后張梁曲線鋼束段混凝土局部應(yīng)力解析

成 晟

(泰州市公路事業(yè)發(fā)展中心，泰州 225300)

后張預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁橋因其整體性好、經(jīng)濟(jì)合理、設(shè)計和施工技術(shù)成熟等優(yōu)勢，在橋梁工程中得到廣泛應(yīng)用。但在橋梁施工和運(yùn)營階段，相應(yīng)梁體可能會出現(xiàn)非荷載型裂縫，從而影響結(jié)構(gòu)耐久性[1-5]。

裂縫分布和波紋管方向一致，主要有3種類型：①大跨徑梁或剛構(gòu)橋的合龍段底板裂縫[1-2]；②懸澆箱梁節(jié)段腹板裂縫[3-4]；③曲線梁橋底腹板裂縫[5]。分析裂縫成因，后張預(yù)應(yīng)力梁橋預(yù)應(yīng)力鋼束多為曲線布置，不同于直線鋼束，曲線鋼束張拉時會擠壓圓心側(cè)混凝土并拉伸另一側(cè)混凝土，產(chǎn)生局部應(yīng)力集中，若處理不當(dāng)會導(dǎo)致底板和腹板等位置裂縫產(chǎn)生并發(fā)展。

曲線鋼束拉伸時產(chǎn)生的局部集中應(yīng)力是裂縫形成的直接原因，但目前尚無針對混凝土內(nèi)局部應(yīng)力的解析方法。基于拉-壓桿模型的現(xiàn)行設(shè)計方法未考慮預(yù)應(yīng)力孔道的局部應(yīng)力狀態(tài)[2-3]；材料力學(xué)和彈性力學(xué)分析中梁的受力計算基于圣維南原理，無法計算局部集中應(yīng)力[6-7]；有限元方法通過單元劃分和受力模擬，可對局部應(yīng)力進(jìn)行數(shù)值計算，是目前最常用的分析工具[2-5]，但其計算精度受網(wǎng)格劃分以及單元選擇等多種因素影響，不便于工程直接應(yīng)用。

本研究根據(jù)彈性力學(xué)的楔形體應(yīng)力公式，通過應(yīng)力分解、應(yīng)力積分和應(yīng)力合成運(yùn)算，推導(dǎo)出體內(nèi)集中力作用下局部應(yīng)力分布的解析解，在此基礎(chǔ)上對大跨徑梁合龍段底板、懸澆梁節(jié)段腹板以及曲線梁底腹板3種結(jié)構(gòu)在曲線鋼束徑向壓力作用下的局部應(yīng)力響應(yīng)及裂縫成因進(jìn)行分析，得到的應(yīng)力公式可直接應(yīng)用于結(jié)構(gòu)受力計算中。

1 鋼束徑向壓力計算

后張法曲線預(yù)應(yīng)力鋼束張拉時，由于孔道彎曲，鋼束會對圓心方向的混凝土產(chǎn)生擠壓，曲線鋼束徑向壓力示意如圖1所示。

取任意微段dl研究，徑向平衡方程為

2×N×dθ/2=σ×R×dθ×b

(1)

式中，N為鋼束拉力，R為孔道曲率半徑，dθ為鋼束的彎曲角度，σ為混凝土壓應(yīng)力，b為鋼束與混凝土的接觸面寬度，解此得到

F=σ×b=N/R

(2)

式中，F(xiàn)為單位長度鋼束對混凝土的徑向壓力，方向指向孔道的曲率中心。

2 混凝土局部應(yīng)力解析

2.1 應(yīng)力合成分析

鋼束對混凝土的徑向壓力在平面內(nèi)可作為集中力，研究中只關(guān)注鋼束與混凝土外表面之間的局部應(yīng)力，故將混凝土在鋼束徑向壓力下的應(yīng)力分布近似視為半平面在內(nèi)部集中力作用下的應(yīng)力解析，半平面受體內(nèi)集中力作用示意如圖2所示。

