三階模態(tài)耦合效應(yīng)下懸索的1∶1主共振與穩(wěn)定性分析

閔光云，劉小會，蔡萌琦，易航宇，孫測世2,

(1.中山大學(xué) 中法核技術(shù)與工程學(xué)院，珠海 519082；2.重慶交通大學(xué) 省部共建山區(qū)橋梁及隧道工程國家重點實驗室，重慶 400074；3.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400074； 4.成都大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院，成都 610106)

1 引 言

懸索結(jié)構(gòu)具有質(zhì)量輕、阻尼小和柔度大的特點，因而廣泛運用于土木工程中，如拱橋[1,2]、斜拉橋[3,4]和架空輸電線[5，6]等。在風(fēng)雨激勵、地震作用和車輛沖擊荷載等的作用下，懸索結(jié)構(gòu)易發(fā)生振動，其振動行為非常復(fù)雜，因此分析懸索結(jié)構(gòu)的振動特征已成為學(xué)術(shù)界的熱點研究。

懸索的計算理論最早形成于16世紀(jì)末，成熟于20世紀(jì)中期,19世紀(jì)初，Poisson建立了懸索的運動方程[7]。Routh[8]在Poisson的研究基礎(chǔ)上求解了松弛懸索的固有頻率。20世紀(jì)中期，Pugsley[9]對比了張緊懸索和松弛懸索的振動特性，發(fā)現(xiàn)垂度是影響兩者振動特性最為關(guān)鍵的因素。當(dāng)懸索發(fā)生振動時，其模態(tài)之間會發(fā)生復(fù)雜的耦合效應(yīng)。Benedettini等[10]研究了懸索面內(nèi)和面外模態(tài)之間的非線性耦合現(xiàn)象，提出了一個簡單而有意義的二自由度模型，并用三階攝動分析法求解了該模型的動力學(xué)平衡方程，給出了模態(tài)耦合效應(yīng)的證據(jù)。Rao等[11]在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上研究了懸索結(jié)構(gòu)面內(nèi)和面外模態(tài)之間的 2∶1 內(nèi)共振，發(fā)現(xiàn)當(dāng)平面內(nèi)的振動頻率約為平面外的振動頻率兩倍時，振動方程的二次非線性項對懸索的性能有顯著影響。20世紀(jì)末期，lee等[12]采用三自由度模型研究了平面激勵作用下懸索面內(nèi)模態(tài)和面外模態(tài)間的共振效應(yīng)，用二階非線性攝動法得知面內(nèi)模態(tài)和面外模態(tài)之間存在 1∶1 和 2∶1 兩種共振模式。21世紀(jì)初期，Zhao等[13]進(jìn)一步研究了懸索在主共振作用下的模態(tài)間的 3∶1 內(nèi)共振，利用Newton-Raphson法得到了懸索結(jié)構(gòu)的幅-頻響應(yīng)曲線，并對解的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。

為了簡化振動模型和便于推導(dǎo)振動方程，大部分科研學(xué)者們都忽略了懸索的彎曲剛度，而理論上懸索的彎曲剛度會隨著其自身直徑的增加而增加?；诖?，趙躍宇等[14]研究了彎曲剛度對懸索非線性固有頻率的影響，發(fā)現(xiàn)彎曲剛度對高階頻率和面外頻率的影響更為顯著。吳慶雄等[15]推導(dǎo)了考慮彎曲剛度影響的懸索自由振動解析解，修正了傳統(tǒng)的Irvine參數(shù)。彎曲剛度會影響懸索的固有頻率，進(jìn)而使得其發(fā)生共振的條件產(chǎn)生偏移。呂建根等[16]在文獻(xiàn)[14]的基礎(chǔ)上研究了彎曲剛度對懸索面內(nèi)和面外模態(tài)之間的 1∶1 內(nèi)共振的影響。另外學(xué)者們還考慮了白噪聲[17,18]和風(fēng)雨激勵[19，20]下懸索復(fù)雜的動力學(xué)特性，促進(jìn)了懸索非線性動力學(xué)研究的發(fā)展。

由于非線性理論的蓬勃發(fā)展，學(xué)者們逐漸由研究單個懸索構(gòu)件的振動轉(zhuǎn)向索-梁耦合振動[21,22]和索-拱[1，2]耦合振動等。趙躍宇等[2]建立了索-拱耦合結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型，并運用多尺度法分析了該模型中拉索可能發(fā)生的共振模式，確定了拉索參數(shù)共振和亞諧波共振的發(fā)生條件，并探討了影響拉索共振的因素。彭劍等[19]采用時滯減振技術(shù)對索-梁組合結(jié)構(gòu)進(jìn)行了振動控制分析，發(fā)現(xiàn)通過調(diào)節(jié)控制增益和時滯值，可增大阻尼比，避免共振域，從而對索-梁組合結(jié)構(gòu)實現(xiàn)減振。

本文在以上學(xué)者們的研究基礎(chǔ)上，基于哈密頓準(zhǔn)則推導(dǎo)了懸索的振動方程，考慮了懸索的前3階模態(tài)之間的耦合效應(yīng)，利用Galerkin離散方法將無窮維系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為三維耦合振動系統(tǒng)，采用多尺度法分析了懸索的一階、二階和三階 1∶1 主共振，得到了一些具有現(xiàn)實意義的結(jié)論，能給予實際工程一定的參考。

2 振動微分方程

首先建立圖1所示的懸索數(shù)學(xué)模型，懸索無高差且兩端鉸接，以左鉸接點為坐標(biāo)原點建立笛卡爾坐標(biāo)系，x軸正方向沿兩鉸接點的連線向右，y軸正方向豎直向下。

圖1 懸索數(shù)學(xué)模型

圖1中u1為懸索軸向的動態(tài)位移，u2為懸索豎向的動態(tài)位移。

根據(jù)哈密頓變分準(zhǔn)則可得

(1)

式中δkv為懸索的動能，δΠ為懸索的勢能，δw′為非保守力做功。

懸索發(fā)生振動時，軸向的振動很微弱，主要以豎向的振動為主。根據(jù)式(1)可得到懸索豎向的振動方程

(2)

式中m為懸索的單位質(zhì)量，y為懸索的靜態(tài)構(gòu)型曲線，t為時間變量，l為跨徑，EA為拉伸剛度，EI為抗彎剛度，H為初始張力，μ為阻尼系數(shù)。

經(jīng)實驗觀測到的懸索的一階和二階模態(tài)的振幅較大，三階模態(tài)振幅較小，而第四階模態(tài)的振幅幾乎觀測不到[23]，因此本文只考慮前3階模態(tài)。

將懸索的豎向位移寫為

(3)

(4)

考慮外部激勵的作用效應(yīng)，接著將式(3)代入式(2)，并根據(jù)Galerkin法可得到考慮懸索的前3階模態(tài)耦合的振動常微分方程組為

(5a)

(5b)

(5c)

式(5)涉及的系數(shù)詳見附錄，本文不再贅述。

3 攝動分析

近年來，學(xué)者們采用不同的非線性定量分析方法來解決不同的非線性振動問題，其中多尺度法[21-28]應(yīng)用最廣泛。為滿足多尺度法的求解形式，引入小參數(shù)ε，并將式(5)改寫為

2Vεcos(Ωt)

(6a)

(6b)

(6c)

可將式(6)的解近似表示為

q1(t,ε)=q10(T0,T1)+εq11(T0,T1)+O(ε2)

(7a)

q2(t,ε)=q20(T0,T1)+εq21(T0,T1)+O(ε2)

(7b)

q3(t,ε)=q30(T0,T1)+εq31(T0,T1)+O(ε2)

(7c)

式中T0=t，物理意義為時間t的快變化；T1=εt，物理意義為時間t的慢變化；q10,q20和q30為系統(tǒng)的周期位移，q11，q21和q31為系統(tǒng)的修正位移。

將式(7)代入式(6)并將所得結(jié)果按照ε的同階次展開可得

(8a)

(8b)

(8c)

ε1：

2Vcos(Ωt)

(9a)

(9b)

(9c)

式中D0=?/?T0，D1=?/?T1。

式(8)為齊次微分方程，其通解可表示為

q10=A1exp(iω1T0)+cc

(10a)

q20=A2exp(iω2T0)+cc

(10b)

q30=A3exp(iω3T0)+cc

(10c)

式中A1，A2和A3為周期位移的振幅(關(guān)于T1的函數(shù))，i為虛數(shù)單位，cc為共軛項。

首先研究外部激勵頻率滿足Ω≈ω1的 1∶1 主共振情況，引入調(diào)諧小參數(shù)σ，并令Ω≈ω1+εσ。接著將式(10)代入式(9)可得

Vexp(iσT1)]exp(iω1T0)+

α3A3exp(iω3T0)+

α5{A1A3exp [i(ω1+ω3)T0]+

(11a)

Vexp [i(σT1+iω1T0)]+

β2{A1A2exp [i(ω1+ω2)T0]+

β3{A2A3exp [i(ω1+ω3)T0]+

(11b)

Vexp [i(σT1+ω1T0)]+

(11c)

根據(jù)微分方程的可解條件，式(11)有解的充分必要條件為其久期項等于零，即

(12a)

(12b)

(12c)

引入極坐標(biāo)變換，可將式(12)的A1,A2和A3分別表示為

A1(T1)=0.5ν1exp(iυ1)

(13a)

A2(T1)=0.5ν2exp(iυ2)

(13b)

A3(T1)=0.5ν3exp(iυ3)

(13c)

式中ν1，ν2和ν3為系統(tǒng)的振幅，υ1，υ2和υ3為系統(tǒng)的相位。

將式(13)代入式(12)并分離實部與虛部，進(jìn)而可得

(14a)

(14b)

(14c)

(14d)

(14e)

(14f)

式中ο1=σT1-υ1。由式(14)可知,ν2與ν3呈衰減趨勢，其振動不會受到激發(fā)。

求解系統(tǒng)非穩(wěn)定狀態(tài)下的解析解不易做到，因此本文只分析系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)下的動力學(xué)行為。對于穩(wěn)定狀態(tài)，可令ν1與ο1對時間尺度T1的一階導(dǎo)數(shù)為零，進(jìn)而消除式(14)的ο1，得到關(guān)于ν1的幅頻響應(yīng)方程，即

(15)

同理，可得到當(dāng)Ω≈ω2+εσ與Ω≈ω3+εσ時系統(tǒng)對應(yīng)的幅頻響應(yīng)方程，分別表示為

(16)

(17)

4 穩(wěn)定性分析

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性可根據(jù)式(14)的Jacobi矩陣的特征值來判定。引入坐標(biāo)變換，使得

ξV=ν1cosο1,ζW=ν1sinο1

(18a,18b)

當(dāng)Ω≈ω1+εσ時，將式(18)代入式(14a，14b)，進(jìn)而可得到坐標(biāo)變換后系統(tǒng)一階共振的線性化方程，即

(19a)

(19b)

根據(jù)式(19)可得Jacobi為

(20)

矩陣J的特征多項式為

det(J-λE)=λ2+Θ1λ+Θ2

(21)

式中E為單位矩陣，λ為特征方程的根，Θ1和Θ2為特征方程根對應(yīng)的系數(shù)，其表達(dá)式為

(22a)

(22b)

根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)

(23a,23b)

式(23)還可以進(jìn)一步簡化為

Θ2>0

(24)

同理，用類似的方法也可得到Ω≈ω2+εσ，Ω≈ω3+εσ時系統(tǒng)的穩(wěn)定性判斷條件，限于篇幅，本文不再詳細(xì)贅述。

5 算例分析

懸索的彈性模型E=2.0×1011Pa，初始張力H=4×106N，直徑D=0.1385 m，質(zhì)量m=48.62 kg/m，跨徑l=100 m。當(dāng)F分別為5，10和15時，得到了懸索系統(tǒng)的一階、二階和三階 1∶1 共振的幅值-σ曲線，如圖2所示。接著對解的穩(wěn)定性進(jìn)行定量判斷，圖2中幅值-σ曲線的左支和右支的下端是穩(wěn)定解，右支的上端是不穩(wěn)定解。

圖2 幅值-σ關(guān)系

可以看出，系統(tǒng)的 1∶1 共振的幅值-σ曲線具有向右偏移的趨向，表現(xiàn)為硬彈簧特性，存在多值和跳躍現(xiàn)象；當(dāng)給定同一小參數(shù)σ時，一階共振的幅值遠(yuǎn)大于二階和三階共振的幅值；在同階次共振的幅值-σ曲線中，左支穩(wěn)態(tài)解的幅值隨著小參數(shù)σ的增加而增加，右支穩(wěn)態(tài)解的幅值隨著小參數(shù)σ的增加而減小，非穩(wěn)態(tài)解的幅值一直隨著小參數(shù)σ的增加而增加；隨著F的增加共振產(chǎn)生的幅值有所增加，但懸索系統(tǒng)的振動屬于弱非線性振動，因此隨著F的增加，幅值的增加是有限制的，并不會存在量級的增加。

圖3為 1∶1 主共振的幅值-V曲線，對于σ=0.01，當(dāng)ν1位于0.11～0.18時，一階主共振的幅值-V曲線是非穩(wěn)定的；對于σ=0.02，當(dāng)ν1位于 0.15～0.255時，一階主共振的幅值-V曲線是非穩(wěn)定的；對于σ=0.03，當(dāng)ν1位于0.19～0.31時，一階主共振的幅值-V曲線是非穩(wěn)定的?？梢钥闯?，隨著σ的增加，臨界跳躍點有向右偏移的趨勢，且幅值有明顯的增加趨勢；二階和三階主共振的幅值-V曲線與一階主共振的幅值-V曲線有著相同的變化趨勢，但二階和三階主共振的幅值-V曲線的幅值比一階主共振的幅值-V曲線的幅值小許多。

圖3 幅值-V關(guān)系

為了更清楚地對比一階、二階和三階主共振的幅值-σ曲線與幅值-V曲線的區(qū)別，得到了幅值-σ對比分析(F=15)(圖4)和幅值-V對比分析(σ=0.03)(圖5)。可以看出， 1∶1 主共振發(fā)生時，一階幅值遠(yuǎn)大于二階和三階幅值，即當(dāng)懸索系統(tǒng)開始振動時，系統(tǒng)的能量主要以一階模態(tài)幅值的形式散發(fā)。

圖4 幅值-σ對比分析

圖5 幅值-V對比分析

中國地域廣闊且地形復(fù)雜，不同檔距的懸索系統(tǒng)適用于不同的地區(qū)，因此檔距是懸索系統(tǒng)的重要參數(shù)，且是變化最多的參數(shù)。為分析檔距對幅值的影響，圖6給出了檔距分別為100 m，300 m和500 m時懸索的 1∶1 主共振的幅值-σ曲線，可以看出，隨著檔距的增加，懸索幅值增加明顯，因懸索的振動以一階模態(tài)振動為主，因此一階共振產(chǎn)生的幅值隨著檔距的增加最為明顯，對于大跨越構(gòu)件因盡量避免共振的發(fā)生。

圖6 幅值-σ關(guān)系(l =100 m，300 m，500 m)

6 結(jié) 論

本文考慮了懸索系統(tǒng)的前三階模態(tài)耦合振動，利用多尺度法分析了懸索系統(tǒng)的共振模式，并基于Lyapunov穩(wěn)定性理論進(jìn)行了穩(wěn)定判定，進(jìn)而得到如下結(jié)論。

(1) 懸索系統(tǒng) 1∶1 主共振的幅值-σ曲線具有向右偏移的趨向，表現(xiàn)為硬彈簧特性，存在多值和跳躍現(xiàn)象，當(dāng)給定同一小參數(shù)σ時，一階主共振的幅值遠(yuǎn)大于二階和三階主共振的幅值。

(2) 在同階次 1∶1 主共振的幅值-σ曲線中，左支穩(wěn)態(tài)解的幅值隨著小參數(shù)σ的增加而增加，右支穩(wěn)態(tài)解的幅值隨著小參數(shù)σ的增加而減小，非穩(wěn)態(tài)解的幅值一直隨著小參數(shù)σ的增加而增加。

(3) 在同階次 1∶1 主共振的幅值-σ曲線中，隨著F的增加，共振產(chǎn)生的幅值有所增加，但懸索系統(tǒng)的振動屬于弱非線性振動，因此隨著F的增加，幅值的增加是有限制的，并不會存在量級的增加。

(4) 懸索系統(tǒng)的幅值-V曲線具有隨著σ的增加臨界跳躍點向右偏移的趨勢，且幅值有明顯的增加趨勢；二階和三階主共振的幅值-V曲線與一階主共振的幅值-V曲線有著相同的變化趨勢，但二階和三階主共振的幅值-V曲線的幅值比一階主共振的幅值-V曲線的幅值小許多。

(5) 隨著檔距的增加，懸索系統(tǒng) 1∶1 主共振產(chǎn)生的幅值增加明顯，因懸索的振動以一階模態(tài)振動為主，因此一階主共振產(chǎn)生的幅值隨著檔距的增加最為明顯。

附錄：

α3=-?5/?1,α4=-?6/?1,α5=-?7/?1

α6=-?8/?1,α7=-?9/?1,α8=-?10/?1

γ3=-δ5/δ1,γ4=-δ6/δ1,γ5=-δ7/δ1

γ6=-δ8/δ1,γ7=-δ9/δ1