)現(xiàn)對于含噪信號的稀疏分解，增強(qiáng)算法魯棒性，更好地滿足實(shí)際需要。

1 算法原理

1.1 稀疏表示

=

(1)

式中：=[,,…,]為在過完備字典上的投影系數(shù)，也稱為稀疏向量。由于字典的過完備性，在字典上的表示方式不唯一。而信號的稀疏就表示在選定的過完備字典中用盡可能少的字典原子來(精準(zhǔn)地)表示原始信號，其本質(zhì)即為求解：

(2)

1.2 Gabor字典

由于超聲波信號的基本結(jié)構(gòu)特征與Gabor函數(shù)較為相似。因此，利用該函數(shù)的時(shí)頻參數(shù)離散化得到的Gabor字典常常被應(yīng)用于超聲信號的處理中。Gabor函數(shù)達(dá)式為

(3)

式中：為時(shí)間；()=e-π為高斯函數(shù)；為尺度因子，表示函數(shù)能量分布情況；為平移因子，表示函數(shù)波形出現(xiàn)的具體位置；為頻率調(diào)制因子，表示函數(shù)主頻；為相位因子，表示函數(shù)相位。

1.3 SL0算法

(4)

式中：為投影系數(shù)向量=[,,…,]中的一個元素；為投影系數(shù)向量的長度，是一個常數(shù)；為可變的方差參數(shù)。接著采用最速下降算法來逼近()的最大值，其過程可表示為

(5)

(6)

此時(shí)得到的解即為滿足式(2)的最優(yōu)解。以上即為SL0算法的基本流程。但由于式(5)中必須滿足可行集=的要求，當(dāng)信號含噪時(shí)會出現(xiàn)過擬合的現(xiàn)象，無法很好地得到稀疏解。為了滿足本文中的真實(shí)含噪信號的稀疏表示，需要對SL0算法進(jìn)行一些改進(jìn)。

2 改進(jìn)式SL0算法

為了解決傳統(tǒng)的SL0算法中存在超參數(shù)較多、對含噪信號分解效果差等問題，對SL0算法進(jìn)行了3處優(yōu)化：

1) 采用OMP算法來計(jì)算初始解。在傳統(tǒng)SL0算法中，常采用=的最小二乘解作為初始化解。但在含噪信號中，這樣得到的初始解往往混亂且巨大，使得前期大部分迭代并沒有發(fā)揮作用。而用OMP算法得到的初始解能夠很好地給出稀疏系數(shù)的取值范圍，減少無用的迭代過程，加快運(yùn)算速度。

2) 采用修正牛頓迭代算法和雙曲正切函數(shù)來優(yōu)化迭代過程：傳統(tǒng)SL0算法中使得的梯度下降算法在迭代過程中存在鋸齒現(xiàn)象、收斂性較差、步長參數(shù)難以確定等問題。而采用修正牛頓迭代算法和雙曲正切函數(shù)(式(7))來進(jìn)行迭代不僅克服了梯度下降算法的缺陷，還擁有更簡潔的函數(shù)表示形式(式(8))，也加快了迭代的速度。

(7)

(8)

3) 采用凸二次規(guī)劃代替?zhèn)鹘y(tǒng)SL0中等式約束條件：傳統(tǒng)SL0算法在投影時(shí)采用=的約束條件對于噪聲非常敏感。為了增強(qiáng)算法的魯棒性，改進(jìn)了投影方式如下：

(9)

式中：為可允許的最大誤差。通過將原本的等式約束條件放寬為不等式約束，從而減少噪聲對算法的影響，得到更接近原始信號的解。

本文改進(jìn)式SL0算法的流程大致可以分為3個部分：初始化參數(shù)、內(nèi)外雙循環(huán)迭代、輸出結(jié)果。其具體步驟如圖 2所示。

圖 2 改進(jìn)式SL0算法流程圖Fig.2 Flow chart of the improved SL0 algorithm

初始化參數(shù)。首先，利用OMP算法和過完備字典獲取初始解。接著，從遞減序列[,,…,]中選取光滑函數(shù)的參數(shù)=(其中：=-1，∈[05～1],本文取=0.7;初始參數(shù)=1，序列最小值不小于0.001)。最后，設(shè)定可允許的噪聲導(dǎo)致的誤差項(xiàng)。

1) 外部循環(huán)：確定光滑函數(shù)參數(shù)=，執(zhí)行內(nèi)部循環(huán)。當(dāng)內(nèi)部循環(huán)滿足終止條件時(shí)，令=+1并更新光滑函數(shù)參數(shù)，重復(fù)運(yùn)行循環(huán)直到<1×10后停止。

輸出結(jié)果：最終得到的即為信號的最稀疏表示。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

3.1 試塊與實(shí)驗(yàn)平臺

為了模擬實(shí)際工件中存在的缺陷重疊現(xiàn)象，將3塊等厚鋁板(100 mm×100 mm×10 mm)擴(kuò)散焊接，制作成一件標(biāo)準(zhǔn)試塊。其中每兩層鋁板間制作了高度為0.5 mm、直徑為2 mm的圓柱形人工缺陷。根據(jù)所處位置的不同將這些缺陷分為3種情況：① 僅上層界面存在缺陷；② 僅下層界面存在缺陷；③ 上下2層界面存在重疊缺陷。試塊及內(nèi)部缺陷的示意圖及實(shí)物圖如圖 3所示。

