基于統(tǒng)計(jì)推斷的GEV分布水文頻率計(jì)算充分樣本長(zhǎng)度研究

戈立婷，宋松柏，2

(1.西北農(nóng)林科技大學(xué) 水利與建筑工程學(xué)院，陜西 楊凌 712100；2.西北農(nóng)林科技大學(xué) 旱區(qū)農(nóng)業(yè)水土工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 楊凌 712100)

1 研究背景

水文頻率分析的主要目的是根據(jù)頻率模型估計(jì)水文變量的設(shè)計(jì)值及其相關(guān)重現(xiàn)期，計(jì)算過程具有不確定性，進(jìn)而影響分析結(jié)果的可靠性。認(rèn)知不確定性是由于對(duì)研究系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)不完全而產(chǎn)生的，取決于數(shù)據(jù)長(zhǎng)度和模型推理重現(xiàn)潛在水文過程的能力。模型不確定性源于線型選擇和參數(shù)估計(jì)方法，其不確定性分析方法主要有貝葉斯理論和NUSAP法和抽樣分布理論。而水文計(jì)算和分析模型需要足夠長(zhǎng)的數(shù)據(jù)，充分樣本長(zhǎng)度是可靠建模和準(zhǔn)確參數(shù)估計(jì)的先決條件。Su等評(píng)估了洪水災(zāi)害中采樣造成的不確定性，結(jié)果表明增加數(shù)據(jù)長(zhǎng)度提高了Gumbel模型的可靠性，降低了采樣誤差和不確定性。Hao等建立多指標(biāo)干旱監(jiān)測(cè)模型，發(fā)現(xiàn)至少需要30年的數(shù)據(jù)可以減少計(jì)算偏差。設(shè)計(jì)方案的運(yùn)行性能會(huì)受到樣本長(zhǎng)度的影響。Soukissian等采用不同參數(shù)估計(jì)方法，在不同樣本長(zhǎng)度下進(jìn)行模擬研究，研究結(jié)果表明廣義極值(GEV)分布參數(shù)估計(jì)方法的性能取決于參數(shù)估計(jì)方法和選用樣本容量。Khastagir等研究表明由于序列長(zhǎng)度的變化，GEV分布參數(shù)會(huì)有很大差異。

目前，世界許多水文學(xué)工作者采用概率論的經(jīng)驗(yàn)法則，結(jié)合區(qū)域水文計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，獲得了水文頻率計(jì)算30年的標(biāo)準(zhǔn)。數(shù)理統(tǒng)計(jì)中30的樣本長(zhǎng)度普遍基于正態(tài)分布假設(shè)，可以利用正態(tài)分布的一些性質(zhì)來推斷總體參數(shù)。根據(jù)這一方法，李鴻雁等采用數(shù)值模擬方法對(duì)隨機(jī)生成樣本和代表性站點(diǎn)的均值、均方差進(jìn)行分析，采用假設(shè)性檢驗(yàn)證明30年樣本長(zhǎng)度的充分性。然而樣本長(zhǎng)度的充分性與研究問題有關(guān)，標(biāo)準(zhǔn)很難界定。水文概率分布的復(fù)雜程度、待估計(jì)參數(shù)數(shù)目和統(tǒng)計(jì)推斷方法的選取都與樣本長(zhǎng)度密切相關(guān)。這一經(jīng)驗(yàn)法則，對(duì)于估計(jì)均值來說是充分合理的，而論證相對(duì)復(fù)雜且具有多個(gè)參數(shù)的分布是否充分值得商榷。其次，不同統(tǒng)計(jì)推理方法、不同參數(shù)的收斂速度差別較大，因此，在=30的情況下，計(jì)算結(jié)果差別也很大。此外，30年的樣本長(zhǎng)度并不能為不同重現(xiàn)期的設(shè)計(jì)值計(jì)算提供有效參考。洪水頻率分析中，計(jì)算較大重現(xiàn)期的設(shè)計(jì)值，要得到可靠的結(jié)果，需要的樣本長(zhǎng)度也相應(yīng)更長(zhǎng)。Katz等的分析結(jié)果表明，GEV分布的極端分位數(shù)估計(jì)在小樣本(<25)情況下非常不穩(wěn)定。Robson等認(rèn)為采用GEV分布進(jìn)行頻率計(jì)算需要的樣本量是重現(xiàn)期的4倍。Vanem等認(rèn)為35年數(shù)據(jù)足以估計(jì)100年的設(shè)計(jì)值。Hu等結(jié)果顯示估計(jì)重現(xiàn)期為100年的設(shè)計(jì)值，35年的序列長(zhǎng)度比20年的誤差小50%。Merz等的研究表明一定樣本長(zhǎng)度下，增加更多的數(shù)據(jù)并不意味著可以提高計(jì)算精度。Benson等指出不超過序列長(zhǎng)度兩倍的重現(xiàn)期，能得到可靠的結(jié)果。而Jeong等認(rèn)為數(shù)據(jù)長(zhǎng)度外推3至4倍的重現(xiàn)期，其頻率計(jì)算是合理的。

