多屬性相似度一致性投影決策法

鄭諾希, 李 武, 周小強(qiáng), 劉 鋼

(湖南理工學(xué)院信息科學(xué)與工程學(xué)院, 湖南 岳陽(yáng) 414000)

0 引 言

在工程、管理、經(jīng)濟(jì)、軍事等領(lǐng)域,人們面臨許多多屬性決策與評(píng)價(jià)問(wèn)題,很多學(xué)者進(jìn)行了大量的理論研究和方法探索。文獻(xiàn)[4]結(jié)合文獻(xiàn)[7]對(duì)評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行規(guī)范化處理,把評(píng)價(jià)向量在理想向量上的投影作為綜合評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),以此來(lái)評(píng)價(jià)備選方案或候選對(duì)象的優(yōu)劣,即投影決策法。隨后,諸多學(xué)者對(duì)投影決策法進(jìn)行了研究,從不同方面進(jìn)行了改進(jìn)、擴(kuò)展或應(yīng)用。

文獻(xiàn)[8]基于投影決策法提出了主成份投影法,旨在解決屬性間的信息重疊問(wèn)題。文獻(xiàn)[9]結(jié)合數(shù)學(xué)規(guī)劃模型,便于處理區(qū)間數(shù)屬性權(quán)重不確定問(wèn)題。文獻(xiàn)[10]進(jìn)一步討論了基于投影的區(qū)間數(shù)評(píng)價(jià)。文獻(xiàn)[11]結(jié)合數(shù)學(xué)規(guī)劃和區(qū)間型理想點(diǎn),提出了基于投影的區(qū)間型多屬性決策兩階段優(yōu)化模型。文獻(xiàn)[12]為了避免模糊矢量之間進(jìn)行比較,建立了一種新的模糊矢量投影評(píng)價(jià)法。文獻(xiàn)[13]進(jìn)一步擴(kuò)展到三角模糊數(shù),提出了一種基于線性規(guī)劃和投影的模糊多屬性決策新方法。文獻(xiàn)[14-15]將投影決策法擴(kuò)展到直覺(jué)模糊數(shù)和區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)。還有一些學(xué)者提出了多種針對(duì)其他決策數(shù)據(jù)類(lèi)型的投影決策法。值得注意的是,矢量投影法與灰色關(guān)聯(lián)理論結(jié)合也取得了一定的研究成果。投影決策法及其擴(kuò)展方法在效能評(píng)估、裝備方案評(píng)價(jià)、可持續(xù)技術(shù)方案、風(fēng)險(xiǎn)分配等方面都有很好的應(yīng)用。

文獻(xiàn)[35]考慮到正負(fù)理想點(diǎn),在空間上構(gòu)造了一種綜合評(píng)價(jià)方程,很好地從側(cè)面驗(yàn)證了文獻(xiàn)[4]的有效性。文獻(xiàn)[36]針對(duì)文獻(xiàn)[4,35]存在決策向量在理想向量上投影值相等而無(wú)法判斷方案的優(yōu)先順序的問(wèn)題,提出了一種新的帶距離相似度的投影決策法。文獻(xiàn)[37]指出文獻(xiàn)[36]引入的距離相似度會(huì)導(dǎo)致新的問(wèn)題產(chǎn)生,針對(duì)此提出了一種新的余弦相似度與距離相似度相結(jié)合的方法。文獻(xiàn)[38]在猶豫模糊信息下,融合了逼近理想解排序(technique for order preference by similarity to ideal solution, TOPSIS)思想,提出了一種折中的雙向投影法。文獻(xiàn)[40]考慮到?jīng)Q策者的偏好,強(qiáng)調(diào)了模相似度,提出了一種新的帶模相似度的投影決策法。然而,上述相關(guān)投影決策法及衍生方法關(guān)注到向量相似度及組合方法不夠全面會(huì)產(chǎn)生空間評(píng)價(jià)失效的情況,從而導(dǎo)致某些評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)失效,這樣有時(shí)會(huì)導(dǎo)致違背決策者的意愿或者出現(xiàn)異常的評(píng)價(jià)結(jié)果。

