學(xué)生的『深度理解』是怎樣煉成的
——特級(jí)教師夏永立《除數(shù)是兩位數(shù)的除法練習(xí)》教學(xué)賞析

文 王焱烽

怎樣通過(guò)有深度的練習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生獲得對(duì)課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容的“深度理解”？受益于長(zhǎng)三角四省市骨干教師交流研修項(xiàng)目，筆者在隨安徽省特級(jí)教師夏永立老師進(jìn)行跟崗學(xué)習(xí)期間，夏老師以他傾心執(zhí)教的《除數(shù)是兩位數(shù)的除法練習(xí)》一課為例，為我們揭示了學(xué)生的“深度理解”是怎樣煉成的奧秘。

一、以“選擇”始，深思運(yùn)算方法，突破定勢(shì)

在一般的教學(xué)中，為形成除數(shù)是兩位數(shù)的除法運(yùn)算技能，教師往往會(huì)在有限的課堂時(shí)間里，安排不同題型的、過(guò)量的計(jì)算題，以期達(dá)到“熟能生巧”的目標(biāo)。然而學(xué)生在面對(duì)運(yùn)算內(nèi)容時(shí)——例如面對(duì)本節(jié)課的計(jì)算，相當(dāng)一部分學(xué)生對(duì)題中數(shù)的特征不管不顧，頭腦中剩下的往往只是“筆算”的強(qiáng)思維定勢(shì)，對(duì)口算、簡(jiǎn)算、估算這些運(yùn)算方法往往意識(shí)不強(qiáng)。教師“由算至熟”的理念，遇上學(xué)生“以算代思”的認(rèn)識(shí)，造成了運(yùn)算枯燥、機(jī)械、淺表化學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)流弊。因此，夏老師借助課始簡(jiǎn)約的練習(xí)材料，在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)運(yùn)算方法的選擇、定勢(shì)思維的突破中豐富運(yùn)算學(xué)習(xí)的體驗(yàn)。

【片斷1】看誰(shuí)做得又對(duì)又快！

84÷6=90÷3=

900÷30=153÷22=

210÷30=800÷200=

90÷30=21÷3=

930÷50=210÷3=

1.引導(dǎo)觀察。

師：一定都要列豎式計(jì)算嗎？哪些題目不用列豎式計(jì)算？請(qǐng)你選擇：哪些只需要口算、哪些需要筆算？

生：153÷22 和930÷50 要列豎式計(jì)算。

生：84÷6 也要列豎式計(jì)算。

師：二年級(jí)時(shí)84÷6 需要筆算，現(xiàn)在只需要口算?？梢钥谒愕倪€有哪些？

2.組織整理。

師：哪些口算題目是有關(guān)聯(lián)的，我們把這些題目寫(xiě)成一組。

課堂交流后，教師板書(shū)成兩組算式：

3.課堂交流。

師：哪些算式的商是一樣的，有什么變化的規(guī)律？

生：第一組中90÷3 的商等于30，把被除數(shù)乘10，除數(shù)也乘10，所以900÷30 的商也是30。

生：第二組中210÷30 的商是7，被除數(shù)和除數(shù)都除以10，所以21÷3 的商也是7。

師：為什么第一組中的90÷30的商不是30，是3 了呢？

生：因?yàn)楸怀龜?shù)900 除以10，但除數(shù)30 沒(méi)有除以10，也就是沒(méi)有都除以相同的數(shù)。

師：讓你做900÷30，你可以想到哪道口算題？

生：9÷3。

師：還可以聯(lián)想到哪些題目？

生：900÷300=3。

生：9000÷3000=3。

……

除數(shù)是兩位數(shù)的除法運(yùn)算，學(xué)生會(huì)把列豎式計(jì)算這一手段奉為圭臬。為打破學(xué)生“只會(huì)列豎式筆算”“以算代思”的狹隘認(rèn)識(shí)，夏老師通過(guò)請(qǐng)學(xué)生選擇“口算”還是“筆算”，補(bǔ)上運(yùn)算前“觀察”“審題”的理性選擇體驗(yàn)，請(qǐng)學(xué)生進(jìn)行“整理”和“交流”，加強(qiáng)運(yùn)算時(shí)“尋求簡(jiǎn)潔合理的運(yùn)算途徑”過(guò)程性體驗(yàn)，請(qǐng)學(xué)生開(kāi)展“聯(lián)想”和“編題”，積累運(yùn)算后“回顧”“總結(jié)”的反思性經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生對(duì)觀察、聯(lián)想、運(yùn)用“商不變性質(zhì)”等“弱”刺激印象得以增強(qiáng)，“不能只是算”的思維定勢(shì)得以突破。學(xué)生對(duì)運(yùn)算前、運(yùn)算時(shí)、運(yùn)算后“需要怎么做”的認(rèn)識(shí)得以豐富。

