從一道高考題看三角恒等變換的處理技巧

山東 周夢(mèng)鴿

三角恒等變換是高考中的重要考查內(nèi)容，主要考查學(xué)生對(duì)兩角和與差的正弦、余弦、正切以及二倍角等基本公式的運(yùn)用，同時(shí)也要求學(xué)生掌握一定的處理技巧，方便運(yùn)算.往年的高考題目中，對(duì)三角恒等變換的考查有出現(xiàn)在選擇題或填空題中，考查公式的正用、逆用或三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值、求角等，也有出現(xiàn)在解答題中，與三角函數(shù)或解三角形知識(shí)相結(jié)合.其中，三角恒等變換的處理技巧一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，它對(duì)學(xué)生的思維量、靈活性、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提出較高要求.又因?yàn)樗诟呖荚囶}中排序靠前，很多學(xué)生在處理?xiàng)l件時(shí)因?yàn)檠芯糠较虿粚?duì)存在無(wú)從下手或者無(wú)頭亂撞的情形，在高考考場(chǎng)上可能會(huì)耗費(fèi)大量時(shí)間，影響發(fā)揮.本文將從一道高考真題入手，對(duì)三角恒等變換的部分技巧進(jìn)行總結(jié)歸納，以此希望為學(xué)生備考本章節(jié)內(nèi)容提供些許啟發(fā)與參考.

一、試題展示及分析

二、教材原型

高考真題在課本練習(xí)題中往往是有跡可循的.山東省已經(jīng)實(shí)施新高考兩年，重在考查學(xué)生的基本知識(shí)、基本思想和基本技能，配套使用的數(shù)學(xué)新教材在導(dǎo)語(yǔ)中也對(duì)學(xué)生提出要求——要“重視基礎(chǔ)、拾階而上”，這也恰恰是高考試題命制時(shí)的一個(gè)依據(jù).對(duì)此，比較重要的一個(gè)體現(xiàn)就是課本題改編幾乎每年都會(huì)出現(xiàn)在高考試題中.本題就是必修一教材練習(xí)題中的兩道證明題的變式.

方法介紹：在解決證明等式恒成立問(wèn)題時(shí)，一般可以從左往右、從右往左或者左右兩端同時(shí)化簡(jiǎn)到同一形式入手，遵循的原則是“由繁到簡(jiǎn)”，即從復(fù)雜的一端往簡(jiǎn)潔的一端進(jìn)行化簡(jiǎn).

證明過(guò)程：

=cosφ+sinφ=右邊.

證畢.

本題中涉及的知識(shí)有“1”的變換和二倍角正弦公式的使用，與高考題所求式子高度相似，可以為高考題中所求代數(shù)式的處理提供解決方案.

證明過(guò)程：

證畢.

本題中涉及的知識(shí)有“1”的變換和一次齊次式化切的辦法，同樣與高考題中所求式子非常相似，為學(xué)生解決此類(lèi)問(wèn)題提供思路.

以上兩道課本題目與高考題目中所求式子相差無(wú)幾，這啟發(fā)學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中一定要注重課本習(xí)題的掌握，牢記基礎(chǔ)知識(shí)，在復(fù)習(xí)時(shí)，要回歸課本，善于總結(jié)知識(shí)方法.

三、解法探究

方法一：特殊值法

選擇其中一種情況將其代入所求代數(shù)式

故選C.

方法二：構(gòu)造齊次式

故選C.

說(shuō)明：此方法是觀察到分子分母的次冪不同，由此將其拆解成兩部分，一部分是一次齊次式，另一部分是“1+sin2θ”，又通過(guò)對(duì)“1”進(jìn)行替換，“sin2θ”進(jìn)行升冪縮角變成二次多項(xiàng)式，再配湊了一個(gè)分母“1”即“sin2θ+cos2θ”，構(gòu)造出一個(gè)二次齊次式.兩個(gè)齊次式依次除以cosθ，cos2θ，最終將所求式子化成只含有tanθ的式子，代入求值即可.

齊次式化切是三角恒等變換的高頻考點(diǎn).利用齊次式化切也是給出角的正切值去求正弦、余弦混合的代數(shù)式的值這類(lèi)問(wèn)題的常見(jiàn)解法.它的好處在于不需要求解角的正弦值和余弦值就可得到最終結(jié)果，計(jì)算量少，但對(duì)于式子的處理和預(yù)判要求較高.常見(jiàn)的題型有三類(lèi)：一次齊次式型、二次齊次式型和配湊型.所謂齊次式就是分子分母每一項(xiàng)次冪相同，它的處理辦法是：對(duì)于一次或二次齊次式，分子分母同除以cosθ或cos2θ得到只含有tanθ的式子；對(duì)于非齊次式，需要配湊出齊次式再化成含正切函數(shù)的式子，在配湊的過(guò)程中利用1=sin2θ+cos2θ將整式配湊成分式或者將實(shí)數(shù)變成二次多項(xiàng)式.

答案：A

方法三:“1”的巧用

=sinθ(sinθ+cosθ).

接下來(lái)可利用方法一帶值計(jì)算，也可構(gòu)造二次齊次式進(jìn)行計(jì)算.

說(shuō)明：此解法對(duì)應(yīng)教材中習(xí)題對(duì)于“1”的處理，在這里學(xué)生要熟悉“sinθ±cosθ”與“sin2θ”的聯(lián)系，即(sinθ±cosθ)2=1±sin2θ.因此觀察分母和分子中出現(xiàn)的“1+sin2θ”，可以化簡(jiǎn)所求式子.

“1”的巧用之一已經(jīng)體現(xiàn)在上述當(dāng)中，即依據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系進(jìn)行替換.除此以外，在余弦二倍角公式cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α中也有“1”的出現(xiàn)，選擇適當(dāng)?shù)亩督枪娇梢钥焖俚玫较胍慕Y(jié)果，下題便是很好的體現(xiàn).

答案：2

本題中等式左端分子分母各出現(xiàn)了一個(gè)“1”，使用的公式卻不同，原因在于后面cosθ前的符號(hào)不同，但解題的思想是一致的，即利用余弦二倍角公式中出現(xiàn)的“1”來(lái)消掉題干中的“1”，這又是“1”的另一巧用.

四、結(jié)束語(yǔ)

三角恒等變換在高考試卷中屬于難度中等、較為基礎(chǔ)的題目，但它又常與解三角形和三角函數(shù)等內(nèi)容相結(jié)合，因此是解決這一模塊內(nèi)容的一根紐帶.它主要考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，需要學(xué)生準(zhǔn)確掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、和差公式以及倍角公式，同時(shí)能夠靈活運(yùn)用解題技巧快速解決問(wèn)題.在備考過(guò)程中，學(xué)生應(yīng)重視本章節(jié)的內(nèi)容，加強(qiáng)計(jì)算，扎實(shí)掌握各種處理技巧，合理預(yù)判問(wèn)題走向.