基于蒙特卡洛的飛機(jī)控制分配魯棒性評估方法

王曉光，尚永爽，杜 軍，賈文銅，史靜平，呂永璽

(1.空軍工程大學(xué)航空工程學(xué)院，陜西 西安 710038；2.中國人民解放軍93184部隊，北京 100076；3.西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院，陜西 西安 710072)

0 引言

隨著現(xiàn)代飛行器設(shè)計對于機(jī)動性、安全性和可靠性要求的不斷提高，越來越多的飛機(jī)舵面可作為主操縱系統(tǒng)的控制面控制飛機(jī)的運(yùn)動[1-2]。對于給定的期望三軸力矩，多操縱面飛機(jī)可以有多種組合偏轉(zhuǎn)形式實現(xiàn)相同的控制目標(biāo)，針對具有多操縱面配置的飛行器開展多操縱面控制分配技術(shù)的研究成為一種必然。

多操縱面布局飛機(jī)的控制問題本質(zhì)上是一個多目標(biāo)優(yōu)化問題，如巡航阻力最小、起飛升力最大等[3-4]。目前可用于線性過驅(qū)動系統(tǒng)控制分配優(yōu)化求解的方法可歸納為三類[5-6]：一是廣義逆類分配方法，主要包括：偽逆法、加權(quán)偽逆法、再分配偽逆法、多級偽逆法等；二是幾何類分配方法，主要包括：串接鏈法、直接分配法和對邊搜索法等；三是數(shù)學(xué)規(guī)劃類方法，包括：面搜索法、不動點(diǎn)迭代法、有效集法、基于頻域加權(quán)的二次規(guī)劃法等。

魯棒性是反映控制系統(tǒng)性能優(yōu)劣的重要指標(biāo)[7]。為評估不同控制分配方案的優(yōu)劣，國內(nèi)外學(xué)者經(jīng)常將系統(tǒng)的魯棒性作為指標(biāo)來進(jìn)行控制分配的效果評估。文獻(xiàn)[8]從控制系統(tǒng)魯棒性角度出發(fā)，針對多操縱面飛機(jī)氣動效能的交叉耦合不確定性，提出了一種基于混合優(yōu)化的魯棒控制分配策略，建立了魯棒混合優(yōu)化控制分配模型。文獻(xiàn)[9]針對具有冗余執(zhí)行機(jī)構(gòu)的過驅(qū)動系統(tǒng)，在考慮控制效率不確定性的條件下，提出了一種基于魯棒優(yōu)化理論的控制分配算法，有效降低了控制效率不確定性的影響，使分配結(jié)果更為合理，一定程度上提高了控制分配算法的魯棒性，改善了飛控系統(tǒng)的性能。文獻(xiàn)[10]基于廣義逆控制的飛控系統(tǒng)，分析了控制系統(tǒng)的不確定性以及在控制效能矩陣存在不確定性時的飛控系統(tǒng)魯棒性問題。文獻(xiàn)[11]針對一類具有不確定時變參量的線性參變過驅(qū)動系統(tǒng)的控制分配問題，考慮系統(tǒng)的不確定參量擾動和執(zhí)行器物理約束，建立了含有時變不確定因子的控制分配優(yōu)化模型，并根據(jù)魯棒優(yōu)化思想，采用矢量變換技術(shù)處理時變不確定因子，得到了一種基于有約束錐二次凸優(yōu)化模型的魯棒控制分配算法，實現(xiàn)對過驅(qū)動系統(tǒng)偽控指令的在線優(yōu)化分配。文獻(xiàn)[12]針對無人機(jī)廣泛采用先進(jìn)操縱面帶來的控制分配問題，提出了基于閉環(huán)廣義逆的魯棒控制分配新方案，在基于廣義逆的控制分配方法基礎(chǔ)上，加入了控制量對應(yīng)狀態(tài)的反饋，分析了該方案的可行性。同時，魯棒控制分配方法也在國內(nèi)外航天、航海等其他領(lǐng)域有所應(yīng)用[13-15]。

