導(dǎo)數(shù)法在高中數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用

楊 飛

(山東省費(fèi)縣第一中學(xué) 273400)

導(dǎo)數(shù)的概念、性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)在高中數(shù)學(xué)中具有重要的地位，也成為了學(xué)生解答數(shù)學(xué)習(xí)題的有效輔助工具，能夠?qū)?fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，簡(jiǎn)便學(xué)生的解題流程，實(shí)現(xiàn)提高數(shù)學(xué)成績(jī)的目的.因此，高中數(shù)學(xué)教師要積極采取先進(jìn)的教學(xué)方法，在高中教學(xué)中融入導(dǎo)數(shù)法的教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生能夠利用導(dǎo)數(shù)法解答數(shù)學(xué)難題.

1 導(dǎo)數(shù)分析

導(dǎo)數(shù)法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有關(guān)鍵性的地位.導(dǎo)數(shù)的概念、性質(zhì)以及幾何意義需要學(xué)生熟練掌握，并進(jìn)行實(shí)際的應(yīng)用，需要學(xué)生明確導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵，理解公式的推導(dǎo)過程，要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法，簡(jiǎn)化解題流程，充分發(fā)揮學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，將導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、幾何圖形、不等式等相關(guān)知識(shí)進(jìn)行有效地融合，真正地將導(dǎo)數(shù)法應(yīng)用到具體的數(shù)學(xué)生活中.

2 導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的有效運(yùn)用

2.1 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題

使用函數(shù)圖象解決函數(shù)單調(diào)性的問題存在一定的局限性，對(duì)于簡(jiǎn)單的函數(shù)可以直接觀察函數(shù)的圖象進(jìn)行解決，而對(duì)于復(fù)雜的函數(shù)通過圖象難以判斷該函數(shù)的單調(diào)性，需要具體問題具體分析.將導(dǎo)數(shù)法和數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來，及時(shí)解決并計(jì)算函數(shù)問題，明確函數(shù)的單調(diào)性，讓學(xué)生能夠在較短的時(shí)間內(nèi)獲得函數(shù)單調(diào)性的答案.

通過利用導(dǎo)數(shù)法，幫助學(xué)生用最少的時(shí)間獲得最準(zhǔn)確的問題答案，從而縮短學(xué)生的思考時(shí)間，讓學(xué)生能夠有更多的精力和時(shí)間去解決其他問題.

2.2 求單調(diào)區(qū)間

例2已知函數(shù)f(x)=ax+x2-xlna(a>0且a≠1),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

解析因?yàn)閒(x)=ax+x2-xlna，所以f′(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna.令g(x)=2x+(ax-1)lna,因?yàn)閍>0且a≠1,所以g′(x)=2+ax(lna)2>0.所以f′(x)在R上是增函數(shù).又因?yàn)閒′(0)=0,所以不等式f′(x)> 0的解集為(0,+∞).故函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞),單調(diào)減區(qū)間為 (-∞,0).

此外，學(xué)生在掌握基礎(chǔ)的計(jì)算方法后，還可以舉一反三，利用導(dǎo)數(shù)法能夠有效縮減學(xué)生的解題時(shí)間，讓學(xué)生快速求出答案，解出題目中參數(shù)的取值范圍.

2.3 利用單調(diào)性求字母取值范圍

2.4 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題

通常情況下，?？嫉臄?shù)學(xué)極值問題會(huì)給出一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，并明確該函數(shù)的具體區(qū)間范圍，讓學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)，利用導(dǎo)數(shù)法求出該函數(shù)在該區(qū)間范圍內(nèi)的極值，并計(jì)算出在該區(qū)間內(nèi)的具體極大值和極小值，完成數(shù)學(xué)解題步驟.

例4求函數(shù)f(x)=x3-12x的極值.

解析函數(shù)定義域?yàn)镽，

f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2).

令f′(x)=0，得x=2或x=-2.

