對(duì)滑輪懸掛物體問(wèn)題利用角動(dòng)量定理和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的分析

范 繼 蘇曉莉

(華中科技大學(xué)物理學(xué)院 湖北 武漢 430074)

1 引言

角動(dòng)量定理與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律是大一學(xué)生在學(xué)習(xí)“大學(xué)物理”力學(xué)部分時(shí)的難點(diǎn)內(nèi)容[1～4]．由于在中學(xué)階段學(xué)生們并沒(méi)有接觸過(guò)相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)，因而在大學(xué)階段的學(xué)習(xí)過(guò)程中很容易對(duì)相關(guān)概念的理解及應(yīng)用產(chǎn)生較大誤解．特別在學(xué)習(xí)完剛體的角動(dòng)量定理后，學(xué)生們處理滑輪懸掛物體問(wèn)題時(shí)有了多種解法，這時(shí)反而容易對(duì)物理概念混淆不清．質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理表述為，質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定點(diǎn)的角動(dòng)量的時(shí)間變化率，等于質(zhì)點(diǎn)所受的合外力對(duì)該固定點(diǎn)的力矩[5]．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律可表述為，在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，剛體受到的所有外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩等于剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角加速度的乘積[5]．滑輪懸掛物體問(wèn)題常?？衫眠@兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分析，然而到底應(yīng)該利用角動(dòng)量定理還是利用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律進(jìn)行求解，部分學(xué)生因?qū)ξ锢磉^(guò)程判斷不清而用錯(cuò)公式．盡管角動(dòng)量定理與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律都能用來(lái)求解此類問(wèn)題，但其相應(yīng)的問(wèn)題分析方式并不相同．這使得學(xué)生們?cè)诜治鱿嚓P(guān)物理過(guò)程時(shí)容易感到困難，不利于他們形成正確的知識(shí)體系．同時(shí)，“大學(xué)物理”課堂的新手教師們?cè)诔醮斡龅絺€(gè)別學(xué)生對(duì)此類問(wèn)題的解答時(shí)也很容易誤判．為此，本文針對(duì)角動(dòng)量定理與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用于滑輪懸掛物體問(wèn)題進(jìn)行了詳細(xì)的說(shuō)明，分析了錯(cuò)誤應(yīng)用物理概念卻得到正確結(jié)果的原因．本文對(duì)滑輪懸掛物體這一類問(wèn)題的特殊性進(jìn)行了闡述，最后說(shuō)明了利用這種特殊性進(jìn)行求解以簡(jiǎn)化解題的過(guò)程，但不推薦學(xué)生采用這種分析方式．本文強(qiáng)調(diào)在授課過(guò)程中應(yīng)盡可能做到讓學(xué)生們正確理解基本物理概念，讓他們明確可能存在的錯(cuò)誤的起因，以幫助學(xué)生對(duì)物理過(guò)程進(jìn)行理解．

2 滑輪懸掛物體問(wèn)題的一道典型例題及其經(jīng)典解法

在學(xué)習(xí)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律時(shí)，通常會(huì)給學(xué)生們講授如下典型例題：

這道題目涉及一個(gè)剛體(滑輪)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)(物體)線運(yùn)動(dòng)的混合，在分析此類問(wèn)題時(shí)，我們一般采用剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律來(lái)分析剛體的運(yùn)動(dòng)，而對(duì)線運(yùn)動(dòng)的物體一般則采用牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律去分析．根據(jù)題意，我們首先可對(duì)系統(tǒng)中的每個(gè)研究對(duì)象分別進(jìn)行受力分析，如圖1所示．

圖1 滑輪懸掛物體的受力分析圖

懸掛的物體m受到兩個(gè)力的作用，即重力mg與繩的拉力T．滑輪受到自身重力Mg，支撐點(diǎn)的支撐力N以及繩的拉力．很明顯，滑輪的重力與支撐點(diǎn)的支撐力均通過(guò)其軸心，故它們不對(duì)滑輪產(chǎn)生力矩．有了上述分析過(guò)程后，可定義沿鉛垂線豎直向下為正方向．對(duì)懸掛的物體m，根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，可得

mg-T=ma

(1)

式中，a為懸掛物體下落的加速度．對(duì)滑輪M，運(yùn)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得

TR=JMβM

(2)

式中，JM為滑輪對(duì)過(guò)O點(diǎn)且與紙面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，βM為滑輪的角加速度．由于繩子與定滑輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，因此，線加速度與角加速度存在如下的關(guān)系

a=RβM

(3)

聯(lián)立式(1)、(2)，以及式(3)，可得

(4)