二、由“問(wèn)答”入，深究豎式算理，引發(fā)思辨

理想的運(yùn)算教學(xué)，是幫助學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法。對(duì)算理的深刻理解，讓運(yùn)算擁有了像根一樣能生長(zhǎng)的力量。一般而言，教師在新授教學(xué)中，十分重視運(yùn)算算理的理解，會(huì)通過(guò)畫(huà)圖、算式、小棒、計(jì)數(shù)器等多種方式引導(dǎo)學(xué)生理解算理。練習(xí)教學(xué)則著重以運(yùn)算技能形成、思維方法感悟、解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題等為主展開(kāi)。其實(shí)，練習(xí)課上，教師引導(dǎo)學(xué)生借助新授教學(xué)“練習(xí)”與“作業(yè)”中得到的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)運(yùn)算算理進(jìn)行“再理解”。這樣的做法完全符合認(rèn)知學(xué)習(xí)規(guī)律，也能收獲“溫故出新”的效果，為算法“再總結(jié)”，讓學(xué)習(xí)“再發(fā)生”。本節(jié)課從口算學(xué)習(xí)后轉(zhuǎn)入對(duì)列豎式計(jì)算的算理學(xué)習(xí)中，夏老師獨(dú)具特色的生—生“你問(wèn)我答”，把豎式算理中隱含的“節(jié)點(diǎn)”“錯(cuò)點(diǎn)”“盲點(diǎn)”顯露無(wú)遺。學(xué)生對(duì)“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”算理有了深化理解。

【片斷2】誰(shuí)能向他們提問(wèn)？

師：觀察153÷22 的豎式（圖1），商是6，余數(shù)是21。誰(shuí)能向她（生1）提問(wèn)？

圖1

生：為什么6 要商在個(gè)位上？

生1：如果寫(xiě)在十位上，6 就不代表6 個(gè)一。

師：被除數(shù)前兩位是15，比除數(shù)22 小，所以商是一位數(shù)。

生：余數(shù)21 代表什么？

生1：21 表示被除數(shù)153 減去商乘除數(shù)后得到的差。

生：豎式中的132 代表什么？

生1：是22 乘6 得到的。

生：為什么個(gè)位上商6 不是商7？

生1：把22 看成20，商7 就是7 個(gè)20，但實(shí)際上應(yīng)該是22 乘7 是154，比被除數(shù)大。

師：也就是試商時(shí)要調(diào)商。還有誰(shuí)要向她提問(wèn)的？

……

師：觀察930÷50 的豎式（圖2），有誰(shuí)要向他（生2）提問(wèn)？

圖2

930÷50=18……30

生：既然商寫(xiě)在了百位、十位上，為什么不是180，而是18 呢？

生2：如果是180，那么180乘50 的結(jié)果要比930 要大。

生：為什么要把被除數(shù)和除數(shù)末尾的0 同時(shí)劃掉？

生2：同時(shí)劃去，商還是不變的，能使計(jì)算變得簡(jiǎn)便。

生：為什么余數(shù)寫(xiě)的是3，橫式上寫(xiě)的卻是30？

生2：豎式里余數(shù)是3，是在被除數(shù)的十位上，代表的是3 個(gè)十。

……

若非親歷課堂現(xiàn)場(chǎng)，很難相信10 多個(gè)充滿思辨味的高質(zhì)量問(wèn)題，一個(gè)緊接一個(gè)，從學(xué)生口中問(wèn)答如流。陳省身指出，數(shù)學(xué)是自己思考的產(chǎn)物，首先要能夠思考起來(lái)，用自己的見(jiàn)解和別人的見(jiàn)解交換，才會(huì)有很好的效果。從學(xué)生之間“唇槍舌劍”般互問(wèn)互答的課堂表現(xiàn)看，每一位提問(wèn)者都將自己對(duì)豎式算理的理解，與回答者對(duì)算理的深入理解，進(jìn)行“點(diǎn)對(duì)點(diǎn)”的精準(zhǔn)交換———這種交換過(guò)程中的互相確認(rèn)，為問(wèn)答雙方和其他學(xué)生構(gòu)建起向心力極強(qiáng)的思辨場(chǎng)——在這個(gè)思辨場(chǎng)中，大家對(duì)所問(wèn)與所答的傾聽(tīng)、思考、判斷、評(píng)價(jià)活動(dòng)，讓算理的深度理解就此真實(shí)發(fā)生。這一有深度的“生問(wèn)生答”環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)，“將數(shù)學(xué)教學(xué)提升到高階思維層面，讓數(shù)學(xué)思維方式、方法在他們的內(nèi)心深處扎根、生長(zhǎng)，成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自覺(jué)力量”。