以上研究表明：(1)樣本長(zhǎng)度不充分，難以支撐分析結(jié)果的可靠性，模型的運(yùn)行性能也會(huì)因樣本短缺而受到影響。(2)30年樣本長(zhǎng)度這一標(biāo)準(zhǔn)并不能為不同頻率下的設(shè)計(jì)值計(jì)算提供有效參考。(3)模擬和實(shí)例分析大都是基于固定長(zhǎng)度的樣本，樣本長(zhǎng)度分析方法較為主觀。目前，不同頻率下樣本長(zhǎng)度的充分性沒有共識(shí)，水文頻率分析中缺少一種基于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)理統(tǒng)計(jì)推理而非經(jīng)驗(yàn)法則的分析方法進(jìn)行給定頻率計(jì)算所需的充分樣本長(zhǎng)度推求，且在這一過程中，缺乏充分考慮到線型、參數(shù)估計(jì)方法、重現(xiàn)期的影響。基于此，本文應(yīng)用漸近正態(tài)性質(zhì)、極限近似理論原理，選用GEV分布，研究不同參數(shù)下充分樣本長(zhǎng)度的確定方法，并驗(yàn)證其合理性。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)誤差指標(biāo)進(jìn)行分析比較，采用數(shù)值模擬方法分析參數(shù)、頻率、參數(shù)估計(jì)方法與樣本長(zhǎng)度的潛在關(guān)系及規(guī)律，可在實(shí)際工作中用于判斷計(jì)算數(shù)據(jù)是否足夠充分用于模型的建立和參數(shù)估計(jì)。文中方法以期為確定水文頻率所需樣本長(zhǎng)度，提高水文設(shè)計(jì)值成果的可靠性等提供支撐。

2 GEV分布及其參數(shù)估計(jì)方法

廣義極值分布(Generalized Extreme Value Distribution，GEV)的概率密度函數(shù)()及其分布函數(shù)()分別為：

(1)

(2)

極值Ⅰ型分布是GEV分布的一個(gè)特例，形狀參數(shù)=0，極值Ⅰ型分布的概率密度函數(shù)()及其分布函數(shù)()分別為：

(3)

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式中：為尺度參數(shù)；為位置參數(shù)；為形狀參數(shù)，當(dāng)<0時(shí)，為極值Ⅱ型分布(或Frechet分布)，當(dāng)>0時(shí)，為極值Ⅲ型分布(或Weibull分布)，=0時(shí)，為極值Ⅰ型分布(或Gumbel分布)。

