永磁同步電機轉(zhuǎn)子偏心電磁力和撓度的分析與計算

賴文海, 黃開勝, 周 游

(1.廣東省東莞電機有限公司,廣東 東莞 523130；2.廣東工業(yè)大學(xué) 自動化學(xué)院,廣東 廣州 510006；3.湖南科技大學(xué) 機電工程學(xué)院,湖南 湘潭 411100)

0 引 言

隨著居民生活用電和工業(yè)用電的不斷攀升，部分地區(qū)倡導(dǎo)工業(yè)生產(chǎn)錯峰用電和采取拉閘限電來調(diào)整國內(nèi)日益上漲的電力負荷。能源急缺的問題日益嚴(yán)重，合理用電和提升電器設(shè)備能效是當(dāng)務(wù)之急。國家在“十三五”節(jié)能減排綜合工作方案中重點強調(diào)了電機系統(tǒng)能效提升的節(jié)能減排工作。2020年5月，國家標(biāo)準(zhǔn)化管理委員會發(fā)布標(biāo)準(zhǔn)GB 18613—2020《電動機能效限定值及能效等級》，此標(biāo)準(zhǔn)于2021年6月強制實施。淘汰了YE2(舊三級能效)電機，YE3和YE4分別降為新三級和二級能效電機，電機產(chǎn)品開始進入高效節(jié)能的時代。

永磁同步電機(PMSM)具有功率密度大、高效節(jié)能、控制精準(zhǔn)、穩(wěn)定性強等優(yōu)點。采用標(biāo)準(zhǔn)三相異步電機鑄鐵外殼的PMSM，更具有安裝方便、通用性強的優(yōu)點，鑄鐵機殼PMSM在現(xiàn)代工業(yè)制造中得到了廣泛應(yīng)用。我國大部分國企轉(zhuǎn)制民營的工業(yè)異步電機生產(chǎn)企業(yè)具有較深厚的技術(shù)沉淀，在鑄鐵機殼PMSM產(chǎn)品上可以實現(xiàn)快速延伸和轉(zhuǎn)型。使用鑄鐵機殼的PMSM產(chǎn)品可以實現(xiàn)與標(biāo)準(zhǔn)三相異步電機相同的安裝尺寸，根據(jù)不同使用工況，還可以降低1～3機座號，但是在相同的機座號下提高電機的功率，轉(zhuǎn)子上產(chǎn)生的不平衡磁拉力將會變大，并且隨著PMSM產(chǎn)品競爭的加劇，電機定轉(zhuǎn)子之間的氣隙通常做得較小，相同剛度的轉(zhuǎn)子在較小氣隙和較大不平衡磁拉力的情況下，轉(zhuǎn)子撓曲程度會變大，造成不平衡磁拉力和撓度再次變大，進而導(dǎo)致電機振動噪音的加大、主軸和軸承壽命降低，嚴(yán)重時有可能造成電機托底等問題，對電機的機械結(jié)構(gòu)造成了新的考驗。

文獻[1]通過理論推導(dǎo)了分數(shù)槽集中繞組電機不平衡磁拉力的解析表達式。文獻[2]通過區(qū)域法和攝動法研究計算了兩極平行充磁實心圓柱式PMSM轉(zhuǎn)子偏心磁場和不平衡磁拉力。文獻[3-8]對轉(zhuǎn)子偏心不平衡磁拉力進行理論推導(dǎo)和有限元法計算。文獻[9]詳細介紹了轉(zhuǎn)子動力學(xué)的理論基礎(chǔ)和相關(guān)計算方法。文獻[10-13]通過解析計算和有限元法計算了轉(zhuǎn)子撓度。但缺少對轉(zhuǎn)子偏心電磁力和轉(zhuǎn)子撓度有限元法計算的綜合介紹與研究。

