用高觀點(diǎn)揭示一類導(dǎo)數(shù)壓軸題的本質(zhì)

范明輝

(湖北省荊門市龍泉中學(xué) 448000)

1 問(wèn)題的提出

例1(2015年全國(guó)高考Ⅱ卷第12題)設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(-1)=0，當(dāng)x>0時(shí)，xf′(x)-f(x)>0，則使得函數(shù)f(x)>0成立的x取值范圍是( ).

A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1)

C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)

上例中出現(xiàn)了“xf′(x)-f(x)>0”的結(jié)構(gòu)式，解決此類問(wèn)題需要構(gòu)造輔助函數(shù).對(duì)于此類題目，有一些常見(jiàn)結(jié)構(gòu)式的輔助函數(shù)構(gòu)造方法：

(1)若f(x)+xf′(x)>0(或<0)，可構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=xf(x)；

(3)若nf(x)+xf′(x)>0(或<0)，可構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=xnf(x)；

(5)若f(x)+f′(x)>0(或<0)，可構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=exf(x)；

在日常教學(xué)中，教師一般會(huì)要求學(xué)生熟記以上常見(jiàn)結(jié)構(gòu)式的輔助函數(shù)，然后再加以訓(xùn)練來(lái)鞏固記憶，然而，此類題目往往只有少數(shù)學(xué)生能夠成功解決.問(wèn)題的關(guān)鍵在于，如何去構(gòu)造這樣的輔助函數(shù)？構(gòu)造方法是怎樣的？有沒(méi)有一般的步驟呢？

2 “輔助函數(shù)”的構(gòu)造原理(基于不定積分原理)

對(duì)于結(jié)構(gòu)為y′+P(x)y=Q(x)的方程，結(jié)合求導(dǎo)法則[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u′(x)v(x)，將方程兩端同乘以一個(gè)非零因子r(x)，得

r(x)y′+r(x)P(x)y=r(x)Q(x).

①

對(duì)比求導(dǎo)法則(yr)′=y′r+yr′，得

r′(x)=r(x)P(x).

對(duì)上式兩邊同時(shí)積分,得

②

將②式代入①式,得

③

2.1 結(jié)構(gòu)為y′+P(x)y=0的形式

此時(shí)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)中包含方程的左邊部分P(x)y+y′，而在高中相關(guān)類型導(dǎo)數(shù)題中往往給出了這部分與零之間的不等關(guān)系，從而可以判斷出函數(shù)g(x)的單調(diào)性，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)知識(shí)求解.

2.2 結(jié)構(gòu)為y′+P(x)y=Q(x)的形式

若Q(x)≠0，則y′+P(x)y=Q(x).

可變形為y′+P(x)y-Q(x)=0.

④

⑤

結(jié)合求導(dǎo)法則[u(x)-v(x)]′=u′(x)-v′(x)，可將⑤式進(jìn)一步變形為

因此，可構(gòu)造“輔助函數(shù)”

此時(shí)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)中包含④式的左邊部分y′+P(x)y-Q(x)，而在高中相關(guān)類型導(dǎo)數(shù)題中往往給出了這部分與零之間的不等關(guān)系，從而可以判斷出函數(shù)g(x)的單調(diào)性，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)知識(shí)求解.

此類結(jié)構(gòu)的構(gòu)造原理，基于不定積分的相關(guān)方法，讀者可以深入了解，也可略過(guò).

3 結(jié)構(gòu)為P(x)f(x)+f ′(x)的類型

例1解析當(dāng)x>0時(shí)，xf′(x)-f(x)>0，

因此可構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=e-lnx·f(x).

當(dāng)x>0時(shí)，g′(x)>0，

所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

由于函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且f(-1)=0，所以g(x)為偶函數(shù)，且g(-1)=g(1)=0.

因此，g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，在(-∞,0)上單調(diào)遞減.要求函數(shù)f(x)>0成立的x取值范圍，則xg(x)>0，易知x∈(-1,0)∪(1,+∞)，故選A.

下面對(duì)結(jié)構(gòu)式為P(x)f(x)+f′(x)類型的算法步驟進(jìn)行總結(jié)：

(1)將題設(shè)條件中的結(jié)構(gòu)式化歸為P(x)f(x)+f′(x)，即讓“f′(x)”的系數(shù)變?yōu)?；(2)找到P(x)，并借助導(dǎo)數(shù)公式尋找其一個(gè)原函數(shù)φ(x)；(3)構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=eφ(x)·f(x).

按照上述步驟，我們?cè)賮?lái)看一看常見(jiàn)結(jié)構(gòu)的構(gòu)造方法：

(5)若f(x)+f′(x)>0(或<0)，則P(x)=1，其一個(gè)原函數(shù)為y=x，因此可構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=exf(x)；

4 結(jié)構(gòu)為f ′(x)+P(x)f(x)-Q(x)的類型

例2(2009年天津文科高考題)設(shè)函數(shù)f(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且2f(x)+xf′(x)>x2，下面的不等式在R上恒成立的是( ).

A.f(x)>0 B.f(x)<0

C.f(x)>xD.f(x)

解析因?yàn)?f(x)+xf′(x)>x2，

所以2f(x)+xf′(x)-x2>0.

求導(dǎo)，得g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)-x3.

即g′(x)=x[2f(x)+xf′(x)-x2].

綜上，f(x)>0，故選A.

下面對(duì)結(jié)構(gòu)式為f′(x)+P(x)f(x)-Q(x)類型的算法步驟進(jìn)行總結(jié)：

(1)將題設(shè)條件中的結(jié)構(gòu)式化歸為f′(x)+P(x)f(x)-Q(x)，即讓“f′(x)”的系數(shù)變?yōu)?；(2)找到P(x)，并借助導(dǎo)數(shù)公式尋找其一個(gè)原函數(shù)φ(x)；(3)利用求導(dǎo)公式尋找eφ(x)Q(x)的一個(gè)原函數(shù)ψ(x)；(4)構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=eφ(x)·f(x)-ψ(x).

此類問(wèn)題一般出現(xiàn)在選擇題或填空題的壓軸題位置，難度較高，其難點(diǎn)在于構(gòu)造出“輔助函數(shù)”.經(jīng)過(guò)本文的探究，找到了構(gòu)造相應(yīng)“輔助函數(shù)”的一般步驟，將難點(diǎn)轉(zhuǎn)化為“逆用導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)公式，尋找導(dǎo)數(shù)的原函數(shù)”.