最大似然法(Maximun Likelihood Method，MLM)是根據(jù)對(duì)數(shù)似然函數(shù)最大化進(jìn)行概率分布參數(shù)估計(jì)的方法，要求對(duì)數(shù)似然函數(shù)是可微的。MLM與大多數(shù)參數(shù)估計(jì)方法相比，其優(yōu)勢(shì)在于它直接為GEV分布參數(shù)估計(jì)提供近似的標(biāo)準(zhǔn)誤差和誤差邊界，同時(shí)允許將協(xié)變量信息合并到參數(shù)估計(jì)中。此外，MLM具有良好的漸近性質(zhì)。由于這些優(yōu)點(diǎn)，MLM是目前最主要的參數(shù)估計(jì)方法之一，也是GEV分布參數(shù)估計(jì)中最為常用的估計(jì)方法。Smith等和Coles等指出>-0.5時(shí)，MLM具有一般的漸近性質(zhì)；-1<<-0.5，MLM結(jié)果存在，但不具有漸近性質(zhì)；<-1時(shí)，MLM結(jié)果通常不存在；>0.5時(shí)，不存在二階矩和高階矩，此時(shí)極值分布有一個(gè)非常短的有界右尾，這在極值分布的應(yīng)用中極少出現(xiàn)。因此，極大似然理論的局限性在實(shí)際應(yīng)用中影響不大。

矩法(Method of Moments，MOM)的基本假設(shè)為樣本矩等于相應(yīng)的總體矩，對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行求解。詳細(xì)的求解過程參見文獻(xiàn)[25-27]。

3 充分樣本長(zhǎng)度確定方法

以GEV分布為例，數(shù)值模擬可以假設(shè)總體規(guī)模足夠大，足以進(jìn)行充分樣本長(zhǎng)度的分析。然而，在實(shí)際的工程設(shè)計(jì)中，選用的數(shù)據(jù)有限，必須論證選用資料長(zhǎng)度估計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確性和所需的充分樣本長(zhǎng)度?；赽ootstrap的數(shù)學(xué)分析方法采用Shapiro-Wilk方法檢驗(yàn)設(shè)計(jì)值的正態(tài)性，計(jì)算充分樣本長(zhǎng)度，判斷計(jì)算數(shù)據(jù)長(zhǎng)度是否足以進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。原假設(shè)定義為：樣本長(zhǎng)度為時(shí)，MLM設(shè)計(jì)值服從正態(tài)分布。如果拒絕原假設(shè)，說明在給定顯著性水平下，樣本長(zhǎng)度不足，需要采集更多的樣本，并再次應(yīng)用上述方法進(jìn)行檢驗(yàn)，直到增加樣本至無法拒絕原假設(shè)。詳細(xì)步驟如下。

步驟一：給定參數(shù)(，，)，生成=600服從GEV分布的隨機(jī)樣本=(，，…，)。

步驟二：根據(jù)bootstrap法，從中抽取-1組相同容量的樣本，得到再生樣本=(1，2，…，)，其中=2，…，。

(5)

(6)

曲線擬合法是基于極限近似理論，用解析表達(dá)式來逼近離散數(shù)據(jù)。選取95%的相對(duì)置信區(qū)間(Relative confidence interval，RCI)，平均相對(duì)誤差(the mean relative error，RMAE)兩種不確定性分析指標(biāo)。在水文頻率的不確定性分析中，通常根據(jù)置信區(qū)間來量化設(shè)計(jì)值的不確定性。置信區(qū)間的寬度隨樣本長(zhǎng)度的增加而減小，但隨重現(xiàn)期的增加而增大。相比較而言，使不同重現(xiàn)期下無法直接對(duì)比的置信區(qū)間變?yōu)榭杀?。避免誤差相互抵消，可以反映實(shí)際誤差的大小，也具有可比性。由某一樣本長(zhǎng)度下的多組設(shè)計(jì)值，計(jì)算得到、，隨樣本長(zhǎng)度不斷增大，根據(jù)其變化趨勢(shì)，擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)繪制出曲線，確定出最佳擬合方程。具體方法描述如下。

步驟一：給定參數(shù)(，，)，生成=2000組服從GEV分布，樣本長(zhǎng)度為(=3，4，…，500)的隨機(jī)樣本。

(7)

用對(duì)不同樣本長(zhǎng)度下設(shè)計(jì)值誤差進(jìn)行定量評(píng)價(jià)，定義如下式所示：

(8)

式中：為樣本長(zhǎng)度、頻率下的估計(jì)設(shè)計(jì)值；為GEV分布下的真實(shí)設(shè)計(jì)值。

步驟四：隨樣本長(zhǎng)度不斷增大，根據(jù)各指標(biāo)的變化趨勢(shì)，擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)繪制出曲線，由評(píng)價(jià)其擬合效果，確定出最佳擬合方程。

