模型觀念與應(yīng)用意識：開展初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”的關(guān)鍵
——以七年級教學(xué)為例

范連眾，劉雪蓮，邢媛媛，高 婷

（大連市甘井子區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校，大連市匯文中學(xué)，大連市第十四中學(xué)）

人類社會從農(nóng)業(yè)社會發(fā)展到工業(yè)社會，一直到當(dāng)今的信息社會，人們對數(shù)學(xué)、對數(shù)學(xué)教育的認(rèn)識、理解和要求都在不斷地發(fā)生變化。在信息社會，數(shù)學(xué)已不僅僅是思維、還是語言、更是文化，已經(jīng)滲透到社會生活的方方面面，特別是它與計(jì)算機(jī)、工程技術(shù)等現(xiàn)代技術(shù)學(xué)科的結(jié)合，正為現(xiàn)實(shí)世界帶來巨大的變化。同時(shí)，信息技術(shù)的發(fā)展使數(shù)學(xué)學(xué)科從研究內(nèi)容到研究手段，從研究思想到研究成果等方面都得到了新的發(fā)展機(jī)遇。《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》要求發(fā)展學(xué)生的“關(guān)鍵能力”，這種“關(guān)鍵能力”可以比較集中地概括為用新技術(shù)獲取和處理信息的能力、主動探究能力、分析和解決問題的能力、合作交流能力、終身學(xué)習(xí)的能力等。

我國在2000 年頒布的《九年義務(wù)教育全日制初級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用修訂版）》中首次引入“探究性活動、實(shí)習(xí)作業(yè)”；2002年開始實(shí)施的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》將“綜合與實(shí)踐”和“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“概率與統(tǒng)計(jì)”一起，構(gòu)成中學(xué)數(shù)學(xué)課程的四大學(xué)習(xí)主題，成為我國義務(wù)階段數(shù)學(xué)教育走向現(xiàn)代化數(shù)學(xué)教育的標(biāo)志；2011年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》則強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識，指出“在整個(gè)數(shù)學(xué)教育的過程中都應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，綜合實(shí)踐活動是培養(yǎng)應(yīng)用意識很好的載體”；《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》將“綜合與實(shí)踐”賦予了更艱巨的任務(wù)，強(qiáng)調(diào)以項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的方式，表現(xiàn)出跨學(xué)科學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，這都表現(xiàn)出“綜合與實(shí)踐”發(fā)展的時(shí)代特征。

一、明確課程標(biāo)準(zhǔn)和教材中“綜合與實(shí)踐”的內(nèi)容，正確理解課程內(nèi)涵

在進(jìn)行“綜合與實(shí)踐”的教學(xué)之前，教師先要洞察課程標(biāo)準(zhǔn)中“綜合與實(shí)踐”的內(nèi)容要求演變。表1從概念界定、常見形式、內(nèi)容要求三個(gè)維度對三版課程標(biāo)準(zhǔn)中的“綜合與實(shí)踐”進(jìn)行比較，從中可以看出其演變過程。

表1 三版課程標(biāo)準(zhǔn)中“綜合與實(shí)踐”內(nèi)容與要求演變過程

在此基礎(chǔ)上，教師要明確“綜合與實(shí)踐”的學(xué)習(xí)內(nèi)容、課程目標(biāo)、教學(xué)特征及現(xiàn)有教材中相關(guān)內(nèi)容特點(diǎn)。

（一）明確“綜合與實(shí)踐”的學(xué)習(xí)內(nèi)容

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中對初中學(xué)段的“綜合與實(shí)踐”提出了更明確的要求，就是在社會生活和科學(xué)技術(shù)的真實(shí)情境中，結(jié)合方程與不等式等具體的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容，經(jīng)歷現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)化，探索數(shù)學(xué)關(guān)系、性質(zhì)與規(guī)律的過程；就是要用數(shù)學(xué)的思維方法，運(yùn)用數(shù)學(xué)與其他相關(guān)學(xué)科的知識，綜合地、有邏輯地分析問題，經(jīng)歷分工合作、試驗(yàn)調(diào)查、建立模型、計(jì)算反思、解決問題的過程；就是要用數(shù)學(xué)的語言將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，經(jīng)歷用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程。

由此可見，初中階段的“綜合與實(shí)踐”學(xué)習(xí)內(nèi)容不是具體的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，而是表現(xiàn)出以真實(shí)的問題為載體，以解決問題為重點(diǎn)，以經(jīng)歷過程為標(biāo)志，以數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用為關(guān)鍵，以獲得活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力為目標(biāo)的思想方法特征。