因此,本文結(jié)合矢量投影思想、距離測(cè)度、向量相似度、決策者偏好對(duì)其進(jìn)行改進(jìn),提出理想偏移向量的定義,構(gòu)造新的綜合評(píng)價(jià)函數(shù)。本方法對(duì)模相似度、距離相似度、余弦相似度和方向相似度進(jìn)行綜合考慮,對(duì)理想向量進(jìn)行調(diào)整,既能更好地反映評(píng)價(jià)向量與理想向量的接近程度,還有利于融入決策者的偏好。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 問(wèn)題描述

設(shè)多屬性決策的方案集為={,,…,},屬性集={,,…,},決策矩陣為={}×。

設(shè)={,,,},其中(=1,2,3,4)分別表示效益型、成本型、固定型以及區(qū)間型屬性集。對(duì)不同的屬性進(jìn)行規(guī)范化處理:

(1)

(2)

(3)

式中:為屬性的最佳穩(wěn)定值。

(4)

式中:[1,2]為屬性的最佳穩(wěn)定區(qū)間。

由規(guī)范化后的矩陣={}×,可知各個(gè)方案的決策向量=(1,2,…,)。由文獻(xiàn)[7,36]可知,采用式(1)～式(4)分別對(duì)效益型、成本型、固定型以及區(qū)間型屬性值規(guī)范化后,屬性值最大均為1,最小均為0。顯然,各評(píng)價(jià)屬性的理想屬性值為

1.2 現(xiàn)有方法的相關(guān)分析

設(shè)第個(gè)決策向量與理想向量之間的夾角為,如圖1所示。

圖1 決策向量Ai與理想向量A*的幾何關(guān)系示意圖Fig.1 Schematic diagram of geometric relationship between decision vector Aiand ideal vector A*

則決策向量與理想向量的夾角余弦為

(5)

記決策向量到理想向量的距離向量為

=-

(6)

決策向量在理想向量上的投影為

(7)

式(7)表明:當(dāng)余弦相似度(非負(fù))相等時(shí),決策向量的模越大,則方案越優(yōu);當(dāng)決策向量的模相等時(shí),余弦相似度越大(即夾角越小),則方案越優(yōu)。但式(7)無(wú)法有效評(píng)價(jià)模相似度小但余弦相似度大或模相似度大但余弦相似度小的情況。

文獻(xiàn)[35]考慮到TOPSIS法的空間特性,構(gòu)建了一種綜合評(píng)價(jià)方程,即正交投影法,可得決策向量的綜合評(píng)價(jià)函數(shù):

(8)

由式(8)可知,文獻(xiàn)[35]強(qiáng)調(diào)了方案與負(fù)理想解的關(guān)系,遍歷所有方案之后得到的正負(fù)理想解是固定的,從側(cè)面驗(yàn)證了文獻(xiàn)[4]的可取之處。

文獻(xiàn)[36]指出文獻(xiàn)[4,35]給出的決策向量在理想向量上的投影值有時(shí)不能對(duì)決策向量進(jìn)行排序。例如,圖2中=。

圖2 決策向量Ai在理想向量A*上投影值相等的情況Fig.2 The case where the decision vector Aihas the same projection value on the ideal vector A*

(9)

(10)

式(10)表明:當(dāng)余弦相似度(非負(fù))相等時(shí),距離相似度越小,則方案越優(yōu);當(dāng)距離相似度相等時(shí),余弦相似度越大,則方案越優(yōu)。但式(10)無(wú)法有效評(píng)價(jià)距離相似度和余弦相似度同時(shí)都小或同時(shí)都大的情況。

文獻(xiàn)[38]借鑒了TOPSIS等方法的貼進(jìn)度測(cè)算公式,同時(shí)考慮遍歷所有方案的正負(fù)理想點(diǎn),提出了一種折中的雙向投影法,即定義了決策向量的綜合評(píng)價(jià)函數(shù):

(11)

由式(11)可知,文獻(xiàn)[38]很好地解決了決策向量在理想向量上投影值相等的問(wèn)題,但忽略了文獻(xiàn)[4]方法的優(yōu)越性,導(dǎo)致容易引入新的問(wèn)題,例如第4節(jié)案例及分析部分某些投影值小但距離相似度大的情況。

文獻(xiàn)[40]強(qiáng)調(diào)了模相似度,即定義了決策向量的綜合評(píng)價(jià)函數(shù)?:

(12)

式中:∈[0,+∞);