本文以目前新型節(jié)能的大功率PMSM產(chǎn)品為研究對象，重點研究轉(zhuǎn)子偏心電磁力和撓度的準(zhǔn)確計算方法。詳細闡述轉(zhuǎn)子偏心電磁力和轉(zhuǎn)子撓度的理論解析和有限元計算過程，并將兩種方法的計算結(jié)果進行對比，驗證了所提方法的可行性和可靠性。

1 不平衡磁拉力產(chǎn)生的原因

造成PMSM不平衡磁拉力的主要因素可以分為電磁和機械兩大類：

(1) 電磁因素。電磁設(shè)計造成的磁路不對稱，如分數(shù)槽極配合、不均勻氣隙、磁極偏移等。生產(chǎn)制造中造成的磁場不對稱，比如裝錯磁鋼、磁鋼性能一致性差、繞錯線圈、定子落線錯誤等。使用過程中造成的磁場不對稱，比如供電電源不對稱、高溫過載造成部分磁鋼退磁。

(2) 機械因素。結(jié)構(gòu)設(shè)計造成的轉(zhuǎn)子偏心，如沒有充分考慮軸承游隙、軸承剛性變形、主軸撓度、電機氣隙太小等。機械加工造成的轉(zhuǎn)子偏心，這個因素主要取決于電機定子、轉(zhuǎn)子、端蓋和軸承的機械加工和配合的精度。裝配和拆卸不當(dāng)，各個零部件受力不均勻變形造成的轉(zhuǎn)子偏心。軸承保養(yǎng)或者選用不當(dāng)，軸承磨損造成的轉(zhuǎn)子偏心。各個零部件質(zhì)量不均勻，動平衡精度不達標(biāo)等。

本文主要研究轉(zhuǎn)子偏心造成的不平衡磁拉力，轉(zhuǎn)子偏心結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示，轉(zhuǎn)子圓心和定子圓心偏心距為px，α為機械角位置，δ0為均勻氣隙的長度，γ為偏心氣隙角位置。

圖1 轉(zhuǎn)子偏心結(jié)構(gòu)示意圖

任意t時刻，α位置的氣隙大小可以表示為

δ(α,t)=δ0+px(α-γ)

(1)

任意t時刻，α位置的氣隙磁密可以表示為

(2)

根據(jù)麥克斯韋張量法，任意t時刻，α位置的徑向力密度和切向力密度可以表示為

(3)

(4)

式中:μ0為真空磁導(dǎo)率;Bn(α,t)為徑向磁密分量；Bt(α,t)為切向磁密分量。

由式(2)～式(4)可以看出，偏心轉(zhuǎn)子的氣隙不均勻，氣隙小則磁阻小磁密大，氣隙大則磁阻大磁密小，導(dǎo)致沿氣隙圓周分布的磁密和電磁力密度發(fā)生改變以致不對稱，最終將會在轉(zhuǎn)子表面合成指向氣隙較小一側(cè)的不平衡電磁力。

2 不平衡磁拉力和撓度的解析計算

2.1 不平衡磁拉力的解析計算

PMSM常采用轉(zhuǎn)子外圓偏心技術(shù)，使定轉(zhuǎn)子間的氣隙不均勻，進而可以改善轉(zhuǎn)子磁場[14]，圖2為不均勻氣隙的內(nèi)置式永磁電機(IPM)單元電機結(jié)構(gòu)示意圖。

圖2 不均勻氣隙IPM結(jié)構(gòu)示意圖

本文以355 kW 1 500 r/min IPM結(jié)構(gòu)的鑄鐵機殼PMSM為例，計算轉(zhuǎn)子偏心的不平衡磁拉力和轉(zhuǎn)子撓度，電機的電磁和尺寸參數(shù)如表1所示。

表1 電磁和尺寸參數(shù)

假設(shè)轉(zhuǎn)子在垂直方向上發(fā)生偏心，考慮不同電機類型、磁場分布、磁路飽和、開槽等結(jié)構(gòu)影響，可以推導(dǎo)出初始單邊磁拉力的解析表達式[15]：

