參數(shù)不確定性環(huán)境下的CDS定價(jià)模型

張茂軍，柴 過

（蘇州科技大學(xué)商學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

1 引言

2008年雷曼兄弟公司破產(chǎn)引發(fā)了美國(guó)次貸危機(jī)爆發(fā)，其中一個(gè)重要原因是該公司交易的信用違約互換（Credit Default Swaps，簡(jiǎn)稱CDS）出現(xiàn)了大規(guī)模違約.2007年末CDS的全球規(guī)模達(dá)到62萬(wàn)多億美元，這次危機(jī)造成了CDS規(guī)模大幅萎縮，截止2012年CDS的規(guī)模下跌為大約26萬(wàn)億美元.這暴露了CDS存在的一些嚴(yán)重問題，其中CDS定價(jià)成為了學(xué)術(shù)界備受關(guān)注的問題之一.

已有CDS定價(jià)原理是建立在參照實(shí)體和交易對(duì)手的違約概率和回收率是確定和唯一的假設(shè)之上.然而，由于信息不對(duì)稱性和市場(chǎng)不完備性的原因，投資者不能完全知道違約概率和回收率等參數(shù)的精確值，即這些參數(shù)具有不確定性.1921年Knight認(rèn)為經(jīng)濟(jì)客體的未來狀態(tài)發(fā)生的概率具有不確定性.這種不確定性被稱為Knight不確定性.學(xué)者們將Knight不確定性進(jìn)行了深入研究，將其拓展為概率不確定性和參數(shù)不確定性，并且開展了相關(guān)研究.如Knight不確定性如何影響資產(chǎn)價(jià)格和投資策略[1-2]，用Knight不確定性可以更加合理地解釋金融市場(chǎng)之迷，如股票溢價(jià)和波動(dòng)之謎[3]，期權(quán)定價(jià)中的Knight不確定性[4].

然而，目前未曾見到在CDS定價(jià)中考慮Knight不確定性的相關(guān)研究.事實(shí)上，在CDS定價(jià)中存在Knight不確定性，主要表現(xiàn)為：一是違約概率具有不確定性.在CDS定價(jià)中，刻畫違約概率的模型主要包括結(jié)構(gòu)化模型和強(qiáng)度模型，這些模型是否能更好地刻畫參照實(shí)體和交易對(duì)手的違約概率尚無定論，只是依據(jù)研究者考慮問題的側(cè)重點(diǎn)不同而定，這種模型的不確定性必然帶來違約概率的不確定性.而且，由于CDS是一種場(chǎng)外交易產(chǎn)品，不僅金融市場(chǎng)不完備而且交易對(duì)手之間的信息也不對(duì)稱，很難精確地知道參照實(shí)體和交易對(duì)手的違約概率，因此，違約概率具有不確定性.二是在CDS定價(jià)中回收率具有不確定性.在已有的研究中需要用歷史數(shù)據(jù)估計(jì)回收率，而數(shù)據(jù)的不精確性會(huì)造成回收率具有不確定性.

所以，這種不確定性扭曲了CDS的價(jià)格，嚴(yán)重影響了CDS的交易機(jī)制和市場(chǎng)效率.如何刻畫這些參數(shù)的不確定性是核心問題.目前的主要研究方法是穩(wěn)健性方法（Robust Approach）.這種方法的一個(gè)前提假設(shè)是決策者知道參數(shù)的精確集合，而不知道哪個(gè)參數(shù)為最優(yōu).如，決策者知道違約概率可能屬于集合{0.2，0.3，0.5，0.8}，而不知道這四個(gè)概率哪個(gè)最符合實(shí)際情況.因此，決策者借助于極大極小決策思想，通過最小化參數(shù)的不確定性，得到了“最壞情況下最好”的結(jié)果.這種方法已經(jīng)被用于股票定價(jià)[5-6]的研究中.