式(12)表明,根據(jù)的不同,綜合評(píng)價(jià)函數(shù)?傾向于投影一致性或者模相似度一致性。

但對(duì)于圖3中的例子,余弦相似度為零導(dǎo)致投影為零,式(7)～式(12)會(huì)導(dǎo)致綜合評(píng)價(jià)函數(shù)失效,從而文獻(xiàn)[4,35-38,40]都無(wú)法有效評(píng)價(jià)。

圖3 投影相等并且?jiàn)A角為90°的情況Fig.3 The case when the projections are equal and the included angle is 90°

為此,本文將決策向量在理想決策向量上的投影思想與向量接近程度結(jié)合起來(lái),給出一種多屬性決策與評(píng)價(jià)的新方法,能解決上述無(wú)法進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)的問(wèn)題。

2 相似度一致性的投影決策方法

2.1 理想偏移向量

由式(6)可知:理想向量是由評(píng)價(jià)向量與距離向量組成的。則理想偏移向量可定義為

=+=(1-)+

(13)

式中:∈[0,+∞),且與理想向量的偏移程度有關(guān)。當(dāng)接近0時(shí),理想向量向決策向量靠近;當(dāng)=1時(shí),=表明理想向量無(wú)偏移;當(dāng)遠(yuǎn)離1趨向于+∞時(shí),理想向量向決策向量遠(yuǎn)離。理想偏移向量通過(guò)參數(shù)可對(duì)理想向量的模、方向進(jìn)行調(diào)整,從而調(diào)整與決策向量的模相似度、距離相似度、余弦相似度和方向相似度之間的權(quán)重。

2.2 改進(jìn)的投影決策法

基于理想偏移向量,下面定義一種決策向量的綜合評(píng)價(jià)函數(shù):

(14)

設(shè)={=|=1,2,…,},∈[0,+∞),為待評(píng)估和決策方案的個(gè)數(shù),是偏好系數(shù)。當(dāng)越接近0時(shí),決策者越傾向于決策方案與理想方案的模相似度的一致性;當(dāng)從右邊臨近1時(shí),決策者傾向于決策方案與理想方案的距離相似度的一致性;當(dāng)越趨向于+∞時(shí),決策者越傾向于決策方案與理想方案的方向相似度的一致性。特別地,如果=1,那么=,和文獻(xiàn)[4]中綜合評(píng)價(jià)函數(shù)一致,即式(7)綜合了模、方向的評(píng)價(jià),表明決策者完全忽視了文獻(xiàn)[4]的不利影響。

2.3 多屬性評(píng)價(jià)步驟

基于以上理想偏移向量和綜合評(píng)價(jià)函數(shù),多屬性評(píng)價(jià)基本步驟如下。

根據(jù)決策者的偏好確定偏好系數(shù)。

按照值的大小進(jìn)行評(píng)價(jià)與決策。

3 有效性分析

3.1 決策向量與理想偏移向量的關(guān)系

決策向量與理想偏移向量之間的幾何關(guān)系如圖4所示。

圖4 決策向量Ai與理想偏移向量Ui之間的幾何關(guān)系Fig.4 Geometric relationship between the decision vector Aiand the ideal offset vector Ui

(1) 由可以計(jì)算出:

① 當(dāng)=1時(shí),則=1=,反之也成立。

② 當(dāng)=0時(shí),則=0=,反之也成立。

③ 可得:

==1-=0

綜上所述,本文給出的理想偏移向量具有調(diào)節(jié)作用。由式(7)～式(12)可知:文獻(xiàn)[4,35-38,40]給出的方法各有優(yōu)勢(shì),但本文基于理想偏移向量構(gòu)造的一種新的綜合評(píng)價(jià)函數(shù)集成了文獻(xiàn)[4,35-38,40]的優(yōu)勢(shì),起到了改進(jìn)、擴(kuò)展和補(bǔ)充的作用。

3.2 決策向量之間的評(píng)價(jià)關(guān)系

決策向量之間的綜合評(píng)價(jià)效果如圖5所示。

圖5 決策向量之間的綜合評(píng)價(jià)效果圖Fig.5 Comprehensive evaluation effect diagram between decision vectors

