運用等效觀深化繩-船模型

何述平 盧嘉鵬 張雯婷

(西北師范大學(xué)教育學(xué)院 甘肅 蘭州 730070)

1 引言

圖1 繩-船模型

2 運動分解形式的推證

船的運動為合運動，繩、船連動，連接船的繩端與船的運動物理量(位移、速度)相同，繩端A(或船)為研究對象，運用速度合成法[4]可推證繩端A(或船)運動的3種不同分解形式．

2.1 運動分解形式1

繩端A(或船)運動為沿繩向上分運動v1和垂直繩向下分運動v2的合運動，如圖2的運動分解形式1.依據(jù)圖2和題意(繩縮短速度v0)，有

v1=v0

(1)

v2=v1tanθ

(2)

(3)

由式(1)～(3)，得

v2=v0tanθ

(4)

(5)

式(1)、(4)、(5)分別是繩端A(或船)的分速度v1(方向沿繩向上)、分速度v2(方向垂直繩向下)、合速度v(方向水平向左)大小的表達式[1～4]．

圖2 運動分解形式1圖示

v1x=v0cosθ

(6)

v1y=-v0sinθ

(7)

v2x=v0sinθtanθ

(8)

v2y=v0sinθ

(9)

再沿水平方向和豎直方向合成，可得

(10)

vy=v1y+v2y=0

(11)

式(10)、(11)表明：合運動vx沿水平向左方向，豎直方向的兩分運動v1y和v2y彼此抵消．學(xué)生可深入理解繩端A(或船)的分運動與合運動的關(guān)系：分運動v1和v2與合運動v相互等效．

2.2 運動分解形式2

繩端A(或船)運動為沿繩向上分運動v3和豎直向下分運動v4的合運動，如圖3的運動分解形式2.依據(jù)圖3和題意(繩縮短速度v0)，有

v3-v4sinθ=v0

(12)

v4=v3sinθ

(13)

v=v3cosθ

(14)

由式(12)～(14)，得

(15)

(16)

及v的表達式同式(5)．式(15)、(16)、(5)分別是繩端A(或船)的分速度v3(方向沿繩向上)、分速度v4(方向豎直向下)、合速度v(方向水平向左)大小的表達式[1，3]．

圖3 運動分解形式2圖示

(17)

(18)

再沿水平方向和豎直方向合成，可得：合運動v3x沿水平向左方向，豎直方向的兩分運動v3y和v4彼此抵消．不僅學(xué)生可深入理解繩端A(或船)的分運動與合運動的關(guān)系：分運動v3和v4與合運動v相互等效；而且學(xué)生可能的疑惑“船具有豎直向下的分速度v4，船為什么沒有向下運動而潛入水中？”自然而然解除．

2.3 運動分解形式3

繩端A(或船)運動為豎直向上分運動v5和垂直繩向下分運動v6的合運動，如圖4的運動分解形式3.依據(jù)圖4和題意(繩縮短速度v0)，有

v5sinθ=v0

(19)

v5=v6cosθ

(20)

v=v6sinθ

(21)

由式(19)～(21)，得

(22)

(23)

及v的表達式同式(5)．式(22)、(23)、(5)分別是繩端A(或船)的分速度v5(方向豎直向上)、分速度v6(方向垂直繩向下)、合速度v(方向水平向左)大小的表達式．

圖4 運動分解形式3圖示

(24)

(25)

再沿水平方向和豎直方向合成，可得：合運動v6x沿水平向左方向，豎直方向的兩分運動v5和v6y彼此抵消．不僅學(xué)生可深入理解繩端A(或船)的分運動與合運動的關(guān)系：分運動v5和v6與合運動v相互等效；而且學(xué)生可能的疑惑“船具有豎直向上的分速度v5，船為什么沒有向上運動而脫離水面？”自然而然解除．