步驟五：將3.1中計(jì)算出的代入擬合方程，得到MLM估計(jì)下擬合曲線對(duì)應(yīng)的、值。給定值，根據(jù)離均系數(shù)計(jì)算公式建立～|Ф|的曲線關(guān)系，與、值的變化趨勢(shì)來驗(yàn)證文中方法的正確性。通過分析MLM、MOM估計(jì)下、與樣本長(zhǎng)度的擬合曲線的交叉點(diǎn)，進(jìn)一步分析樣本長(zhǎng)度與參數(shù)估計(jì)方法間的關(guān)系。

4 數(shù)值模擬結(jié)果

本節(jié)基于GEV分布，應(yīng)用上述方法進(jìn)行數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)。根據(jù)最大似然估計(jì)量的漸近正態(tài)性，采用正態(tài)檢驗(yàn)方法確定頻率計(jì)算所需的充分樣本長(zhǎng)度，并驗(yàn)證其合理性。在此基礎(chǔ)上，選用、為誤差指標(biāo)，應(yīng)用曲線擬合法建立擬合關(guān)系表達(dá)式，定量分析不同參數(shù)、頻率、參數(shù)估計(jì)方法與樣本長(zhǎng)度間的關(guān)系，根據(jù)充分樣本長(zhǎng)度的規(guī)律性進(jìn)一步論證方法的正確性。最后，分析、兩種參數(shù)估計(jì)方法在同一誤差標(biāo)準(zhǔn)下的優(yōu)劣。

根據(jù)GEV分布設(shè)計(jì)值的計(jì)算公式，設(shè)計(jì)值的大小與位置參數(shù)、尺度參數(shù)成正比，但隨形狀參數(shù)的變化呈e指數(shù)增加，不同頻率下設(shè)計(jì)值對(duì)的變化更為敏感，值對(duì)擬合結(jié)果有較大影響。其次，GEV分布根據(jù)形狀參數(shù)值的不同，分為極值Ⅰ型、極值Ⅱ型、極值Ⅲ型，三種分布的曲線形狀也大不相同。因此，本文根據(jù)不同值和頻率，計(jì)算所需的充分樣本長(zhǎng)度。在水文應(yīng)用中，的取值范圍一般為[-0.3，0.3]。本文給定GEV分布參數(shù)=(，，)，取100，取10，的取值范圍為[-0.3，0.3]，步長(zhǎng)為0.1。

選取頻率為0.5%，不同值下的模擬結(jié)果進(jìn)行分析。隨樣本長(zhǎng)度變化Shapiro-Wilk檢驗(yàn)的平均α值及其95%的上下置信區(qū)間如圖1所示。從圖1可以看出，整體呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，水平線α=0.05，對(duì)應(yīng)垂線為充分樣本長(zhǎng)度：樣本長(zhǎng)度小于時(shí)，下置信區(qū)間位于水平線之下，或上下波動(dòng)，樣本長(zhǎng)度大于時(shí)，下置信區(qū)間均位于水平線之上，說明在>時(shí)，最大似然估計(jì)量服從正態(tài)分布，估計(jì)結(jié)果是漸近有效的，證明樣本長(zhǎng)度充分，那么的樣本長(zhǎng)度就足以估計(jì)該頻率下的設(shè)計(jì)值。

圖1 頻率為0.5%，不同形狀參數(shù)下，Shapiro-Wilk檢驗(yàn)的平均α值及其95%置信區(qū)間

樣本長(zhǎng)度為模擬100次，計(jì)算頻率為0.5%的設(shè)計(jì)值，給出設(shè)計(jì)值的正態(tài)概率圖，如圖2所示。圖2表明，不同條件下，散點(diǎn)均勻分布在紅色參照線上，且位于95%的上下置信區(qū)間內(nèi)，表明該樣本長(zhǎng)度下，計(jì)算得到的0.5%設(shè)計(jì)值分布近似服從正態(tài)分布。進(jìn)一步對(duì)樣本長(zhǎng)度下0.5%的設(shè)計(jì)值，進(jìn)行卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，顯著性水平取=0.05，檢驗(yàn)結(jié)果同樣表明，設(shè)計(jì)值的分布近似服從正態(tài)分布，說明是指定頻率下設(shè)計(jì)值計(jì)算所需的充分樣本長(zhǎng)度。