(5)

式中:β為經(jīng)驗系數(shù)，感應(yīng)電機β=0.3，凸極同步電機、直流電機β=0.5，汽輪發(fā)電機β=0.2，此處PMSM取β=0.3；D2為轉(zhuǎn)子外圓直徑；lef為有效鐵心長度；Bδ為平均氣隙磁密；δavg為等效氣隙長度；e0為初始偏心，此處取0.1δ。

文中所有公式的單位標(biāo)準(zhǔn)參考標(biāo)準(zhǔn)GB 3101—1993，根據(jù)表1參數(shù)計算得到不平衡磁拉力為1 293.6 N。

由于目前PMSM不斷優(yōu)化出現(xiàn)新的轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，例如轉(zhuǎn)子外圓偏心、轉(zhuǎn)子外圓開輔助槽、增大交直軸磁阻比設(shè)計等結(jié)構(gòu)，使得式(5)中的經(jīng)驗系數(shù)β取值無法具有普適性。文獻[10]忽略大中型高壓高速電機端部效應(yīng)的影響，推導(dǎo)了單邊磁拉力的解析表達式：

(6)

式中：Bδ2為氣隙最小處磁極平均磁密；Bδ1為氣隙最大處磁極平均磁密。

根據(jù)式(6)計算得到不平衡磁拉力為1 085.7 N。這種方法需要獲得較為精確的最大和最小處氣隙磁密來保證計算結(jié)果的準(zhǔn)確性。針對目前PMSM轉(zhuǎn)子設(shè)計越來越精細和縮短開發(fā)周期的要求，可以依靠有限元軟件來計算。

2.2 轉(zhuǎn)子撓度的解析計算

本文采用能量法[15]和當(dāng)量直徑法[16]來計算轉(zhuǎn)子撓度，不平衡磁拉力采用式(5)的計算結(jié)果。將轉(zhuǎn)子前后軸承簡化為鉸支約束，不平衡磁拉力和軸上零部件的重力簡化為集中力作用，轉(zhuǎn)子的簡化模型如圖3所示，ai、bi表示距A、B鉸支的距離，i=1,2,3；G為轉(zhuǎn)軸、轉(zhuǎn)子鐵心重力和兩側(cè)平板的重力之和；FM為不平衡磁拉力。

圖3 轉(zhuǎn)子的簡化模型

2.2.1 基于能量法的撓度計算

根據(jù)材料力學(xué)，彎矩M作用在一端固定長度為l的等截面梁上,所儲存的變形能為[17]

(7)

對圖3變截面梁采取分段計算，a段軸內(nèi)所儲存的變形能為

(8)

式中：E為轉(zhuǎn)軸的彈性模量；Jai為鉸支A側(cè)第i段軸最大軸徑的截面慣性矩。根據(jù)卡斯奇諾定理得到a段軸的假想撓度：

(9)

同理可以得到b段軸的假想撓度fb。根據(jù)幾何關(guān)系可知重力G引起的撓度為

(10)

考慮不平衡磁拉力的撓度為

(11)

根據(jù)式(9)～式(11)以及表1和表2中的參數(shù)，可以計算得到本文案例轉(zhuǎn)子的撓度。

表2 基于能量法的轉(zhuǎn)子撓度計算

2.2.2 基于當(dāng)量直徑法的撓度計算

當(dāng)量直徑法是將不等截面梁等效為等截面梁的一種簡化計算方法，等截面的當(dāng)量直徑為

(12)

將圖3轉(zhuǎn)軸不同直徑的軸端分別分段，li表示為不同軸段的長度；di表示為各軸段直徑。本案例基于當(dāng)量直徑法的轉(zhuǎn)軸最大撓度為

(13)