然而，在CDS定價(jià)研究中，由于數(shù)據(jù)不精確性和信息不對(duì)稱性等原因，決策者不能完全知道違約概率和回收率等參數(shù)的精確集合，而是只能用實(shí)際數(shù)據(jù)估計(jì)出這些參數(shù)的一個(gè)近似值，如違約概率“大約為0.65”，這種不確定值隱含著數(shù)據(jù)模糊信息.因此，可以用模糊數(shù)刻畫這種不確定性.學(xué)者們已經(jīng)用模糊數(shù)刻畫期權(quán)定價(jià)中參數(shù)的不確定性，并且取得了一定的研究成果.韓立巖和周娟[7]首次用模糊數(shù)刻畫Knight不確定性并且應(yīng)用于期權(quán)定價(jià)，張茂軍等[8]用直覺三角模糊數(shù)刻畫歐式期權(quán)定價(jià)中的不確定性，秦學(xué)志等[9]研究了基于長(zhǎng)記憶性特征的歐式期權(quán)模糊定價(jià)模型，王獻(xiàn)東和何建敏[10]分析了模糊隨機(jī)不確定環(huán)境下考慮決策者主觀判斷的亞式期權(quán)定價(jià)問題.

鑒于以上對(duì)CDS定價(jià)中違約概率和回收率等參數(shù)不確定性的分析，本文利用三角模糊數(shù)刻畫違約概率和回收率的不確定性，構(gòu)建了CDS模糊定價(jià)模型，利用均衡定價(jià)原理和模糊數(shù)的運(yùn)算法則得到了CDS價(jià)格也是一個(gè)三角模糊數(shù)，這不僅體現(xiàn)了參數(shù)不確定性導(dǎo)致了CDS價(jià)格的不確定性，而且反映了信息不對(duì)稱性和數(shù)據(jù)不精確性對(duì)CDS價(jià)格的影響.所以，投資者可以結(jié)合已有的經(jīng)驗(yàn)和對(duì)不確定性的偏好程度，更加客觀地評(píng)估CDS的價(jià)格.

2 文獻(xiàn)綜述

CDS是一類信用衍生產(chǎn)品，如何度量參照實(shí)體或交易對(duì)手的違約概率成為了CDS定價(jià)研究的核心問題之一.常用的度量違約概率的兩類模型是結(jié)構(gòu)化模型和強(qiáng)度模型，下面分別從這兩類模型評(píng)述CDS的相關(guān)研究.

一是以結(jié)構(gòu)信用風(fēng)險(xiǎn)模型為基礎(chǔ)的CDS定價(jià).Merton[11]首次提出了結(jié)構(gòu)信用風(fēng)險(xiǎn)模型，其基本思想是在市場(chǎng)完備性的假設(shè)下認(rèn)為公司價(jià)值由權(quán)益和負(fù)債構(gòu)成，如果公司價(jià)值在債券到期日時(shí)小于債券票面價(jià)值，那么公司資不抵債就發(fā)生違約，并且利用期權(quán)定價(jià)方法計(jì)算違約概率.然而，公司有可能在債券到期日之前發(fā)生違約，違約閾值未必是債券票面價(jià)值，而是一個(gè)與時(shí)間相關(guān)的值.于是，Black和Cox[12]提出了在債券到期日之前公司違約的首達(dá)違約模型，并利用布朗運(yùn)動(dòng)的首達(dá)概率計(jì)算違約概率.許多學(xué)者從其他方面推廣了Merton的結(jié)構(gòu)模型，如Hackbarth等[13]研究的狀態(tài)依賴模型.在CDS定價(jià)方面，學(xué)者們用結(jié)構(gòu)信用風(fēng)險(xiǎn)模型計(jì)算CDS的價(jià)格.Hull和White[14]用結(jié)構(gòu)信用風(fēng)險(xiǎn)模型描述參照實(shí)體的違約過程，分別研究考慮交易對(duì)手違約和不違約情形下的CDS定價(jià)問題，并且利用Monte Carlo模擬方法計(jì)算CDS的價(jià)格.Kim等[15]利用首達(dá)結(jié)構(gòu)模型研究了交易對(duì)手違約風(fēng)險(xiǎn)和市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)情形下的CDS定價(jià)，發(fā)現(xiàn)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)與信用風(fēng)險(xiǎn)的相關(guān)性對(duì)CDS價(jià)格的影響隨著參照實(shí)體數(shù)量的增加而加大.Blanchet-Scalliet和Patras[16]用Merton的結(jié)構(gòu)模型研究了考慮交易對(duì)手違約的CDS定價(jià)，給出了價(jià)格的解析表達(dá)式.