在平面幾何中,向量之間不僅存在模和方向的差異,還存在距離測(cè)度的不同。當(dāng)一個(gè)方案3個(gè)方面的相似度都優(yōu)于另一個(gè)方案,則能直接評(píng)價(jià)兩個(gè)方案的優(yōu)劣;當(dāng)一個(gè)方案3個(gè)方面的相似度不劣于并有至少一個(gè)方面優(yōu)于另一個(gè)方案,如圖5所示,從直觀上也能評(píng)價(jià)兩個(gè)方案的優(yōu)劣。因此,考慮在空間評(píng)價(jià)中方案至少存在一個(gè)方面的差異,同時(shí)研究模長(zhǎng)、方向和距離測(cè)度的評(píng)價(jià)方法顯得十分有必要。

其次,由圖5可知,當(dāng)在臨近1時(shí),1=1(2=1)>5=1>3=1(4=1)能使相對(duì)綜合評(píng)價(jià)位置不變;當(dāng)從右邊靠近1時(shí),2>1>1>1>5>1>3>1>4>1,這體現(xiàn)了決策者注重距離相似度的評(píng)價(jià);當(dāng)從左邊靠近1時(shí),1<1>2<1>5<1>4<1>3<1,這體現(xiàn)了決策者注重模相似度的評(píng)價(jià)。

然后,綜合式(10)和圖5可以判斷,單一相似度的衍生綜合評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)可能會(huì)導(dǎo)致評(píng)價(jià)失效。

最后,通過(guò)圖5可以得出,數(shù)據(jù)尺度的不同將直接影響數(shù)據(jù)綜合評(píng)價(jià)失效的數(shù)量。例如百分制評(píng)分和十分制打分的數(shù)據(jù)分布離散程度是不同的。

4 案例及分析

4.1 案例分析

為了方便比較,本文選用文獻(xiàn)[4]中1992年我國(guó)16個(gè)省份主要工業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(見(jiàn)表1)。

表1 1992年全國(guó)部分省、直轄市主要工業(yè)經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)Table 1 Comparison of main industrial economic benefit indexes in some provinces and municipalities of China in 1992

續(xù)表1Continued Table 1

已知方案集為={北京(),天津(),上海(),…,山西()},屬性集為

式中:是成本型屬性,其余均為效益性屬性。各屬性權(quán)向量為

=(0229 6,0187 6,0155 7,0265 6,0161 4)

下面利用本文提出的多屬性相似度一致性投影決策法進(jìn)行分析,計(jì)算步驟如下:

得到的決策矩陣如表1所示。

對(duì)不同的屬性進(jìn)行規(guī)范化處理得到規(guī)范后的決策矩陣(見(jiàn)表2)和理想決策向量。

表2 規(guī)范化后的決策矩陣Table 2 Normalized decision matrix

根據(jù)表2得到理想決策向量為

由式(13)可得各個(gè)方案的理想偏移向量為

根據(jù)表2可得加權(quán)決策矩陣(見(jiàn)表3)和加權(quán)理想決策向量。

表3 加權(quán)決策矩陣Table 3 Weighted decision matrix

根據(jù)表3可得加權(quán)理想決策向量:

由式(13)可得各個(gè)方案的加權(quán)理想偏移向量為

=(1-)+

根據(jù)決策者的偏好確定偏好系數(shù),不妨取偏好系數(shù)=12。

計(jì)算各個(gè)方案的綜合評(píng)價(jià)值。

在偏好系數(shù)=12下,本文提出方法的綜合評(píng)價(jià)函數(shù)可表示為

從而可得各方案綜合評(píng)價(jià)值,如表4所示。

表4 各方案的綜合評(píng)價(jià)值Table 4 Comprehensive evaluation value of each scheme

由綜合評(píng)價(jià)值可知>>>>>>>>>>>>>>>,則在偏好系數(shù)的綜合評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)下,最佳方案是()。

4.2 不同偏好系數(shù)下的綜合評(píng)價(jià)值

為了進(jìn)一步說(shuō)明本文得到的排序在均衡考慮決策向量與理想向量接近程度的關(guān)鍵因素方面哪個(gè)更合理,根據(jù)表3計(jì)算了方案在不同偏好系數(shù)下的綜合評(píng)價(jià)值,如圖6所示。

圖6 方案在不同偏好系數(shù)β的情況下的綜合評(píng)價(jià)值Fig.6 Comprehensive evaluation value of the scheme under different preference coefficients β

表5 按照單一相似度排序Table 5 Sort by single similarity

首先,從圖6和表5可以看出,當(dāng)增加時(shí),方案與方案之間的相對(duì)位置變化穩(wěn)定,這表明相應(yīng)相似度的權(quán)重緩慢變化。