圖3 標(biāo)準(zhǔn)試塊示意及實(shí)物Fig.3 Schematic diagram and physical image of standard test block

為了獲得標(biāo)準(zhǔn)試塊中各位置的超聲波形，采用中心頻率為10 MHz的超聲探頭和水浸式超聲特征掃描裝置對試塊進(jìn)行了全波列掃查。該裝置由控制與處理系統(tǒng)、機(jī)械傳動裝置、超聲信號發(fā)射接收裝置3個部分組成，其示意圖和實(shí)物圖如圖4 所示。在進(jìn)行掃查時(shí)，控制系統(tǒng)先向機(jī)械傳動系統(tǒng)發(fā)出指令，使其帶動超聲信號發(fā)射接收裝置對整個工作平面內(nèi)所有位置的超聲信號進(jìn)行采集，接著將采集好的信號返回處理系統(tǒng)進(jìn)行后期處理。為了提高掃查精度，該裝置在橫軸和縱軸方向的掃查步進(jìn)都為0.2 mm，掃查區(qū)域面積為100 mm×100 mm，采集卡的采樣頻率為200 MHz，單個位置的接收信號長度為2 573個點(diǎn)。

圖4 實(shí)驗(yàn)平臺示意及實(shí)物圖Fig.4 Schematic diagram and physical map of experimental platform

3.2 信號分析和預(yù)處理

利用超聲特征掃描裝置采集了標(biāo)準(zhǔn)試塊中的全部波列，并繪制出3種不同位置下的缺陷波形如圖 5所示。通過對下層界面的超聲回波進(jìn)行了局部放大處理可以明顯看出3種不同下缺陷波形的區(qū)別。事實(shí)上，由于擴(kuò)散焊接所處的高溫高壓環(huán)境對鋁板的厚度有一定影響，所以本該完全重合的回波波形僅由大部分發(fā)生了重疊這也為后續(xù)的信號分離提供了可能。

圖5 超聲A-Scan在3種不同位置的接收波形Fig.5 Acoustic echos received by ultrasonic A-scan at three different positions

接下來，通過小波變換對圖 5中3種不同情況下的超聲回波進(jìn)行了時(shí)頻聯(lián)合分析，其時(shí)頻圖如圖 6所示。

圖6 下層界面超聲回波時(shí)頻圖Fig.6 Time-frequency diagram of ultrasonic echo from lower interface

從圖 6中可以得出,超聲回波信號時(shí)域占寬約為4.5×10,頻帶寬度約為8～10 MHz。通過對單位時(shí)間內(nèi)的噪聲能量進(jìn)行計(jì)算,得到在含噪情況下可允許的最大誤差為=015。下文將利用這些條件來對重疊信號進(jìn)行稀疏分解。

3.3 信號分解與重構(gòu)

為了更好地實(shí)現(xiàn)含噪超聲重疊信號的稀疏表示，采用與超聲信號具有相似結(jié)構(gòu)特征的Gabor字典作為過完備字典。同時(shí)，根據(jù)3.2節(jié)中對真實(shí)信號的分析，本文限定了部分參數(shù)的取值范圍，減少了過完備字典原子數(shù)量。這樣不僅降低了計(jì)算量，還能提高算法的性能。其中，字典原子的尺度參數(shù)設(shè)定為6×10；時(shí)移參數(shù)范圍為0～1.5 μs(以2.5×10μs為步進(jìn))；頻率參數(shù)范圍為8～9.8 MHz(以0.2 MHz為步進(jìn))；相位參數(shù)范圍為0～17 π/18 rad(以π/18 rad為步進(jìn))。這樣不僅降低了計(jì)算量，還能提高算法的性能。

在上述條件下生成的尺寸為300×10 980的過完備字典中依舊存在大量與原始信號沒有太大關(guān)系的字典原子。為了進(jìn)一步減少無關(guān)原子的影響，提高運(yùn)行速度，本文僅取和原始信號內(nèi)積大于0.2 的原子，利用它們組成尺寸為300×785的新字典來進(jìn)行下面的運(yùn)算。

在確定了過完備字典和可允許的最大誤差=015后，利用改進(jìn)式SL0算法對標(biāo)準(zhǔn)試塊中采集到的超聲重疊信號(見圖7(a))進(jìn)行稀疏化處理，得到如圖7(b)所示的稀疏向量。從圖 7中可以看出，稀疏向量中僅存在3個不為0的值，它們分別代表原子序號為280、289、600的3個不同的字典原子，這3個字典原子如圖7(c)所示。

圖7 混疊超聲回波的稀疏分解結(jié)果Fig.7 Sparse decomposition results of aliased ultrasonic echoes