然而，上述文獻(xiàn)均是針對不同的控制分配方法，從不同的角度出發(fā)評估某一特定控制分配方法的魯棒性，很難適用于其他控制分配方法。因此，有必要構(gòu)建一種通用的多操縱面飛機(jī)控制分配魯棒性評估方法，為過驅(qū)動系統(tǒng)的控制分配效果提供較為統(tǒng)一的評價準(zhǔn)則?；诖怂悸罚疚慕o出了一種通用的基于蒙特卡洛方法的控制分配魯棒性評估框架；建立了過驅(qū)動系統(tǒng)的控制分配方法魯棒性評估函數(shù)；對偽逆法、串接鏈法和面搜索法三種典型的分配方法進(jìn)行了仿真驗證，并給出了結(jié)論。

1 魯棒性評估思路和框架

對飛機(jī)飛行品質(zhì)的評估是基于飛機(jī)飛行控制律進(jìn)行的，評估需考慮的不確定性包括：質(zhì)量數(shù)據(jù)的不確定性、系統(tǒng)輸入量的不確定性、氣動數(shù)據(jù)庫的不確定性等。其一般實現(xiàn)過程：在考慮上述不確定性的情況下，設(shè)計出控制律之后，通過隨機(jī)模擬的方法對飛機(jī)的一些特征量(氣流角、位置、被控量的調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量等)進(jìn)行統(tǒng)計分析，來獲得控制律在不確定參數(shù)下魯棒性能的量化值。但過驅(qū)系統(tǒng)分配方法魯棒性的研究，有別于已有控制律的飛行品質(zhì)評估[16]。由于過驅(qū)系統(tǒng)的設(shè)計目的是將期望的三軸力矩系數(shù)合理地分配到各個舵面，因此在研究過驅(qū)系統(tǒng)的參數(shù)不確定時只需考慮舵面效率的不確定性。對于線性過驅(qū)系統(tǒng)分配方法的魯棒性研究是基于控制效能矩陣中參數(shù)的不確定性。

本文針對過驅(qū)系統(tǒng)分配方法進(jìn)行魯棒性評估的基本思想：考慮舵面效率的不確定性范圍，根據(jù)魯棒性要求的精度和置信度確定最小仿真次數(shù)；基于蒙特卡洛方法[17]進(jìn)行隨機(jī)模擬仿真獲得實際三軸力矩系數(shù)，建立過驅(qū)系統(tǒng)分配方法魯棒性的評估函數(shù)；針對不同的分配方法求得魯棒性能量化值，進(jìn)而可以比較分析各個方法魯棒性的優(yōu)劣。

進(jìn)行過驅(qū)系統(tǒng)分配方法魯棒性評估的具體步驟如下：

1) 確定控制效能矩陣中參數(shù)的不確定性范圍；

2) 由給定精度和置信因子確定最小仿真次數(shù)，并且產(chǎn)生滿足分布的控制效能矩陣參數(shù)的隨機(jī)數(shù)；

3) 建立過驅(qū)系統(tǒng)分配方法魯棒性評估指標(biāo)函數(shù)；

4) 進(jìn)行多次仿真，獲得仿真結(jié)果后進(jìn)行參數(shù)概率統(tǒng)計分析，依據(jù)魯棒性評估指標(biāo)函數(shù)驗證控制分配算法的魯棒性；

5) 比較不同控制分配方法的魯棒性，為控制分配方法的選擇提供依據(jù)。

過驅(qū)系統(tǒng)分配方法的魯棒性研究驗證過程如圖1所示。

圖1 基于蒙特卡洛的過驅(qū)系統(tǒng)分配方法魯棒性驗證框圖Fig.1 Robustness verification diagram of overdrive system’s control allocation method based on Monte-Carlo

2 過驅(qū)系統(tǒng)分配方法魯棒性評估指標(biāo)函數(shù)

2.1 相關(guān)概率統(tǒng)計基礎(chǔ)

2.1.1 3σ原則

對于分布為N(μ,σ2)的隨機(jī)變量x，數(shù)值分布在(μ-3σ,μ+3σ)中的概率為0.997 3，可以認(rèn)為正態(tài)隨機(jī)變量的取值在(μ-3σ,μ+3σ)區(qū)間內(nèi)，這就是所謂的3σ原則。在參數(shù)不確定性建模時，采用3σ原則能保證構(gòu)成參數(shù)不確定項的隨機(jī)變量基本可以限定在3σ分布范圍內(nèi)，從而避免因為參數(shù)值出界而導(dǎo)致的系統(tǒng)不穩(wěn)定。