彈性力學(xué)分析未給出半平面在體內(nèi)集中力作用下的應(yīng)力分布公式，本研究將通過應(yīng)力分解、應(yīng)力積分和應(yīng)力合成運(yùn)算對該問題進(jìn)行求解，具體思路為：①根據(jù)楔形體在楔頂受集中力的密切爾解，計算全平面空間內(nèi)體系在集中力下的應(yīng)力分布。②保留有荷載的半平面，移除無荷載的半平面，得到半平面體系。由于在全平面內(nèi)兩個半平面之間的界面上有相互作用，因此移除荷載的同時保留邊界應(yīng)力(含法向應(yīng)力和切向應(yīng)力)，以維持受力狀態(tài)不變。③實(shí)際邊界為自由表面，不應(yīng)有任何應(yīng)力作用，因此添加與邊界應(yīng)力相反的反作用力，以抵消原邊界應(yīng)力，模擬自由表面的應(yīng)力狀態(tài)。④利用楔形體為半平面時的密切爾解，通過應(yīng)力積分運(yùn)算，得到有荷載的半平面在界面反作用力下的應(yīng)力響應(yīng)。⑤將體系在界面反力下的應(yīng)力與體系在原來全平面內(nèi)集中力下的應(yīng)力進(jìn)行疊加，得到半平面連續(xù)體在體內(nèi)任意集中力作用下的應(yīng)力狀態(tài)。

2.2 界面應(yīng)力分解

楔頂受集中力的楔形體示意如圖3所示。

界面應(yīng)力分解問題的密切爾解為[6]

(3)

式中，楔形體關(guān)于x軸對稱，α為楔形體的計算角；F為單位長度楔頂集中力數(shù)值；ρ為計算點(diǎn)極徑；β、φ分別為集中力和計算點(diǎn)相對x軸的旋轉(zhuǎn)角度，以順時針為正。F與極軸方向一致時取正值，反向時取負(fù)值。

全平面受體內(nèi)集中力作用如圖4所示，邊界位于y軸上，以荷載作用點(diǎn)在y軸的垂直投影為坐標(biāo)原點(diǎn)。體系在(h，0)處受集中力F。

取x=0，α=2π，根據(jù)密切爾解答式(3)，可得界面上一點(diǎn)M(0，y)處的應(yīng)力為

(4)

應(yīng)力分量在極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)間的變換式為[6]

σx=σρcos2φ+σφsin2φ-2τρφsinφcosφ
σy=σρsin2φ+σφcos2φ+2τρφsinφcosφ
τxy=(σρ-σφ)sinφcosφ+τρφ(cos2φ-sin2φ)

(5)

聯(lián)立式(3)和式(5)得到

σx=σρcos2φ
σy=σρsin2φ
τxy=σρsinφcosφ

(6)

將式(4)代入式(6)，得到界面上的法向應(yīng)力和切向應(yīng)力分別為

(7)

2.3 界面反力效應(yīng)

因邊界為自由界面，實(shí)際法向應(yīng)力和切向應(yīng)力為0，故添加-σx的法向反力和-τxy的切向反力來平衡全平面的邊界應(yīng)力，界面反向應(yīng)力示意如圖5所示。

設(shè)計算點(diǎn)位于N(x0，y0)(0≤x0≤h)，取長度為dy的小段，聯(lián)立式(3)和式(7)，計算得到(0，y)處法向反力-σx和切向反力-τxy對點(diǎn)N的應(yīng)力效應(yīng)為

(8)

聯(lián)立式(6)和式(8)，轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的直角坐標(biāo)應(yīng)力分量為

(9)

其中

(10)

2.4 應(yīng)力合成

全平面內(nèi)集中力F對N(x0，y0)的應(yīng)力效應(yīng)可將α=2π代入式(3)計算得到，如式(11)所示。

(11)

將式(11)代入式(6)，轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系，如式(12)所示。

(12)

疊加σ0和σ1可得到N的最終應(yīng)力狀態(tài)：式(10)+式(12)得到半平面內(nèi)任意一點(diǎn)在集中力作用下的應(yīng)力。

2.5 表面應(yīng)力分布與邊界條件驗(yàn)證

式(10)+式(12)后令x=0，得到集中力作用下半平面邊界上的應(yīng)力分布為

(13)

