自抗擾控制器在球桿系統(tǒng)中的應(yīng)用與研究

翟光雯，陳海峰

（1．蕪湖市科技館，安徽 蕪湖 241000；2.安徽工程大學(xué)，安徽 蕪湖 241000）

球桿控制系統(tǒng)的非線性研究具有重大的意義，其結(jié)構(gòu)簡單，工作原理直觀。因本身的非線性問題，在電位計對小球位置測量時，由于電壓波動導(dǎo)致的不連續(xù)性等非線性因素，且球桿控制系統(tǒng)易受到多方干擾。因此，對實(shí)際非線性穩(wěn)定性的研究可以移植到球桿系統(tǒng)上來[1-3]。

國內(nèi)外學(xué)者對球桿系統(tǒng)進(jìn)行了大量研究。李真等[4-8]對球桿系統(tǒng)采用了自適應(yīng)控制策略，提高了控制性能如對外部干擾的抑制，但是文章并沒有提到內(nèi)部干擾對系統(tǒng)的影響；曹海青等[9]利用自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)控制和分?jǐn)?shù)階PID 控制相結(jié)合，針對球桿系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型不確定性問題進(jìn)行了研究仿真，設(shè)計過程簡單，并取得了較好的控制效果；作為經(jīng)典的控制策略，PID 控制器在球桿系統(tǒng)中得到了一定的應(yīng)用[10-13]。球桿系統(tǒng)的不穩(wěn)定特性對整個球桿系統(tǒng)有較大的影響，PID 控制不能較好地對其進(jìn)行控制。

球桿系統(tǒng)的研究不僅有以上所陳述的控制，還有模糊控制、有限時間控制、滑膜控制、分?jǐn)?shù)階控制等策略[14-17]，有效提高了球桿系統(tǒng)的控制效果。由于球桿系統(tǒng)的外部、驅(qū)動機(jī)構(gòu)和執(zhí)行機(jī)構(gòu)帶來的干擾未能得到很好地抑制，該系統(tǒng)的控制精度已經(jīng)不能滿足人們的需求。為此，本文設(shè)計了一種自抗擾控制策略，不僅有效跟蹤了小球的位置還抑制了系統(tǒng)的總擾動，很好地控制了小球的運(yùn)動，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制品質(zhì)。

自抗擾控制器是韓京清先生提出的，采用了能提供更好的噪聲衰減性能并避免抖振現(xiàn)象的跟蹤微分器。為了提高快速運(yùn)動條件下的伺服平臺跟蹤性能，提出了一種新型的NLSEF；哈爾濱工程大學(xué)研究員將自抗擾控制技術(shù)應(yīng)用到水下機(jī)器人，仿真得出其具有自適應(yīng)性和魯棒性[18]。周凱等[19]在滑膜控制的基礎(chǔ)上，為解決永磁同步電機(jī)的速度不可控問題設(shè)計使用了自抗擾控制技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了4 段式速度伺服控制。然而在解決此問題的過程中，出現(xiàn)了大量的參數(shù)需要整定。為了解決此問題，劉丙友等[20]運(yùn)用等效替代法對PIDNN 的參數(shù)整定進(jìn)行了公式推導(dǎo)從而整定出自抗擾控制器的參數(shù)，代替了經(jīng)驗(yàn)法的參數(shù)整定；王麗君等[21]在其他學(xué)者的研究基礎(chǔ)上提出了基于粒子群算法的自抗擾控制器運(yùn)用于航天器姿態(tài)控制，通過該方法優(yōu)化了參數(shù)，使參數(shù)選擇不再依賴于經(jīng)驗(yàn)。因此本文將使用自抗擾控制器對球桿系統(tǒng)進(jìn)行研究。

本文首先建立了球桿系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后對自抗擾控制進(jìn)行概述，隨后通過自抗擾控制器對球桿系統(tǒng)的不精確數(shù)學(xué)模型、球桿系統(tǒng)內(nèi)部及外部的干擾等進(jìn)行及時補(bǔ)償，擴(kuò)張為一個新的狀態(tài)變量，最后基于自抗擾控制器對球桿系統(tǒng)進(jìn)行仿真。

1 球桿系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

球桿系統(tǒng)的支撐導(dǎo)軌是由測量小球位置的刻度尺和將位置信號轉(zhuǎn)換為電壓信號的電位計兩部分構(gòu)成。球桿系統(tǒng)的整體結(jié)構(gòu)圖如圖1 所示。系統(tǒng)通過改變直流伺服電機(jī)的位置角最終確定橫桿的角度，使小球在重力的作用下在支撐導(dǎo)軌上運(yùn)動。

圖1 球桿系統(tǒng)的整體結(jié)構(gòu)圖

設(shè)小球的質(zhì)量為m，坐標(biāo)位置為（x，y），根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系并求導(dǎo)，得到速度關(guān)系為：

