基于Hilbert 曲線磁粒研磨軌跡均勻性實驗研究

張志鵬，陳燕，潘明詩，吳炫炫，高慧敏

（遼寧科技大學 機械工程與自動化學院，遼寧 鞍山 114051）

目前，隨著科學技術(shù)的發(fā)展，磁粒研磨技術(shù)被廣泛應用于高精密機械、儀器儀表和航空航天等領域的產(chǎn)品加工，這些領域?qū)ぜ募庸ぞ群捅砻尜|(zhì)量的要求越來越嚴格[1-3]。工件的表面質(zhì)量，尤其是研磨均勻性，是評判加工質(zhì)量優(yōu)劣的重要指標，而研磨均勻性以研磨軌跡均勻性為主要的表現(xiàn)形式[4]。研磨軌跡的均勻性與加工路徑的選擇有著直接的關(guān)系。傳統(tǒng)的直線往復式平面磁粒研磨加工技術(shù)存在研磨不均勻、材料去除量不一致等問題。由于傳統(tǒng)的平面磁粒研磨只是磁極的旋轉(zhuǎn)和單一方向的直線進給運動，這樣加工時研磨軌跡的重復性較強，部分研磨條紋易深化，不易獲得良好的表面粗糙度[5]。

劉清等[6]針對傳統(tǒng)的直線往復式研磨的軌跡覆蓋不均勻等問題，建立了x–y聯(lián)動的平面研磨軌跡模擬仿真，并選取了最佳的組合參數(shù)，驗證了x–y聯(lián)動平面研磨方法的有效性，但是針對研磨軌跡均勻性的評定沒有提出準確數(shù)值化的衡量標準。焦安源等[7]通過在磁極自轉(zhuǎn)的基礎上施加公轉(zhuǎn)的運動方式優(yōu)化“磁粒刷”的運動軌跡，并進行了實驗研究，結(jié)果表明，優(yōu)化后研磨軌跡的均勻性較傳統(tǒng)的平面磁粒研磨方法有所提升。該研究僅針對加工研磨路徑進行了初步探討，未進行深入的優(yōu)化改進，與傳統(tǒng)的研磨方法一樣，也存在加工范圍有限等問題。

針對上述問題，區(qū)別于傳統(tǒng)的直線往復式的平面磁粒研磨，文中采用Hilbert 曲線作為研磨路徑進行加工。直接采用Hilbert 分形曲線進行研磨會造成研磨軌跡分布的不均，對Hilbert 分形曲線進行幾何特征的修正，通過將Hilbert 研磨路徑與修正后的Hilbert研磨路徑進行對比分析，建立笛卡爾坐標系，將工件表面劃分為5 mm×5 mm 的小網(wǎng)格，采用離散系數(shù)Cv來評估修正后Hilbert 曲線的研磨軌跡均勻性。

1 Hilbert 曲線優(yōu)化

1.1 Hilbert 曲線

Hilbert 曲線是一種空間填充曲線。首先把一個正方形等分為4 個小正方形，依次從左下角的正方形中心點出發(fā)往左上角正方形中心點，再往右到右上角的正方形中心點，再往下的右下角正方形中心點，此為一次迭代。若對這4 個小正方形不斷地劃分為更小的4 個小正方形，一直迭代，將其中心點連接起來，最終就可以得到一條可以填充整個正方形的曲線，這就是Hilbert 分形曲線[8]，其大致過程如圖1 所示。

圖1 Hilbert 曲線生成過程Fig.1 Hilbert curve generation process: a) first order Hilbert curve;b) second order Hilbert curve; c) third order Hilbert curve

1.2 Hilbert 曲線幾何特征優(yōu)化

若直接采取原始的Hilbert 曲線進行研磨，則在工件表面產(chǎn)生的研磨軌跡存在覆蓋不均勻等問題。如圖2 所示，在原始的Hilbert 曲線的4 個拐角處，產(chǎn)生的研磨軌跡存在密集區(qū)域。該區(qū)域內(nèi)工件的材料去除量將會相對較大，造成過度研磨，而在Hilbert 曲線中間區(qū)域，其研磨軌跡相對稀疏，該區(qū)域的材料去除量將會較小，這將會出現(xiàn)工件表面材料去除分布不均勻的現(xiàn)象。由此，文中對原始的Hilbert 曲線進行幾何形狀改進，以達到研磨方向多變且研磨軌跡均勻分布的目的，從而獲得均勻的表面質(zhì)量。

