矩陣的奇異值分解在圖像壓縮中應(yīng)用

李順利 姚廷富 余萍 李丹

摘要：隨著大數(shù)據(jù)技術(shù)的飛速發(fā)展，矩陣分解特別是矩陣的奇異值分解（SVD）在數(shù)據(jù)檢索、圖像壓縮、人臉識別、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。針對圖像壓縮問題，首先給出了矩陣奇異值分解的基本理論，指出了矩陣奇異值的存在和唯一性，同時分析了矩陣奇異值分解的一般方法并用Matlab加以實現(xiàn);然后論述了矩陣奇異值分解用于圖像壓縮的基本原理，最后用數(shù)值實驗展示理論方法的有效性。

關(guān)鍵詞：矩陣分解;圖像壓縮;低秩逼近

中圖分類號：TP18? ? ? 文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-3044（2022）19-0001-02

1 奇異值分解的基本理論

矩陣的奇異值分解（Singular Value Decomposition，簡稱SVD），在數(shù)值計算中是一種重要的矩陣分解，在最優(yōu)解問題、擾動問題[1]、最小二乘問題、廣義逆問題以及圖像處理[2]等問題中都有著重要應(yīng)用。

1.1 奇異值分解的概念

定義1.1[3] 設(shè)實矩陣[A∈Rm×n]（或復(fù)矩陣[A∈Cm×n]），半正定矩陣[ATA]（當(dāng)[A]為復(fù)矩陣時為[A?A]，[A?]為[A]的共軛轉(zhuǎn)置）的特征值為[λ1≥λ2≥…λr>λr+1=…λn=0]，則稱特征值的算術(shù)平方根，即[σi=λii=1，2，…，n]為[A]的奇異值，記作[σ1≥σ2≥…≥σr>σr+1=…=σn=0]，矩陣[A]的全部奇異值組成的集合為[σ（A）]：

[σ（A）={σ≥0：ATAx=σ2x，x∈Rn，x≠0}].

特別地，當(dāng)[A]為零矩陣時，它的奇異值為[0].

定理1.2[4] 設(shè)實矩陣[A∈Rm×n]（或復(fù)矩陣[A∈Cm×n]），則[A]的奇異值是唯一確定的，并且一定存在正交矩陣（或酉矩陣）[U=[u1，u2…um]∈Rm×m]（或[U∈Cm×m]）和正交矩陣（或酉矩陣）[V=[v1，v2，…vn]∈Rm×m]（或[V∈Cn×n]），使得[A]滿足：

[Am×n=Um×mDm×nVTn×n]， ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

其中[D=D000]，且[D=diagσ1，σ2，…，σr，] [σi（i=1，2…r）]為矩陣[A]的全部非零奇異值，稱該分解方法為矩陣的奇異值分解，[uj（j=1，2…m）]為矩陣[A]的左奇異向量，[vi（i=1，2…n）]為矩陣[A]的右奇異向量。

1.2 奇異值分解的一般步驟

1）計算[ATA]的特征值[λii=1，2，…，n]以及對應(yīng)的特征向量[ξii=1，2，…，n]并正交單位化為[vii=1，2，…，n]（標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量），組成矩陣[V];

2）求[A]的秩[r]，奇異值[σi=λii=1，2，…，n]及[D=diagσ1，σ2，…，σn];

3）由等式（1.1）可得：[AV=UD]即，[AVD-1=U]，計算[U];

4）奇異值的分解為[A=UDVT].

2 基于SVD的圖像壓縮的原理——低秩逼近

近年來，隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展，對數(shù)據(jù)存儲的要求越來越高，而我們熟知的圖像都是以數(shù)據(jù)的形式進行存儲，因此在盡量保持清晰度的基礎(chǔ)上減少圖像存儲的空間有一定的應(yīng)用價值。

定理2.1[5]（秩一逼近） 設(shè)矩陣[A]的秩為[r]， [A]的全部奇異值為[σ1≥σ2≥…≥σr>σr+1=…=σn=0]，則[A]可以表示成[r]個秩1矩陣之和：

[A=U（D1+D2+…+Dr+…Dn）VT=j=1rσjujvTj]， ? （2）

其中[Dj=diag（0，…，0，σj，0…，0）]， [j=1，2，…，n.]