（二）明確“綜合與實(shí)踐”的課程目標(biāo)

初中階段“綜合與實(shí)踐”的課程目標(biāo)，不是簡單地解決傳統(tǒng)意義的應(yīng)用題，而是通過發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的過程，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識之間、數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)和社會生活之間的聯(lián)系，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值，發(fā)展應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力，進(jìn)而逐步形成“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”“會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”的核心素養(yǎng)。作為四個(gè)課程領(lǐng)域之一，“綜合與實(shí)踐”課程目標(biāo)應(yīng)既服務(wù)于數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)，同時(shí)又承擔(dān)著特有的使命。它包括幫助學(xué)生積累與條理化自身的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，特別是綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、技能和方法分析問題、解決問題等方面的經(jīng)驗(yàn)；發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力；幫助學(xué)生獲得分析問題、解決問題的基本方法，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識；發(fā)展學(xué)生與他人合作、交流的意識和能力；以及讓學(xué)生在活動過程中體驗(yàn)獲得成功的樂趣、鍛煉克服困難的意志、建立自信，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

（三）明確“綜合與實(shí)踐”的教學(xué)特征

基于“綜合與實(shí)踐”的內(nèi)容特點(diǎn)和課程目標(biāo)，其課堂教學(xué)表現(xiàn)出更鮮明的教學(xué)特征，即經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、探究的過程；在與他人合作交流、解決問題的過程中，嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確地交流，表達(dá)自己的觀點(diǎn)，形成批判性思維和創(chuàng)新意識。

1.注重問題特征

“綜合與實(shí)踐”的開展都是圍繞問題解決來進(jìn)行，應(yīng)表現(xiàn)出更強(qiáng)的探究性。無論是真實(shí)的實(shí)際問題，還是純數(shù)學(xué)問題，基本素材都應(yīng)基于學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，包括生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)。問題應(yīng)具有綜合性、開放性，有助于表現(xiàn)出學(xué)生思維的開放性、層級性。特別是要注意挖掘數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，表現(xiàn)出跨學(xué)科解決問題的時(shí)代特點(diǎn)。

2.注重教學(xué)特征

“綜合與實(shí)踐”的一個(gè)顯著教學(xué)特征是重過程而非結(jié)果，包括使學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立思考與合作交流的過程，經(jīng)歷分析問題與解決問題的過程，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題與提出問題的過程。另一個(gè)顯著教學(xué)特征是重個(gè)性化思考、方法，而非標(biāo)準(zhǔn)化程序、“最優(yōu)化”解法。課堂上，教師更希望聽到學(xué)生這樣回答問題：我對問題的理解是……我的解決方法設(shè)計(jì)是……我還能想到……還有一個(gè)顯著教學(xué)特征是重方法而非知識。開展“綜合實(shí)踐”并非新知識學(xué)習(xí)，而是注重引導(dǎo)學(xué)生在建立數(shù)學(xué)建模的過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系，在從事數(shù)學(xué)探究過程中領(lǐng)悟探究的策略和方法的學(xué)習(xí)。

3.注重活動特征

“綜合與實(shí)踐”的主體是學(xué)生，其具備活動特征。教學(xué)中，應(yīng)充分體現(xiàn)出學(xué)生活動的自主性。一般而言，活動過程主要包含：確定研究課題—設(shè)計(jì)解決方案—實(shí)施研究活動—撰寫研究報(bào)告—交流等。學(xué)生只有親身經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題、反思與調(diào)整、概括與總結(jié)的全過程，才能積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

4.注重評價(jià)特征

由于“綜合與實(shí)踐”的教學(xué)具有目標(biāo)多元、過程內(nèi)涵豐富、結(jié)果非標(biāo)準(zhǔn)等特點(diǎn)，對于學(xué)生從事“綜合與實(shí)踐”學(xué)習(xí)的行為評價(jià)絕非是簡單地打分所能完成的。通常，針對不同的活動形式（個(gè)人、團(tuán)隊(duì)），評價(jià)的指標(biāo)重心不盡相同?？傮w上應(yīng)呈現(xiàn)指標(biāo)多元化、行為描述化、結(jié)果等級化等基本特征。目的是激勵(lì)學(xué)生，使他們感受數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性。