上述分解形式的推證過程表明這3種運動分解形式不同(分速度大小、方向不同)，簡捷程度為：形式1最簡，形式2次之，形式3最繁．

3 分運動形式的等效

繩端A(或船)運動可分解為上述3種形式分運動，并已驗證分運動與合運動相互等效；那么，不同形式分運動之間是否彼此等效？

3.1 分運動形式1與2等效

將圖3的分速度v4沿繩向上方向和垂直繩向下方向即按圖2的v1和v2方向分解，則有

v1=v3-v4sinθ

(26)

v2=v4cosθ

(27)

再由式(15)、(16)可得式(1)、(4)，表明：圖3分運動形式2與圖2分運動形式1等效．

將圖2的分速度v2沿水平向左方向和豎直向下方向分解，有式(8)、(9)；豎直方向添加增量

Δvy=v0sinθtan2θ

(28)

由式(9)、(28)，并參考圖3，得

(29)

v2x與豎直向上Δvy合成，由式(8)、(28)得

Δv3=v0tan2θ

(30)

方向與水平向左方向的夾角為θ，即沿繩向上方向；再由圖2和式(1)、(30)，得

(31)

式(29)、(31)表明：圖2分運動形式1與圖3分運動形式2等效．

3.2 分運動形式1與3等效

將圖4的分速度v5沿繩向上方向和垂直繩向下方向即按圖2的v1和v2方向分解，則有

v1=v5sinθ

(32)

v2=v6-v5cosθ

(33)

再由式(22)、(23)可得式(1)、(4)，表明：圖4分運動形式3與圖2分運動形式1等效．

將圖2的v1沿水平向左方向和豎直向上方向分解，有式(6)、(7)(去掉右側(cè)的“-”號)；豎直方向添加增量

Δvy=v0cosθcotθ

(34)

由式(7)、(34)，并參考圖4，得

(35)

v1x與豎直向下Δvy合成，由式(6)、(34)得

Δv6=v0cotθ

(36)

方向與豎直向下方向的夾角為θ，即沿垂直繩向下方向；再由圖4和式(4)、(36)，得

(37)

式(35)、(37)表明：圖2分運動形式1與圖4分運動形式3等效．

3.3 分運動形式2與3等效

將圖3的v3沿水平向左方向和豎直向上方向分解，有式(17)、(18)；v3y與v4彼此抵消，豎直方向添加增量

(38)

豎直向上方向，有

(39)

豎直向下方向，有

(40)

v3x與v6y合成，由圖4和式(17)、(40)得

(41)

方向與豎直向下方向的夾角為θ，即沿垂直繩向下方向．式(39)、(41)表明：圖3分運動形式2與圖4分運動形式3等效．

將圖4的v6沿水平向左方向和豎直向下方向分解，有式(24)、(25)；v6y與v5彼此抵消，豎直方向添加增量

(42)

豎直向下方向，有

(43)

豎直向上方向，有

(44)

v6x與v3y合成，由圖3和式(24)、(44)得

(45)

方向與水平向左方向的夾角為θ，即沿繩向上方向．式(43)、(45)表明：圖4分運動形式3與圖3分運動形式2等效．

上述推證結(jié)果表明：繩端A(或船)的分運動形式1,2,3之間彼此等效；推證過程表明：3種分運動形式的簡捷程度是：形式1最簡，形式2次之，形式3最繁．至此，不僅3種形式分運動是否彼此等效的學(xué)生可能疑惑自然而然解除，而且學(xué)生清晰認識到圖2分運動形式1最簡捷．

4 運動分解與合成的討論

繩-船模型的繩端A(或船)運動分解形式1,2,3提供了深入理解運動分解與合成的實例，不僅可清晰認識到一個具體運動(速度矢量)可以分解為不同形式的分運動(分速度矢量)，各形式分運動(分速度矢量)既與合運動(速度矢量)相互等效，又彼此等效；而且可順勢推廣到任何矢量可以分解為不同形式的分矢量，各形式分矢量既與合矢量相互等效，又彼此等效．鑒于此，或許從矢量分解的任意性(即矢量可以任意分解)和等效性(即各分矢量與合矢量等效，各分矢量之間等效)更益于理解運動分解的多樣性．