最后,綜合圖6和表5還可以看出,方案3(上海)與方案9(遼寧)的相對(duì)位置不發(fā)生變化,體現(xiàn)了所提方法不因偏好系數(shù)的變化而影響絕對(duì)優(yōu)勢(shì)、相對(duì)優(yōu)勢(shì)(上海、遼寧)和絕對(duì)劣勢(shì)的客觀評(píng)價(jià),本文的方法保留了相似度之間的客觀優(yōu)勢(shì)。

4.3 算例結(jié)果的比較分析

表6 7種方法的決策結(jié)果比較Table 6 Comparison of decision results of seven methods

通過(guò)表6可以看出,除了采用雙向投影法外,是最好的方案,是最差的方案。

綜合表4、表5和圖6,為了避免重復(fù)表述,下面對(duì)文獻(xiàn)[4,36,40]的方法與本文方法得到的排序結(jié)果進(jìn)行比較分析。

本文與文獻(xiàn)[4]所提方法的排序結(jié)果相同,這驗(yàn)證了本文方法的有效性。同時(shí),本文取=12的式(14)提高了距離相似度和方向相似度的權(quán)重,降低了模相似度的權(quán)重,從而導(dǎo)致的值發(fā)生變化。同理,當(dāng)偏好系數(shù)∈[097,15]時(shí),其排序結(jié)果與文獻(xiàn)[4]相同;當(dāng)偏好系數(shù)∈[17,18]時(shí),其排序結(jié)果與文獻(xiàn)[36]相同;當(dāng)偏好系數(shù)∈[09,095]時(shí),其排序結(jié)果與文獻(xiàn)[40]相同。這進(jìn)一步表明所提方法綜合考慮了模相似度、距離相似度、投影的一致性。

綜上所述,本文所提方法主要有以下幾方面的優(yōu)勢(shì):

(1) 綜合考慮了4種相似度,能避免單一相似度的不全面和綜合評(píng)價(jià)函數(shù)的失效;

(2) 評(píng)價(jià)函數(shù)相比文獻(xiàn)[36,40]更簡(jiǎn)單,當(dāng)備選方案和屬性個(gè)數(shù)較多時(shí),該優(yōu)勢(shì)將會(huì)體現(xiàn)得更加明顯;

(3) 考慮到主觀因素對(duì)理想向量的調(diào)整;

(4) 有利于融入決策者的偏好,還有利于評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一;

(5) 相似度之間的客觀優(yōu)勢(shì)不隨偏好系數(shù)的變化而改變,能一定程度上限制決策者的隨意性,更好地發(fā)揮決策者的主觀能動(dòng)性,體現(xiàn)了在復(fù)雜環(huán)境下主觀與客觀評(píng)價(jià)相互有益的補(bǔ)充。

5 結(jié) 論

本文給出了多屬性決策與評(píng)價(jià)的新方法——相似度一致性的投影決策法,并對(duì)現(xiàn)有相關(guān)方法進(jìn)行了梳理和評(píng)價(jià)。然而,本文給出的理想偏移向量容易受到?jīng)Q策者之間偏好的影響,如何綜合所有的評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)擬合一條穩(wěn)定的理想偏移曲線值得考慮。對(duì)于高維空間數(shù)據(jù)映射到平面空間進(jìn)行評(píng)價(jià)可能存在信息重疊的現(xiàn)象,不僅要考慮決策者的標(biāo)準(zhǔn)偏好,還要考慮與具體目標(biāo)結(jié)合建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型,才可能避免高維曲線這類(lèi)問(wèn)題。在影響決策者偏好因素方面,還需要進(jìn)一步的研究。

隨著其他理論的多元發(fā)展,結(jié)合本文提出的方法,對(duì)于不同的數(shù)據(jù)類(lèi)型,決策規(guī)則更加多樣;對(duì)于不同評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)分布,評(píng)價(jià)角度更加靈活。還需要指出的是,本文的方法與密度中間算子結(jié)合,在決策的兩個(gè)層面表達(dá)了決策者的標(biāo)準(zhǔn)一致性和群體評(píng)價(jià)意見(jiàn)偏向,更有利于決策者精細(xì)化的表達(dá),這可能會(huì)促使群決策問(wèn)題新的思考。