上述解法是在授課過(guò)程中較為常用的一種解題方法．在課程進(jìn)行到剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械能守恒時(shí)，亦可利用機(jī)械能守恒進(jìn)行求解．由于該解法的分析超出本文范圍，這里不作討論．

3 學(xué)生常犯的幾種錯(cuò)誤

學(xué)生在遇到上述問(wèn)題進(jìn)行求解時(shí)，有幾種常犯的錯(cuò)誤，但最終卻都得出了正確的答案，這需要引起教師們的重視．下面我們將進(jìn)行詳細(xì)闡述．

3.1 利用角動(dòng)量定理時(shí)存在的錯(cuò)誤概念

有學(xué)生在解題時(shí)會(huì)直接給出這樣的解答過(guò)程：

因?yàn)槔K和滑輪之間無(wú)滑動(dòng)，所以根據(jù)剛體角動(dòng)量定理的微分形式，可以得出

(5)

(6)

由上式可以解得與式(4)相同的結(jié)果．

這種解題方法是否正確呢？所謂剛體，就是在任何情況下，大小和形狀都不會(huì)發(fā)生變化的物體．很顯然，根據(jù)剛體的定義[5]，此類滑輪懸掛物體問(wèn)題中滑輪與物體構(gòu)成的系統(tǒng)并不是剛體，因而不能利用剛體角動(dòng)量定理進(jìn)行解題．雖然最后結(jié)果是對(duì)的，但該學(xué)生對(duì)剛體的概念理解錯(cuò)誤．

那到底能否應(yīng)用角動(dòng)量定理進(jìn)行求解？答案是肯定的，我們可從質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理進(jìn)行分析(剛體可以看成質(zhì)點(diǎn)系)．質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理可描述為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)慣性系中某給定參考點(diǎn)的角動(dòng)量的時(shí)間變化率，等于作用在該質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)該給定參考點(diǎn)的總力矩．對(duì)于圖1中所描述的滑輪與物體組成的系統(tǒng)而言，雖然滑輪是圍繞轉(zhuǎn)軸在做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，但是所懸掛的物體是做線運(yùn)動(dòng)．如果將O點(diǎn)視為整個(gè)系統(tǒng)的給定參考點(diǎn)，物體m看成一質(zhì)點(diǎn)，則整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量L可寫為

L=r×p+JMω

(7)

式中，r為物體m到O點(diǎn)距離，p為物體m的動(dòng)量，ω為滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度．

我們對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)再次進(jìn)行分析，如圖2所示，假設(shè)在t時(shí)刻物體m運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，它擁有垂直向下的速度為v．因此物體m對(duì)于O點(diǎn)角動(dòng)量r×p可表示為

r×p=rpsinθe=

(8)

式中，e為垂直于紙面向外的單位矢量．滑輪的角動(dòng)量JMω可表示為

(9)

將M與m看作一個(gè)系統(tǒng)，系統(tǒng)所受外力包括M所受的重力與支撐力，以及m所受重力．其中，M所受的重力與支撐力是經(jīng)過(guò)整個(gè)系統(tǒng)的給定參考點(diǎn)的中心，因此它們不產(chǎn)生力矩，即力矩為零．m所受重力對(duì)O點(diǎn)的力矩為

M=r×F=rmgsinθe=mgRe

(10)

方向?yàn)榇怪庇诩埫嫦蛲猓Y(jié)合式(7)～(10)，運(yùn)用角動(dòng)量定理的微分形式Mdt=dL有

(11)

可見(jiàn)式(11)與式(5)相同，對(duì)等式兩邊同時(shí)做積分可得與式(4)相同的結(jié)果．

圖2 利用質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理求解的速度分析圖

由此可看出，雖然利用剛體角動(dòng)量定理和質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理得到了相同的結(jié)果，但是對(duì)其物理過(guò)程的理解是完全不同的．利用質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理求解是正確的，而利用剛體角動(dòng)量定理則存在對(duì)剛體定義的錯(cuò)誤理解，錯(cuò)誤的概念運(yùn)用得到正確的結(jié)果，這由一系列特殊的幾何關(guān)系所導(dǎo)致的，后面我們還會(huì)進(jìn)行詳細(xì)的分析．

3.2 利用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律時(shí)存在的錯(cuò)誤概念

也有學(xué)生在解題時(shí)會(huì)直接給出這樣的解答過(guò)程：

因?yàn)槔K和滑輪之間無(wú)滑動(dòng)，所以利用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律M=Jβ可得

(12)

由上式可解得

(13)