圖2 頻率0.5%，不同形狀參數(shù)設(shè)計(jì)值的正態(tài)概率圖

以相同的方法計(jì)算得到不同值和頻率下，計(jì)算所需的充分樣本長(zhǎng)度，如表1所示，頻率為5%～99%范圍內(nèi)30的樣本長(zhǎng)度基本能夠滿足不同參數(shù)下的設(shè)計(jì)值計(jì)算，而0.1%～2%范圍內(nèi)，即重現(xiàn)期為50～1000年時(shí)，30年的樣本長(zhǎng)度用于設(shè)計(jì)值計(jì)算是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，且隨重現(xiàn)期增大所需樣本長(zhǎng)度也增加。>0，為極值Ⅲ型分布，曲線的頭部趨平，因此有上限值，在0.1%～2%范圍內(nèi)所需的樣本長(zhǎng)度較短，但不適合水文數(shù)據(jù)擬合。

以表1中=-0.3、-0.1、0.1、0.3為例，計(jì)算不同樣本長(zhǎng)度的、，采用曲線擬合法得到-、-的擬合曲線，確定出最佳擬合方程=1，=2。結(jié)果表明冪率函數(shù)擬合良好，均大于0.9。將代入擬合方程得到估計(jì)下擬合曲線對(duì)應(yīng)的值、值，如圖3所示。圖中的、表示在頻率下用充分樣本長(zhǎng)度進(jìn)行頻率計(jì)算，設(shè)計(jì)值結(jié)果對(duì)應(yīng)的誤差值。兩種誤差指標(biāo)的變化趨勢(shì)大致相同，0.1%～75%范圍內(nèi)，隨值增大，、值變??；75%～99%范圍內(nèi)，隨值增大，、值變大。研究洪水問題時(shí)，<50%，隨值增大，重現(xiàn)期減小，估計(jì)所需的樣本長(zhǎng)度減小。75%～99%為研究枯水問題時(shí)的常用頻率范圍，隨頻率增大，重現(xiàn)期增大，估計(jì)設(shè)計(jì)值所需的樣本長(zhǎng)度增加。圖中存在明顯的規(guī)律性：75%前后趨勢(shì)有所不同，在0.1%～75%范圍內(nèi)隨值增大，誤差曲線依次降低，而在75%～99%范圍內(nèi)，隨值增大，誤差曲線依次升高，顯然這與的取值有關(guān)。

表1 不同形狀參數(shù)下頻率計(jì)算所需的充分樣本長(zhǎng)度na

圖3 na對(duì)應(yīng)擬合曲線中的RCI、RMAE值

進(jìn)一步分析值對(duì)設(shè)計(jì)值的影響，根據(jù)謝欣榮GEV分布離均系數(shù)的推導(dǎo)，當(dāng)≠0時(shí)，頻率對(duì)應(yīng)的離均系數(shù)Ф的計(jì)算公式為：

=±{Γ(1+)-[-ln(1-)]}/[Γ(1+2)-Γ(1+)]

(9)

式中：>0時(shí)，取正；<0時(shí)，取負(fù)。

當(dāng)=0時(shí)，頻率對(duì)應(yīng)的離均系數(shù)Ф計(jì)算公式為：

(10)

給定值，由離均系數(shù)計(jì)算公式可建立～|Ф|的曲線關(guān)系，如圖4所示，不同值下，離均系數(shù)|Ф|的變化與圖3中、值的變化趨勢(shì)相同，符合客觀規(guī)律，進(jìn)一步說明了文中方法的正確性。