三、借“改數(shù)”探，深研試商規(guī)律，開(kāi)闊視野

一般而言，在結(jié)束對(duì)算理的思辨性交流后，教學(xué)會(huì)進(jìn)入到諸如“列豎式計(jì)算”“改錯(cuò)”“問(wèn)題解決”等形式不一的基礎(chǔ)練習(xí)、變式練習(xí)等常規(guī)習(xí)題的“操練”環(huán)節(jié)，目的是為形成一定的運(yùn)算技能。夏老師認(rèn)為，在教學(xué)中，教師不能就題論題，而要適當(dāng)進(jìn)行拓展，只有找到習(xí)題潛在的智力因素，才能發(fā)揮最佳的課堂效益。在本節(jié)課中，如果僅僅是操練，學(xué)生所經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過(guò)程便缺失對(duì)數(shù)感、抽象能力、運(yùn)算能力等的培育?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在“運(yùn)算能力”這一項(xiàng)核心素養(yǎng)表現(xiàn)性指標(biāo)的表述是：能夠通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)推理能力的發(fā)展。如何借助學(xué)生在運(yùn)算練習(xí)中獲得的感性認(rèn)識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)大量豎式運(yùn)算后隱藏其中的試商規(guī)律進(jìn)行理性思考，發(fā)展運(yùn)算推理能力呢？在緊隨其后的練習(xí)環(huán)節(jié)，夏老師另辟蹊徑，將學(xué)生的思維帶入對(duì)豎式試商過(guò)程的分析及其規(guī)律總結(jié)中——

【片斷3】改除數(shù)，口算變筆算。

師：210÷30=7，想一想，把除數(shù)改成多少，這道題就需要筆算了？

學(xué)生答33、29、31、27、28 的均有。

師：你覺(jué)得除數(shù)改成多少，只需要一次試商，就能筆算？

板書(shū)：改題。

（學(xué)生答29、28、27、32、33 都有，也有學(xué)生說(shuō)只有29）

師：請(qǐng)你自己列豎式驗(yàn)證，是不是一次試商就行了？

生：28、29 都可以，只要一次試商就行。

生：27 也可以的，32、33 都不行。

師：210÷31，一次試商夠嗎？

生：需要兩次試商。

生：32、33。

生：超過(guò)30 的都不行。

師：想一想，除數(shù)是31 就要試商兩次，那么超過(guò)30 的，還要舉其他例子嗎？31 都不符合要求，比30 大的，更需要試商兩次。

師：如果是210÷26，要不要調(diào)商？請(qǐng)大家繼續(xù)驗(yàn)證。

板書(shū)：猜想——驗(yàn)證。

生：26 要調(diào)商，第一次試商7，太小了，調(diào)商為8，這樣第二次的商8 是合適的。

師：有時(shí)試商只要一次，有時(shí)試商需要兩次，試商小了，要調(diào)大，試商大了，要調(diào)小。

師：根據(jù)剛才的學(xué)習(xí)，你有沒(méi)有找到什么規(guī)律，在什么情況下，只要一次試商，什么情況下需要兩次試商？

生：我發(fā)現(xiàn)除數(shù)靠近7、8、9之類的，只要一次?？拷?、6 的，就要試商兩次。

生：因?yàn)榭拷?、8、9，可以看成整十?dāng)?shù)，是把除數(shù)看大了。

……

怎樣為常規(guī)習(xí)題賦能，在開(kāi)闊學(xué)生的學(xué)習(xí)視野中讓思維走向深刻？學(xué)生通過(guò)“一次試商”“兩次試商”的列豎式計(jì)算里，探索由除數(shù)變化引起試商次數(shù)變化的規(guī)律。更難能可貴的是，課堂上，許多學(xué)生一次次自發(fā)改除數(shù)、列豎式、試商調(diào)商，皆為“猜想——驗(yàn)證”規(guī)律。把原本看似乏味的列豎式計(jì)算，變成有動(dòng)力、愿努力、想盡力發(fā)現(xiàn)的主動(dòng)探究活動(dòng)——學(xué)生在愛(ài)數(shù)學(xué)的情感上與做數(shù)學(xué)的意識(shí)上可謂更進(jìn)一步。這樣獨(dú)特的教學(xué)設(shè)計(jì)，也為“雙減”背景下的課堂練習(xí)與“數(shù)與運(yùn)算”類作業(yè)改進(jìn)設(shè)計(jì)與課堂指導(dǎo)，提供了可資借鑒的設(shè)計(jì)思路。

“練習(xí)課的質(zhì)量取決于什么？在一定題量的基礎(chǔ)上，關(guān)鍵看思維的含量，看學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性?！保ㄈA應(yīng)龍）縱觀整節(jié)課，夏老師以簡(jiǎn)約的學(xué)習(xí)材料，簡(jiǎn)練的課堂語(yǔ)言，通過(guò)有深度的教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷了運(yùn)算方法的理性選擇、運(yùn)算算理的深度理解、試商規(guī)律的深入探索過(guò)程?！吧疃壤斫狻钡恼n堂學(xué)習(xí)歷程，有效培養(yǎng)了學(xué)生良好的運(yùn)算能力與主動(dòng)探究習(xí)慣，體現(xiàn)了夏老師“比學(xué)生‘演練’更重要的是‘習(xí)得’，即獲得新的方法和思想，在學(xué)習(xí)能力上有新的提升”的練習(xí)課教學(xué)主張。顯然，在培育學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的背景下，以“深度課堂”理念上好上優(yōu)練習(xí)課，夏永立老師這節(jié)練習(xí)教學(xué)的研究課起到了良好的示范作用。