由一道概率統(tǒng)計試題引發(fā)的命題探究與思考

湖南 劉仲喜

高中數(shù)學課程應力求通過各種形式自主學習、探究活動，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識.但在具體的教學實踐中，這一理念往往被形式化.由于情境與問題的封閉性，會使學生提不起探究的興趣，即便完成了學習目標也不能獲得探究的愉悅感.探究需要問題，而問題的產(chǎn)生則來源于興趣和發(fā)現(xiàn)；探究需要方法，而方法需要經(jīng)驗.

一、問題呈現(xiàn)

筆者學校高二階段考數(shù)學試題命制時，筆者設(shè)計了如下一道試題：

【題目】甲、乙兩人進行投籃比賽，要求各投籃2次，并約定按最后的結(jié)果獲勝者每多投進一球，對方就要付給他5元錢.已知甲、乙兩人每次投中的概率分別為0.8，0.6.

試求：(1)事件A“在甲第一次未投進的條件下，乙獲勝”的概率；

(2)甲贏得的錢數(shù)X的數(shù)學期望.

解析：(1)事件A包含事件B“甲第二次未投中，乙至少投中一次”和事件C“甲第二次投中，乙投中兩次”，且事件B與C互斥.

故P(A)=P(B)+P(C)=0.2×(1-0.4×0.4)+0.8×0.6×0.6=0.456.

故X的分布列為

X-10-50510P0.014 40.134 40.390 40.358 40.102 4

所以數(shù)學期望E(X)=(-10)×0.014 4+(-5)×0.134 4+0×0.390 4+5×0.358 4+10×0.102 4=2.

此題的立意非常好，較貼近現(xiàn)實生活，按常規(guī)的方法計算量比較大，但數(shù)學期望的值十分簡潔干脆，其中是否蘊含著某種顯而易見的結(jié)論或者規(guī)律呢？從而引起了筆者的關(guān)注與思考，接下來筆者進行了一番探究.

二、問題探究

探究一：E(X)=2是否有意義？

E(X)=2這個結(jié)果充滿了驚喜！那么它究竟有沒有特殊的意義呢？為了探究這個問題，筆者根據(jù)生活的經(jīng)驗對原題的比賽規(guī)則:甲、乙各投籃2次，并約定按最后的結(jié)果獲勝者每多投進一球，對方就要付給他5元錢(下稱規(guī)則1).作出了如下兩種假定(依次稱規(guī)則2與規(guī)則3)：

規(guī)則2：讓甲先投兩次，每投進一球，乙付給甲5元；再讓乙投兩次，每投進一球，甲付給乙5元.那么按這個比賽規(guī)則，甲贏得錢的數(shù)學期望E1=5×2×0.8=8(元)，甲輸錢數(shù)的數(shù)學期望E2=5×2×0.6=6(元)，因此，甲贏得錢數(shù)的數(shù)學期望E(X)=8-6=2(元)；

規(guī)則3：甲乙各投球一次算一局，結(jié)算后再進行下一局.按這個規(guī)則，甲每一局贏得錢數(shù)的數(shù)學期望E0=-5×0.2×0.6+0×(0.2×0.4+0.8×0.6)+5×0.8×0.4=1

要求每人投兩次，故甲贏得錢數(shù)的數(shù)學期望E(X)=2E0=2.

這樣一來，無論是規(guī)則2還是規(guī)則3，似乎E(X)=2的意義都簡潔明了，甚至無需證明就可以接受規(guī)則3與規(guī)則1是等效的.然而計算簡潔的規(guī)則2和它們等效嗎？

探究二：三個規(guī)則是否是等效的？

為探究這個問題只需將題目的條件作一般化處理:設(shè)甲乙兩人每次投中的概率分別是p,q.

按規(guī)則2：E(X)=5×2p-5×2q=10(p-q)，

按規(guī)則3：E0=-5(1-p)q+0·[(1-p)(1-q)+pq]+5p(1-q)=5(p-q).

故E(X)=2E0=10(p-q).也就是說規(guī)則2與規(guī)則3是等效的.而按規(guī)則1則有

因此這三個規(guī)則是等效的.顯而易見規(guī)則2更為簡潔明了.那么這個結(jié)論能否推廣？

探究三：嘗試將此結(jié)論推廣

為了探究將此結(jié)論推廣，筆者繼續(xù)變換題目中的條件：“每人各投兩次”改為“甲、乙各投三次”，分別按三個規(guī)則計算得：

按規(guī)則2：E(X)=5×3p-5×3q=15(p-q)，

按規(guī)則3：E0=-5(1-p)q+0·[(1-p)(1-q)+pq]+5p(1-q)=5(p-q).

