基于單縫衍射原理的梁彎曲法楊氏模量的測(cè)量*

滕繼慧 崔金玉 孫炳全

(營(yíng)口理工學(xué)院基礎(chǔ)教研部 遼寧 營(yíng)口 115014)

張大偉

(營(yíng)口理工學(xué)院電氣工程學(xué)院 遼寧 營(yíng)口 115014)

楊氏彈性模量(簡(jiǎn)稱楊氏模量)是描述固體抗形變能力的重要物理量， 只與材料的性質(zhì)有關(guān)，反映了材料彈性形變與內(nèi)應(yīng)力的關(guān)系，是工程技術(shù)中機(jī)械構(gòu)件材料選擇的重要參數(shù)之一[1]．楊氏模量的準(zhǔn)確測(cè)定對(duì)研究金屬材料、光纖材料、半導(dǎo)體、納米材料、聚合物、陶瓷、橡膠等多種材料的力學(xué)性質(zhì)以及機(jī)械零部件的設(shè)計(jì)等具有重要意義[2]．楊氏彈性模量的測(cè)量實(shí)驗(yàn)，國(guó)內(nèi)大部分高等院校將其作為大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程中的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目之一．因此，楊氏模量的測(cè)量實(shí)驗(yàn)[3]在當(dāng)前國(guó)內(nèi)各大高校的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程中的重要性是不言而喻的．它在培養(yǎng)學(xué)生掌握基本理論、鍛煉操作技能以及提高數(shù)據(jù)處理能力等方面具有非常重要的作用．楊氏模量的測(cè)量方法有多種，傳統(tǒng)方法有拉伸法[4]、梁彎曲法[5]、百分表法[6]、干涉條紋法[7]和動(dòng)態(tài)法[8]等．隨著科學(xué)的進(jìn)步，有一些新的實(shí)驗(yàn)技術(shù)引入到實(shí)驗(yàn)中，如光纖位移傳感器法[9]、摩爾條紋法[10]、霍爾位置傳感器[11]、激光全息法[12]和電橋法[13]等．同時(shí)，生活中常見(jiàn)物體的楊氏模量也有很多被研究，例如利用楊氏模量測(cè)量?jī)x研究頭發(fā)絲[14]、醫(yī)用縫合線[15]等．通過(guò)這些研究極大的豐富了楊氏模量測(cè)定實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目的內(nèi)容，促進(jìn)了教師在實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程中積極探索的精神，同時(shí)也提高了學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的積極性．

目前，采用霍爾位移傳感器測(cè)量撓度的楊氏彈性模量實(shí)驗(yàn)裝置已經(jīng)得到廣泛的使用．由于該儀器采用的是杠桿機(jī)構(gòu)，是一種接觸式的測(cè)量方法，測(cè)量的精度和操作性均不夠理想． 為了提高測(cè)量的精度和操作的穩(wěn)定性，本文中采用波長(zhǎng)為650 nm半導(dǎo)體激光器作為光源，利用單縫衍射縫寬與衍射條紋間距的線性關(guān)系，測(cè)量出黃銅板的楊氏模量，計(jì)算出相對(duì)誤差，根據(jù)相對(duì)誤差結(jié)果的范圍驗(yàn)證了本文方法的有效性．該實(shí)驗(yàn)體現(xiàn)了對(duì)所學(xué)知識(shí)變通轉(zhuǎn)化的思想，提高了學(xué)生自己動(dòng)手設(shè)計(jì)制作實(shí)驗(yàn)設(shè)備，鍛煉和培養(yǎng)了學(xué)生獨(dú)立思考、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．

1 實(shí)驗(yàn)原理

本實(shí)驗(yàn)采用彎曲法測(cè)量楊氏模量實(shí)驗(yàn)的單縫衍射裝置如圖1所示，以激光(波長(zhǎng)為λ)照射兩刀片間的狹縫，狹縫在空載時(shí)的縫寬為Z，在距離狹縫為L(zhǎng)的接收屏上將產(chǎn)生衍射條紋．