2.1.2 最小仿真次數(shù)確定方法

2.1.3 均值和方差的估計值計算

(1)

當(dāng)樣本數(shù)量足夠多時，樣本均值的置信區(qū)間為：

(2)

2.2 魯棒性評估指標(biāo)函數(shù)的建立

過驅(qū)系統(tǒng)分配方法的實質(zhì)是按照一定的指標(biāo)要求將期望的三軸力矩系數(shù)合理地分配到各個舵面上去，其最基本的要求是分配系統(tǒng)的實際三軸力矩系數(shù)能夠跟蹤上期望的三軸力矩系數(shù)，如圖2所示。

圖2 分配系統(tǒng)的基本框圖Fig.2 Basic block diagram of the allocation system

對于過驅(qū)系統(tǒng)分配方法魯棒性的評估也是針對實際三軸力矩系數(shù)和期望三軸力矩系數(shù)之間的差別來入手。對于給定的三軸期望力矩系數(shù)，在控制效能矩陣參數(shù)存在不確定性的情況下進(jìn)行N次仿真后，可求出實際三軸力矩系數(shù)的均值和方差值，并且可以確定均值相應(yīng)的置信區(qū)間，根據(jù)這些統(tǒng)計信息便可以評估在給定的三軸期望力矩系數(shù)下分配方法的魯棒能力。

具體在仿真驗證過程中，采取下式所示的性能評估函數(shù)

(3)

式(3)中，Vcl、Vcm、Vcn分別為實際的滾轉(zhuǎn)力矩系數(shù)、實際的俯仰力矩系數(shù)和實際的偏航力矩系數(shù)；Vdcl、Vdcm、Vdcn分別為期望的滾轉(zhuǎn)力矩系數(shù)、期望的俯仰力矩系數(shù)和期望的偏航力矩系數(shù)；k是評估指標(biāo)系數(shù)，是一個無量綱量，它反映了評估函數(shù)對實際輸出的力矩系數(shù)和期望的力矩系數(shù)二者之間的差別要求。k的選用原則是結(jié)合飛機(jī)舵面效率的不確定性，以盡可能清晰、準(zhǔn)確地體現(xiàn)控制分配方法的魯棒性。如果指定了k的值，則可以在仿真中記錄滿足性能評估標(biāo)準(zhǔn)要求的次數(shù)n，顯然，0≤n≤N。n的大小代表了在評估指標(biāo)系數(shù)k下分配方法的魯棒性，n值越大則說明在評估指標(biāo)系數(shù)k下該分配方法的魯棒性越強(qiáng)，反之亦然。因此控制分配方法魯棒性的優(yōu)劣還可以表現(xiàn)在累積頻數(shù)曲線中。

3 魯棒性驗證

一般來說，線性過驅(qū)動系統(tǒng)可描述為：假設(shè)控制變量為u(t)∈Rm1，期望的虛擬變量是v(t)∈Rm2，線性過驅(qū)動系統(tǒng)的分配問題就是在給定v(t)及映射Be:Rm1→Rm2(m1>m2)的情況下，求解不定方程Beu(t)=v(t)，使u(t)在不超出約束Ω的情況滿足一定的性能指標(biāo)。

從數(shù)學(xué)描述上看，線性過驅(qū)動系統(tǒng)的分配求解問題是一個受約束的線性方程組求解問題，由于控制變量的維數(shù)大于虛擬變量的維數(shù)，分配問題的解有三種情況：多解、唯一解、無解。從數(shù)學(xué)映射關(guān)系上分析，線性過驅(qū)動系統(tǒng)的分配問題求解是根據(jù)映射Be:Rm1→Rm2(m1>m2)找到一種反映射，使解不超出約束；并且這種反映射還可能包含其他系統(tǒng)性能指標(biāo)。這些指標(biāo)在保證等式約束Beu(t)=v(t)的同時，還使線性過驅(qū)動系統(tǒng)的分配求解與工程設(shè)計的需求相匹配。