為此可得小球在軌道上運(yùn)動W1的動能（即小球沿橫桿方向上運(yùn)動的動能）

設(shè)R為小球的半徑，則求導(dǎo)得

則小球沿自身轉(zhuǎn)動的動能W2為

式中：J為小球的轉(zhuǎn)動慣量

小球沿固定端點(diǎn)轉(zhuǎn)動的動能W3為

式中：JL為橫桿的轉(zhuǎn)動慣量

故，系統(tǒng)的動能W為

小球沿r方向運(yùn)動引起的勢能為

球桿自身旋轉(zhuǎn)所引起的勢能為

總勢能V為

根據(jù)Lagrange 函數(shù)對T定義：系統(tǒng)總動能W與系統(tǒng)總勢能V之差，即T=W-V得：

根據(jù)Lagrange 運(yùn)動學(xué)方程式（1）得

由上式得

對球桿系統(tǒng)簡化處理得

當(dāng)齒輪轉(zhuǎn)動時就會導(dǎo)致連桿上下移動，連桿作用到導(dǎo)軌上使得其繞固定端連桿的頂端上下轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)角θ 和轉(zhuǎn)角α 之間的關(guān)系可以由式（16）表示：

從式（16）中我們發(fā)現(xiàn)該方程是一個非線性函數(shù)，因此簡化處理可得

將式（17）帶入到式（15）得

將上式變換得

2 自抗擾控制器的設(shè)計

2.1 跟蹤微分器

跟蹤微分器為球桿控制系統(tǒng)提供一個優(yōu)質(zhì)的信號，對球桿系統(tǒng)輸入安排過渡過程[22]。

球桿控制系統(tǒng)跟蹤微分器為

式中：r為球桿控制系統(tǒng)的輸入信號；x1是球桿系統(tǒng)的跟蹤；x2是球桿系統(tǒng)跟蹤信號的微分；fhan（ψ，x2，r0，h0）為最速控制綜合函數(shù)，

2.2 擴(kuò)張狀態(tài)觀測器

擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對球桿系統(tǒng)的各種不確定性進(jìn)行補(bǔ)償。本文所設(shè)計的改進(jìn)型自抗擾控制器中采用了2個ESO，ESO1 用來觀測估計小球的位置信號和系統(tǒng)外環(huán)的擾動，ESO2 用來驅(qū)動機(jī)構(gòu)的位置角和系統(tǒng)內(nèi)環(huán)的擾動。改進(jìn)型ESO 表達(dá)式：

式中：e1，e2，e3分別為球桿系統(tǒng)的誤差，誤差的積分，誤差的微分；x（t）為球桿控制系統(tǒng)小球的輸入位置；Z11是小球的跟蹤信號；Z12是小球跟蹤信號的微分信號；Z13是球桿控制系統(tǒng)的總擾動；α1，α2，α3為非線性因子；β1，β2，β3是ESO 的增益。

2.3 非線性狀態(tài)誤差反饋控制律

NLSEF 表示跟蹤差分（TD）的輸出與擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器（ESO）產(chǎn)生的狀態(tài)變量估計之間的非線性連接。

式中：α1，α2，α3為函數(shù)的非線性因子；β1，β2為函數(shù)的增

益。它具有良好的適應(yīng)性和魯棒性。

2.4 系統(tǒng)的整體結(jié)構(gòu)

系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)如圖2 所示。

圖2 球桿系統(tǒng)的自抗擾控制策略

改進(jìn)型NLSEF 是通過非線性組合的方式，它的參數(shù)直接對TD 和改進(jìn)ESO 能否達(dá)到最佳組合產(chǎn)生影響。改進(jìn)型ADRC 各部分參數(shù)見表1。

表1 球桿系統(tǒng)的自抗擾控制策略

3 仿真分析

為了驗(yàn)證本文提出的自抗擾控制策略的優(yōu)越性，對其進(jìn)行仿真。輸入1 個階躍函數(shù)時，對比圖3 中3 種控制器的響應(yīng)曲線，其中小球到達(dá)指定位置時PID 最慢，改進(jìn)的ADRC 速度最快，且小球達(dá)到穩(wěn)定時間最快，傳統(tǒng)ADRC 介于2 者之間。改進(jìn)型ADRC 解決了超調(diào)和快速響應(yīng)之間的矛盾。

圖3 階躍響應(yīng)曲線

輸入一個正弦函數(shù)時，觀察圖4 中3 種控制器都有較好的跟蹤效果。從圖中能發(fā)現(xiàn)，PID 控制的超調(diào)量較大，傳統(tǒng)ADRC 和改進(jìn)型ADRC 都無超調(diào)量，但在跟蹤效果上，改進(jìn)型ADRC明顯比傳統(tǒng)ADRC的效果要好。

圖4 正弦響應(yīng)曲線

為了更好地驗(yàn)證改進(jìn)型ADRC 控制器的魯棒性，對不同方差的白噪聲干擾進(jìn)行仿真。從圖5 中發(fā)現(xiàn)PID 控制器的輸出幅值有明顯的波動，傳統(tǒng)ADRC 有較小的波動，改進(jìn)型ADRC 基本無波動。從而驗(yàn)證了改進(jìn)型ADRC 的魯棒性較強(qiáng)。

圖5 白噪聲干擾響應(yīng)曲線

4 結(jié)論

從仿真實(shí)驗(yàn)可知，在球桿系統(tǒng)中，改進(jìn)型ADRC 控制器具有更好的控制效果。相比于兩種傳統(tǒng)的控制策略，改進(jìn)型ADRC 控制器響應(yīng)速度更快，抗干擾能力更強(qiáng)，具有更好的魯棒性，具有一定的工程意義。