當(dāng)x>2或x<-2時(shí)，f′(x)>0,

故函數(shù)在(-∞,-2)和(2,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)-2

故函數(shù)在(-2，2)上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)有極大值f(-2)=16，

當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有極小值f(2)=-16.

函數(shù)極值的概念具有較強(qiáng)的抽象性，學(xué)生在實(shí)際理解和運(yùn)用過程中具有一定的困難.學(xué)生可以靈活利用導(dǎo)數(shù)法，從根本上降低解決函數(shù)問題的難度，明確解題思路，快速地解決函數(shù)極值問題.

2.5 利用導(dǎo)數(shù)解決切線問題

函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義是指在函數(shù)上某一點(diǎn)的切線斜率.學(xué)生要掌握基本的求切線的方法，合理地利用導(dǎo)數(shù)思維提高解題的正確率和有效性.

又切線PM過點(diǎn)P(1,0)，則

同理，由切線PN也過點(diǎn)P(1,0)，

2.6 利用導(dǎo)數(shù)法解決不等式問題

導(dǎo)數(shù)也能夠有機(jī)地解決不等式的相關(guān)問題，能夠充分結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際，利用導(dǎo)數(shù)法去解決實(shí)際的數(shù)學(xué)問題，將新舊知識(shí)有效結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的整體思維和實(shí)踐能力.

綜上，高中學(xué)生可以有效地將函數(shù)與不等式的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，通過利用導(dǎo)數(shù)法讓學(xué)生在解題過程中能夠舉一反三，能夠利用多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)對(duì)問題進(jìn)行解決，從而讓學(xué)生的解題思路和解題方法更加靈活.

3 指導(dǎo)學(xué)生用導(dǎo)數(shù)法解決函數(shù)問題的注意事項(xiàng)

(1)導(dǎo)數(shù)的概念是基礎(chǔ),要多理解.要知道導(dǎo)數(shù)是函數(shù)平均變化率的極限值，后邊求導(dǎo)公式就是從概念出發(fā)推導(dǎo)出來的.

(2)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算是基本功,要多練習(xí).常見函數(shù)求導(dǎo)公式必須記熟，導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則要在練習(xí)中熟練起來.

(3)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是落腳點(diǎn),要注意數(shù)形結(jié)合.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間和極值、最值是基本問題，要練熟，稍微復(fù)雜的問題要善于結(jié)合函數(shù)圖象尋找解題思路.

(4)具體解題中還要注意函數(shù)定義域等細(xì)節(jié)問題.

(5)多練習(xí)數(shù)學(xué)習(xí)題，明確導(dǎo)數(shù)法的使用規(guī)則，掌握數(shù)學(xué)題型，舉一反三.

例7已知{an}是遞增數(shù)列且an=n2+bn對(duì)任意n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

解析本題如果采取化離散為連續(xù)的解題方法，會(huì)使用導(dǎo)數(shù)法求解，常常會(huì)出現(xiàn)如下做法:

構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)=x2+bx,則f(x)應(yīng)在[1，+∞)上單調(diào)遞增，即b≥-2x在[1，+∞)上恒成立，故有b≥-2.

上述解答由{an}是遞增數(shù)列，可斷定f(x)=x2+bx在[1，+∞)上單調(diào)遞增是錯(cuò)誤的.

圖1

所以，本題的正確解法是:由{an}單調(diào)遞增得an-2n-1對(duì)任意n∈N恒成立.

又(-2n-1)max=-3，故有b>-3為所求.

在教學(xué)過程中，高中數(shù)學(xué)教師要注重導(dǎo)數(shù)部分的教學(xué)，要在教學(xué)過程中綜合利用實(shí)踐法、討論法等多種方式，讓學(xué)生能夠真正學(xué)會(huì)導(dǎo)數(shù)，明確導(dǎo)數(shù)法與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，真正地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)散學(xué)生的思維，從而更好地貫徹素質(zhì)教育的教學(xué)理念，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐應(yīng)用能力.