探究一道物理競(jìng)賽題的多種解法

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽(yáng) 122500)

1 試題呈現(xiàn)

(1)試問(wèn):此子彈的運(yùn)動(dòng)是總在云里？總在云外？還是有時(shí)在云里，有時(shí)在云外？

(2)求子彈運(yùn)動(dòng)軌道的轉(zhuǎn)折點(diǎn)到氣體云中心的距離.

(3)討論子彈運(yùn)動(dòng)軌道的形狀，并求其運(yùn)動(dòng)的周期.

這是一道難度很大的力學(xué)競(jìng)賽題，突出考查一些重要知識(shí)點(diǎn)，目標(biāo)明確，多點(diǎn)發(fā)散，環(huán)環(huán)相扣，具有很強(qiáng)的綜合性與創(chuàng)新性.對(duì)于這道題的完整解答詳見(jiàn)文獻(xiàn)[1]，其主要特點(diǎn)是利用萬(wàn)有引力勢(shì)能曲線和徑向有效勢(shì)能曲線以及掃動(dòng)面積速率公式進(jìn)行推斷或求解.雖然圖像法比較直觀，但在根據(jù)勢(shì)能函數(shù)描繪勢(shì)能曲線時(shí)難度較大，而且比較繁瑣.那么在解題時(shí)可否避免畫勢(shì)能曲線呢？是否有更簡(jiǎn)單的解法呢？通過(guò)對(duì)試題的深度探究，發(fā)現(xiàn)多種巧妙的解法.

2 試題解答

原題有3個(gè)設(shè)問(wèn)，其中第(3)問(wèn)包括兩方面，可分為兩個(gè)小問(wèn)題，下面對(duì)各問(wèn)分別進(jìn)行一題多解.

2.1 利用引力勢(shì)能的取值范圍推斷子彈運(yùn)動(dòng)區(qū)域

分析：無(wú)論子彈在氣體云里運(yùn)動(dòng)還是在云外運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的機(jī)械能都是守恒的，即E=Ek+U(r)保持不變，由于子彈的動(dòng)能大于零，則引力勢(shì)能小于機(jī)械能總量，即U(r)

已知子彈的總能量，只要推導(dǎo)出子彈在不同區(qū)域受到的引力及其引力勢(shì)能，再根據(jù)引力勢(shì)能的取值范圍分別列出能量不等式，然后求出子彈到氣體云中心的距離與半徑的關(guān)系，即可判斷子彈的運(yùn)動(dòng)區(qū)域.

解法1：利用微積分求引力勢(shì)能

取無(wú)窮遠(yuǎn)處為引力勢(shì)能的零點(diǎn)，根據(jù)“物體在某點(diǎn)具有的勢(shì)能等于該物體從所在位置移到勢(shì)能零點(diǎn)的過(guò)程中保守力做的功”可知，在r≥R的區(qū)域，引力勢(shì)能為

在r

已知子彈的總能量

由于子彈的引力勢(shì)能小于機(jī)械能總量，即U(r)

(1)

(2)

由此可知，子彈到氣體云中心的距離總小于氣體云的半徑，所以子彈總在云里運(yùn)動(dòng).

解法2：利用特殊方法求引力勢(shì)能

在r≥R的區(qū)域，子彈受到氣體云的萬(wàn)有引力大小為

選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處的引力勢(shì)能為零，根據(jù)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力公式與引力勢(shì)能公式之間的關(guān)系可知引力勢(shì)能為

在r

跟距離r成正比，則引力在區(qū)間r～R上的平均值為

可知子彈從氣體云內(nèi)部所在位置運(yùn)動(dòng)到氣體云表面的過(guò)程中引力做的功為

子彈從氣體云表面運(yùn)動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)處即勢(shì)能零點(diǎn)的過(guò)程中引力做的功為

所以引力勢(shì)能為

2.2 由方程或不等式求子彈運(yùn)動(dòng)軌道轉(zhuǎn)折點(diǎn)位置

分析：子彈在有心力的作用下做曲線運(yùn)動(dòng)，在軌道的轉(zhuǎn)折點(diǎn)處，瞬時(shí)速度垂直于矢徑，則角動(dòng)量大小為L(zhǎng)=mvr，總能量為

在轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中的總能量為

解法1:利用角動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律

設(shè)子彈軌道的轉(zhuǎn)折點(diǎn)到氣體云中心的距離為r，瞬時(shí)速度為v，由角動(dòng)量守恒定律可知子彈相對(duì)于氣體云中心的角動(dòng)量大小為

由于子彈在云里運(yùn)動(dòng)，可知系統(tǒng)的機(jī)械能總量為

化簡(jiǎn)為

聯(lián)立方程可得

32r4-16R2r2+R4=0

解此方程得

可知子彈運(yùn)動(dòng)軌道的轉(zhuǎn)折點(diǎn)到氣體云中心的最小距離和最大距離分別為

這表明子彈運(yùn)動(dòng)軌道的轉(zhuǎn)折點(diǎn)至少為兩個(gè).