以Admire多操縱面飛機(jī)為例，在馬赫數(shù)為0.4，高度為3 000 m的狀態(tài)點(diǎn)下得到控制效能矩陣：

將Be作為標(biāo)稱效能陣，同時選取精度ε=0.05，置信因子α=0.04，結(jié)合最小仿真次數(shù)的計算公式，得到最小仿真次數(shù)Ns≥782.4，故可取仿真次數(shù)N=800，對于控制效能矩陣中的任意參數(shù)bij，設(shè)定每個舵面舵效值的不確定性為50%。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行控制分配方法魯棒性評估驗證，評估驗證過程中涉及控制分配方法的具體步驟詳見文獻(xiàn)[18]。

3.1 偽逆分配方法的魯棒性評估

給定期望的三軸力矩系數(shù)：

vd=[0.03 0.3 -0.03]。

(4)

進(jìn)行N次蒙特卡洛仿真后得到偽逆法對應(yīng)的實際無量綱三軸力矩系數(shù)曲線如圖3所示。

圖3 控制效能矩陣不確定時的偽逆法三軸力矩系數(shù)Fig.3 Triaxial torque coefficients of pseudo inverse method for uncertain control efficiency matrix

統(tǒng)計得到實際三軸力矩系數(shù)的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，并求其對應(yīng)的樣本均值置信區(qū)間，結(jié)果如表1所示。

表1 偽逆法仿真結(jié)果統(tǒng)計Tab.1 Simulation result statistics for pseudo inverse method

結(jié)合圖3和表1來看，在舵面效率存在50%的不確定性時，通過蒙特卡洛仿真驗證可知，實際的三軸力矩系數(shù)均在期望三軸力矩系數(shù)附近，偽逆法對于舵效的不確定性具有一定的魯棒性。

偽逆分配法考慮控制效能矩陣不確定時的累積頻數(shù)曲線如圖4所示。

圖4 控制效能矩陣不確定時的偽逆法累積頻數(shù)曲線Fig.4 Frequency accumulating curve of pseudo inverse method for uncertain control efficiency matrix

考慮舵效值的50%不確定性，結(jié)合圖4可知，當(dāng)評估指標(biāo)系數(shù)k=0.5時，達(dá)到指標(biāo)的仿真次數(shù)為752，也就是說此期望狀態(tài)下對于控制效能矩陣參數(shù)的不確定性，偽逆法得到的實際三軸力矩系數(shù)值與期望三軸力矩系數(shù)之差有94%的概率不超過期望三軸力矩系數(shù)的一半。

3.2 串接鏈分配方法的魯棒性評估

給定期望的三軸力矩系數(shù)vd不變，進(jìn)行N次蒙特卡洛仿真后得到串接鏈法對應(yīng)的實際無量綱三軸力矩系數(shù)曲線如圖5所示。

圖5 控制效能矩陣不確定時的串接鏈法三軸力矩系數(shù)Fig.5 Triaxial torque coefficients of daisy chain method for uncertain control efficiency matrix

統(tǒng)計N次蒙特卡洛仿真后實際三軸力矩系數(shù)的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，求得其對應(yīng)的均值置信區(qū)間，如表2所示。

表2 串接鏈法仿真結(jié)果統(tǒng)計Tab.2 Simulation result statistics for daisy chain method

結(jié)合圖5和表2中數(shù)據(jù)來看，在舵面效率存在50%的不確定性時，同偽逆法相比，串接鏈法均值離期望力矩系數(shù)較遠(yuǎn)，且期望的三軸力矩系數(shù)在均值置信區(qū)間之外，說明仿真得到的力矩系數(shù)與期望力矩系數(shù)差別較大；標(biāo)準(zhǔn)差總體上比偽逆法大，說明仿真結(jié)果分布較為分散。因此，從仿真統(tǒng)計結(jié)果分析，可以認(rèn)為該方法在舵面效率存在50%的不確定性時魯棒性比偽逆法差。

串接鏈分配方法考慮控制效能矩陣不確定時的累積頻數(shù)曲線如圖6所示。

圖6 控制效能矩陣不確定時的串接鏈法累積頻數(shù)曲線Fig.6 Frequency accumulating curve of daisy chain method for uncertain control efficiency matrix