圖2 原始Hilbert 曲線研磨軌跡Fig.2 Original Hilbert curve grinding trajectory

因為原始Hilbert 曲線的研磨軌跡不能實現(xiàn)工件表面的均勻覆蓋，所以在原始Hilbert 曲線的基礎上對其幾何特征進行了修正。將研磨軌跡密集區(qū)域向研磨軌跡疏松區(qū)域擴展，以改善研磨軌跡的分布。由于Hilbert 曲線內(nèi)部的空間較大，在上述基礎上，連接線（二階Hilbert 曲線虛線部分）又做出了一個內(nèi)凹的幾何變化。通過對Hilbert 曲線的幾何特征進行修正，以改善研磨軌跡的分布。

如圖3 所示，在一階Hilbert 曲線的直線D1-D2下側(cè)增添一個新點D12，直線D2-D3左側(cè)增添一個新點D23，直線D3-D4上側(cè)增添一個新點D34，這樣既對拐角處的軌跡進行了分散化，又向曲線內(nèi)部增加了研磨軌跡的密度。

圖3 Hilbert 曲線初步改進Fig.3 Hilbert curve preliminary improvement

按照初步修改的Hilbert 曲線進行研磨軌跡仿真，如圖4 所示。由圖4 可以看出，研磨軌跡密集和疏松區(qū)域的軌跡分布不均等問題均有所改善。

雖然對原始Hilbert 曲線進行了初步改進，這對研磨軌跡均勻性分布有著積極的作用，但在Hilbert中間區(qū)域仍存在軌跡疏松區(qū)域，如圖4 所示。由此，需要對Hilbert 曲線進一步進行修改，以控制研磨軌跡向Hilbert 曲線內(nèi)部延展，具體修改如圖5 所示。在初步修改Hilbert 曲線的基礎上對其連接線部分進行了修改，連接線P1–Q1右側(cè)增添一個新點P11，連接線P2–Q2下側(cè)增添一個新點P22，連接線P3–Q3左側(cè)增添一個新點P33。

圖4 初步改進的Hilbert 曲線研磨軌跡Fig.4 Initial improved Hilbert curve grinding trajectory

圖5 Hilbert 曲線的最終改進Fig.5 Hilbert curve eventual improvement

如圖6 所示，經(jīng)過進一步修改的Hilbert 曲線研磨軌跡，在工件表面不僅滿足了研磨軌跡復雜化和研磨方向多變的需求，而且研磨軌跡的分布明顯優(yōu)于原始的Hilbert 曲線，避免了研磨工件表面時造成的欠研磨和過度研磨現(xiàn)象的出現(xiàn)。

圖6 最終改進的Hilbert 曲線研磨軌跡Fig.6 Ultimate improved Hilbert curve grinding trajectory

2 平面磁粒研磨基本原理

2.1 磁粒研磨原理

平面磁粒研磨是一種利用磁力來進行機械研磨的特種加工技術(shù)，將工件（SUS304）置于強磁場中，在磁場中填充磁性磨粒。磁性磨粒在磁場的作用下對工件表面產(chǎn)生研磨壓力，保持一定的間隙。當工件相對磁場存在相對運動時，磁性磨料會對工件表面產(chǎn)生研磨光整作用[11]。該過程如圖7 所示，磁性磨料中的鐵基體被磁極磁化，磁粒沿著磁力線排布，形成“磁粒刷”，磁性磨粒吸附在磁極端部由機床主軸驅(qū)動旋轉(zhuǎn)。將工件固定在銑床移動平臺上，完成二維的進給運動，實現(xiàn)磁極與工件的相對運動[12-14]。

圖7 磁粒研磨原理Fig.7 Schematic diagram of magnetic particle grinding principle

2.2 磁粒的相對運動分析

在機械研磨過程中，工件表面材料的均勻去除是評價研磨加工效果的關(guān)鍵。根據(jù)Preston 機械研磨拋光材料數(shù)學模型，材料去除量的計算見式（1）。

中國禪宗創(chuàng)于唐朝，而日本禪宗則是在中國禪宗傳入后，與本土文化結(jié)合后形成，從時間來說，形成于中國宋元時期。

式中：M為材料去除量；Kp為去除系數(shù)；p為研磨壓力；v為研磨粒子相對于加工表面的運動速度；t為研磨時間。

在磁場中，磁性磨粒聚集形成的“磁粒刷”具有一定剛度，可以在整個磁粒研磨過程中保持與工件表面的仿形接觸[15]。研磨壓力p與磁場強度B、研磨間隙δ有關(guān)。在磁感應強度B、研磨間隙δ、研磨粒子的粒徑和研磨液種類恒定時，材料的去除量主要取決于研磨粒子相對于加工表面的運動速度v和研磨時間t。