最大撓度計算結(jié)果為0.090 6 mm。

3 偏心電磁力的有限元分析與計算

目前已有較多電機振動噪聲的相關(guān)研究，并且提到了采用Maxwell軟件，該軟件可以準(zhǔn)確分析計算各種復(fù)雜結(jié)構(gòu)電機的電磁場，特別是轉(zhuǎn)子偏心的電磁力計算方面，但卻缺乏相關(guān)內(nèi)容的詳細介紹，下面將對此進行詳細闡述。

3.1 轉(zhuǎn)子偏心電磁力理論

通過幾何關(guān)系，可以將式(3)和式(4)轉(zhuǎn)化成任意t時刻x和y方向電磁力密度：

(14)

(15)

沿轉(zhuǎn)子表面積分再乘以鐵心長度，即可得到x和y方向以及合成電磁力：

式中：r為轉(zhuǎn)子外圓半徑。

Maxwell軟件可以方便得到模型上任意半徑r，位置角為θ的點的磁場矢量B(θ,r)，再通過幾何關(guān)系可以得到徑向和切向磁場分量：

Bn(θ,r)=Bx(θ,r)cosθ+By(θ,r)sinθ

(19)

Bt(θ,r)=By(θ,r)cosθ-Bx(θ,r)sinθ

(20)

由于Maxwell軟件輸出的磁場曲線為求解路徑上n個點數(shù)值的擬合曲線，故可以將式(16)和式(17)的曲線積分計算轉(zhuǎn)化為n個點電磁力的算數(shù)平均計算：

(21)

(22)

3.2 轉(zhuǎn)子偏心電磁力有限元計算

方法1：根據(jù)式(18)～式(22)在Maxwell軟件中創(chuàng)建電磁力輸出項，在轉(zhuǎn)子模型外圓表面繪制圓形求解路徑[18]，可以通過軟件求解偏心轉(zhuǎn)子的電磁力。為了便于得到不同求解路徑和鐵心長度計算，本文討論力密度的公式，電磁力僅需要再乘以圓形路徑半徑和鐵心長度即可得到。電機負載時，沿轉(zhuǎn)子圓周表面的fx和fy分布如圖4和圖5所示。

圖4 x方向力密度分布

圖5 y方向力密度分布

方法2：通過前面的數(shù)據(jù)可以計算得到Fx=14.1 N，F(xiàn)y=1 208 N，F(xiàn)=1 208.1 N。此外，通過軟件可以在轉(zhuǎn)子模型上設(shè)置Force parameter直接計算得到Fx和Fy,根據(jù)式(18)關(guān)系，進而可以計算得到電機負載時隨時間變化的不平衡磁拉力曲線如圖6所示，其平均值為1 256.4 N。

圖6 不平衡磁拉力的時間變化曲線

解析法和有限元法電磁力計算結(jié)果接近，結(jié)果如表3所示。有限元方法可以充分考慮轉(zhuǎn)子的復(fù)雜模型、齒槽效應(yīng)、磁飽和等影響，不需要設(shè)置經(jīng)驗系數(shù)，計算結(jié)果更可靠。

表3 不平衡磁拉力結(jié)果對比

4 轉(zhuǎn)子撓度的有限元分析與計算

下文主要介紹轉(zhuǎn)子撓度有限元計算過程中轉(zhuǎn)子模型的簡化，負載及約束的施加。

4.1 轉(zhuǎn)子模型簡化

轉(zhuǎn)子撓度靜力學(xué)分析常采用三維有限元計算。轉(zhuǎn)子鐵心由一定數(shù)量的矽鋼片疊壓而成，PMSM的轉(zhuǎn)子鐵心常采用鉚釘、自扣槽、螺桿、螺母等方式緊固，轉(zhuǎn)子模型如圖7所示。