故有：E(X)=3E0=15(p-q).

按規(guī)則1：

或者改為“甲投兩次，乙投三次”.分別按三個規(guī)則計算三個規(guī)則的結(jié)果仍然是相同的！

由此可見這三個規(guī)則總是等效的.那么根據(jù)規(guī)則2可得到一個重要結(jié)論:

甲、乙兩人進行投籃比賽，要求各投籃n次，并約定按最后的結(jié)果獲勝者每多投進一球，對方就要付給他A元錢.已知甲乙兩人每次投中的概率分別為p,q，那么甲贏得錢數(shù)X的期望E(X)=nA(p-q).

甚至是更一般的結(jié)論：

甲、乙兩人進行投籃比賽，要求甲投籃n次，乙投籃m次，并約定甲每投進一球，乙要付給他A元錢，乙每投進一球，甲要付給他B元錢.已知甲、乙兩人每次投中的概率分別為p,q.那么甲贏得錢數(shù)X的期望E(X)=nAp-mBq.

從組合數(shù)學的角度來看，便可以輕松地得到如下的公式:

限于筆者的學識，不能斷定這兩個公式在組合數(shù)學有無用處，但它們的結(jié)果簡潔優(yōu)美而且上述推理的過程又是如此的直觀，是值得讓人驚嘆的!最后回到原題的情境，假設(shè)現(xiàn)在乙發(fā)現(xiàn)這樣的比賽并不公正，提出要求修改比賽規(guī)則，那么又應該如何修改呢?

探究四：怎樣制定公正的規(guī)則？

所謂比賽公正，用數(shù)學的觀點來看是概率均等或者是期望相等，就此題來看當然就是指期望相等.在現(xiàn)實生活中通常可以從兩個角度來調(diào)衡：方案一:乙投球的次數(shù)比甲多；方案二：乙投進的每個球甲多付一些錢.根據(jù)上面得到的結(jié)論，若按方案一可調(diào)整為：甲投三次而乙投四次；若按方案二可調(diào)整為：甲每投進一球，乙付給他3元，乙每投進一球，甲付給他4元.這與我們生活中的經(jīng)驗是一致的，可以看到數(shù)學在生活中的應用.

三、關(guān)于探究的思考

根據(jù)新的《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》的基本理念“倡導積極主動、勇于探索的學習方式”的要求，高中數(shù)學課程應力求通過各種形式自主學習、探究活動，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的歷程，發(fā)展它們的創(chuàng)新意識.但在具體的教學實踐中，這一理念往往被形式化：教師根據(jù)教學內(nèi)容設(shè)置相應的情境，接著由教師或?qū)W生提出一些猜想或問題，然后引導學生討論探究，嘗試解決問題，最后總結(jié)歸納形成結(jié)論.這樣的教學有助于培養(yǎng)學生的探究意識，然而由于情境與問題的封閉性，會使學生提不起探究的興趣，即便完成了學習目標也不能獲得探究的愉悅感.如何從教學的實踐與現(xiàn)實的生活中去挖掘可以值得探究的數(shù)學問題，以更加開放的形式來引導學生進行自主探究學習也許是每個數(shù)學教師面臨的一個嶄新課題.首先，探究需要問題，而問題的產(chǎn)生則來源于興趣和發(fā)現(xiàn).如在進行上面的探究之前，筆者是因為發(fā)現(xiàn)運算的復雜性和結(jié)果的簡潔性而產(chǎn)生了濃厚的興趣，是出于對簡潔美的追求，或者說是一種信念“凡是簡潔的都必定是具有和諧之美”.而這樣的素質(zhì)正是非智力的因素的范疇，是我們現(xiàn)實的數(shù)學教學中需要大力倡導的.作為一名教師發(fā)現(xiàn)學生最需要的能力就是發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，如果某個學生能夠發(fā)現(xiàn)和提出一個新穎的有價值的問題常常會讓人覺得欣慰與贊賞；其次，探究需要方法，而方法需要經(jīng)驗.如在進行上面的探究過程中筆者將原題的規(guī)則與生活的經(jīng)驗相結(jié)合，從不同的角度來思考得到簡潔的方法.俗話常說“窮人家的孩子會讀書”不是沒有道理的，因為窮人家的孩子有更多的實踐經(jīng)驗.