基于python的Z檢驗(yàn)法和T檢驗(yàn)法研究

袁 歐，何 山

（成都錦城學(xué)院，四川 成都 611731）

1 選題的背景及意義

1.1 研究的背景

統(tǒng)計(jì)學(xué)中假設(shè)檢驗(yàn)分析成為了數(shù)據(jù)分析、概率統(tǒng)計(jì)、預(yù)測(cè)結(jié)果等不可或缺的方法，它在社會(huì)科學(xué)分析，百姓的健康統(tǒng)計(jì)，空氣質(zhì)量預(yù)測(cè)運(yùn)用中越來越廣泛，發(fā)揮著重要作用。最早的數(shù)據(jù)分析是通過人們?cè)诩埳线M(jìn)行演算，之后采用計(jì)算器，電腦等進(jìn)行計(jì)算，這些方法能解決計(jì)算步驟，但無法解決公式記錯(cuò)、邏輯順序等問題。那么，如果我們采用python語言進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的程序編寫恰巧能解決計(jì)算錯(cuò)誤，公式用錯(cuò)，邏輯思維混亂等問題。Python語言是解釋性、編譯性、互動(dòng)性和面向?qū)ο蟮哪_本語言，它不僅能調(diào)用第三方庫對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，完成假設(shè)檢驗(yàn)，也能利用標(biāo)準(zhǔn)庫結(jié)合Z檢驗(yàn)與T檢驗(yàn)分析方法的概念與思路進(jìn)行程序編寫來完成假設(shè)檢驗(yàn)。近年來，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，空氣質(zhì)量逐年下降。由此，文章將對(duì)成都市2021年1月的空氣質(zhì)量指數(shù)進(jìn)行估計(jì)，采用面向?qū)ο蟮姆椒ㄍ瓿杉僭O(shè)檢驗(yàn)，并且與調(diào)用python語言第三方庫的分析方法進(jìn)行比較。

1.2 研究的意義

通過統(tǒng)計(jì)學(xué)假設(shè)檢驗(yàn)對(duì)成都市某月整體空氣指數(shù)進(jìn)行估計(jì)，有利于了解當(dāng)月整體空氣指數(shù)狀況，也有利于對(duì)下個(gè)月空氣質(zhì)量預(yù)測(cè)分析提供數(shù)據(jù)支持。此外，相關(guān)部門能及時(shí)采取措施，控制和減少工廠對(duì)污染物的排放量，防止污染物在大氣中傳播，避免污染物對(duì)空氣質(zhì)量的影響。而采用python語言的標(biāo)準(zhǔn)庫以面向?qū)ο蟮姆椒▽?duì)假設(shè)檢驗(yàn)進(jìn)行分析有利于減少復(fù)雜的計(jì)算，不僅使邏輯順序條理清晰，也能使Z檢驗(yàn)與T檢驗(yàn)的計(jì)算公式運(yùn)用恰當(dāng)。采用面向?qū)ο蟮姆椒ㄟM(jìn)行分析更能體現(xiàn)假設(shè)檢驗(yàn)方法的邏輯與思路，也能比較出此方法與調(diào)用第三方庫方法的異同，并且利用python語言更能熟練掌握與運(yùn)用Z檢驗(yàn)法與T檢驗(yàn)法。

2 基于Z檢驗(yàn)法與T檢驗(yàn)法的分析流程

2.1 相關(guān)概念界定

2.1.1 概念

Z檢驗(yàn)（U檢驗(yàn)）：由于在實(shí)際問題中絕大多數(shù)是隨機(jī)變量，若總體為正態(tài)分布，則樣本統(tǒng)計(jì)量服從正態(tài)分布；若總體為非正態(tài)分布，則樣本統(tǒng)計(jì)量近似服從正太分布；由于計(jì)算U的分位數(shù)或查相應(yīng)的分布表比較方便。通過比較由樣本觀測(cè)值得到的Z的觀測(cè)值來判斷數(shù)學(xué)期望的顯著性，把這種利用服從正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)方法叫做Z檢驗(yàn)法。正如，總體標(biāo)準(zhǔn)差已知或者總體標(biāo)準(zhǔn)差未知且樣本容量n＞30，這兩種情況分別為服從正態(tài)分布或者近似服從正態(tài)分布，都將采用Z檢驗(yàn)法。其公式為：