圖4 不同形狀參數(shù)下不同頻率的離均系數(shù)|ФP|

采用參數(shù)估計(jì)方法計(jì)算同一參數(shù)和頻率下不同樣本長(zhǎng)度設(shè)計(jì)值的、，根據(jù)其變化趨勢(shì)，擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)得到-、-的擬合曲線，結(jié)果表明冪率函數(shù)擬合良好，均大于0.9。由圖3中對(duì)應(yīng)的、值，可以得到同一誤差標(biāo)準(zhǔn)下MOM頻率計(jì)算所需的樣本長(zhǎng)度。給出頻率為0.5%、99%，兩種參數(shù)估計(jì)方法的對(duì)比結(jié)果，如圖5所示。

由圖5可見，同一、和同一參數(shù)估計(jì)方法的、擬合曲線的參數(shù)、值較為接近，曲線變化趨勢(shì)相同。隨值增大，與的曲線越來越接近，兩種參數(shù)估計(jì)方法的誤差隨之減小。隨樣本長(zhǎng)度的增加，、下降較為明顯，之后趨于穩(wěn)定。起初樣本長(zhǎng)度較小，比的估計(jì)誤差小，得到的結(jié)果誤差很大但相對(duì)穩(wěn)定，而需要一定量的樣本才能進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，在重現(xiàn)期較大且樣本長(zhǎng)度極小的情況下無法得到合理的結(jié)果。這與Martins等和Hosking等的研究結(jié)果相一致，在樣本量較小的情況下，GEV分布的最大似然估計(jì)值不穩(wěn)定，有時(shí)會(huì)得到不合理的形狀參數(shù)估計(jì)值，在極值上分位數(shù)估計(jì)中造成較大的偏差和均方根誤差。0.5%、99%代表重現(xiàn)期較大時(shí)的洪水、枯水稀遇事件，=-0.3時(shí)，同一誤差指標(biāo)下需要較大樣本量，基本上無觀測(cè)站能滿足這樣的條件。

圖5 MLM、MOM估計(jì)下RCI、RMAE與樣本長(zhǎng)度的擬合結(jié)果對(duì)比

達(dá)到一定樣本量，兩種參數(shù)估計(jì)方法的、擬合曲線出現(xiàn)交叉點(diǎn)，如圖6所示，<時(shí)，采用進(jìn)行參數(shù)估計(jì)得到的設(shè)計(jì)值誤差較小，>采用誤差較小。0.1%～5%范圍內(nèi)隨頻率增大減小，在=10%～75%時(shí)趨于平穩(wěn)，=75%～99%，逐漸增大，且隨值增大，誤差曲線依次變高，與圖3、圖4表現(xiàn)一致。

圖6 兩種參數(shù)估計(jì)方法的RCI、RMAE擬合曲線交叉點(diǎn)nc

由圖3中對(duì)應(yīng)的、值，可以得到同一誤差標(biāo)準(zhǔn)下頻率計(jì)算所需的樣本長(zhǎng)度。取-0.3、-0.1、0.1、0.3時(shí)，給出不同頻率下兩種參數(shù)估計(jì)方法的對(duì)比結(jié)果，如表2所示。在頻率為5%～99%時(shí)，較小在30上下波動(dòng)，值對(duì)樣本長(zhǎng)度的影響不大，僅在=-0.3時(shí)估計(jì)需要40左右的樣本量，取30基本能滿足計(jì)算要求，與李鴻雁等認(rèn)為水文頻率計(jì)算需要30年的樣本結(jié)論相同。而在為0.1%～2%范圍內(nèi)普遍需要更長(zhǎng)的樣本用于頻率計(jì)算。且不同參數(shù)和頻率下計(jì)算得到的不同，這與熊立華等基于P-Ⅲ型分布的研究結(jié)論相一致，因?yàn)镻-Ⅲ分布與GEV分布擬合一些水文序列較接近。而在為75%～99%范圍內(nèi)逐漸增大，且同頻率下>0比<0大。由極值Ⅱ型與極值Ⅲ型的曲線形狀可以發(fā)現(xiàn)，Ⅲ型曲線尾部相較于Ⅱ型曲線坡度更大，得到相對(duì)穩(wěn)定的結(jié)果需要的樣本長(zhǎng)度更長(zhǎng)，因此也更大。