圖7 轉(zhuǎn)子模型

在轉(zhuǎn)子受力撓曲時，矽鋼片之間的擠壓摩擦，以及磁鋼、鉚釘、螺桿的嵌套會減小主軸的撓曲，但影響有限。另外，因為實際轉(zhuǎn)子鐵心的三維模型很復(fù)雜，有限元的計算量過于龐大，計算機容易出現(xiàn)內(nèi)存溢出，所以轉(zhuǎn)子鐵心、磁鋼簡化為對主軸的重力作用。

動平衡板與主軸過盈配合可以增大所在軸段的截面慣性矩，提高抗彎能力，但兩端的動平衡板軸向尺寸較小，因此本文忽略動平衡板模型，將其簡化成動平衡板對主軸的重力作用。

軸承可以簡化成等效的鉸支約束，最終可以將圖7模型簡化為只有轉(zhuǎn)軸與載荷和約束的模型。

4.2 載荷和約束的施加

為了便于施加載荷和約束，需要將轉(zhuǎn)軸分割出軸承和鐵心軸段位，如圖8所示，并且在軟件中把分段模型合成一個整體。

圖8 轉(zhuǎn)子分段示意圖

在圖8鐵心段y負方向上施加不平衡磁拉力1 208.1 N，再疊加上轉(zhuǎn)子鐵心、動平衡板和磁鋼的重力2 972 N，最后對轉(zhuǎn)軸模型y負方向上賦予重力加速度完成載荷施加。

施加約束時需要分析實際模型的空間自由度。本文所述轉(zhuǎn)子采用深溝球軸承，在后軸承外圈采用波形彈簧對轉(zhuǎn)子軸向方向進行預(yù)緊，故可以將前、后軸承作用分別近似等效為固定鉸支(自由度為3個正交軸向轉(zhuǎn)動)和可動鉸支約束(自由度為3個正交軸向轉(zhuǎn)動和1個軸向平動)。

4.3 撓度計算結(jié)果

計算結(jié)果如圖9和圖10所示，圖9中轉(zhuǎn)軸的y方向的變形量用灰度圖體現(xiàn)，變形量越大顏色越深。圖10為沿軸中心線，轉(zhuǎn)子在y方向的撓度分布，轉(zhuǎn)軸撓度最大發(fā)生在距離軸伸前端面1 000 mm處，最大撓度為0.092 6 mm。

圖9 轉(zhuǎn)子撓度灰度圖

圖10 轉(zhuǎn)子撓度分布圖

5 計算結(jié)果對比

有限元撓度計算值0.092 6 mm是使用不平衡磁拉力有限元計算值1 208.1 N代入計算的結(jié)果，將該不平衡磁拉力有限元計算結(jié)果代入能量法以后的撓度值為0.099 4 mm，代入當(dāng)量直徑法以后的撓度值為0.089 4 mm，三種方法的計算結(jié)果接近，驗證了轉(zhuǎn)子撓度有限元計算方法的可靠性。

有限元計算的轉(zhuǎn)子撓度占電機氣隙的6.6%，根據(jù)經(jīng)驗，PMSM轉(zhuǎn)子撓度不超過電機氣隙的8%可以保證安全可靠運行。測試的電機振動值符合國家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 10068—2020中機械振動限值要求。

6 結(jié) 語

本文以新型節(jié)能產(chǎn)品355 kW 1 500 r/min鑄鐵機殼PMSM為例，推導(dǎo)得到PMSM不平衡磁拉力的解析表達式，解析表達式適當(dāng)轉(zhuǎn)化以后，便于將不平衡磁拉力公式輸入到Maxwell軟件并求解。本文詳細介紹了轉(zhuǎn)子不平衡磁拉力和撓度的有限元分析計算方法，通過對比解析計算方法和結(jié)果，驗證了所提方法的可行性和可靠性，有限元方法可以考慮各種復(fù)雜模型、磁場飽和影響，不需要設(shè)置經(jīng)驗系數(shù)，尤其是對轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的PMSM，所提出的有限元方法計算結(jié)果更可靠。