式(13)滿足應(yīng)力邊界條件。

3 混凝土局部應(yīng)力分析

3.1 豎向集中力

大跨徑梁橋和剛構(gòu)橋的底板縱斷面線形一般為拋物線，跨中處曲率最大，底板縱向下彎鋼束如圖6所示，預(yù)應(yīng)力筋平行于底板布置，進(jìn)行跨中強(qiáng)度驗(yàn)算時除須考慮底板合龍束徑向壓力的崩出效應(yīng)外[1-2]，還應(yīng)考慮徑向壓力產(chǎn)生的混凝土橫向拉應(yīng)力，底板豎向集中力如圖7所示。

定義混凝土外表面的垂直方向?yàn)樨Q向，平行方向?yàn)樗?。令F=1 N、h=0.06 m、β=0，考察豎向集中力作用下的水平應(yīng)力分布，x=0時σy沿y軸分布如圖8所示、y=0時σy沿x軸分布如圖9所示。

豎向集中力作用下，局部水平應(yīng)力的最大值出現(xiàn)在集中力在表面的垂直投影點(diǎn)處。

當(dāng)集中力沿x軸反方向時F<0，σy為拉應(yīng)力。因混凝土材料不能承受拉應(yīng)力，且無法在混凝土表面配置鋼筋(鋼筋保護(hù)層)，故此類裂縫難以通過鋼筋配置進(jìn)行防治，應(yīng)在設(shè)計階段通過結(jié)構(gòu)優(yōu)化或預(yù)應(yīng)力調(diào)整，規(guī)避指向混凝土表面的內(nèi)部荷載。

令x=0、y=0，得到在混凝土表面的水平應(yīng)力最大值為

(14)

3.2 水平集中力

懸澆箱梁節(jié)段縱向下彎鋼束張拉后，腹板縱向下彎鋼束如圖10所示，曲線橋箱梁底腹板縱向平彎鋼束張拉后，底板縱向平彎鋼束如圖11所示，徑向壓力的產(chǎn)生會使波紋管一側(cè)混凝土受壓、另一側(cè)受拉，底腹板橫向集中力示意如圖12所示。

令F=1 N、h=0.06 m、β=π/2，考察水平集中力作用下的水平應(yīng)力分布，x=h/2時σy沿y軸分布如圖13所示、y=h/2時σy沿x軸分布如圖14所示。

水平集中力作用下，局部水平應(yīng)力沿y軸的衰減較慢，因此進(jìn)行混凝土補(bǔ)強(qiáng)設(shè)計時應(yīng)適當(dāng)增大防崩鋼筋的設(shè)置范圍，防止波紋管區(qū)域以外的混凝土開裂。

荷載作用點(diǎn)處的水平應(yīng)力為無窮大，令x=h/2、y=h/2，得到點(diǎn)(h/2，h/2)處的典型水平應(yīng)力值為

(15)

因解析只關(guān)注鋼束與外表面間的局部應(yīng)力，故計算中將梁體假設(shè)為半平面體系，而實(shí)際梁體為有限尺寸空間，得到的應(yīng)力分布仍與有限元結(jié)果吻合[2-4]。

4 結(jié)論

針對預(yù)應(yīng)力混凝土中曲線鋼束張拉時裂縫成因難以解析的問題，根據(jù)彈性力學(xué)中楔形體在楔頂受集中力的密切爾解，通過應(yīng)力分解、應(yīng)力積分和應(yīng)力合成運(yùn)算，推導(dǎo)出半平面在體內(nèi)集中力作用下的應(yīng)力響應(yīng)。在此基礎(chǔ)上，對后張梁在豎向和橫向曲線預(yù)應(yīng)力鋼束張拉時產(chǎn)生的附加應(yīng)力進(jìn)行計算，給出最大應(yīng)力和典型應(yīng)力的計算公式，并對大跨徑梁合龍段底板、懸澆梁節(jié)段腹板以及曲線梁底腹板的3種典型裂縫的成因進(jìn)行分析，可為橋梁設(shè)計提供參考。研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)曲線鋼束產(chǎn)生指向混凝土表面的壓應(yīng)力時，極易導(dǎo)致裂縫發(fā)展，應(yīng)在設(shè)計和施工時避免；當(dāng)曲線鋼束平行于混凝土表面時，應(yīng)增大防崩鋼筋設(shè)置范圍，防止拉應(yīng)力延伸后引起混凝土開裂。