圖8 單個磁性粒子的相對運動分析Fig.8 Relative motion analysis of single magnetic particle

2.3 不同長徑比磁場強度分析

磁感應強度在磁粒研磨精加工中起著關(guān)鍵作用。由式（3）可知，研磨壓力p與加工區(qū)域磁感應強度B成正比，即磁感應強度越強，磁場對磁粒的約束作用越大；反之，約束作用減小。在研磨過程中，當增大磁極轉(zhuǎn)速時，吸附在磁極表面的磁性磨料會受到離心力的影響，致使磁性磨粒向遠離磁場的方向脫落，導致大量磁性粒子不能參與有效的研磨加工。由此可見，選取一個具有較大磁感應強度的磁極是完成磁粒研磨的一個重要前提。

式中：B為磁感應強度；N為磁性磨粒的總數(shù)；0μ為真空磁導率；mμ為磁性磨粒的相對磁導率。

傳統(tǒng)平面磁粒研磨大多采用圓柱軸向磁極進行加工，但是圓柱磁極存在“邊緣效應”，即邊緣處的磁感應強度較高，中心區(qū)域的磁感應強度較弱，導致磁性磨粒的分布不均勻。為了提高表面質(zhì)量，消除磁極的“邊緣效應”和磁極旋轉(zhuǎn)時線速度的差異[16-20]，選擇外直徑為20 mm、壁厚為2 mm 的軸向充磁的環(huán)形永磁極來加工工件，已知環(huán)形磁極的磁感應強度B與其長徑比密切相關(guān)。為了檢驗不同長徑比對環(huán)形磁極磁感應強度的影響，利用Ansoft Maxwell 軟件建立長徑比為1∶4、1∶2、3∶4 和1∶1 等4 種環(huán)形磁極模型，在仿真時，保持環(huán)形磁極的外直徑（20 mm）和壁厚（2 mm）不變，環(huán)形磁極的長度L依次從5、10、15、20 mm 開始疊加，并進行三維靜磁場模擬仿真。如圖9 所示，對環(huán)形磁極正上方高1 mm 參考面進行仿真分析，磁感應強度最大的區(qū)域主要集中在環(huán)形磁極的正上方，磁場分布也相對均勻。通過對比磁場強度云圖可知，長徑比為3∶4 的磁極端面處的磁感應強度較強，說明磁極端面的磁力線分布較密集，與其他模型相比更加集中，向外擴展的趨勢更小。由圖9e 可知，環(huán)形磁極的磁感應強度曲線呈對稱分布，環(huán)形磁極的磁感應強度并不隨著長徑比的增大而變大，而是存在某個臨界值，若超過臨界值，其磁感應強度隨之減小。長徑比為3∶4 的環(huán)形磁極在半徑方向的磁感應強度比其他長徑比的環(huán)形磁極大，達到300 mT 左右，且磁場梯度也較大。由此，選取長徑比為3∶4的環(huán)形磁極進行研磨，使工件在移動過程中磁性磨粒始終保留在高磁場區(qū)域，增強磁極對磁性磨粒的束縛作用，有助于提高研磨效率。

圖9 不同長徑比磁感應強度曲線Fig.9 Magnetic induction intensity curves with different aspect ratio: a) aspect ratio of annular magnetic poles is 1∶4; b) aspect ratio of annular magnetic poles is 1∶2; c) aspect ratio of annular magnetic poles is 3∶4; d) aspect ratio of annular magnetic poles is 1∶1; e) comparison of magnetic induction intensity curves with different aspect ratio

2.4 ADAMS 平面研磨軌跡均勻性

在ADAMS 軟件中建立運動機構(gòu)模型，添加機構(gòu)運動的運動副，編寫程序?qū)崿F(xiàn)Hilbert 曲線研磨路徑，設置機構(gòu)的運動參數(shù)（如仿真時間、步數(shù)、旋轉(zhuǎn)速度、進給速度等），仿真參數(shù)如表1 所示。在仿真結(jié)束后，選取磁極模型圓周上的一點作為標記點，記錄其在運動過程中的行走軌跡，即永磁極相對于工件表面單顆磁性磨粒的研磨軌跡。目前，常用的網(wǎng)格劃分方式主要有笛卡爾坐標網(wǎng)格和極坐標網(wǎng)格等，兩者各有優(yōu)劣。研磨區(qū)域的形狀大多為圓形，使用笛卡爾坐標網(wǎng)格劃分就會出現(xiàn)邊界部分失真的現(xiàn)象，影響研磨軌跡均勻性的評定。這里的研磨區(qū)域為方形，工件表面邊緣區(qū)域為有效研磨區(qū)域，對均勻性評價的精度影響較小。由此，采用笛卡爾坐標網(wǎng)格劃分來評定研磨軌跡的均勻性。