圖1 單縫衍射示意圖

圖1中x為一級(jí)衍射暗條紋到中心的距離．實(shí)驗(yàn)裝置圖如圖2所示，在兩個(gè)支架中間有一個(gè)底座上，底座上固定刀片1，且在底座刀片1高度可調(diào)節(jié)．設(shè)支架在梁上的兩支點(diǎn)間距為d．在質(zhì)量均勻黃銅板(厚為a，寬為b)的中央處固定刀片2，使兩刀片間距為Z．將固定好刀片的玻璃板水平對(duì)稱地放置在支架上．兩刀片間的距離即為單縫衍射時(shí)的縫寬，基于單縫衍射原理的梁彎曲法測(cè)量楊氏模量的設(shè)備基本完成．

圖2 梁彎曲法測(cè)楊氏模量實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

將質(zhì)量為M的負(fù)載放在黃銅板的中心，忽略黃銅板本身負(fù)載的重力作用使黃銅板發(fā)生微小彎曲，即自由端上升，而中心點(diǎn)下降，使得兩刀片間距變小，根據(jù)單縫衍射公式

Zsinφ=kλ

對(duì)于較小衍射角有

我們測(cè)量一級(jí)暗條紋間距(k=±1)則有

式中λ為激光的波長(zhǎng)，x為衍射時(shí)形成的一級(jí)暗條紋到中心的距離，L為單縫到接收屏的距離，Z為單縫的寬度，當(dāng)在黃銅板上施加不同負(fù)載(砝碼)后，該公式為

此時(shí)xn為施加第n個(gè)砝碼時(shí)形成的一級(jí)暗條紋到中心的距離，Zn為施加第n個(gè)砝碼時(shí)單縫的寬度，利用彎曲法測(cè)楊氏模量公式

可求得黃銅板的楊氏模量．其中d為兩刀口之間的距離，M為所加砝碼的質(zhì)量，a為黃銅板的厚度，b為黃銅板的寬度，ΔZ(撓度)為黃銅板中心由于外力作用而下降的距離，g為重力加速度．

2 實(shí)驗(yàn)方法和數(shù)據(jù)處理

2.1 實(shí)驗(yàn)方法

實(shí)驗(yàn)裝置包括激光發(fā)生裝置、待測(cè)楊氏模量的黃銅平板和刀片組成的單縫衍射圖像接收裝置．通過(guò)調(diào)節(jié)木塊高低可以使兩個(gè)刀片間距可變，從而形成縫寬可調(diào)的單縫，在固定2個(gè)刀片時(shí)保證兩刀片在同一平面上，形成的單縫上下邊緣要平行，從而使得單縫衍射出的圖案有效．對(duì)于單縫的長(zhǎng)度，則要求刀片的長(zhǎng)度要遠(yuǎn)小于負(fù)載截面的長(zhǎng)度，保證負(fù)載的重力能夠集中作用在刀片上，消除因刀片長(zhǎng)度引起的負(fù)載重力被分散所造成的誤差．衍射圖像接收裝置包括坐標(biāo)紙和游標(biāo)卡尺測(cè)量衍射條紋間距．測(cè)量裝置實(shí)物照片如圖3所示．

圖3 梁彎曲法測(cè)楊氏模量的實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖

實(shí)驗(yàn)步驟：

(1)按圖2組裝和搭建實(shí)驗(yàn)設(shè)備，打開(kāi)半導(dǎo)體激光器并預(yù)熱30 s左右．

(2)首先進(jìn)行粗調(diào)．目測(cè)上下兩刀片是否水平，是否彼此平行且在同一豎直平面內(nèi)，以單縫為參照，調(diào)節(jié)半導(dǎo)體激光器的高度，使激光束、單縫在同一水平直線上，將坐標(biāo)紙貼在接收屏上并放置在單縫的后方，調(diào)節(jié)接收屏與單縫的間距，直到看到明顯的衍射條紋為止．

(3)其次進(jìn)行微調(diào)．固定好待測(cè)黃銅板，調(diào)節(jié)底座刀片的高度，形成合適的單縫寬度，當(dāng)激光照射兩刀片形成的單縫時(shí)，在接收屏上形成明暗相間的衍射條紋．