表2 同一RCI、RMAE標(biāo)準(zhǔn)下MOM、MLM頻率計(jì)算充分樣本長(zhǎng)度對(duì)比

5 實(shí)例分析

將上述方法應(yīng)用于徑流、降水、洪峰數(shù)據(jù)序列，以民和、蘭州年徑流序列，西安、周至年降水序列，宜昌、長(zhǎng)洲、纜子灣、沙坪年最大洪峰序列為例，分析數(shù)據(jù)長(zhǎng)度是否足以進(jìn)行相應(yīng)頻率下的水文設(shè)計(jì)值計(jì)算，序列長(zhǎng)度及其統(tǒng)計(jì)參數(shù)、GEV分布參數(shù)如表3所示。

表3 實(shí)測(cè)序列長(zhǎng)度及其統(tǒng)計(jì)參數(shù)、GEV分布參數(shù)

基于GEV分布，針對(duì)年徑流、年降水序列，選取具有代表性的特豐水年、豐水年、平水年、枯水年、特枯水年作為設(shè)計(jì)代表年，設(shè)計(jì)頻率分別選擇為5%、25%、50%、75%、95%，年最大洪峰序列選取重現(xiàn)期分別為200、100、50、30、10、5年進(jìn)行充分樣本長(zhǎng)度的計(jì)算。以長(zhǎng)洲站年洪峰序列為例，不同樣本長(zhǎng)度變化Shapiro-Wilk檢驗(yàn)的平均α值及其95%的上下置信區(qū)間計(jì)算結(jié)果如圖7所示。圖中水平線α=0.05，對(duì)應(yīng)垂線為該重現(xiàn)期下頻率計(jì)算所需的充分樣本長(zhǎng)度，重現(xiàn)期越大，頻率計(jì)算所需樣本長(zhǎng)度越大。

圖7 長(zhǎng)洲站年最大洪峰序列不同重現(xiàn)期Shapiro-Wilk檢驗(yàn)的平均α值及其95%置信區(qū)間

將上述方法應(yīng)用于民和、蘭州年徑流序列，西安、周至年降水序列，宜昌、纜子灣、沙坪年最大洪峰序列，得到法進(jìn)行頻率計(jì)算所需的樣本長(zhǎng)度，并作假設(shè)驗(yàn)證。采用假設(shè)檢驗(yàn)中的ANOVA來論證該樣本下計(jì)算洪水頻率的合理性。ANOVA的基本思想是設(shè)定了一種描述數(shù)據(jù)變異的指標(biāo)，分析出樣本長(zhǎng)度和隨機(jī)誤差影響和貢獻(xiàn)，從而確定可控因素(樣本長(zhǎng)度)對(duì)研究結(jié)果影響力的大小。方差分析采用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是統(tǒng)計(jì)量，即值檢驗(yàn)，是組間與組內(nèi)的離差平方和與自由度的比值。計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值，給定顯著性水平，可做出決策，>0.05表示差異性不顯著。

將相應(yīng)頻率所需的樣本長(zhǎng)度，與長(zhǎng)度為+10的樣本計(jì)算得到的各20組設(shè)計(jì)值進(jìn)行方差分析，如表4和表5。表5中列“”表示選取序列長(zhǎng)度不足以進(jìn)行該重現(xiàn)期下的頻率計(jì)算。其余均通過方差齊性檢驗(yàn)，顯著性水平均大于0.05，在基礎(chǔ)上增加樣本長(zhǎng)度計(jì)算得到的設(shè)計(jì)值，總體上與計(jì)算得到的結(jié)果并無顯著差異，說明該樣本長(zhǎng)度下進(jìn)行水文頻率計(jì)算是充分且合理的。

表4 不同設(shè)計(jì)頻率計(jì)算的充分樣本長(zhǎng)度及其假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果

表5 不同重現(xiàn)期洪水頻率計(jì)算的充分樣本長(zhǎng)度及其假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果