考慮舵效值的50%不確定性，結(jié)合圖6可知，當(dāng)k=0.5時，此期望狀態(tài)下對于所有的控制效能矩陣參數(shù)的不確定性，串接鏈法達(dá)到指標(biāo)的仿真次數(shù)為679，也就是說此期望狀態(tài)點(diǎn)下對于控制效能矩陣參數(shù)的不確定性，串接鏈法得到的實際三軸力矩系數(shù)值與期望三軸力矩系數(shù)之差有84.88%的概率不超過期望三軸力矩系數(shù)的一半。總體來說，串接鏈法對于舵效不確定性的魯棒性比偽逆法差。

3.3 面搜索分配方法的魯棒性評估

給定期望的三軸力矩系數(shù)vd不變。進(jìn)行N次蒙特卡洛仿真后得到面搜索法對應(yīng)的實際無量綱三軸力矩系數(shù)曲線如圖7所示。

圖7 控制效能矩陣不確定時的面搜索法三軸力矩系數(shù)Fig.7 Triaxial torque coefficients of surface search method for uncertain control efficiency matrix

統(tǒng)計N次蒙特卡洛仿真后實際三軸力矩系數(shù)的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，并求其對應(yīng)的均值置信區(qū)間如表3所示。

表3 面搜索法仿真結(jié)果統(tǒng)計Tab.3 Simulation result statistics for surface search method

結(jié)合圖7和表3來看，在舵面效率存在50%的不確定性時，通過蒙特卡洛仿真驗證可知，面搜索法計算得到的三軸力矩系數(shù)均值在期望三軸力矩系數(shù)附近，且期望的三軸力矩系數(shù)均在均值置信區(qū)間之內(nèi)，說明面搜索法仿真得到的力矩系數(shù)與期望力矩系數(shù)差別不大，面搜索法對于舵效的不確定性具有一定的魯棒性。但該方法的仿真結(jié)果統(tǒng)計中標(biāo)準(zhǔn)差總體上稍大，說明該方法的仿真結(jié)果分布較散。

考慮控制效能矩陣不確定時的累積頻數(shù)曲線如圖8所示。

圖8 控制效能矩陣不確定時的面搜索法累積頻數(shù)曲線Fig.8 Frequency accumulating curve of surface search method for uncertain control efficiency matrix

考慮舵效值的50%不確定性，結(jié)合圖8可知，k=0.5時，此期望狀態(tài)下對于所有的控制效能矩陣參數(shù)的不確定性，面搜索法達(dá)到指標(biāo)的仿真次數(shù)為758，也就是說此期望狀態(tài)點(diǎn)下對于控制效能矩陣參數(shù)的不確定性，面搜索法得到的實際三軸力矩系數(shù)值與期望三軸力矩系數(shù)之差有94.75%的概率不超過期望三軸力矩系數(shù)的一半，優(yōu)于偽逆法和串接鏈法。

總體來說，通過綜合對比仿真結(jié)果統(tǒng)計和累積頻數(shù)曲線可以發(fā)現(xiàn)：與前兩種方法相比較，面搜索方法的魯棒性最強(qiáng)。究其原因在于面搜索法的分配效率最高，在分配時能夠最大限度達(dá)到轉(zhuǎn)矩可達(dá)集邊界，進(jìn)而當(dāng)控制效能矩陣存在不確定時能夠體現(xiàn)較強(qiáng)的魯棒性。

4 結(jié)論

本文提出一種多操縱面飛機(jī)控制分配的魯棒性評估方法，在建立魯棒性評估指標(biāo)函數(shù)的基礎(chǔ)上，基于蒙特卡洛方法，進(jìn)行了數(shù)值計算仿真，對偽逆、串接鏈和面搜索三種控制分配方法進(jìn)行了魯棒性評估。仿真結(jié)果表明，該方法可以有效實現(xiàn)控制分配方法的魯棒性評估，具有較好的通用性和較高的評估準(zhǔn)確度，能夠為控制分配的性能評估提供有效的技術(shù)支撐和參考。仿真結(jié)果顯示，在控制效能矩陣存在50%不確定性的情形下，面搜索法的魯棒性能最好，偽逆法次之，串接鏈法的魯棒性能最差。