T檢驗(yàn)：主要用于樣本量較小（0＜n＜30）且總體標(biāo)準(zhǔn)差未知的分布，是用t分布理論來推論差異發(fā)生的概率。樣本統(tǒng)計(jì)量服從t分布，從而比較兩個(gè)平均數(shù)的差異是否顯著。其公式為：

注意：z，t為符號(hào)代表，沒有特殊意義。

Python語言中的面向?qū)ο螅好嫦驅(qū)ο笾凶钪匾膬煞N是類和實(shí)例。類是具有相同屬性和行為的一類的實(shí)體，它是封裝對(duì)象的屬性和行為的載體。而對(duì)象是世間萬物中人們隨處可見的、存在的。此方法需注意：定義類時(shí)采用的保留字是Class，其次應(yīng)定義（def）一個(gè)構(gòu)造函數(shù)__inite__，初始化時(shí)self不能省略，其次在定義實(shí)例屬性，實(shí)例屬性必須在構(gòu)造函數(shù)中初始化。

2.1.2 流程

Z檢驗(yàn)與T檢驗(yàn)法的假設(shè)檢驗(yàn)步驟分為4步，分別是：（1）假設(shè)原假設(shè)（H0）與備擇假設(shè)（H1）；（2）計(jì)算樞軸量；（3）找臨界值并觀察數(shù)據(jù)；（4）判斷是否拒絕原假設(shè)并得出結(jié)論。Z檢驗(yàn)法與T檢驗(yàn)法的區(qū)別在于：當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差已知或者當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知且是大樣本（n＞30）時(shí)采用Z檢驗(yàn)；當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知且是小樣本（0＜n＜30）時(shí)采用T檢驗(yàn)法；文章將根據(jù)此步驟著重研究采用python語言中的類的方法分析成都市2021年1月的空氣質(zhì)量指數(shù)。

2.2 基于python語言的假設(shè)檢驗(yàn)分析

2.2.1 假設(shè)檢驗(yàn)中公式的函數(shù)

文章研究的是基于python 語言的假設(shè)檢驗(yàn)分析，首先定義一個(gè)項(xiàng)目類（Class index ），其次定義構(gòu)造函數(shù)（__inite__），寫出實(shí)例屬性（self.data=data，self.u=u，self.σ=σ）。根 據(jù)Z檢 驗(yàn)法與T檢驗(yàn)法的不同將定義5個(gè)函數(shù)，分別是計(jì)算平均值（average）；計(jì)算方差（val）；z檢驗(yàn)總體標(biāo)準(zhǔn)差已知（z_fun）；Z檢驗(yàn)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知且為大樣本（n＞30）（z_unknow_fun）；T檢驗(yàn)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知且為小樣本（0＜n＜30）（t_fun）。運(yùn)用python語言中類與實(shí)例方法編寫每一步算式。其核心代碼如下：

圖1 計(jì)算平均值與方差

圖2 Z檢驗(yàn)與T檢驗(yàn)

2.2.2 調(diào)用函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證分析

這段研究是建立在假設(shè)檢驗(yàn)中Z檢驗(yàn)與T檢驗(yàn)的的函數(shù)之上的，采用from Indext import indext與項(xiàng)目類緊密相連，是對(duì)項(xiàng)目類（Class indext）的測(cè)試。其次，是對(duì)Z檢驗(yàn)與T檢驗(yàn)邏輯思想的體現(xiàn)，Z檢驗(yàn)和T檢驗(yàn)法的分析步驟將分為5步：（1）用戶假設(shè)原假設(shè)（H0）和備擇假設(shè)（H1）；（2）輸入數(shù)據(jù)并確認(rèn)數(shù)據(jù)是否正確；（3）用戶輸入總體均值，判斷總體標(biāo)準(zhǔn)差是否已知；（4）判斷Z檢驗(yàn)還是T檢驗(yàn)并找出臨界值；（5）最后得出結(jié)論。測(cè)試的核心代碼如下所示：

圖3 平均值與方差

圖4 計(jì)算樞軸量

圖5 分析并得出結(jié)論

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)論

3.1 實(shí)驗(yàn)

隨著時(shí)代的進(jìn)步，人們對(duì)健康狀況的關(guān)注程度不斷提高，空氣成為了影響身體健康的因素之一。空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的無量綱指數(shù)。根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)，它能判斷當(dāng)天環(huán)境的污染程度。即假設(shè)空氣質(zhì)量沒有被污染的標(biāo)準(zhǔn)空氣質(zhì)量指數(shù)為100，成都市2021年1月每天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）為：

