單位圓盤外單葉調(diào)和映射的面積定理

石擎天,林珍連

(1.泉州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,福建 泉州 362000；2.華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建 泉州 362021)

0 引言

設(shè)Δ={z:|z|<1}是復(fù)平面C上單位圓盤，Δ*=C/Δ是單位圓盤外區(qū)域。記Σ為Δ*到C上共形映照f(滿足規(guī)范化條件f′(∞)=1和f(∞)=∞)的全體，即f∈Σ可表示為

(1)

20世紀(jì)80年代以來,Σ類函數(shù)的面積估計(jì)、擬共形延拓、像域特征的刻畫等問題得到深入研究[1-2]。記Σ′={f∈Σ:f(z)≠0}，Σ′類函數(shù)可與S類建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,即f∈S當(dāng)且僅當(dāng)g∈Σ′,其中g(shù)(z)=1/f(1/z)。1914年，為了證明S類中系數(shù)估計(jì)|a2|≤2，Gronwall[3]借助S類與Σ類間這種緊密聯(lián)系，運(yùn)用Parseval公式得到經(jīng)典的面積定理,即定理1。

1971年，Lehto[4]推廣了定理1，即定理2。

(2)

其中a1是復(fù)常數(shù),且|a1|<1。

Dirichlet積分是研究擬共形映射極值性和調(diào)和映射存在性的重要工具[5-6]。受定理1和定理2的啟發(fā)，本文將Σ類推廣到調(diào)和映射中。

設(shè)ΣH是Δ*上單葉保向調(diào)和映射全體，且滿足規(guī)范化條件為

(3)

擬共形映射是復(fù)分析中非常重要的研究對(duì)象，是共形映射的推廣，且與調(diào)和映射既有緊密聯(lián)系又有較大差異,因此，它吸引了廣大學(xué)者們進(jìn)行深入研究[8-11]。ΣH類是調(diào)和映射理論研究中非常重要的函數(shù)類，其面積偏差、單葉半徑、星象與凸像特征刻畫、Lipschitz連續(xù)性等問題的研究備受關(guān)注，并得到了一些較好的結(jié)果[7，12-16]。

本文在定理1和定理2的研究方法基礎(chǔ)上，結(jié)合ΣH類函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)相應(yīng)面積定理進(jìn)行分析，結(jié)果推廣了定理1和定理2，為深入研究ΣH類的系數(shù)估計(jì)、Lipschitz連續(xù)性、擬共形性等提供了一定的理論參考。

1 主要結(jié)果及其證明

為了給出具有擬共形延拓性的單葉調(diào)和映射的系數(shù)估計(jì)，先分析ΣH類的面積估計(jì)。

引理1 若f∈ΣH，則

(4)

證明設(shè)E是復(fù)平面C中緊致連通集使得ω=f(z)在Δ*上的函數(shù)值不取E中的點(diǎn)，即f(Δ*)∈CE。對(duì)于r>1，設(shè)Cr是f在圓周|z|=r上的像。因?yàn)閒是單葉的，所以Cr是一條簡(jiǎn)單閉曲線，且其圍成的閉域Er?E。由Green定理可得Er的面積為

(5)

注1 由引理1的證明可知，式(4)中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)f∈∑H且m(E)=0。特別地，當(dāng)A=0且bn=0對(duì)所有n=1,2,…時(shí)，引理1恰為定理1。因此，引理1是共形映射f∈Σ的面積定理的推廣。

應(yīng)用上述面積定理,得到了具有擬共形延拓性的單葉調(diào)和映射的系數(shù)估計(jì)如下。

(6)

(7)

其中，a0,a1是復(fù)常數(shù)且|a1|=k<1。

證明證明過程可分A=0和A≠0兩種情況。

(8)

另外，對(duì)于ρ>1，對(duì)f運(yùn)用Cauchy-Green公式可得，

當(dāng)|ξ|=ρ→∞時(shí)，則有

(9)

(10)

將式(8)代入式(10)可得

(11)

接下來將證明F(z)在Δ*上單葉，即對(duì)Δ*內(nèi)任意兩點(diǎn)z1,z2且z1≠z2，驗(yàn)證F(z1)≠F(z2)。當(dāng)|z1|=|z2|時(shí)，F(xiàn)(z1)-F(z2)=f(z1)-f(z2)≠0，從而F(z)在Δ*上單葉；當(dāng)|z1|≠|(zhì)z2|時(shí)，不妨設(shè)argz1=argz2且|z1|<|z2|(否則,若argz1≠argz2，則考慮用eiθz1代替z1,使之滿足arg eiθz1=argz2，其中θ是某個(gè)常數(shù))。由于

其中γ是Δ*內(nèi)連接z1,z2的可求長(zhǎng)曲線，所以F(z)也在Δ*上單葉。令

其中f*是f在Δ上的擬共形延拓，則g可擬共形延拓到復(fù)平面C且復(fù)特征滿足|ω(z)|≤k?；贏=0情形的證明可知,f的系數(shù)也滿足式(11)。

最后說明等號(hào)取等的條件。若f定義如式(7)，則bn=0,n=1,2…且an=0,n=2,3…，此時(shí)f在Δ*內(nèi)1-擬共形，在Δ內(nèi)K-擬共形，這里,k=|a1|=(K-1)/(K+1)<1，即式(11)顯然成立。

例1 函數(shù)f(z)=z+a1/z+Alg|z|，其中|a1|<1滿足式(6)。

對(duì)所有z∈Δ*都成立。