（四）明確現(xiàn)有教材中相關(guān)內(nèi)容特點(diǎn)

現(xiàn)有的各版本教材中，已經(jīng)設(shè)置了一些“綜合與實(shí)踐”的內(nèi)容。如人教版、北師大版教材中的“數(shù)學(xué)活動”“課題學(xué)習(xí)”等欄目，內(nèi)容上注意貼近學(xué)生生活和認(rèn)識水平，可以讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)思想，加深對數(shù)學(xué)的理解，開闊學(xué)生的視野，引領(lǐng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思考方式細(xì)致地觀察周圍生活。在教學(xué)中，教師同時(shí)需要將這些內(nèi)容與學(xué)生自身實(shí)際生活相結(jié)合，充分挖掘?qū)W生身邊的相關(guān)內(nèi)容，采用合理教學(xué)的方式，以更好地實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。

人教版七年級數(shù)學(xué)教材在各個(gè)章節(jié)的最后都安排了“數(shù)學(xué)活動”，為開展“綜合與實(shí)踐”提供了內(nèi)容素材，其在各章節(jié)的常規(guī)教學(xué)中，也都注意所提問題來源于現(xiàn)實(shí)世界。如在七年級上冊第二章“整式的加減”之后安排了數(shù)學(xué)活動：分別從探索規(guī)律，實(shí)際應(yīng)用和日歷表中的數(shù)字規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用整式的相關(guān)知識解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)感和符號意識。在第三章“一元一次方程”的內(nèi)容設(shè)計(jì)中，從基本概念的學(xué)習(xí)到方程的解法，實(shí)際問題背景貫穿始終，在此基礎(chǔ)上，教材還特意設(shè)計(jì)了“實(shí)際問題與一元一次方程”一節(jié)課，除了涉及傳統(tǒng)意義上的配套類、工程類應(yīng)用題之外，還以當(dāng)今社會真實(shí)的打折購物、球賽積分、電話計(jì)費(fèi)為背景，設(shè)計(jì)了探究性學(xué)習(xí)活動。這一設(shè)計(jì)思路，在七年級下冊第八章“二元一次方程組”的學(xué)習(xí)中，得到了進(jìn)一步地延續(xù)和發(fā)展，其第三節(jié)課設(shè)計(jì)的3 個(gè)實(shí)踐與探索內(nèi)容，進(jìn)一步發(fā)展了學(xué)生的模型觀念和應(yīng)用意識。學(xué)生在社會生活和科學(xué)技術(shù)的真實(shí)情境以及數(shù)學(xué)知識的橫向聯(lián)系、縱向拓展中，結(jié)合方程（組）等具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，經(jīng)歷了現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)化的過程，感悟了如何從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，逐步形成了“三會”的核心素養(yǎng)。

二、厘清模型觀念與應(yīng)用意識的內(nèi)涵，暢通實(shí)施渠道

學(xué)生具備一定的模型觀念和應(yīng)用意識是開展“綜合與實(shí)踐”的基本保障。教師只有厘清模型觀念與應(yīng)用意識的內(nèi)涵，通過扎扎實(shí)實(shí)的日常教學(xué)，才能暢通實(shí)施“綜合與實(shí)踐”的渠道。

（一）厘清模型觀念的內(nèi)涵，合理建模

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》指出，在小學(xué)階段學(xué)生形成模型意識的基礎(chǔ)之上，學(xué)生在初中學(xué)段要形成模型觀念。教師對運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題要有清晰的認(rèn)識，要知道數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系的基本途徑；要使學(xué)生初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過程，從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。模型觀念有助于學(xué)生開展跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)，感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用的普遍性。

在七年級的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，方程、方程組、不等式、不等式組的學(xué)習(xí)都需要學(xué)生經(jīng)歷用數(shù)學(xué)符號提煉現(xiàn)實(shí)生活中的等價(jià)關(guān)系和不等價(jià)關(guān)系的過程，方程就是用等號將相互等價(jià)的兩件事情聯(lián)系起來。方程只是闡述了一個(gè)事實(shí)本身，是一個(gè)沒有經(jīng)過任何加工的事實(shí)本身，只是在說明兩件事情是等價(jià)的。方程模型觀念的核心在于建模、化歸。解一元一次方程就是最終將方程化歸為x=a的形式，即將含有未知數(shù)的項(xiàng)放到方程的一邊，將不含未知數(shù)的項(xiàng)放到方程的另一邊，就可以解出未知數(shù)的值，解的具體過程要用到四則運(yùn)算。學(xué)生用自然語言闡述數(shù)學(xué)的事實(shí)，然后抽象成數(shù)學(xué)表達(dá)，最后用數(shù)學(xué)符號建立方程，解決問題，這正是建模的過程。

