基于能力素養(yǎng)培育的命題實(shí)踐研究
——以“平面向量題命制的四種形式”為例

山東 劉目勇

解題和命題不僅僅是一個互逆的關(guān)系，更是一對相輔相成高效掌握數(shù)學(xué)核心知識的方法.教師的成長和學(xué)生核心素養(yǎng)的提高不能僅僅停留在解題的層次，而是需要換一種全新的角度，從命題的角度出發(fā)，洞察命題人的命題思路，解題就會事半功倍，對數(shù)學(xué)知識和方法的理解才會上升到一個比較高的層次.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，命題是一項(xiàng)重要而又艱難的工作，是一門技術(shù)，也是一門藝術(shù).能夠命制合格的試題乃至優(yōu)秀的試卷，體現(xiàn)了一個教師的專業(yè)水平.很多情況下，我們遇到的大量題目，尤其是難題，常常屬于會做，但卻不知它是如何命制的，如果能夠洞察命題人的想法，那么做起題來就能事半功倍.研究命題的角度和形式對于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)起著至關(guān)重要的作用，所以在備考中教師要著力提升這一方面的研究.

命題的過程是一個反復(fù)琢磨的復(fù)雜過程，一道優(yōu)秀的試題往往不是憑空捏造、從天而降，一般都會有題目的起源，可能是某種情境或某個核心概念，也可能是某道經(jīng)典問題的拓展延伸.命題人通過“改編、類比、借鑒、原創(chuàng)”等多種形式找到題源，再利用“新舊結(jié)合”“移花接木”，甚至“推倒重建”等手段不斷修改完善，最終才能命制出高質(zhì)量的試題.本文將以高考壓軸選擇或填空題經(jīng)常眷顧的平面向量內(nèi)容為例，呈現(xiàn)幾道試題反復(fù)研磨命制的過程，從四種常見形式來談?wù)劽}實(shí)踐中的一些具體做法.

一、源于平面幾何問題的改編

向量是數(shù)形結(jié)合的主陣地，很多向量問題都與平面幾何圖形有著千絲萬縷的聯(lián)系，只要學(xué)會了如何用向量語言描述幾何圖形，就能實(shí)現(xiàn)在代數(shù)向量與幾何圖形之間的自由切換.實(shí)際上，命題與解題恰好是一組互逆的操作，如果說我們在平時解題的過程中，習(xí)慣于通過翻譯向量條件畫出幾何圖形，那么命題的過程常常就是將幾何圖形用向量語言予以刻畫.

【案例1】如圖，在邊長為1的正△ABC的邊AB,AC上分別取D,E兩點(diǎn)，使沿線段DE折疊三角形時，頂點(diǎn)A正好落在邊BC上，則線段AD的最小值為________.

第1次命制：初步向量化

第2次命制：向量代數(shù)化

則點(diǎn)A在射線BA上運(yùn)動,問題轉(zhuǎn)化為求|OD|=λ的最小值，其中0<λ<1.

在△ABD中，|AD|=|OD|=λ,|BD|=1-λ,

當(dāng)且僅當(dāng)sinθ=1,即AD⊥AB時取得最小值.

第3次命制：條件的等價代換

第4次命制：改變題型

A.有最小值，但無最大值

B.有最小值，也有最大值

C.無最小值，但有最大值

D.既無最小值，又無最大值

分析：作圖后容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)A自點(diǎn)B向右移動時，點(diǎn)D也隨之而動，顯然當(dāng)OA⊥OB時，CD∥OB，即λ→+∞，所以λ無最大值，但有最小值.這里，學(xué)生也可能會誤以為當(dāng)點(diǎn)A趨近于點(diǎn)B時，λ→0.5，選擇題的題型存在誤判風(fēng)險.

二、源于核心考點(diǎn)的包裝

【案例2】命題目標(biāo)：借助極化恒等式解決的數(shù)量積問題.

第1步：如圖，作長度為m的線段AB，并取中點(diǎn)D；

因?yàn)镋點(diǎn)恰好為線段AB的四等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)B)，

即(a-b)·(a+3b)=0.

第1次命制：為運(yùn)算簡便，令m=4

已知平面向量a,b滿足|a-b|=4，(a-b)·(a+3b)=0，則a·b的最小值為________.

第2次命制：已知平面向量a,b滿足|a-b|=4，a2-a·b=12，則a·b的最小值為________.

第3次命制：已知平面向量a,b滿足|a-b|=4，a2-b2=8，則a·b的最小值為________.

點(diǎn)評：3次命制的試題異曲同工，都是源自于刻畫垂線所得，如果教師或?qū)W生沒有一定的經(jīng)驗(yàn)，是很難想到它的源頭的，解決問題時效率就會大打折扣甚至無法進(jìn)行下去.命題和解題是一對 “冤家”，看不出源頭也可以采取其他解決的辦法，可以選擇建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)解析化來解讀條件，以a2-b2=8為例說明如下：

以AB的中點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A(-2,0),B(2,0),O(x,y)，則可得方程(x+2)2+y2-(x-2)2-y2=8，即x=1，由此確定點(diǎn)O在垂線l上運(yùn)動.

建系設(shè)點(diǎn)是一種很好且常用的解題手段，但很難想象通過建系設(shè)點(diǎn)能命制出這一類型的平面向量題目，只會建系的人只是一個普通的解題者，真正懂向量語言的人才可能成為命題人.對于學(xué)生來說，學(xué)習(xí)平面向量的真正目的應(yīng)該是掌握這一功能強(qiáng)大的語言，并可以熟練應(yīng)用，這正是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真正能力及素養(yǎng)所在.

三、源于其他知識的類比

向量是一種具備豐富運(yùn)算規(guī)律的運(yùn)算對象，它與實(shí)數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算有許多異曲同工之處，所以將實(shí)數(shù)多項(xiàng)式的問題，改編成向量問題是一種比較常見的類比改編.

【案例3】設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是________.

命題思路：這個題目的解法多樣且常見，如果將所有的實(shí)數(shù)x,y都改為向量a,b，會是一個什么樣的局面呢？

第1次命制：已知平面向量a,b滿足4a2+b2+a·b=1，則|2a+b|的最大值等于________.

因?yàn)?a2+b2≥4|a||b|≥4a·b，

第2次命制：已知平面向量a,b滿足4a2+b2+a·b=1，則|a+2b|的最大值等于________.

解：設(shè)a與b的夾角為θ，

當(dāng)t=0時，|a+2b|2≤4，當(dāng)t≠0時,

綜上，當(dāng)且僅當(dāng)t=0，cosθ=1時，即a=0且|b|=1時，|a+2b|的最大值等于2.

四、源于圖形情境的構(gòu)造

過圓心C作CE⊥AB于點(diǎn)E,

五、結(jié)束語