表1 仿真參數(shù)Tab.1 Simulation Parameters

笛卡爾網(wǎng)格劃分示意如圖10 所示。將加工表面劃分為若干個5 mm×5 mm 的小網(wǎng)格，并計算每個網(wǎng)格內(nèi)軌跡點的數(shù)量。利用笛卡爾網(wǎng)格劃分方法，可以通過統(tǒng)計研磨軌跡在工件上的通過次數(shù)來評判研磨軌跡的均勻性。先計算網(wǎng)格內(nèi)軌跡點的平均數(shù)和標準差，然后求出離散系數(shù)。

圖10 工件網(wǎng)格劃分示意圖Fig.10 Schematic diagram of workpiece meshing

2.5 加工表面軌跡均勻性數(shù)值分析

離散系數(shù)Cv是一個無量綱量，是體現(xiàn)概率分布離散程度的歸一化量。在比較2 組量綱不同或均值不同的數(shù)據(jù)時，應該使用離散系數(shù)Cv而不是標準差σ來評價，因此利用離散系數(shù)Cv來檢驗研磨軌跡線的均勻性。

通過網(wǎng)格內(nèi)軌跡點的數(shù)目如圖11 所示，傳統(tǒng)直線往復式研磨路徑的標準差為 22.998，平均數(shù)為32.139，離散系數(shù)Cv為0.716；Hilbert 曲線的標準差為29.032，平均數(shù)為63.583，離散系數(shù)Cv為0.456；初步改進的Hilbert 曲線的標準差為29.829，平均數(shù)為66.514，離散系數(shù)Cv為0.448；最終改進的Hilbert曲線的標準差為26.489，平均數(shù)為65.083，離散系數(shù)Cv為0.407。可見，最終改進后Hilbert 曲線的離散系數(shù)Cv更小，較初步改進Hilbert 曲線的研磨軌跡均勻性提高了約9.2%，較Hilbert 曲線的研磨軌跡均勻性提高了約10.7%，較傳統(tǒng)往復式的研磨軌跡均勻性提高了約43.2%，軌跡分布更均勻。

圖11 網(wǎng)格內(nèi)軌跡點分布Fig.11 Distribution of track points in grid: a) linear reciprocating trajectory point distribution; b) Hilbert curve trajectory point distribution; c) preliminary improvement of Hilbert curve trajectory point distribution;d) finally improve the trajectory point distribution of Hilbert curve

3 實驗

3.1 實驗裝置

平面磁粒研磨裝置見圖12，將環(huán)形磁極裝夾在銑床主軸上，調(diào)節(jié)銑床主軸位置，使磁極下端面距離加工表面保持約2 mm 的間隙。將x–y移動滑臺放置在銑床工作臺上，將工件固定在x–y十字滑軌的固定架上，通過控制器來驅(qū)動x–y十字滑軌聯(lián)動，完成復雜的研磨路徑。在精加工時，磁性磨料在磁場的作用下形成具有一定剛度的柔性“磁粒刷”覆蓋在加工表面，并對其施加一定的壓力，機床主軸驅(qū)動環(huán)形磁極做回轉(zhuǎn)運動，使磁極以一定速度做自轉(zhuǎn)運動，同時x–y十字滑臺緩慢進給，磁性磨粒在電機旋轉(zhuǎn)和滑臺移動的復合運動下對工件表面進行加工，從而有效地實現(xiàn)了材料的去除。

圖12 磁粒研磨加工實驗裝置Fig.12 Experimental set-up of magnetic abrasive finishing

3.2 實驗條件

此實驗選取SUS304 不銹鋼平板（100 mm×100 mm×3 mm）作為試件，選取工件上的9 個點作為檢測位置，如圖13 所示。測量點0 為工件的中心區(qū)域，測量點1、2、3、4 位于距離工件中心較近的中部區(qū)域，測量點5、6、7、8 位于距離工件中心較遠的邊界區(qū)域。比較這些具有代表性的測量點的表面粗糙度的降幅來驗證研磨效果的均勻性。