（二）厘清應(yīng)用意識的內(nèi)涵，解決問題

應(yīng)用意識主要是指有意識地利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象與規(guī)律，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題。教師要使學(xué)生能夠感悟現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，可以用數(shù)學(xué)的方法予以解決；初步了解數(shù)學(xué)作為一種通用的科學(xué)語言在其他學(xué)科中的應(yīng)用，通過跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)建立不同學(xué)科之間的聯(lián)系。應(yīng)用意識有助于學(xué)生用學(xué)過的知識和方法解決簡單的實(shí)際問題，養(yǎng)成理論聯(lián)系實(shí)際的習(xí)慣，發(fā)展實(shí)踐能力。

例如，七年級學(xué)生學(xué)會抽象——將關(guān)系抽象為數(shù)學(xué)符號，要經(jīng)歷兩個(gè)過程，一個(gè)是抽象過程，一個(gè)是運(yùn)算過程。這兩個(gè)過程都含有邏輯問題，每一步都不能出錯(cuò)。列方程解實(shí)際問題需要學(xué)生具體問題具體分析，要在錯(cuò)綜復(fù)雜的事實(shí)中，將最本質(zhì)的東西抽象出來，同時(shí)在運(yùn)算中遵循最佳的途徑，將復(fù)雜的問題簡單化，這種優(yōu)化思想對于人的思維習(xí)慣的影響是深遠(yuǎn)的。日常教學(xué)中，教師只有將這些工作做實(shí)，使學(xué)生具備一定的探究能力、模型觀念和應(yīng)用意識，才能為開展“綜合與實(shí)踐”提供保證。

三、探索“綜合與實(shí)踐”的教學(xué)策略，助力課程實(shí)施落地

課堂上，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境和問題串引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)是發(fā)展學(xué)生模型思想和應(yīng)用意識的基本策略。好的問題情境能夠充分調(diào)動起學(xué)生原有的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，更能促使學(xué)生由情境引起數(shù)學(xué)意義上的思考。好的問題串在一般觀念的引領(lǐng)下，連貫系統(tǒng)，自然而然，可助力學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

人教版數(shù)學(xué)教材在七年級下冊第八章“二元一次方程組”中有這樣的安排：在學(xué)習(xí)完方程組的解法之后有一節(jié)探究活動，3 個(gè)探究問題既各具特色，又指向同一目標(biāo)，使學(xué)生在經(jīng)歷建模過程中感悟二元一次方程組的模型價(jià)值；經(jīng)歷估算與精確計(jì)算的比較，體悟數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值。

（一）創(chuàng)設(shè)生活化的問題情境，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)術(shù)語

借助生活場景來構(gòu)建問題情境，既能夠使學(xué)生主動融入到熟悉的環(huán)境中，感受到數(shù)學(xué)知識與生活的聯(lián)系，強(qiáng)化對生活問題的探究動機(jī)，又能夠以生活問題為導(dǎo)向，使學(xué)生結(jié)合自身的生活經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知，不斷感受蘊(yùn)含在問題中的數(shù)學(xué)原理，建立數(shù)學(xué)世界與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)結(jié)。學(xué)生運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，化解對生澀的數(shù)學(xué)術(shù)語的理解，為探究活動的開展掃清障礙。以“探究活動二：面積劃分問題”為例，教師設(shè)計(jì)了下面的問題情境。

1.把一個(gè)長為200 m，寬為100 m 的長方形土地分成面積比為1∶3 的兩個(gè)長方形部分，可以怎么分？你能畫出示意圖嗎？

這一情境的設(shè)計(jì)意圖是從學(xué)生熟悉的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，在解決簡單數(shù)學(xué)問題的過程中使學(xué)生體會“怎么分”的數(shù)學(xué)表述，同時(shí)一題多解，減輕學(xué)生的心理壓力，助力教學(xué)難點(diǎn)的突破。

2.在一片面積為200 m2的土地上種植甲種農(nóng)作物，已知該農(nóng)作物的單位面積產(chǎn)量為10 kg/m2，則該土地的農(nóng)作物總產(chǎn)量為________；

