例析離心率問題

金鐵強(qiáng)

(浙江省諸暨市草塔中學(xué) 311812)

圓錐曲線離心率問題通常是指橢圓和雙曲線的離心率問題，一般包含兩類：一是求離心率值；二是求離心率的取值范圍.求解離心率，一般是構(gòu)造參數(shù)a,c或a,b等式或者不等式，找出它們的關(guān)系，從而計(jì)算.離心率問題難點(diǎn)不在求解，而在找等量關(guān)系或者不等量關(guān)系，也就是找出題目中的數(shù)學(xué)本源.如何能在最短的時(shí)間內(nèi)，找到關(guān)系，最有效的辦法是從數(shù)學(xué)本源出發(fā)，研究命題方向和結(jié)合的知識(shí)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探究方法，形成一系列解題策略.

1 特殊三角形與離心率

這類題目通常利用特殊三角形的性質(zhì)來找參數(shù)關(guān)系，用到的性質(zhì)一般有邊角相等、三角形相似、面積公式、正余弦定理、角平分線性質(zhì)、高的性質(zhì)、中線的性質(zhì)等，解題方法可用代數(shù)法也可用幾何法，通常數(shù)形結(jié)合，用幾何法計(jì)算量較小，運(yùn)算相對(duì)簡(jiǎn)單.

解析因?yàn)轫旤c(diǎn)A,B在雙曲線上，由雙曲線的定義，可得到含四個(gè)參量的兩個(gè)等式，結(jié)合等腰直角三角形這個(gè)條件，可以消掉兩個(gè)參量，再利用Rt△F1BF2解出BF1，BF2的值.

如圖1，不妨設(shè)點(diǎn)B是Rt△F1AB的直角頂點(diǎn)，則

圖1

①

又點(diǎn)A,B在雙曲線上，由雙曲線的定義，得AF1-AF2=2a，BF1-BF2=2a.

②

在Rt△F1BF2中，由勾股定理，得

2 平行四邊形與離心率

與平行四邊形結(jié)合的離心率問題一般有兩類，一類是題目中存在四邊形；另一類是利用圓錐曲線的對(duì)稱性構(gòu)造四邊形.用到的性質(zhì)通常有：對(duì)邊平行相等；兩條對(duì)角線長(zhǎng)度的平方和等于兩倍的兩個(gè)鄰邊的平方和等.解題時(shí)可用代數(shù)法也可用幾何法.

圖2

解析因?yàn)閨PM|2+|PN|2是定值，而式子中的兩個(gè)線段長(zhǎng)度不好表示，所以可以利用平行四邊形的對(duì)稱性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.點(diǎn)P在橢圓上，坐標(biāo)滿足橢圓方程，于是想到把定值轉(zhuǎn)化成與點(diǎn)P坐標(biāo)有關(guān)的量，代入橢圓方程，就找到了一個(gè)有關(guān)參數(shù)的等量關(guān)系.

3 圓與離心率

借助于圓的性質(zhì)求離心率問題的題目相對(duì)較多，考查點(diǎn)通常是圓的性質(zhì)和圓錐曲線性質(zhì)的結(jié)合，比如弦的中點(diǎn)與圓心的連線與弦垂直，直徑所對(duì)的圓周角是90°，半徑相等，圓與圓的位置關(guān)系等.

圖3

解析兩圓的半徑分別有參數(shù)a,c，找a,c的關(guān)系，只需找兩圓的關(guān)系即可.解題方法可以用代數(shù)法也可用幾何法，但幾何法要相對(duì)簡(jiǎn)單.

由對(duì)稱性可知PQ⊥x軸，因?yàn)镺F是圓的直徑，且|PQ|=|OF|，所以PQ也是圓的直徑.

所以△POM是直角三角形.

于是有OP2=OM2+PM2.

4 變量的范圍與離心率

該類題目通常是先給出標(biāo)準(zhǔn)方程中某個(gè)參數(shù)的范圍，或者變量的范圍，再結(jié)合具體圖形的平行關(guān)系、共線關(guān)系、垂直關(guān)系等求離心率的取值范圍.通常用代數(shù)法來求解.

圖4

圖5

因?yàn)镸(x0,y0)在第一象限，所以x0

總之，對(duì)于比較復(fù)雜的離心率問題，找出等量關(guān)系或者不等關(guān)系是關(guān)鍵，通常會(huì)與很多知識(shí)結(jié)合起來，有時(shí)還涉及數(shù)形結(jié)合.對(duì)于一些常見公式，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生自主觀察、獨(dú)立思考，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，找出數(shù)學(xué)本源，從而更有效、簡(jiǎn)潔地解決它，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).