圖13 工件表面測量點Fig.13 Workpiece surface measuring point

環(huán)形磁極選用φ20 mm×φ16 mm×15 mm 軸向充磁的永磁極，材質(zhì)為具有高磁能積、高矯頑力的釹鐵硼永磁材料，使用的磁性磨粒由鐵粉和氧化鋁粉末（質(zhì)量比為2∶1）燒結(jié)而成，選取的平均粒徑為150 μm。每間隔15 min 添加1 次研磨液，添加研磨液能夠?qū)饘俦砻嫜趸て鸬杰浕饔茫蛊湟子趶谋砻嫜心トコ?，從而提高了研磨效率。其中，油性研磨液的蒸發(fā)速度比水溶性研磨液的低，有利于抑制研磨熱量向加工區(qū)域傳導，減少熱膨脹，工件的尺寸精度會有所提高。研磨前后利用超聲波清洗機來清潔工件表面，具體實驗參數(shù)如表2 所示。

表2 實驗條件Tab.1 Experimental condition

4 結(jié)果及分析

4.1 表面粗糙度

采用JB-8E 觸針式表面粗糙度儀測量直線往復式和最終改進的Hilbert 曲線研磨的工件表面的表面粗糙度，檢測方式是對工件加工表面進行區(qū)域劃分，分別測量具有代表性的9 個檢測點附近的3 處，取其平均值。研磨30 min 后，將測量的數(shù)據(jù)與原始的表面粗糙度值進行對比，繪制出工件表面粗糙度的降幅曲線，如圖14 所示。直線往復式工件中心區(qū)域和中部區(qū)域降幅較小，邊緣區(qū)域表面粗糙度變化較大，降幅曲線呈現(xiàn)上升趨勢，且整體變化劇烈，說明直線往復式加工工件存在加工質(zhì)量不均勻問題。采用最終改進的Hilbert 曲線研磨路徑的工件表面的不同檢測位置得到的表面粗糙度降幅數(shù)值近似，降幅曲線變化平穩(wěn)，降幅基本穩(wěn)定在0.09 μm 左右，可見通過改進的Hilbert 曲線加工的工件表面材料去除量的均勻性較好。

圖14 表面粗糙度降幅變化Fig.14 Variation diagram of surface roughness drop: a) linear reciprocation;b) ultimate improved Hilbert

4.2 表面形貌分析

使用VHX–500F 超景深3D 顯微鏡拍攝不同研磨路徑的工件表面形貌，在200 倍鏡下，觀測工件表面的二維表面形貌和3D 表面輪廓云圖，如圖15 所示。由圖15a 可知，在加工前，工件表面存在較多的拉絲成形痕跡，且存在部分凹坑，工件表面3D 云圖變化劇烈，平面的最大高度差為31.4 μm。由圖15b 可知，經(jīng)直線往復研磨30 min 后，表面成形紋理基本被去除，遺留了一些較深的凹坑，但表面輪廓云圖高度變化不均勻，說明采取直線往復式研磨方法存在去除量不一致的問題，研磨后表面不平整。從圖15c 可以看出，工件沿改進的Hilbert 曲線研磨，原始的加工紋理、溝槽缺陷基本被去除，獲得的工件表面光滑平整，表面輪廓變化較緩，獲得了相對均勻的表面質(zhì)量。

圖15 不同研磨路徑的工件表面微觀形貌對比Fig.15 Comparison of workpiece surface microtopography with different lapping paths:a) original appearance; b) linear reciprocating grinding; c) grind along modified Hilbert curve

5 結(jié)論

1）首次將Hilbert 曲線應用到磁粒研磨中，并對其幾何形狀進行了修改，改進的Hilbert 曲線能夠滿足理想的平面研磨的實際要求，離散系數(shù)Cv由0.716降至0.407，研磨軌跡的均勻分布得到提高。

2）使用環(huán)形磁極解決了相對線速度差異造成的材料去除不均勻問題，工件表面在研磨前后的表面粗糙度的降幅對比結(jié)果表明，降幅曲線平緩，可見使用環(huán)形磁極可以實現(xiàn)材料的均勻去除。

3）沿Hilbert 曲線研磨可以擴大研磨的區(qū)域。由于研磨路徑復雜且方向多變，使工件表面的研磨紋理無方向性，有助于提高工件的表面質(zhì)量，改善其表面形貌。