在一片面積為200 m2的土地上種植甲、乙兩種農(nóng)作物，且種植面積相等，已知甲、乙兩種農(nóng)作物的單位面積產(chǎn)量分別為10 kg/m2和30 kg/m2，則該土地的兩種農(nóng)作物總產(chǎn)量為________。

這一情境的設(shè)計(jì)意圖是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，在解決簡單實(shí)際問題的過程中認(rèn)識、分析陌生的實(shí)際問題背景，并能應(yīng)用于實(shí)際問題，為探究活動提供方法經(jīng)驗(yàn)。

與此類似，在學(xué)習(xí)“探究活動三：方案決策問題”時(shí)，學(xué)生需要理解復(fù)雜的單位，為此教師設(shè)計(jì)了下面的情境。

某快遞公司發(fā)快遞的費(fèi)用細(xì)則如下：每千米0.2元，每千克0.2元（kg·km）。

（1）1 kg 的貨物運(yùn)送2 km，需要付________元的運(yùn)費(fèi)；

（2）2 kg 的貨物運(yùn)送2 km，需要付________元的運(yùn)費(fèi)；

（3）已知A 市到B 市距離為30 km。若從A 市運(yùn)送20 kg 的貨物到B 市，選擇該公司需付費(fèi)用為__________元。

（二）注重思維發(fā)展規(guī)律，逐步喚醒學(xué)生已有的模型意識

經(jīng)過小學(xué)階段和初中七年級上半學(xué)期的學(xué)習(xí)，學(xué)生已有了初步的模型意識。因此，熱身問題的設(shè)計(jì)需要能夠喚醒學(xué)生已有的模型意識，這就要求熱身題目必須起到“搭臺階”的作用，要既簡單、不擠占課堂時(shí)間，又為后續(xù)問題做準(zhǔn)備。同時(shí)，熱身題要切中要害，直指問題本質(zhì)，要啟發(fā)學(xué)生的模型意識。在“探究活動一：大牛小牛問題”中，教師創(chuàng)設(shè)了這樣的情境：

一種商品有大小瓶兩種包裝，3 大瓶、4 小瓶共裝 108 千克產(chǎn)品，2 大瓶、3 小瓶共裝 76 千克，那么 4大瓶、2小瓶能裝多少千克？

本題簡單易做，能有效地引發(fā)學(xué)生運(yùn)用已有模型意識設(shè)未知數(shù)、找等量關(guān)系、列方程組，對接下來的探究活動產(chǎn)生了潛移默化地影響。美國課程理論家施瓦布指出，課程死氣沉沉，是由于課程研究者脫離了他們所研究的對象——實(shí)際教育情境。合適的問題情境能啟發(fā)學(xué)生的模型意識，聚焦研究問題的本質(zhì)。情境的設(shè)計(jì)與使用是樹立模型觀念與發(fā)展應(yīng)用意識的“起跑線”，是教學(xué)設(shè)計(jì)必須考慮的基本問題。

（三）圍繞核心問題設(shè)計(jì)階梯型問題串，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值

學(xué)生只有自己經(jīng)歷建模的過程才能感悟數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值，這就要求與例題相關(guān)的問題串設(shè)計(jì)要有階梯性、條理性和啟發(fā)性，能促進(jìn)學(xué)生自己找到等量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型、厘清解題思路。同時(shí)，教師也要通過問題串強(qiáng)化學(xué)生的模型意識，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成模型觀念。對于“大牛小牛問題”，教師在出示例題之后，可以提出以下問題串并引導(dǎo)學(xué)生思考。

1.（緊跟熱身問題，針對例題再次提出）“包含哪些相等關(guān)系？”“你都能直接求出哪些量？”（引導(dǎo)學(xué)生找到建模依據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型）

2.“怎樣檢驗(yàn)李大叔的估計(jì)呢？”（體會運(yùn)用模型觀念解決問題）

對于“面積劃分問題”，教師將產(chǎn)量比的關(guān)系改為相等關(guān)系，重在引導(dǎo)學(xué)生體會用方程組模型描述相等關(guān)系，之后再給出單位產(chǎn)量之比和總產(chǎn)量之比，更合適學(xué)生現(xiàn)有的知識水平。