解法2:利用徑向有效勢(shì)能的極值條件

子彈在有心力的作用下做曲線運(yùn)動(dòng)，角動(dòng)量保持不變，由于子彈總在云里，則徑向有效勢(shì)能為

在軌道的轉(zhuǎn)折點(diǎn)處，徑向速度為零，則徑向動(dòng)能為零，因此有效勢(shì)能等于總能量，即Ueff=E.

聯(lián)立方程可得

32r4-16R2r2+R4=0

解法3:利用徑向有效勢(shì)能的取值范圍

根據(jù)有效勢(shì)能的取值范圍Ueff≤E可知，

化簡(jiǎn)得

32r4-16R2r2+R4≤0

若以x=r2為自變量，則y=32x2-16R2x+R4的圖像是開(kāi)口向上的拋物線，如圖1所示，可知拋物線與橫軸相交于兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為

為了滿足y≤0，即函數(shù)y=32x2-16R2x+R4取值不大于零，對(duì)應(yīng)自變量的區(qū)間為x1≤x≤x2，其等價(jià)不等式為

可得

由此可知子彈到氣體云中心的最小距離和最大距離分別為

子彈在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中到氣體云中心的最小距離和最大距離就是徑向運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)到氣體云中心的距離.

2.3 利用兩種方法討論力心在橢圓中的位置

分析：氣體云為質(zhì)量均勻分布的球體，由對(duì)稱性可知，無(wú)論子彈在云里還是云外，受到萬(wàn)有引力的力心都在氣體云的中心，即力心的位置固定不動(dòng).由于子彈在有心力的作用下做曲線運(yùn)動(dòng)，總在云里運(yùn)動(dòng)；而且運(yùn)動(dòng)軌道的轉(zhuǎn)折點(diǎn)不少于兩個(gè)，因此運(yùn)動(dòng)軌道不可能是圓周、拋物線或雙曲線，只能是橢圓.

解法1：利用對(duì)比法分析力心在橢圓中的位置

解法2：利用假設(shè)法分析力心在橢圓中的位置

總之，線性正比力的力心位于橢圓軌道的中心，那么長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是軌道的轉(zhuǎn)折點(diǎn)即徑向速度為零的點(diǎn)，則轉(zhuǎn)折點(diǎn)共有4個(gè).

2.4 利用兩種方法推導(dǎo)子彈做橢圓運(yùn)動(dòng)的周期

分析：對(duì)于有心力作用下的曲線運(yùn)動(dòng)，由于角動(dòng)量守恒，則矢徑掃動(dòng)的面積速率恒定，只要求出面積速率以及橢圓的面積，即可求出環(huán)繞周期；當(dāng)力心位于橢圓中心時(shí)，在子彈環(huán)繞一周的過(guò)程中，徑向運(yùn)動(dòng)通過(guò)4個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，則徑向簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷兩個(gè)周期，可知環(huán)繞周期等于徑向運(yùn)動(dòng)周期的2倍.對(duì)于線性正比力作用下的橢圓運(yùn)動(dòng)，徑向運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，只要在平衡點(diǎn)對(duì)徑向有效勢(shì)能取二階導(dǎo)數(shù)求出等效勁度系數(shù)以及徑向運(yùn)動(dòng)的周期，即可得到環(huán)繞運(yùn)動(dòng)的周期.

解法1：利用面積速率求環(huán)繞運(yùn)動(dòng)的周期

由于力心位于橢圓的中心，則長(zhǎng)軸端點(diǎn)和短軸端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的矢徑都與瞬時(shí)速度方向垂直，且矢徑的長(zhǎng)度分別為半長(zhǎng)軸a和半短軸b，對(duì)于質(zhì)點(diǎn)從長(zhǎng)軸端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到短軸端點(diǎn)的過(guò)程，由角動(dòng)量守恒定律有

mvAa=mvBb

有心力

類似于彈簧的彈力，設(shè)橢圓中心即r=0處為等效彈性勢(shì)能的零點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律有

兩個(gè)方程聯(lián)立可得

可知子彈經(jīng)過(guò)橢圓頂點(diǎn)處的面積速率為

由于角動(dòng)量守恒，因此面積速率處處相等.

橢圓的面積為S=πab，可知子彈沿橢圓運(yùn)動(dòng)的周期為

由于

所以

解法2：利用有效勢(shì)能求徑向運(yùn)動(dòng)的周期

由于子彈在線性正比力的作用下做橢圓運(yùn)動(dòng)，則與彈簧振子類比可知，子彈沿徑向運(yùn)動(dòng)是相對(duì)于平衡位置的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).徑向有效勢(shì)能為

將有效勢(shì)能函數(shù)兩邊取一階導(dǎo)數(shù)，可得

那么

可知徑向簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為

所以子彈環(huán)繞周期為

該題原解是利用面積速率公式

得到

利用轉(zhuǎn)折點(diǎn)到氣體云中心的距離求出橢圓的面積

由此計(jì)算子彈環(huán)繞運(yùn)動(dòng)的周期為

值得注意的是，環(huán)繞運(yùn)動(dòng)周期與徑向運(yùn)動(dòng)周期不同，對(duì)應(yīng)的等效勁度系數(shù)也不同，即k≠k′.

特別有趣的是，由線性正比力決定的橢圓運(yùn)動(dòng)的周期公式跟簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期公式相同，都為

3 結(jié)束語(yǔ)