通過圖7(c)可以看出，由于過完備字典的冗余性，算法選出了序號為280、289的2個特征參數(shù)幾乎相同的原子。由于這2個原子的參數(shù)幾乎相同,顯然表示的是同一個信號。為了去除沉余,更好地描述該信號，將這2個原子組合成一個新原子(新原子的幅值序號為280,289的2個原子幅值之和,原子參數(shù)280原子相同)，并將其命名為1號原子。同時(shí)，將序號為600的原子命名為2號原子。它們的參數(shù)信息如表1所示。

表1 稀疏分解后的原子及其參數(shù)

因此，該算法實(shí)際上將原始信號分解成了1號、2號2個原子。它們和原始信號的對比如圖8所示。

圖8 稀疏表示原子及其重構(gòu)信號Fig.8 Atoms obtained by sparse decomposition and their reconstructed signals

由圖 8可知，在完美還原原始信號的同時(shí)，改進(jìn)式SL0算法不僅避免了原始信號中噪聲的影響，還極大程度地對原始信號進(jìn)行了稀疏化。為了驗(yàn)證該算法得到的原子是否能夠還原真實(shí)情況，將標(biāo)準(zhǔn)試塊切開，利用游標(biāo)卡尺分別測得上界面缺陷、下界面缺陷到上表面的距離，并將真實(shí)數(shù)據(jù)與通過分解信號的時(shí)移信息計(jì)算出的深度數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，結(jié)果如表2所示。

表2 缺陷深度數(shù)據(jù)對比Table 2 Comparison of defect depth data

表2中的原子聲程指的是稀疏分解后得到每個原子所處位置的聲程，而計(jì)算深度則是指利用聲程和事先測得的試塊中聲速(本文中的鋁合金擴(kuò)散焊接試塊的聲速約為6 130 m/s)計(jì)算得到的缺陷深度。顯然，改進(jìn)式SL0算法得到的深度信息和真實(shí)數(shù)據(jù)很接近。并且，2個原子的相位信息也幾乎一致，滿足聲波在鋁中的傳播特性。因此可以近似認(rèn)為該算法分離出的2個信號就是構(gòu)成重疊信號的2個原始信號。

此外，為了進(jìn)一步說明改進(jìn)式SL0算法在含噪信號的稀疏與重構(gòu)方面的優(yōu)越性，對OMP、SL0、NSL0、ReSL0、改進(jìn)式SL0這5種算法對超聲重疊信號的稀疏和重構(gòu)效果進(jìn)行詳細(xì)對比。其中，對超聲重疊信號的稀疏化結(jié)果如圖9所示。

圖9中，各算法對原始超聲混疊信號的稀疏效果有著明顯差異。其中，SL0和NSL0算法的效果最差。這2種算法都對噪聲很敏感，它們使用了大量無關(guān)原子來擬合原始信號中的噪聲。ReSL0算法在一定程度上降低了信號中噪聲對稀疏分解結(jié)果的干擾，但是，該算法中引入的正則化參數(shù)需要人為設(shè)定，再通過多次嘗試來接近最稀疏的情況，這種算法得到的結(jié)果往往不是最好的稀疏結(jié)果。而OMP算法雖然具有很好的稀疏化效果，且?guī)缀醪皇茉肼曈绊?，但它采用貪婪迭代的思?僅考慮當(dāng)前步驟最優(yōu)結(jié)果，使其稀疏結(jié)果和真實(shí)情況并不一致。

圖10給出了利用不同算法得到的稀疏向量重構(gòu)原始信號的結(jié)果。其中，SL0和NSL0算法的擬合結(jié)果具有更多的噪聲細(xì)節(jié)，這也和稀疏表示結(jié)果相對應(yīng)。而OMP、ReSL0和改進(jìn)式SL0算法的重構(gòu)結(jié)果類似，都和原始信號有著很高的相似性。結(jié)合稀疏表示結(jié)果和重構(gòu)圖像可以看出，不同的稀疏方法雖然都能實(shí)現(xiàn)原始信號的分解，但是只有改進(jìn)式SL0算法能夠有效實(shí)現(xiàn)含噪的超聲重疊信號的最稀疏化。

圖9 超聲重疊信號的稀疏表示結(jié)果Fig.9 Sparse representation results of ultrasonic aliasing signals

圖10 利用稀疏向量對原始信號的重構(gòu)結(jié)果Fig.10 Reconstruction result of original signal using sparse vector

4 結(jié) 論

研究了稀疏表示方法對于超聲重疊信號的分離。針對傳統(tǒng)SL0算法對噪聲敏感、稀疏能力表現(xiàn)一般、超參數(shù)較多等問題，提出了一種改進(jìn)式SL0算法。該算法將原本的等式約束的投影條件換成了不等式約束的凸優(yōu)化問題，在實(shí)現(xiàn)含噪信號稀疏化的同時(shí)提高了稀疏能力。通過使用雙曲反正切函數(shù)和修正牛頓迭代，不僅克服了梯度下降法的弊端，還減少了超參數(shù)。對真實(shí)超聲信號的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相比于其他常見的稀疏算法，該算法能更好地實(shí)現(xiàn)含噪信號的稀疏表示，且分離出的信號與真實(shí)情況一致。