6 結(jié)論與討論

本文首先闡述了極大似然估計(jì)量的漸近正態(tài)性質(zhì)，界定了充分樣本長(zhǎng)度的概念，將bootstrap、Shapiro-Wilk正態(tài)性檢驗(yàn)方法用于確定給定水文序列頻率計(jì)算所需的充分樣本長(zhǎng)度，判斷水文數(shù)據(jù)長(zhǎng)度是否足夠充分?；贕EV分布，根據(jù)形狀參數(shù)的取值變化，在不同參數(shù)和頻率下進(jìn)行數(shù)值模擬分析，推求頻率計(jì)算的充分樣本長(zhǎng)度。基于極限近似理論，選取、為誤差指標(biāo)，根據(jù)曲線擬合法分析參數(shù)、頻率、參數(shù)估計(jì)方法與樣本長(zhǎng)度間的潛在關(guān)系規(guī)律。并應(yīng)用于徑流、降水、洪峰數(shù)據(jù)，推求不同設(shè)計(jì)頻率(重現(xiàn)期)下頻率計(jì)算的充分樣本長(zhǎng)度，進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證方法的可行性。經(jīng)理論推導(dǎo)、模擬分析與實(shí)際應(yīng)用，獲得以下幾點(diǎn)結(jié)論：

(1)文中充分樣本長(zhǎng)度的推理方法具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)，不依賴于模型及經(jīng)驗(yàn)法則，可避免主觀因素的影響。

(2)文中模型不同頻率下設(shè)計(jì)值的充分樣本長(zhǎng)度表明，重現(xiàn)期越大，所需樣本長(zhǎng)度越大。表明在樣本長(zhǎng)度不夠充分的情形下，對(duì)結(jié)果進(jìn)行不確定性評(píng)估是至關(guān)重要的。

(3)數(shù)值模擬及實(shí)例計(jì)算結(jié)果均通過檢驗(yàn)，論證了文中方法的合理性。充分樣本長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的誤差指標(biāo)與的取值有關(guān)，且在不同指標(biāo)下呈現(xiàn)的趨勢(shì)相同，也與相應(yīng)值、相應(yīng)頻率下設(shè)計(jì)值離均系數(shù)的曲線趨勢(shì)一致，符合客觀規(guī)律，進(jìn)一步說明了方法的正確性。

(4)最大似然估計(jì)法需要一定長(zhǎng)度的樣本量才能得到合理的結(jié)果，當(dāng)矩法與最大似然法估計(jì)誤差都較大時(shí)，矩法表現(xiàn)更好，交叉點(diǎn)之后誤差顯著減小，最大似然估計(jì)優(yōu)于矩法，表現(xiàn)出其良好的估計(jì)性能。

(5)在10%～75%的頻率范圍內(nèi)，充分樣本長(zhǎng)度及交叉點(diǎn)基本小于30，或在30上下波動(dòng)，說明在這一頻率范圍內(nèi)30的樣本量足以進(jìn)行最大似然估計(jì)，表現(xiàn)出其良好的估計(jì)性能。而在該頻率范圍外，交叉點(diǎn)的樣本長(zhǎng)度大于30，矩法、最大似然估計(jì)法在30的樣本長(zhǎng)度下存在較大誤差。

本文研究成果可為水文頻率計(jì)算中充分樣本長(zhǎng)度的確定提供一定參考依據(jù)，定量論證了水文數(shù)據(jù)進(jìn)行分析計(jì)算的充分長(zhǎng)度，以期提高水文分析計(jì)算的嚴(yán)謹(jǐn)性。但其中存在幾點(diǎn)值得進(jìn)一步深入研究：(1)本文方法基于數(shù)理統(tǒng)計(jì)推斷，沒有考慮物理測(cè)量、水文成因在內(nèi)的其他因素影響。(2)文中假定水文序列是平穩(wěn)序列進(jìn)行了充分樣本長(zhǎng)度的分析計(jì)算，而對(duì)于非平穩(wěn)序列頻率計(jì)算：可采用混合概率模型、分段平穩(wěn)模型，序列分解法模型，結(jié)合本文中充分樣本長(zhǎng)度計(jì)算方法進(jìn)行研究。而對(duì)于時(shí)變參數(shù)模型，需要進(jìn)一步研究時(shí)變參數(shù)的抽樣評(píng)定方法。(3)文中基于GEV分布充分樣本長(zhǎng)度的分析方法可應(yīng)用于其他概率模型，以探究該方法的普適性。