已知成都市2021年1月每天的空氣質(zhì)量指數(shù)服從正態(tài)分布，在顯著水平?為0.05的情況下，檢驗(yàn)成都市2021年1月空氣質(zhì)量整體指數(shù)是否處于污染階段。

3.2 實(shí)驗(yàn)分析

由上述實(shí)驗(yàn)所示：本實(shí)驗(yàn)將檢驗(yàn)成都市2021年1月空氣質(zhì)量整體指數(shù)是否處于污染階段，則原假設(shè)H0為成都市2021年1月空氣質(zhì)量整體指數(shù)處于污染階段，備澤假設(shè)H1為成都市2021年1月空氣質(zhì)量整體指數(shù)不處于污染階段。此外，1月空氣指數(shù)的總體均值為100，總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，且樣本n為31，由于31＞30，故為大樣本，近似服從正態(tài)分布，故此實(shí)驗(yàn)將是顯著水平?=0.05的Z檢驗(yàn)。

3.3 結(jié)論

通過面向?qū)ο蠓椒ǚ治龀啥际?021年1月空氣質(zhì)量指數(shù)得出以下相應(yīng)結(jié)果：

表1 空氣質(zhì)量指數(shù)分析表

由此可得出：z1＜a，H0成立，不拒絕原假設(shè)，成都市2021年1月空氣質(zhì)量整體指數(shù)處于污染階段。

4 比較面向?qū)ο蠓椒ㄅc調(diào)用第三方庫方法

調(diào)用第三方庫對(duì)成都市2021年1月空氣指數(shù)分析的核心代碼為：

圖6 調(diào)用第三方庫代碼

經(jīng)過對(duì)比，第三方庫所得結(jié)果與類的方法是所得結(jié)果一致。由此可得：第三方庫的方法所得到的結(jié)果與本研究的類的方法所得結(jié)果一致，且類的方法與調(diào)用第三方庫的方法（如numpy庫，matplotlib庫，scipy庫 statsmodels庫）雖然都能解決Z檢驗(yàn)與T檢驗(yàn)，并得出結(jié)論。但是兩者的區(qū)別在于：直接導(dǎo)入統(tǒng)計(jì)學(xué)需要的第三方庫可以避免一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式及計(jì)算，它可以提高檢驗(yàn)效率，代碼簡潔明了。但是它不能體現(xiàn)假設(shè)檢驗(yàn)的思想方法，不能直觀反映數(shù)學(xué)公式。而類的方法恰巧與它相反，它的代碼復(fù)雜并且長，但它能夠清楚表現(xiàn)統(tǒng)計(jì)學(xué)中假設(shè)檢驗(yàn)的三個(gè)步驟和方法，也能表明數(shù)學(xué)思維。

5 結(jié)語

文章對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)中假設(shè)檢驗(yàn)進(jìn)行了分析，研究了基于python語言的Z檢驗(yàn)和T檢驗(yàn)，并分析了成都市2021年1月空氣質(zhì)量指數(shù)是否處于污染階段進(jìn)行了檢驗(yàn)與結(jié)果分析。此外，比較了python語言中類的方法與導(dǎo)入第三方庫的方法的區(qū)別。文中的代碼主要體現(xiàn)在類的方法上，它從數(shù)學(xué)公式反映假設(shè)檢驗(yàn)的思路，使其能熟練掌握假設(shè)檢驗(yàn)方法與原理。其實(shí)，筆者認(rèn)為文章所研究的面向?qū)ο蟮姆椒ㄅc調(diào)用第三方庫的方法存在一些劣勢(shì)，正如在數(shù)據(jù)處理上，兩種方法都需要一個(gè)一個(gè)輸入數(shù)據(jù)，當(dāng)數(shù)據(jù)龐大時(shí)容易出現(xiàn)兩個(gè)問題：（1）容易輸入錯(cuò)誤數(shù)據(jù)；（2）花費(fèi)時(shí)間較長。在未來，筆者將采用pandas庫處理這方面的問題。其次，對(duì)于采用面向?qū)ο蟮姆椒ㄋ芯康腪檢驗(yàn)與T檢驗(yàn)，其代碼部分筆者認(rèn)為并不精簡，筆者將會(huì)保持假設(shè)檢驗(yàn)的方法與步驟對(duì)代碼進(jìn)行優(yōu)化，讓它達(dá)到最精致。