盡管矢量分解遵從平行四邊形定則，但分解方法有正交法(如圖2分解形式1)和非正交法(如圖3,4分解形式2,3)；由上述運動分解形式的推證和等效知：圖2分解形式1最簡捷．鑒于此，或許從矢量分解的方法性更益于理解運動分解的簡捷性，即運動分解更適宜運用正交法．這就為處理運動(或矢量)分解與合成問題，提供了思維方法的導(dǎo)引．

5 教學(xué)建議

基于上述探究，繩-船模型的提高型教學(xué)要點為：

(1)若采用“先學(xué)后教”模式，學(xué)生可能直接采取如下做法.

1)由圖1沿水平和豎直方向分解繩縮短速度v0，從而得船速v=v0cosθ的錯解[2,3]；則應(yīng)先確認船的運動是合運動(方向水平向左)，繩、船連動，連接船的繩端的運動物理量(位移、速度)與船的相同，繩端運動為沿繩向上分運動和垂直繩向下分運動的合運動(錯解是憑感覺認為：繩端沿繩向上運動，則船的運動與繩端的水平分運動相同)，如圖2(嚴謹推證需依據(jù)位移矢量圖和運用位移微元法[4])，再由圖2依據(jù)速度分解與合成求得船速，并檢驗分運動與合運動等效；

2)由圖3運動分解形式2沿水平和豎直方向分解沿繩速度v3，并認為v3=v0，從而得船速v=v0cosθ的錯解[3]；則應(yīng)先確認船的運動是合運動(方向水平向左)，圖3與圖2比較可知v3>v0，再由圖3依據(jù)速度分解與合成求得船速(沿水平向左和豎直向上分解v3)，并檢驗分運動與合運動等效；

3)由圖4運動分解形式3沿水平向左方向分解v6，并求得v6=v0cotθ，從而得船速v=v0cosθ的錯解；則應(yīng)先確認船的運動是合運動(方向水平向左)，再由圖4依據(jù)速度分解與合成求得船速(沿水平向左和豎直向下分解v6)，并檢驗分運動與合運動等效．

(2)若采用“探究-交流”模式，則做法如下.

1)全班分成3組，每組推證1種運動分解形式，驗證分運動與合運動等效，小組代表上臺向全班交流、分享：繩端A(或船)運動可以分解為3種不同形式，各形式分運動與合運動相互等效；

2)每組論證2種形式分運動等效，小組代表上臺向全班交流、分享：3種形式分運動彼此等效；

3)每組比較3種運動分解形式特點，小組代表上臺向全班交流、分享：圖2分解形式1最簡捷，分解方法為正交法．

6 結(jié)束語

運用速度合成法推證了繩-船模型的繩端(或船)運動的3種分解形式，運用等效觀念論證了3種形式分運動不僅與合運動相互等效，而且彼此等效，解決了學(xué)生理解繩-船模型的可能疑惑；討論了3種運動分解形式的簡捷程度，提出了繩-船模型的提高型教學(xué)建議． 既深化了物理知識(速度概念、運動分解與合成規(guī)律)，又深化了物理觀念(等效觀念)、物理方法[速度(或矢量)正交分解法，非正交分解法]．

若引領(lǐng)學(xué)生完成上述推證，則學(xué)生不僅看到而且做到圖2,3,4的分運動彼此等效，體現(xiàn)了“理解”知識、“經(jīng)歷”過程、“培養(yǎng)”方法的教學(xué)目標；因此，運用等效觀念深化繩-船模型，既可作為提升物理觀念、方法及科學(xué)思維之科學(xué)推理、科學(xué)論證的實例，又可作為指向物理核心素養(yǎng)的提高型教學(xué)設(shè)計實例．