據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，甲種作物的單位面積產(chǎn)量是10 kg/m2，乙種作物的單位面積產(chǎn)量是30 kg/m2，現(xiàn)要把一塊長200 m，寬100 m 的長方形土地，分為兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物。怎樣劃分這塊土地，能使甲、乙兩種作物的產(chǎn)量相等？

在“方案決策問題中”，教師設(shè)計(jì)了下面的問題串，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分析問題。

1.從題目敘述中你直接獲取了哪些信息？請有條理地表述出來。

2.怎樣理解“這批產(chǎn)品的銷售款比原料費(fèi)與運(yùn)輸費(fèi)的和多多少元？”我們必須知道哪些量？

3.你能先列表梳理已知量，進(jìn)而計(jì)算出運(yùn)輸費(fèi)用，再列出方程組嗎？

階梯型的問題串設(shè)計(jì)，可引導(dǎo)學(xué)生逐步認(rèn)識到問題的本質(zhì)，使其學(xué)會分析問題的一般方法，為問題解決創(chuàng)造條件。

（四）設(shè)計(jì)引發(fā)學(xué)生深入思考的課后討論題，促使學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

現(xiàn)實(shí)生活中的問題復(fù)雜多變，在很多實(shí)際問題中，我們無法進(jìn)行精確統(tǒng)計(jì)，但可以忽略掉無關(guān)或不關(guān)鍵因素，抽象出數(shù)量和關(guān)系，并運(yùn)用數(shù)學(xué)模型這種語言進(jìn)行表達(dá)、計(jì)算、分析和預(yù)估，這對學(xué)生來說是非常重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。所以，設(shè)計(jì)的問題要能促使學(xué)生樹立模型觀念，產(chǎn)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的愿望。因此，課后討論問題的設(shè)計(jì)也充分體現(xiàn)了教師的教學(xué)格局和教育智慧。在“大牛小牛問題”的課后討論中，教師提出這樣的問題：“實(shí)際生活中，還有這樣用估計(jì)進(jìn)行計(jì)算的實(shí)例嗎？”

這一問題的提出意在使學(xué)生了解生活中還有很多需要估計(jì)的實(shí)例，知道雖然無法具體精確統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，但考慮到測量誤差和實(shí)際操作中的損失等因素，可以對總體情況進(jìn)行比較準(zhǔn)確地估計(jì)，如家里裝修時(shí)提前估計(jì)所需材料及數(shù)量就可以少跑路，少花錢；食堂提前估計(jì)用餐人數(shù)就可以在既提供服務(wù)的同時(shí)又節(jié)約成本。這一問題還能促進(jìn)學(xué)生理解模型的廣泛應(yīng)用，使他們利用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行初步預(yù)測和估計(jì)。此外，樹立模型觀念，產(chǎn)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的愿望，也能為學(xué)生未來形成模型思想做好鋪墊。

在學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生需要自己感悟數(shù)學(xué)模型的價(jià)值，這是難能可貴的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。所以，教師必須做到不替代，只引領(lǐng)，可緊跟例題提出諸如“你還有其他的計(jì)算方法嗎？”之類的問題，這樣可啟發(fā)學(xué)生選取不同的等量關(guān)系、不同的數(shù)學(xué)模型（一元一次方程、算術(shù)），甚至是不同的思維方向；意在使學(xué)生體悟到各種方法和模型之間的不同，感悟到二元一次方程組模型的價(jià)值。

課后思考問題“你能用李大叔估計(jì)的范圍來推斷大牛和小牛的飼料數(shù)值嗎？”意在激發(fā)學(xué)生的逆向思維，引出控制變量法和反證法的思想，促進(jìn)學(xué)生的深入思考，也能夠拓寬學(xué)生的視野、發(fā)散學(xué)生的思維。當(dāng)學(xué)生運(yùn)用逆向思維，提出運(yùn)用控制變量法的解決方法具有局限性之后，教師再總結(jié)當(dāng)定量和不定量同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，要從定量入手建立數(shù)學(xué)模型解決問題，更突顯出模型運(yùn)用的價(jià)值。

總之，開展“綜合與實(shí)踐”，需要教師在教學(xué)中注重教學(xué)方式的變化，積極尋找契機(jī)發(fā)展學(xué)生自主探索、合作交流與實(shí)踐創(chuàng)新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式；通過現(xiàn)實(shí)的、有趣的、富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生主動地從事觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理、交流、反思等數(shù)學(xué)活動，發(fā)展學(xué)生的模型觀念和應(yīng)用意識。