再結(jié)合式(3)可以得到與式(4)相同的結(jié)果．

雖然得到了正確的結(jié)果，但是這種解題思路是否正確呢？首先根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的形式，式(12)認(rèn)為物體m與滑輪M是繞O點(diǎn)做轉(zhuǎn)動(dòng)的，同時(shí)式(12)也認(rèn)為物體m與滑輪M有相同的角加速度βM，這顯然是不正確的．如果將m和M看作都是繞O點(diǎn)做轉(zhuǎn)動(dòng)，那么由于轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑不同，他們的角加速度是不相同的，所以根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律列出的式(12)是不正確的．為什么不正確的表達(dá)式會(huì)得出正確的答案呢？

伯克利物理學(xué)教程第一卷《力學(xué)》(科學(xué)出版社，1979年，P339)寫道：“因?yàn)檗D(zhuǎn)軸的方向被限制固定在空間，而且相對(duì)于物體也是固定的，所以物體的慣量特性相對(duì)于軸是不變的．”剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律M力矩=Jβ可理解為角動(dòng)量定理的一種特殊情況的表達(dá)方式，它所強(qiáng)調(diào)的是整個(gè)剛體圍繞某一固定的轉(zhuǎn)軸在做轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度與外力之間的關(guān)系[6]．對(duì)于圖1所描述的滑輪與物體組成的系統(tǒng)而言，雖然滑輪是圍繞轉(zhuǎn)軸在做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，但由于物體做線運(yùn)動(dòng)，因而它們整體的運(yùn)動(dòng)情況并不是圍繞某一轉(zhuǎn)軸在做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)．但是，這類問(wèn)題是否可以整體利用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律進(jìn)行求解呢？我們知道剛體是一種理想的模型，在轉(zhuǎn)動(dòng)中沒(méi)有形變．對(duì)于做線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)而言，它可被看成一種很特殊的剛體，所以可以用剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律來(lái)分析質(zhì)點(diǎn)的線運(yùn)動(dòng)．

此時(shí)利用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律求解，強(qiáng)調(diào)的是整個(gè)系統(tǒng)繞固定的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)．在圖2所示的求解方式中，我們將t時(shí)刻的m看成圍繞O點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)它的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可寫為

(13)

若物體m下落的加速度為a，則它在t時(shí)刻繞O的切線方向的角加速度可表示為

(14)

若將M與m看做一個(gè)系統(tǒng)，在t時(shí)刻圍繞O點(diǎn)做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則系統(tǒng)只受到物體m重力的力矩作用，利用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，我們可以得到

mgR=JMβM+Jmβm

(15)

(16)

再結(jié)合式(3)，可以解得

(17)

則在t時(shí)刻，物體m下落的速度可由v=at求得與式(4)相同的結(jié)果．

可以發(fā)現(xiàn)式(12)與式(16)是等價(jià)的，這是由一系列特殊的幾何關(guān)系所導(dǎo)致的．所以此類問(wèn)題是可以用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律進(jìn)行求解的．但是對(duì)其物理過(guò)程的理解是需要仔細(xì)推敲的．在給學(xué)生講述時(shí)要特別強(qiáng)調(diào)不能單純地利用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律得出式(12)，而應(yīng)該利用幾何關(guān)系一步一步地推導(dǎo)出式(16)．因?yàn)閲?yán)格講來(lái)，式(16)已不是“剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律”了，因?yàn)樗莾蓚€(gè)剛體組合而成的剛體，一旦這種組合剛體沒(méi)有了相互作用力，式(16)就不成立了．

4 推廣分析

圖3 利用臨界狀態(tài)分析法示意圖

為什么這種根據(jù)初始(臨界)狀態(tài)列出的方程可以解得正確的結(jié)果？首先，在這樣一個(gè)系統(tǒng)中，m的線加速度以及M對(duì)O點(diǎn)的角加速度為一定值，它們并不隨著時(shí)間而發(fā)生改變，所以無(wú)論在系統(tǒng)的任何階段，只要能夠求出其在任意時(shí)刻的線加速度或者角加速度就可以求出下落速度與時(shí)間的準(zhǔn)確關(guān)系．其次，在我們只利用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律求解時(shí)，在不同的位置m對(duì)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)量不同，如式(13)所示．m的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)O點(diǎn)的角加速度也在時(shí)刻變化，如式(14)所示．我們代入一系列典型值利用MATLAB進(jìn)行計(jì)算，可得從圖3時(shí)刻開(kāi)始1 s內(nèi)m對(duì)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及角加速度的結(jié)果,如圖4所示．我們可以發(fā)現(xiàn)在下落過(guò)程中m對(duì)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及角加速度在不斷的變化，且這種變化是非線性的．但是如果將m對(duì)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及角加速度相乘，我們可以發(fā)現(xiàn)有關(guān)物體位置信息的變量θ就會(huì)被約掉，此時(shí)整個(gè)系統(tǒng)的Jβ就與臨界狀態(tài)時(shí)的表達(dá)式完全一樣，為一定值,如圖5所示．