盡管，學(xué)者們已經(jīng)用不同的結(jié)構(gòu)信用風(fēng)險(xiǎn)模型計(jì)算參照實(shí)體和交易對(duì)手的違約概率，進(jìn)而在市場(chǎng)完備性的假設(shè)下利用無套利原理研究CDS的定價(jià)問題，得到了CDS理論價(jià)格的解析表達(dá)式.然而，在實(shí)際應(yīng)用中這種定價(jià)方法存在不足，主要表現(xiàn)為：計(jì)算價(jià)格的公式很復(fù)雜，在實(shí)際定價(jià)過程中很難實(shí)現(xiàn)；由于CDS交易是一種場(chǎng)外交易，交易過程存在信息不對(duì)稱和不透明度現(xiàn)象[17]，交易對(duì)手很難知道參照實(shí)體的資本結(jié)構(gòu)，因此，用結(jié)構(gòu)模型測(cè)量的違約概率不準(zhǔn)確，具有不確定性.

二是以強(qiáng)度模型為基礎(chǔ)的CDS定價(jià)研究.在強(qiáng)度模型中參照實(shí)體的違約不是由企業(yè)價(jià)值決定，而是由外部環(huán)境決定，用泊松過程的首達(dá)事件刻畫違約事件.Duffie和Singleton[18]首次構(gòu)建了強(qiáng)度信用風(fēng)險(xiǎn)模型.這類模型已經(jīng)成為研究信用衍生品定價(jià)的主流模型，并且在CDS定價(jià)研究中取得了諸多成果.在強(qiáng)度模型的基礎(chǔ)上，考慮交易對(duì)手違約的含有單個(gè)參照實(shí)體的CDS的定價(jià)問題已經(jīng)成為了學(xué)者們研究的焦點(diǎn).Jarrow和Yu[19]首次研究了這類CDS定價(jià)問題，分析了交易對(duì)手違約損失對(duì)CDS價(jià)格的影響.Leung和Kwok[20]研究了交易對(duì)手違約和參照實(shí)體違約的內(nèi)部相關(guān)結(jié)構(gòu)問題，認(rèn)為交易對(duì)手違約密度的增加導(dǎo)致了參照實(shí)體違約概率的增加.Brigo和Chourdakis[21]在違約強(qiáng)度是隨機(jī)變量的條件下，研究交易對(duì)手違約對(duì)CDS價(jià)格的影響.王瓊和陳金賢[22]研究了基于跳-擴(kuò)散過程的CDS定價(jià)模型，詹原瑞等[23]用copula函數(shù)族研究了CDS組合的定價(jià)問題，龐素琳和王立[24]研究了信用貸款風(fēng)險(xiǎn)中反向CDS協(xié)議設(shè)計(jì)與定價(jià)，陳正聲和秦學(xué)志[25]探討了交易對(duì)手間三種違約相關(guān)情景下的CDS定價(jià)，陳艷聲等[26]考慮一般均衡下基于產(chǎn)品市場(chǎng)和資本市場(chǎng)的單名CDS定價(jià)問題，陳庭強(qiáng)等[27]首次從投資者情緒和償債能力角度分析了CDS交易對(duì)手流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)的傳染機(jī)制，為CDS設(shè)計(jì)提供理論支持.

本文利用三角模糊數(shù)刻畫CDS中違約概率等參數(shù)的不確定性，研究CDS的定價(jià)問題.論文的結(jié)構(gòu)安排如下：第三節(jié)是三角模糊數(shù)及其運(yùn)算法則，為CDS的模糊定價(jià)提供計(jì)算方法；第四節(jié)是CDS定價(jià)模型及其求解過程，利用三角模糊數(shù)的運(yùn)算法則得到了CDS溢價(jià)的解析解；第五節(jié)給出一些數(shù)值算例，說明模型和方法的有效性和實(shí)用性；最后是論文的結(jié)論.

3 三角模糊數(shù)及其運(yùn)算法則

本節(jié)給出三角模糊數(shù)定義和相應(yīng)運(yùn)算法則，為CDS模糊定價(jià)提供基礎(chǔ).首先給出三角模糊數(shù)定義如下.

定義 1[28]設(shè)是實(shí)數(shù)集R上一個(gè)三角模糊數(shù)，其隸屬度為

三角模糊數(shù)的隸屬函數(shù)如圖1所示，

圖1 三角模糊數(shù)的隸屬函數(shù)

其次，下面給出三角模糊數(shù)的運(yùn)算法則.

定義 2[22]設(shè)和為兩個(gè)三角模糊數(shù)，是實(shí)數(shù).三角模糊數(shù)的運(yùn)算法則定義為

4 CDS的模糊定價(jià)模型

CDS是將某種債券的違約風(fēng)險(xiǎn)從合同買方轉(zhuǎn)移到賣方的一類信用衍生產(chǎn)品，合同規(guī)定買方定期向賣方支付“保費(fèi)”，當(dāng)參照實(shí)體發(fā)生違約時(shí)，賣方必須向買方賠償損失，其中的“保費(fèi)”就是CDS的價(jià)格，又稱為CDS溢價(jià)或利差.CDS合約由買方、賣方和參照實(shí)體構(gòu)成.假設(shè)買方和賣方都不違約，只有參照實(shí)體存在違約風(fēng)險(xiǎn)，且參照實(shí)體為一個(gè)面值為1的債券，到期日為T.如果參照實(shí)體沒有違約，買方向賣方每年支付溢價(jià)；如果參照實(shí)體違約，賣方向買方支付損失，并且買方停止支付溢價(jià).

在計(jì)算溢價(jià)中，需要估計(jì)參照實(shí)體違約概率和生存概率.然而，由于實(shí)際數(shù)據(jù)不確定性和信息不完全性以及決策者主觀判斷性，使得違約概率和生存概率具有不確定性，如某個(gè)時(shí)間的違約概率為“大約0.17”.為了更加細(xì)膩地描述這種不確定性，我們用三角模糊數(shù)表示違約概率和生存概率.假設(shè)在沒有前期違約概率的條件下，將參照實(shí)體的到期日分為n個(gè)時(shí)期.在ti個(gè)時(shí)期參照實(shí)體生存概率為三角模糊數(shù)，其中；；在 ti個(gè)時(shí)期和 ti＋1個(gè)時(shí)期期中的違約概率為三角模糊數(shù)，其中，而且違約概率和生存概率滿足qi＋pi＝1；參照實(shí)體違約時(shí)的回收率也是三角模糊數(shù)，其中

進(jìn)一步，假設(shè)違約發(fā)生時(shí)間在年中，并且在信用違約互換中信用保護(hù)付款時(shí)間在每個(gè)時(shí)期期終.我們將計(jì)算CDS溢價(jià)分為三部分.

第一部分是計(jì)算預(yù)期支付貼現(xiàn)值.買方給賣方支付第i個(gè)溢價(jià)的概率為i，對(duì)應(yīng)溢價(jià)為，其貼現(xiàn)值為，其中常數(shù)r為無風(fēng)險(xiǎn)年利率，則所有預(yù)期支付貼現(xiàn)總和為

第二部分是計(jì)算在違約時(shí)應(yīng)計(jì)預(yù)期支付的貼現(xiàn)值.由于假設(shè)在期中參照實(shí)體發(fā)生違約，對(duì)應(yīng)累積應(yīng)計(jì)支付期限為期中，所以應(yīng)計(jì)支付數(shù)量為0.5，對(duì)應(yīng)第i年應(yīng)計(jì)支付期望值為，貼現(xiàn)值為，則所有應(yīng)計(jì)預(yù)期支付貼現(xiàn)總和為

第三部分是計(jì)算預(yù)期損失貼現(xiàn)值.在前面假設(shè)中，參照實(shí)體違約總是發(fā)生在期中，對(duì)應(yīng)第i個(gè)期中賣方支付給買方的違約保護(hù)預(yù)期損失是（，預(yù)期損失貼現(xiàn)值的總和為

根據(jù)無套利原理，CDS買方預(yù)期支付的貼現(xiàn)值等于預(yù)期損失的貼現(xiàn)值，所以根據(jù)式（9）、（10）和（11），CDS的理論溢價(jià)滿足V＋U＝E，即

根據(jù)定義2中三角模糊數(shù)的運(yùn)算法則，可知式（12）等價(jià)于下面的方程組

根據(jù)上面分析和公式（13）可以得到CDS價(jià)格滿足下面定理.

定理.如果CDS中參照實(shí)體的違約概率、生存概率和回收率分別為三角模糊數(shù)，和，那么CDS溢價(jià)為，其中

根據(jù)上述定理可知式（14）是CDS溢價(jià)封閉解，并且CDS溢價(jià)是一個(gè)三角模糊數(shù)，其中s表示CDS溢價(jià)可能值，其值屬于CDS溢價(jià)上限值和下限值，而且s的隸屬函數(shù)反映了決策者對(duì)CDS價(jià)格不確定的偏好程度.而在經(jīng)典CDS定價(jià)中，CDS溢價(jià)為[29]

在經(jīng)典的CDS的溢價(jià)公式中，違約概率pi、生存概率qi以及回收率R都是精確數(shù)值，從而由公式（15）計(jì)算出的CDS的溢價(jià)也是一個(gè)精確數(shù)，并不能反映數(shù)據(jù)的不確定性.而事實(shí)上，由于違約概率和回收率等參數(shù)不確定的原因，CDS的溢價(jià)具有不確定性，因此，本文提出的計(jì)算CDS溢價(jià)的公式更能反映數(shù)據(jù)不精確性和信息不完備性，從而更加合理.

5 數(shù)值算例

為了說明第4節(jié)計(jì)算CDS溢價(jià)公式（14）的合理性，下面給出數(shù)值算例.假設(shè)在年初買方買進(jìn)了一個(gè)參照實(shí)體的面值是1，距離到期日還剩5年的企業(yè)債券的CDS合約.而且用三角模糊數(shù)表示參照實(shí)體在5年內(nèi)每年無條件違約概率和生存概率，如表1所示.

表1 無條件違約概率和生存概率

依據(jù)表1中的生存概率，可以計(jì)算CDS買方的預(yù)期支付的貼現(xiàn)值.由于參照實(shí)體的本金為1，無風(fēng)險(xiǎn)利率為每年r＝5%，貼現(xiàn)因子為e－0.05ti，所以可以計(jì)算預(yù)期付款的貼現(xiàn)值，如表2所示.如第ti＝2時(shí)，CDS買方支付溢價(jià)的概率為（0.960 1，0.960 4，0.960 8），貼現(xiàn)因子為0.904 8，此時(shí)的預(yù)期支付的貼現(xiàn)值為0.904 8×（0.960 1，0.960 4，0.960 8）＝（0.868 7，0.869 0s，0.869 3）.

表2 預(yù)期支付的貼現(xiàn)值

同理，表3給出了買方支付的應(yīng)計(jì)付款貼現(xiàn)值.例如，違約概率發(fā)生在第三年年中的概率為三角模糊數(shù)（0.018 0，0.019 2，0.019 3），對(duì)應(yīng)的累積應(yīng)計(jì)支付的期限為半年，所以應(yīng)計(jì)支付的數(shù)量為0.5，對(duì)應(yīng)這一時(shí)間段的應(yīng)計(jì)預(yù)期支付為0.5（0.018 0，0.019 2，0.019 3）＝（0.009 0，0.009 6s，0.009 7），對(duì)應(yīng)的貼現(xiàn)值為（0.007 9，0.008 5s，0.008 0）.

表3 應(yīng)計(jì)付款的貼現(xiàn)值

類似地，表4給出了參照實(shí)體發(fā)生違約時(shí)，CDS的賣方支付予買方的預(yù)期損失的貼現(xiàn)值.如違約發(fā)生在第三年年中的概率為（0.018 0，0.019 2，0.019 3），回收率＝（0.38，0.4，0.42），對(duì)應(yīng)于第三年年中的預(yù)期損失為（0.018 0，0.019 2，0.019 3）×（1－（0.38，0.4，0.42））＝（0.010 4，0.011 5，0.012 0）其貼現(xiàn)值為（0.010 4，0.011 5，0.012 0）e－0.05×2.5＝（0.009 2，0.010 1，0.010 6）.

表4 預(yù)期損失的貼現(xiàn)值

由表2和表3，我們可知CDS買方預(yù)期支付的貼現(xiàn)值為（4.060 7，4.070 5s，4.018 2）＋（0.037 6，0.042 6s，0.046 6）＝（4.098 3，4.113 1s，4.127 8）.又由表 4 可知，CDS 買方預(yù)期損失的貼現(xiàn)值為（0.043 6，0.051 0，0.057 7），據(jù)式（12）知二者相等（4.098 3，4.113 1s，4.127 8）＝（0.043 6，0.051 0，0.057 7）.因此，根據(jù)三角模糊數(shù)的運(yùn)算法則可得 CDS溢價(jià)為（0.010 6，0.012 4，0.014 0）.該三角模糊數(shù)表示CDS溢價(jià)的近似值，即CDS溢價(jià)用介于0.010 6和0.014 0之間的任意實(shí)數(shù)，而且利用公式（1）和（2）分別求出當(dāng)CDS溢價(jià)介于0.010 6和0.014 0之間的隸屬度和非隸屬度，如表5和圖2所示.

圖2 CDS溢價(jià)的隸屬函數(shù)

表5 CDS溢價(jià)的隸屬度和非隸屬度

從表5和圖2可知，CDS溢價(jià)最可能值是0.012 4，它的隸屬度和非隸屬分別為1和0；CDS溢價(jià)的最悲觀值和最樂觀值分別為0.010 6和0.014 0，其隸屬度和非隸屬度分別均為0和1；其他CDS溢價(jià)的隸屬度和非隸屬度介于0和1之間，如CDS溢價(jià)0.012 1的隸屬度和非隸屬度分別為0.833 3和0.166 7，其中隸屬度和非隸屬度分別表示決策者認(rèn)為CDS溢價(jià)為0.012 1的肯定程度為0.833 3、否定程度為0.166 7.這不僅反映了CDS溢價(jià)的不確定性，而且刻畫了決策者對(duì)不確定性的偏好程度.

6 結(jié)論

信用違約互換是一類可以規(guī)避信用風(fēng)險(xiǎn)的重要金融衍生產(chǎn)品，在美國(guó)和歐洲國(guó)家的金融市場(chǎng)占有很大的市場(chǎng)份額.信用違約互換的“公平”價(jià)格，對(duì)于提高金融市場(chǎng)的有效性和流動(dòng)性非常重要.在信用違約互換定價(jià)中，估計(jì)違約概率、生存概率以及回收率等參數(shù)是一個(gè)核心問題.然而由于數(shù)據(jù)的不精確性和信息的不完全性，使得這些參數(shù)具有不確定性，為此本文利用三角模糊數(shù)刻畫這種不確定性，構(gòu)建模糊信用違約互換定價(jià)模型，應(yīng)用模糊方法研究信用違約互換溢價(jià)，得到了信用違約互換的價(jià)格為一個(gè)三角模糊數(shù)，反映了信用違約互換價(jià)格的不確定性，刻畫了決策者的心理特征，并且給出了相應(yīng)的數(shù)值算例說明模型和方法的有效性和適應(yīng)性，為信用違約互換定價(jià)提供了一種新的方法和思想.

基于本文研究思想，未來我們將開展動(dòng)態(tài)狀態(tài)下的模糊不確定性CDS定價(jià)研究，同時(shí)結(jié)合行為金融學(xué)考慮投資者的非理性行為對(duì)模糊不確定性下CDS價(jià)格的影響機(jī)理.