定義2.1[6]? 當(dāng)矩陣[A]的秩為[r

[Am×n=Um×rD′r×rVTr×n] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

其中[Um×r=[u1，u2…ur]]，[D′r×r=diagσ1，σ2，…，σr]，[Vr×n=[v1，v2，…vr]]等式（3）稱為矩陣[A]的截斷奇異值分解（truncated SVD），或稱為薄奇異值分解（thin SVD）。

圖像壓縮的重點和難點在于尋找矩陣[A]的低秩逼近矩陣[Ak]，[Ak]需滿足數(shù)據(jù)量較矩陣[A]?。ㄕ純?nèi)存較少）并且保留主要“特征”，不妨令[rank（Ak）=k]，[k

[Ak=j=1kσjujvTj]，[k

根據(jù)矩陣[A]的Frobenius范數(shù)（F范數(shù)）的正交（復(fù)數(shù)域為酉）不變性，矩陣[A]的Frobenius范數(shù)為：

[AF=UDVTF=DF=σ21+σ21+…σ2r]

則矩陣[A]與矩陣[Ak]的低秩逼近問題可以表示為如下最小二乘問題：

[min? ? ? ? ? ? ? rank（B）=kA-BF=A-AkF=σ2k+1+σ2k+2+…σ2r] （5）

這一結(jié)論就是數(shù)據(jù)壓縮的基本原理。

3 圖像壓縮數(shù)值實驗

3.1 基于SVD分解的圖像壓縮的基本步驟：

1）將圖片讀取為數(shù)據(jù)矩陣，如果是彩色圖片，需要進行灰度處理。

2）設(shè)置壓縮比[7-8][ρ]，其中[ρ=mnk（m+n+1）]，[k]越小，壓縮比越大，壓縮后的圖像內(nèi)存越小，但是清晰度越差。

3）對數(shù)據(jù)矩陣進行SVD分解，如果數(shù)據(jù)矩陣不是方陣（圖像為長方形），則轉(zhuǎn)化為截斷SVD分解。

4）用SVD分解的低秩逼近進行重構(gòu)。

5）讀取壓縮后的圖像。

3.2 實例分析

1）圖像讀取

原始圖像命名為wangym.jpg，分辨率：為690×464，大?。?96KB。

將原始圖像讀取為數(shù)據(jù)矩陣[A]，Matlab命令如下：

>> A=imread（'wangym.jpg'）;? ?%結(jié)果為464×690×3，3代表是彩色圖像

>> imshow（A）;? ?%展示[A]矩陣對應(yīng)的Matlab圖片

>> A_gray=rgb2gray（A）;%將彩色圖像轉(zhuǎn)化為灰度圖像（三維轉(zhuǎn)化為二維）

>> imshow（A_gray）

2）設(shè)置壓縮比，并對讀取的數(shù)據(jù)矩陣[A]進行SVD分解

>>[m，n] = size（A_gray）;? ? ?%獲取圖像的行數(shù)和列數(shù)

>>k = 50;? ? ? ? ? ? ? ? ?%設(shè)定壓縮比率，不同數(shù)值壓縮比不同。

>>A_gray = double（A_gray）;%轉(zhuǎn)為雙精度

>>[U，S，V] = svd（A_gray）;? ?%奇異值分解

>>S= diag（S）;? ? ? ? ? ? ?% 變成列向量

>>S（k：end）=0;? ? ? ? ? ? ?%保留前k個奇異值

3）對于長方形圖片進行截斷SVD分解并進行低秩逼近

>>if m>=n

>>S = [diag（S）;zeros（m-n，n）];

>>else S = [diag（S），zeros（m，n-m）];

>>end

>>g = U*S*V'; % S的奇異值分解

>>g = uint8（g）;

4）顯示壓縮率并讀取壓縮后的圖像

>>rho = n^2/（k*（2*n+1））; %壓縮率

>>subplot（2，2，2），imshow（mat2gray（g）），title（'壓縮圖'）;

3.3壓縮率和奇異值對比分析

在公式（5）中，[k]的取值對SVD分解的低秩逼近有直接影響，因為僅用前[k]個奇異值代替了全部的奇異值，一般情況下[k]的取值越小，參數(shù)的誤差較大，因此雖然壓縮率較高但清晰率較低。

在實例分析中，選取的圖像為690×464（對應(yīng)數(shù)據(jù)矩陣[A]的大小為464行、690列），如圖5所示，基于SVD低秩逼近的壓縮方法能夠取得較好的壓縮效果，需要說明的是如果是超大圖片，一般的SVD方法壓縮效率較低，上述Matlab程序可以進一步優(yōu)化。

參考文獻：

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收稿日期：2022-02-25

基金項目：貴陽學(xué)院2020年大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項目（項目編號：0203008002035，0203008002029），市科技局-李順利GYU-KYZ（2019-2020）PT06-04 （項目編號：K1930000701225）

作者簡介：李順利（1982—），男，山東濟寧人，博士研究生，副教授，主要研究方向為數(shù)值圖像處理。