(4)開(kāi)始測(cè)量．調(diào)節(jié)單縫的寬度，在接收屏上尋找主極大和次極大，用游標(biāo)卡尺測(cè)量主極大兩側(cè)一級(jí)暗條紋的間距，即中央主極大的線寬度．

(5)在待測(cè)黃銅板上依次加負(fù)載0、10、20、30、40、50 g砝碼后，測(cè)量±1級(jí)暗紋間距，并將數(shù)據(jù)記錄到表1中．

(6)用千分尺測(cè)量黃銅板的厚度a，游標(biāo)卡尺測(cè)量黃銅板的寬度b，用米尺測(cè)量?jī)芍c(diǎn)間距d及接收屏到單縫的距離L，并將數(shù)據(jù)記錄到表2中．

空載和負(fù)載為30 g和50 g時(shí)的衍射圖像分別如圖4所示，實(shí)驗(yàn)測(cè)得數(shù)據(jù)如表1和表2所示．由圖4(a)的衍射圖樣我們可以看出，空載時(shí)中央主極大條紋寬而亮，兩側(cè)條紋具有對(duì)稱性，亮紋較窄、較暗．當(dāng)增加負(fù)載時(shí)，單縫變窄，中央條紋變寬，各級(jí)條紋間距變大，如圖4(b)、(c)所示．單縫越窄，條紋間距越大，測(cè)量越精確．

圖4 單縫衍射圖樣

表1 一級(jí)衍射暗條紋位置及單縫寬度的測(cè)量

我們對(duì)黃銅的厚度、寬度、支點(diǎn)間距離以及屏距測(cè)量3次，測(cè)得的數(shù)據(jù)如表2所示．

表2 黃銅板的幾何尺寸及屏距的測(cè)量

2.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

用逐差法對(duì)表1的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，計(jì)算出黃銅板在M=30 g的作用下產(chǎn)生的位移量ΔZ

得到黃銅板的撓度為

ΔZ=0.529×10-3m

根據(jù)楊氏模量公式求出黃銅板的楊氏模量為

已知黃銅板樣品的楊氏模量的標(biāo)準(zhǔn)值為

E0=10.55×1010N/m2

實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差為

與霍爾位置傳感器的彎曲法測(cè)量金屬楊氏模量的實(shí)驗(yàn)相比，該實(shí)驗(yàn)優(yōu)點(diǎn)在于不存在加減碼時(shí)引起的微小擺動(dòng)，并且讀數(shù)簡(jiǎn)單，待測(cè)黃銅板和單縫相連，更具有穩(wěn)定性、可重復(fù)性．實(shí)驗(yàn)操作中由于負(fù)載對(duì)橫梁的受力面積較大，不能保證中心點(diǎn)受力，從而使負(fù)載對(duì)單縫的寬度有影響，造成加載不同負(fù)載時(shí)黃銅板的撓度測(cè)量有誤差．

3 總結(jié)

本文通過(guò)梁彎曲法，利用自制的簡(jiǎn)易裝置來(lái)測(cè)量微小形變量，既可以測(cè)量金屬材質(zhì)黃銅板的楊氏模量，也可以測(cè)量合金材料以及其他固體材料的楊氏模量，例如合金金屬板和玻璃板等．該實(shí)驗(yàn)不但拓展了測(cè)量楊氏模量的新方法，同時(shí)也加深了學(xué)生對(duì)于楊氏模量原理的進(jìn)一步理解．通過(guò)自制相關(guān)的設(shè)備裝置，鍛煉了學(xué)生動(dòng)手能力、處理分析能力、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)了學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行自主創(chuàng)新的思維．實(shí)驗(yàn)中將黃銅板的微小形變量轉(zhuǎn)化為狹縫改變量，利用單縫衍射裝置將微小形變量進(jìn)行測(cè)量，實(shí)驗(yàn)裝置較為簡(jiǎn)便，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象直觀明顯，原理通俗易懂，操作過(guò)程簡(jiǎn)單．適合一般的理工科大學(xué)生用來(lái)做學(xué)生實(shí)驗(yàn)，具有一定的實(shí)用價(jià)值．