圖4 滑輪所懸掛物體的角加速度與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分析

圖5 滑輪所懸掛物體的角加速度與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量乘積的分析

可以得出這樣的結(jié)論，在滑輪懸掛物體這類問(wèn)題中，物體與滑輪相對(duì)于O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與它們相對(duì)于O的角加速度乘積之和為一定值．那么，利用這種特殊性能否為我們的解題帶來(lái)一定的方便呢？下面我們將一個(gè)滑輪與一個(gè)物體的情況推廣至兩個(gè)滑輪與兩個(gè)懸掛物體的情況，如以下典型例題：

圖6 兩個(gè)滑輪懸掛兩個(gè)物體的受力分析圖

此題的典型解法是首先針對(duì)兩個(gè)滑輪分別利用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律進(jìn)行分析，由于右邊的物體會(huì)向下運(yùn)動(dòng)，左邊的物體會(huì)向上運(yùn)動(dòng)，連接兩物體的繩水平向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)水平向右為正方向，因而對(duì)滑輪和物體分別進(jìn)行受力分析(圖6)后可得如下結(jié)論.

對(duì)左邊滑輪

(18)

對(duì)右邊滑輪

(19)

對(duì)懸掛的物體分別利用牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律.

對(duì)左邊物體

T1-mg=ma

(20)

對(duì)右邊物體

2mg-T2=2ma

(21)

對(duì)于此類滑輪物塊問(wèn)題，因?yàn)樗鶓覓斓奈矬w對(duì)相近的滑輪中心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度乘積為一定值，我們利用前述的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度乘積之和為一定值的特殊性進(jìn)行解題，看是否會(huì)得到正確的結(jié)果．首先，因?yàn)橛疫叺奈矬w重量大于左邊的物體重量，所以整個(gè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)右邊懸掛的物體向下運(yùn)動(dòng)，左邊懸掛的物體向上運(yùn)動(dòng)．我們首先認(rèn)為在最初階段，右邊懸掛的物體貼近右邊的滑輪，把它當(dāng)成一質(zhì)點(diǎn)來(lái)對(duì)待，根據(jù)其運(yùn)動(dòng)方向設(shè)定沿鉛垂線向下為y軸正方向，水平向右為x軸正方向，此時(shí)右邊滑輪與右邊物體組成的系統(tǒng)應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得

(22)

若將左邊的懸掛物體當(dāng)成一質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理，然后在最末時(shí)刻它必將運(yùn)動(dòng)至左邊的滑輪邊緣處，根據(jù)其運(yùn)動(dòng)方向，設(shè)沿鉛垂線豎直向上為y軸正方向，水平向右為x軸正方向，此時(shí)左邊滑輪與左邊物體組成的系統(tǒng)可利用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得

(23)

將式(19)與(18)相除可得

(24)

求解可得兩繩之間張力為

很明顯，利用這種特殊性求解多個(gè)滑輪與多個(gè)懸掛物體組成的系統(tǒng)問(wèn)題時(shí)是比較簡(jiǎn)便的．但是有一點(diǎn)必須明確指出，因?yàn)樵谡麄€(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，有關(guān)物體位置信息的變量θ會(huì)在計(jì)算過(guò)程中被約掉，所以在利用物體貼近滑輪時(shí)所得到懸掛物體對(duì)相鄰滑輪中心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及角加速度乘積的表達(dá)式，在任意時(shí)刻都是相同的，正是因?yàn)檫@一點(diǎn)我們可以利用這種方法進(jìn)行求解以簡(jiǎn)化計(jì)算．在授課過(guò)程中我們必須讓學(xué)生對(duì)物理概念有清楚的理解，因而不推薦學(xué)生采用此種解法．這里介紹該方法僅為了讓大家認(rèn)識(shí)到滑輪懸掛物體問(wèn)題的特殊性．

5 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，在求解滑輪懸掛物體這一類問(wèn)題時(shí)，學(xué)生容易對(duì)一些物理概念產(chǎn)生誤解，但是這種錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)卻能得到正確的答案，這需要引起教師們的重視．這種錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)能得到正確答案的具體原因在于所懸掛物體對(duì)滑輪中心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積與物體所處的位置無(wú)關(guān)，這種巧合完全是由這類題目幾何關(guān)系的特殊性造成的．在多個(gè)滑輪與物體所組成的系統(tǒng)中，我們利用這種特殊性進(jìn)行解題可簡(jiǎn)化分析與計(jì)算．但是在教學(xué)過(guò)程中一定要讓學(xué)生對(duì)物理概念有清晰的理解，以免因這種特殊性的存在讓學(xué)生們對(duì)物理概念認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤．