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    用程序設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)四階全對(duì)稱(chēng)幻方的構(gòu)造

    2022-08-29 06:16:40許芝卉李建華
    關(guān)鍵詞:幻方四階方陣

    許芝卉,李建華

    (山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,山西大同 037009)

    定義1設(shè)A=(aij)n×n(1≤i,j≤n),含數(shù)集N={1,2,3,…,n2}的全部元素,若A中的諸元素是按自然數(shù)從小到大的順序排列而成,則稱(chēng)方陣A為自然方陣[1]。

    定義2設(shè)方陣含數(shù)集N={1,2,3,…,16}的全部元素,若該方陣每行、每列及主、副對(duì)角線元素之和都相等,都等于幻和值34,則稱(chēng)該方陣為四階全對(duì)稱(chēng)幻方[2]。

    定義3設(shè)有四階方陣,將字母a,b,c,d和數(shù)字0,1,2,3這八個(gè)元素對(duì)應(yīng)起來(lái),使a,b,c,d四個(gè)字母在每一行、每一列及主、副對(duì)角線上只出現(xiàn)一次,且每個(gè)數(shù)字和每個(gè)字母不會(huì)相遇兩次。此時(shí)的幻和值是a+b+c+d+6=34。稱(chēng)這種幻方為字母和數(shù)字組合幻方,簡(jiǎn)稱(chēng)組合幻方[1]。

    定理1自然方陣A=(aij)n×n(1≤i,j≤n),(其中n=4)經(jīng)過(guò)以下幾種方法構(gòu)造而成的方陣,若滿(mǎn)足幻和值都相等,則該方陣為四階全對(duì)稱(chēng)幻方[2]。

    四階幻方是最簡(jiǎn)單的雙偶幻方,關(guān)于四階幻方的構(gòu)造方法介紹如下3種情況。

    1 自然方陣對(duì)稱(chēng)交換構(gòu)造法

    (1)順序填數(shù)(自然方陣,如圖1)。

    圖1 自然方陣

    (2)以中心點(diǎn)對(duì)稱(chēng)互換數(shù)字。

    (I)以中心點(diǎn)對(duì)稱(chēng)交換對(duì)角線上的數(shù),即1-16,6—11,4-13,7-10 互換位置(如圖2),其幻和值為34。

    圖2 對(duì)稱(chēng)幻方1

    (Ⅱ)以中心點(diǎn)對(duì)稱(chēng)交換非對(duì)角線上的數(shù),即2-15,3-14,5-12,8-9(如圖3)。

    (Ⅲ)由圖3 中互換二、三行元素,即12-8,6—10,7-11,9-5(如圖4)。

    (Ⅳ)由圖3 中互換二、三列元素,即15-14,6—7,10-11,3-2(如圖5)。圖5 中互換二、三行元素,可得圖6。當(dāng)然由圖4、圖5、圖6 仍能構(gòu)造出不同的幻方[3]。

    圖3 對(duì)稱(chēng)幻方2

    圖4 對(duì)稱(chēng)幻方3

    圖5 對(duì)稱(chēng)幻方4

    圖6 對(duì)稱(chēng)幻方5

    2 字母數(shù)學(xué)組合構(gòu)造法

    對(duì)定義3 中的字母和數(shù)字組合幻方,若再給定{a,b,c,d}={1,5,9,13}。這里采用集合的寫(xiě)法,而集合又具有無(wú)序性和不重復(fù)性。因此上面集合共有24種不同的全排列。當(dāng)然可構(gòu)造24 種全對(duì)稱(chēng)四階幻方。具體方法如下:

    (1)將a,b,c,d和數(shù)字0,1,2,3 組合填入方陣(如圖7)。

    圖7 字母數(shù)字組合方陣

    (2)a,b,c,d可以任意排列,可得到24 種不同的四階全對(duì)稱(chēng)幻方。

    (3)構(gòu)造全對(duì)稱(chēng)幻方程序文件為file1.cpp,且程序能夠正確運(yùn)行,并能得到滿(mǎn)意的結(jié)果(如圖8)。

    按上面方法構(gòu)造的四階幻方程序如下[4],程序文件名為file1.cpp。

    程序運(yùn)行的部分結(jié)果如圖8。

    圖8 file1.cpp文件運(yùn)行結(jié)果

    3 程序設(shè)計(jì)構(gòu)造法

    定義一個(gè)數(shù)組,讓數(shù)組元素按自然方陣排列,對(duì)換方陣中元素的位置,經(jīng)過(guò)對(duì)換后的方陣,應(yīng)滿(mǎn)足:①每個(gè)位置上的元素必須互不相同;②每行、每列、及主、副對(duì)角線上元素之和都相等,都等于幻和值34。

    通過(guò)編寫(xiě)程序來(lái)實(shí)現(xiàn)上面的操作,同時(shí)在程序中加以驗(yàn)證。若滿(mǎn)足條件,就輸出該幻方,若不滿(mǎn)足,則通過(guò)循環(huán)繼續(xù)進(jìn)行上述操作。這樣構(gòu)造的幻方共有880 個(gè),設(shè)計(jì)的程序,只構(gòu)造四階幻方中第一個(gè)元素為1 的情況,這樣的幻方共有416 個(gè)。且程序能夠正確運(yùn)行,并可得到滿(mǎn)意的結(jié)果(如圖9)。按上述方法生成四階幻方的程序如下[4],

    程序文件名為file2.cpp。

    程序運(yùn)行的部分結(jié)果如圖9。

    圖9 file2.cpp文件運(yùn)行結(jié)果

    4 結(jié)語(yǔ)

    幻方的構(gòu)造多種多樣,形態(tài)變化萬(wàn)千,它所蘊(yùn)含的哲學(xué)思想最為豐富,給人以美的遐想,論文中的四階全對(duì)稱(chēng)幻方就具有富態(tài)的美。當(dāng)然幻方的研究是無(wú)止境的,將會(huì)探討四階幻方是否存在平方幻方,仍用程序設(shè)計(jì)來(lái)實(shí)現(xiàn)并加以驗(yàn)證。(注:若四階全對(duì)稱(chēng)幻方同時(shí)滿(mǎn)足每行、每列及主、副對(duì)角線上元素的平方和也都相等,則該幻方為四階全對(duì)稱(chēng)平方幻方。)

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